「精品」高二数学上学期第二次月考试题(含解析)

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2019学年度第一学期第二次月考阶段测试高二数学试题本试卷满分160分，考试时间120分钟。

填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分。

答案写在答题卡相应位置）1. 抛物线的准线方程为：______________。

【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为2. 已知椭圆的离心率_______。

【答案】【解析】已知椭圆，故答案为：。

3. 函数，则的导函数____________。

【答案】【解析】根据余弦函数的求导法则和指数函数的求导法则得到。

故答案为：。

4. 设为虚数单位，为实数），则__________。

【答案】【解析】由题干知道根据复数相等的概念得到故答案为：2.5. 已知双曲线（＞0）的一条渐近线为，则______。

【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.6. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____。

【答案】【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。

故得到故得到椭圆方程为：。

故答案为：。

7. 函数的最大值是____________。

【答案】【解析】∵f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0得x=e．∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，∴f max（x）=f（e）=．故答案为：。

8. 已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的标准方程为________。

【答案】【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为9. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是______________。

高二数学上学期第二次月考试题文含解析_1

甘谷第一中学2021-2021学年高二数学上学期第二次月考试题文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.全集U R =，{|1}A x x =>，2{1}B x x =，那么()U C A B ⋂ 等于( )A. {|11}x x -<≤B. {|11}x x -<<C. {|1}x x <-D. {|1}x x ≤-【答案】C 【解析】【分析】先解不等式得集合B ，再根据补集与交集定义求结果.【详解】因为()()2{|1},11,B x x =>=-∞-⋃+∞，所以(){}()|1,1U C A B x x B ⋂=≤⋂=-∞-，选C. 【点睛】此题考察解不等式以及集合补集与交集定义，考察根本求解才能，属根底题. 2.命题“x R ∀∈，2x x ≠〞的否认是( ) A. x R ∀∉，2x x ≠ B. x R ∀∈，2x x = C. x R ∃∉，2x x ≠ D. x R ∃∈，2x x =【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否认即可.【详解】根据全称命题的否认是特称命题，∴命题的否认是：0x R ∃∈，200x x =．应选D ．【点睛】此题考察全称命题和特称命题的否认,属于根底题. 3.以下导数运算正确的选项是〔〕A. 211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B. (sin )cos x 'x =-C. (3)'3x x =D. 1(ln )x '=x【答案】D 【解析】【分析】根据导数的运算法那么和特殊函数的导数，逐一判断.【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴A 错；∵'(sin )cos x x =，∴B 错；∵'(3)3ln 3x x=，C 错；D 正确.【点睛】此题考察了导数的运算法那么以及特殊函数的导数. 4.函数()sin cos f x x x x =+，那么'()2f π的值是〔〕A.2πB. 1C. 1-D. 0【答案】D 【解析】【分析】求出()f x 的导函数，代入即得答案.【详解】根据题意，'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=，所以'()02f π=，应选D.【点睛】此题主要考察导函的四那么运算，比拟根底. 5.假设直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，那么该椭圆的HY 方程为A. 2215x y +=B. 22145x y +=C. 2215x y +=或者22145x y += D. 以上答案都不对【答案】C 【解析】【分析】首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可．【详解】直线与坐标轴的交点为(0,1),(2,0)-，〔1〕当焦点在x 轴上时，设椭圆的HY 方程为22221x ya b+=(0)a b >>那么22,1,5c b a ==∴=，所求椭圆的HY 方程为2215x y +=.〔2〕当焦点在y 轴上时，设椭圆的HY 方程为22221x yb a+=(0)a b >>22,1,5b c a ==∴=，所求椭圆的HY 方程为22154y x +=.故答案选C【点睛】此题考察椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在x 轴还是y 轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于根底题．6.直线y =1kx k -+与椭圆2294x y+=1的位置关系为〔〕 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得直线y =1kx k -+恒过定点()1,1，利用点()1,1在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交．【详解】由题意得直线1y -=()1k x -恒过定点()1,1，而点()1,1在椭圆2294x y +=1的内部，所以直线与椭圆相交.应选A ．【点睛】此题考察直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．7.函数()22ln f x x x =-的单调减区间是( )A. (]0,1B. [)1,+∞ C. (],1(0-∞-⋃，1] D. [)(]1,00,1-【答案】A 【解析】【详解】求解函数的导数可得()2'2f x x x =-，求22x x-<0，由x >0，解得1x <．所以x 的取值范围为(]0,1．应选A.8.假设抛物线y 2=2px 〔p >0〕的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，那么p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有一共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为〔1，0〕，椭圆焦点为〔±2，0〕，排除A ，同样可排除B ，C ，应选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，应选D ．【点睛】此题主要考察抛物线与椭圆的几何性质，浸透逻辑推理、运算才能素养． 9.函数()sin f x x x =-，[,]22x ππ∈-的最大值是〔〕 A.12π- B. πC. π-D. 12π-【答案】A 【解析】【分析】先对函数求导，确定函数在区间内的单调性，然后确定其最大值即可．【详解】因为()sin f x x x =-，所以()cos 1f x x '=-，易得当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递减，故当2x π=-时，()f x 取最大值，即()max sin 12222f x f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应选A ．【点睛】此题考察闭区间内函数最值问题，首先需要明白在闭区间内最值≠极值，其次是当()0f x '≤时()f x 不一定单调递减，反之，当()f x 单调递减时，一定有()0f x '≤．10.函数()(1)e xf x x =-有( )A. 最大值为1B. 最小值为1C. 最大值为eD. 最小值为e【答案】A 【解析】【分析】对函数进展求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.【详解】解:()e (1)e e x x xf x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴有最大值为(0)1f =，应选A.【点睛】此题考察了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.11.设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔〕A.12B.23C.34D.45【答案】C 【解析】试题分析：如以下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，那么有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质. 【此处有视频，请去附件查看】 12.设函数'()f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，那么使得()0f x >成立的x 的取值范围是〔〕 A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(0,1)-C. (,1)(1,0)-∞--D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()f x y x=,利用不等式'()()0xf x f x -<得单调性,再根据单调性可解得不等式的解集. 【详解】因为()f x 是奇函数且(1)0f -=,所以(1)(1)0f f =--=,令()f x y x =,那么2()()xf x f x y x '-'=, 因为0x >时, '()()0xf x f x -<,所以0y '<,所以函数()f x y x=在(0,)+∞上为减函数, 所以当0x >时, ()0f x >化为()(1)01f x f x >= ,所以01x <<,当0x <时,0x ->,所以()0f x >等价于()0f x -->等价于()0f x -<,可化为()(1)01f x f x -<=- , 所以x -1> ,所以1x <-, 应选:A【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性,利用单调性解不等式,此题的解题关键是构造出一个函数,能利用不等式判断单调性,并能根据单调性解不等式.属于中档题/ 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13.设:2p x >或者23x <；:2q x >或者1x <-，那么p ⌝是q ⌝的________条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】可先判断p 是q 的什么条件，根据原命题与逆否命题的关系即可得到答案.【详解】由题意，当q 成立时，可得p 是成立的，反之不成立，所以p 是q 必要不充分条件，从而p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，故答案是：p ⌝是q ⌝的充分不必要条件.【点睛】此题主要考察了充分不必要条件的断定，以及命题的关系，其中解答中熟记充要条件的断定方法，着重考察了推理与论证才能，属于根底题.14.()xf x xe ax =+在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，那么实数a 的值是_______．【答案】1 【解析】【分析】对函数进展求导，通过可以求出切线方程的斜率，然后把0x =代入导函数中，求出实数a 的值. 【详解】因为()xf x xe ax =+，所以()xxf x e xe a =++'，由题意有()002f e a '=+=，所以1a =.【点睛】此题考察了函数的导数的几何意义.15.设P 是椭圆221169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，假设12||.||12PF PF =，那么12F PF ∠的大小_____.【答案】60 【解析】【分析】1PF m =，2PF n =，利用椭圆的定义、结合余弦定理、条件，可得22122812282m n a mn m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪=+-∠⎩，解得121cos 2F PF ∠=，从而可得结果．【详解】椭圆221169x y +=，可得28a =，设1PF m =，2PF n =，可得2221228124282m n a mn c m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪==+-∠⎩，化简可得：121cos 2F PF ∠=， 1260F PF ∴∠=，故答案为60．【点睛】此题主要考察椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕2222cos a b c bc A =+-；〔2〕222cos 2b c a A bc+-=，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，那么FP FQ ⋅的最小值为________．【答案】3【解析】试题分析：. 由抛物线的定义知：为点到准线的间隔 ,易知,抛物线的顶点到准线的间隔最短,.考点：向量；抛物线的性质. 三、解答题 17.()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>，假设q 是p 的充分而不必要条件，务实数m 的取值范围．【答案】03m <≤ 【解析】【分析】先解不等式化简命题,p q ,再根据真子集关系列式可解得答案. 【详解】∵113x --≤2 , ∴p : －2≤x ≤10 , 又∵22210x x m -+-≤(0)m >,所以[(1)][(1)]0x m x m ---+≤ , 因为0m >,所以11m m -<+,∴:11q m x m -≤≤+,又∵q 是p 的充分而不必要条件,所以[1,1]m m -+ [2,10]-,所以21m -≤-且110m +≤ ,解得3m ≤,又0m >, 所以03m <≤.∴实数m 的取值范围03m <≤【点睛】此题考察了绝对值不等式,一元二次不等式的解法,根据充分而不必要条件求参数,属于根底题. 18.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足cos sin 0b A a B +=．〔1〕求角A 的大小；〔2〕22b c +=ABC ∆的面积为1，求边a ．【答案】〔1〕34π；〔2. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简cos sin 0b A a B +=即得A 的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】〔1〕∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B ＜π，∴sinB ≠0，∴cosA+sinA=0 ∵2A π≠，∴tanA=﹣1又0＜A ＜π ∴34A π= 〔2〕∵34A π=，S △ABC =1，∴112bcsinA =即：bc =又2b c +=由余弦定理得：2222222()(2a b c bccosA b c b c =+-=+=+--10bc =故：a =【点睛】此题考察正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考察计算才能．19.椭圆的中心在原点，焦点为12(F F -，且离心率2e =． ()1求椭圆的方程；()2求以点(2,1)P -为中点的弦所在的直线方程．【答案】〔1〕221164x y +=；〔2〕240x y --=. 【解析】【分析】〔1〕焦点为()()1223,0,23,0F F -，求得c 23=,根据离心率32e =，求得a 4=,可得b 2=,从而可得结果；〔2〕设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式；转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率，利用点斜式可得结果.【详解】()1设椭圆方程为，由，又，解得，所以，故所求方程为．()2由题知直线的斜率存在且不为，设直线与椭圆相交代入椭圆方程得作差得，即得所以直线方程的斜率．故直线方程是即．【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程. 求椭圆HY 方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的HY 方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法〞解决，往往会更简单.20.数列{}n a 满足121n n a a -=+〔*n N ∈，2n ≥〕，且11a =，1n n b a =+．〔1〕证明：数列{}n b 是等比数列；〔2〕求数列{}n nb 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕12(1)2n n T n +=+-⋅【解析】【分析】〔Ⅰ〕由条件可得()1121n n a a -+=+，即12n n b b -=可得结论；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕求得2n n b =，利用错位相减法求其前n 项和.【详解】〔Ⅰ〕证明：∵当2n ≥时，121n n a a -=+，∴()1112221n n n a a a --+=+=+． ∴12n n b b -=，1112b a =+=． ∴数列{}n b 是以2为首项，公比为2的等比数列．〔Ⅱ〕解：1122n n n b b -=⋅=∵()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ① ∴()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，②①-②：23411222222n n n T n +-=⨯+++++-⋅， ∴()11222221212n n n n T n n ++-⋅=-+⋅=+-⋅-．【点睛】此题主要考察了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.函数2()f x x xlnx =-．〔1〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔2〕假设2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，务实数k 的取值范围．【答案】〔1〕0x y -=；〔2〕1(,]2-∞.【解析】【分析】〔1〕对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；〔2〕令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】〔1〕()2f x x xlnx =-，()'21f x x lnx ∴=--，'f 〔1〕1=，又f 〔1〕1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；〔2〕令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，那么()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，那么()11'1x h x x x-=-=．当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >〔1〕0=；从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >〔1〕0=．即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >〔1〕12=．因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k ．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】此题考察利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.22.抛物线2y x =与直线l ：(-1)y k x =相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 . 〔1〕当k=1时,求OA OB ⋅的值；〔2〕假设OAB ∆的面积等于54，求直线l 的方程. 【答案】〔1〕0 〔2〕2320x y +-=或者2320x y --=【解析】【分析】〔1〕联立直线与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系求出A ，B 两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；〔2〕直接代入三角形面积公式求解即可.【详解】〔1〕设()211A y y ，，()222B y y ，由题意可知：k=1，∴1x y =+，联立y 2＝x 得：y 2-y ﹣1＝0显然：△＞0， ∴121211y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ∴OA OB ⋅=〔y 12〕〔y 22〕+y 1y 2＝〔﹣1〕2-1＝0，〔2〕联立直线l ： ()-1y k x =与y 2＝x 得ky 2-y ﹣k ＝0显然：△＞0， ∴121211y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪⋅=-⎩，∵S △OAB 12=⨯1×|y 1﹣y 2|54===，解得：k ＝±23，∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或者2x﹣3y+2＝0．【点睛】此题考察了直线和圆锥曲线的关系，考察了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高二数学上学期第二次月考试卷文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹上学期高二第二次月考文科数学本卷须知：1．2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．a ，b ，c ，d ∈R ，以下说法正确的选项是〔〕 A ．假设a b >，c d >，那么ac bd > B ．假设a b >，那么22ac bc > C ．假设0a b <<，那么11a b< D ．假设a b >，那么a c b c ->-2．各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，那么公比q =〔〕 A ．4B ．3C ．2D3．实数x ，y 满足36024023120x y x y x y --≤-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，那么z x y =-的最小值是〔〕A ．6-B ．4-C ．25-D ．04．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设π3C =，c =，3b a =，那么ABC △的面积为〔〕ABCD5．〔〕A ．0x ∃∈R ，20013x x +>的否认是：x ∀∈R ，213x x +< B ．ABC △中，假设A B >，那么cos cos A B > C ．假设p q ∨p q ∧p qD ．1ω=是函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π的充分不必要条件6．假设k ∈R 那么“5k >〞是“方程22152x y k k -=-+表示双曲线〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．数列{}n a 的通项公式1sin π12n n a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，前n 项和n S ，那么2017S =〔〕 A ．1232B ．3019C ．3025D ．43218．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和直线:143x yl +=，假设过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，那么椭圆C的离心率为〔〕 A ．45B ．35C ．34D ．159．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点，1210F F =，212PF F F ⊥，2163PF =，O 为坐标原点，那么OA OP ⋅=〔〕 A ．293-B ．163C ．15D ．15-10．点()0,2A ，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，假设FM MN=，那么p 的值等于〔〕 A ．18 B ．14C ．2D ．411．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，假设1245F MF ∠=︒，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A．y =B．y =C ．y x =±D ．2y x =±12．双曲线22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，O 为它的中心，P 为双曲线右支上的一点，12PF F △的内切圆圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于A 点，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，假设双曲线的离心率为e ，那么〔〕 A ．OB OA = B ．OB e OA = C ．OA e OB =D ．OB 与OA 关系不确定第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分． 13．数列{}n a 满足11a =-，()111n na n a +=∈-*N ，那么100a =_____________． 14．ABC △中，abc ，，分别为内角A B C ，，的对边，且cos cos 3cos a B b A c C +=，那么cos C =______．15．0c >:p 函数xy c =为减函数．:q 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()11f x x x c +>=恒成立．假设“p q ∨，“p q ∧c 的取值范围是________．16．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上的一点，那么ABP △的面积为______．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔10分〕:p “曲线222:128x y C m m +=+表示焦点在x :q “x ∀∈R ，20mx x m -+>p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．18．〔12分〕不等式2260kx x k -+<．〔1〕假设不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；〔2〕假设不等式的解集为R ，求k 的取值范围．19．〔12分〕数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，n ∈*N ．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 20．〔12分〕a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，向量()sin ,sin A B =m ，()cos ,cos B A =n 且sin2C ⋅=m n ．〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设sin sin 2sin A B C +=，且ABC △面积为c 的长．21．〔12分〕抛物线()2:20G y px p =>，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．〔1〕当直线l 的倾斜角为π4时，16AB =．求抛物线G 的方程；〔2〕对于〔1〕问中的抛物线G ，设定点()3,0N ，求证：2AB MN -为定值．22．〔12分〕1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点()()001,0P y y >在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F △的周长为6．〔1〕求椭圆的HY 方程；〔2〕E ，F 是椭圆C 上异于点P 的两个动点，假设直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．二零二零—二零二壹上学期高二第二次月考文科数学答案第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为21>，12->-，()()2112-=-，所以A 错；因为21>，222010⨯=⨯，所以B 错；因为21-<-，112->-，所以C 错；由不等式性质得假设a b >，那么a c b c ->-，所以D 对，应选D ． 2．【答案】C【解析】246564a a a ==，50a >，58a ∴=，352881a q a ∴===，2q =，应选C ． 3．【答案】B 【解析】作出不等式组所满足的平面区域如图阴影局部所示，其中1816,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()6,0B ，()0,4C ，作出直线y x =，平移直线l ，当其经过点C 时，z 有最小值，为4-．故答案为B ． 4．【答案】A【解析】由余弦定理得：2271cos 322πa b ab +-==，227a b ab ∴+-=，又3b a =，所以221073a a -=，1a ∴=，3b =，11333sin 132224ABC S ab C ∴==⨯⨯=△A ． 5．【答案】D【解析】0x ∃∈R ，20013x x +>的否认是：x ∀∈R ，213x x +≤，故A 错误； ABC △中，假设A B >，那么cos cos A B >在C 中，假设p q ∨p q ∧p 与q故C 错误；在D 中，()πsin cos 24f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴1ω=⇒函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π，函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π1ω⇒=±．∴1ω=是函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π的充分不必要条件，故D 正确．应选D ． 6．【答案】A【解析】假设5k >，那么50k ->，20k +>，所以方程22152x y k k -=-+表示双曲线，假设方程22152x y k k -=-+表示双曲线，那么()()520k k -+>，所以5k >或者2k <-，综上可知，“5k >〞是“方程22152x y k k -=-+表示双曲线〞的充分不必要条件，所以选A ．7．【答案】C【解析】当()4n k k =∈Z 时，1sin πsin 122πn +⎛⎫==⎪⎝⎭，当()41n k k =+∈Z 时，1sin πsin π02n +⎛⎫== ⎪⎝⎭，当()42n k k =+∈Z 时，13πsin πsin 122n +⎛⎫==-⎪⎝⎭，当()43n k k =+∈Z 时，1sin πsin 2π02n +⎛⎫==⎪⎝⎭，由此可得：()()20173π2018π1sin π12sin 13sin 2π12017sin 122S ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯++⨯+++⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21416181201412016120171=⨯-+⨯+⨯-+⨯++⨯-+⨯+⨯⎡⎤⎣⎦()2468102012201420162017=-+-+-++-++100820173025=+=，应选C ．8．【答案】A【解析】直线l 的斜率为34-，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以34b c =，又22222222325416b c a c c a c a ⎛⎫+=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭，所以45c e a ==，应选A ．9．【答案】D【解析】由题得22225163a b b a+==⎧⎪⎨⎪⎩，3a ∴=，4b =，所以双曲线的方程为221916x y -=，所以点P 的坐标为165,3⎛⎫⎪⎝⎭或者165,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()163,05,153OA OP ⎛⎫⋅=-⋅±=- ⎪⎝⎭．故答案为D ．10．【答案】C【解析】设,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，MK 是点M 到准线的间隔，点K 是垂足．由抛物线定义可得=MK MF ，因为55FM MN=，所以55MK MN =，那么:2:1KN KM =，即直线FA 的斜率是2-，所以20202p -=--，解得2p =．应选C ． 11．【答案】A 【解析】如图，作1OA F M ⊥于点A ，21F B F M ⊥于点B ．因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒，所以OA a =，22F B BM a ==，222F M a =，12F B b =．又点M 在双曲线上．所以1222222F M F M a b a a -=+-=．整理得2b a =．所以2ba=．所以双曲线的渐近线方程为2y x =±．应选A ． 12．【答案】A【解析】()1,0F c -、()2,0F c ，内切圆与x 轴的切点是点A ，∵122PF PF a =-，及圆的切线长定理知，122AF AF a =-，设内切圆的圆心横坐标为x ，那么|()()2x c c x a +--=，∴x a =，OA a =，在2PCF △中，由题意得，2F B PI ⊥于B ，延长交12F F 于点C ，利用2PCB PF B △≌△，可知2PC PF =， ∴在三角形12F CF 中，有：()()1112111122222OB CF PF PC PF PF a a ====⨯-=-．∴OB OA =．应选A ．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分． 13．【答案】1- 【解析】11a =-，211112a a ==-，32121a a ==-，43111a a ==--，，由以上可知，数列{}n a 是一个循环数列，每三个一循环，所以10011a a ==-．14．【答案】13【解析】cos cos 3cos a B b A c C +=，∴利用余弦定理可得2222222223222a c b b c a a b c a b c ac bc ab +-+-+-⨯+⨯=⨯，整理可得：22223ab a b c +-=，∴由余弦定理可得：22221cos 2323a b c ab C ab ab +-===⋅，故答案为13．15．【答案】[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【解析】:p 函数x y c =为减函数为真，那么01c <<；:q 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()11f x x x c +>=恒为真，那么12c >，那么1,2c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为p q ∨p q ∧p ，q 中一真一假，假设p 真q 假时，那么10,2c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，假设p 假q 真时，那么[)1,c ∈+∞，所以实数c 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦．16．【答案】36【解析】设抛物线的解析式()220y px p =>，那么焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2px =-，直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，又AB x ⊥轴，212AB p ∴==，6p ∴=，又点P 在准线上，设过点P 的垂线与AB 交于点D ，622p pDP p ∴=+-==， 116123622ABP S DP AB ∴=⋅⋅=⨯⨯=△．故答案为36．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．【答案】()14,2,42⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【解析】p 真2280m m ⇔>+>，解得42m -<<-或者4m >， q 真20140m Δm >⎧⇔⎨=-<⎩，解得12m >． p q ∨为真，p q ∧为假，∴那么p 和q 一真一假，当p 真q 假时，42412m m m -<<⎧-≤⎪>⎪⎨⎩或，解得42m -<<-；当p 假q 真时，42412m m m ≤--≤>⎪≤⎧⎪⎨⎩或，解得142m <≤，综上所述，m 的取值范围是()14,2,42⎛⎤-- ⎥⎝⎦．18．【答案】〔1〕25k =-；〔2〕66k <．【解析】〔1〕不等式2260kx x k -+<的解集是{}32x x x <->-或， ∴方程2260kx x k -+=的两个根为3-，2-，()2325k ∴=-+-=-，25k ∴=-．〔2〕①0k =时，显然不满足题意，②0k ≠时，204240k Δk <⎧∴⎨=-<⎩，解得66k <，综上66k <． 19．【答案】〔1〕见解析；〔2〕()612023n n T n -=+．【解析】〔1〕当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=+，对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为41212n n a n n n =⎧=⎨+≥∈⎩*N ，．〔2〕当1n =时，1120T =，当2n ≥时，()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1111111120257792123n T n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪++⎝⎭()11612010152023n n n n --=+=++，又1n =时，1120T =符合上式，所以()()612023n n T n n -=∈+*N ． 20．【答案】〔1〕60C =︒；〔2〕6c =．【解析】〔1〕因为()sin cos sin cos sin sin2A B B A A B C ⋅=+=+=m n ，在三角形ABC 中有()sin sin A B C +=，从而有sin 2sin cos C C C =，即1cos 2C =，那么60C =︒．〔2〕由sin sin 2sin A B C +=，结合正弦定理知2a b c +=，又11sin 22S ab C ab ===36ab =，根据余弦定理可知：()222222cos 34108c a b ab C a b ab c =+-=+-=-，解得6c =． 21．【答案】〔1〕28y x =；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由222y pxp y x ==-⎧⎪⎨⎪⎩得：22304p x px -+=，所以123x x p +=．又由1216AB x x p =++=，所以4p =，所以抛物线G 的方程为28y x =．〔2〕由〔1〕抛物线G 的方程为28y x =，此时设:2AB ty x =-，消去x 得28160y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么128y y t +=，1216y y =-，所以()()212124881AB x x t y y t =++=++=+， ()2122422M tx y y t =++=+，4M y t =，即()242,4M t t +，所以()()()222281812416AB MN t t t -=+-=+-+=．22．【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕12．【解析】〔1〕由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =， 12PF F △的周长为6，122226PF PF c a c ∴++=+=，2a∴=，b =，∴椭圆的HY 方程为22143x y +=．〔2〕由〔1〕知31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线PE 方程：()312y k x =-+，联立22341232x y y kx k +=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩，消y 得()()22233443241202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，设(),E E E x y ，(),F F F x y ，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，2234122134E k x k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴⋅=+，22412334E k k x k --∴=+，32E Ey kx k =+-，又直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，22412334F k k x k +-∴=+，32F Fy kx k =-++， ()()222862213424234F E F E EFF E F E k k kk x x k y y k k k x x x x k --⋅+-++-+∴====--+，即直线EF 错误!未定义书签。

高二数学上学期第二次月考试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校如东高级二零二零—二零二壹高二数学上学期第二次月考试题〔含解析〕一、填空题2.一组数据3，6，9，8，4，那么该组数据的方差是________．3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图〔如下列图〕，那么月收入在[2000，3500〕范围内的人数为________．4.假设是不等式成立的充分不必要条件,那么实数的范围是________.5.运行如下列图的伪代码，其结果为________．6.双曲线的离心率为，那么C的渐近线方程为________．7.为调查某高校学生对“一带一路〞的理解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．假设其他年级一共有学生3000人，那么该校学生总人数是________．8.正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，那么此六棱锥的体积为________．9.假设椭圆的离心率，那么k的值是________.10.是直线，，那么；②假设，那么；③假设内不一共线的三点到的间隔都相等，那么；④假设，且，那么；⑤假设为异面直线，，那么11.抛物线上的点到焦点的间隔为5，那么的值是________．12.如图,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，那么鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的间隔为________．13.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，假设点为线段上的动点，那么的最小值为________．14.设椭圆：的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，那么椭圆离心率的取值范围是________．二、解答题:实数满足，其中实数满足．〔1〕假设，且为真，务实数的取值范围；〔2〕假设是的充分不必要条件，务实数的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且〔1〕求证：平面平面；〔2〕求证：∥平面.17.菱形的边长为2，，四边形是矩形，且平面，．〔1〕求证：平面；〔2〕设中点为，求证平面．18.椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.〔1〕求的值；〔2〕假设椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.19.某决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如下列图，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境.〔1〕假设的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路平安，要求椭圆上任意一点到道路EF的间隔都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆()的面积为)〔2〕假设椭圆的离心率为，要求灯光区的周长不小于，求PG的取值范围.20.椭圆C：，圆Q〔x﹣2〕2+〔y﹣〕2=2的圆心Q在椭圆C上，点P〔0，〕到椭圆C的右焦点的间隔为．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点P作互相垂直的两条直线l1.l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M 为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．答案解析局部一、填空题1.【答案】假2.【答案】【考点】极差、方差与HY差【解析】【解答】平均值为，所以方差为.【分析】求出平均数，结合方差的计算公式，即可得到该组数据的方差.3.【答案】700【考点】频率分布直方图【解析】【解答】内的频率为，故人数为人.【分析】根据频率分布直方图求出相应的频率，即可得到人数.4.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】不等式可转化为，解得，由于是的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到. 【分析】通过解不等式，结合充分必要条件，得到集合间的关系，即可求出实数m的取值范围.5.【答案】【考点】伪代码【解析】【解答】伪代码用于计算.故结果为.【分析】根据未打码语句，依次计算，即可得到相应的结果.6.【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：因为双曲线C：的离心率为，所以，那么C的渐近线方程为【分析】根据双曲线的离心率确定a，b和c的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.7.【答案】7500【考点】分层抽样方法【解析】【解答】设总人数为，那么分层抽取比例为，而大一，大二一共抽取300人，且大一，大二的总人数为，所以得【分析】设出总人数，根据分层抽取比例，即可确定该校学生总人数.8.【答案】12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】由己知正六棱锥的高为，底面面积为，所以.【分析】根据正六棱锥的几何特征，求出底面积和高，即可得到几何体的体积.9.【答案】0或者【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由题意得：，即或者，【分析】根据椭圆的HY方程，表示离心率，解方程，即可求出k的值.10.【答案】②⑤【考点】平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】对于①，由于可能相交，故①错误.对于②，由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故②正确.③如以下列图所示，三个点不一共线，它们到的间隔都相等，当时两个平面相交，故③错误.对于④，由于【分析】根据空间平面与平面的位置关系，逐一判断即可.11.【答案】【考点】抛物线的定义【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，故，所以抛物线方程为，当时，.【分析】根据抛物线的定义，求出p，得到抛物线的方程，代入即可求出m的值.12.【答案】【考点】简单组合体的构造特征【解析】【解答】根据球的体积公式，有.题目所给图中，虚线的小正方形的边长为，其一半为，四个等腰直角三角形斜边上的高为.画出截面图形如以下列图所示，其中，故.所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的间隔为.【分析】根据球的体积求出半径，作出截面图形，结合平面图形的特点，即可求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的间隔.13.【答案】【考点】棱柱的构造特征【解析】【解答】作出关于直线的对称点，过作的垂线，交于，交与，过作，交于，连接.画出图像如以下列图所示，由于，故为最短的间隔.在三角形中，设，那么，而，故，所以，所以.【分析】根据几何体的构造特征，结合余弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，即可求出相应的最小值.14.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】【解答】解：∵点Q〔c，〕在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c,，，那么椭圆离心率的取值范围是．故答案为：【分析】根据点在椭圆内部，确定a和b的大小关系，结合椭圆的定义，即可求出离心率的取值范围。

高二年级上学期第二次月考数学试题解析版

试题解析：（1）∵ ，
∴ 的最小正周期 .
当时，；当时， .
（2）由（1）知，
∴ ∴ 是偶函数.
考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质；3、函数的奇偶性.
18.已知圆经过三点，， .
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点且被圆截得弦长为的直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）和 .
所以数列{bn}的前n项和 .
【点睛】本题考查通过基本量求等差数列的通项公式，分组求和法求数列前项的和，属于中档题.
.
21.已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是线段上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于，点，使得？并说明理由
【解析】
【分析】
本题首先可以令，此时，单调递增区间为，然后令，此时，无增区间，即可得出结果.
【详解】由题意可知，，
当时，，单调递增区间为；
当时，，此时函数恒为减函数，
综上所述，函数的单调递增区间为，
故答案为： .
【点睛】本题考查函数单调区间的求法，主要考查去绝对值以及二次函数的相关性质，考查化归与转化思想，考查推理能力，是简单题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．
由，解得A(2,0)；
由，解得B( ，3)．
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3× －3＝－ .

高二数学上学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校甘谷一中2021--2021第一学期高二年第二次月考数学〔理科〕试卷〔测试时间是：120分钟总分值是150分〕一、选择题〔每一小题5分，一共12小题，总分值是60分〕 1.tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的选项是〔〕A.p x R ⌝∃∈：，使tan 1x ≠B.p x R ⌝∃∉：，使tan 1x≠C.p x R ⌝∀∉：，使tan 1x ≠D.p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠【答案】D 【解析】【分析】【详解】tan 1p x R x ∃∈=：，使所以p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠. 应选D. 【点睛】.2.假设抛物线的准线方程为1x =，焦点坐标为(1,0)-，那么抛物线的方程是〔〕 A.22y x =B.22y x =-C.24y x=D.24y x =-【答案】D 【解析】根据题意，可设抛物线的方程为22(0)y px p =->，因为其准线方程为1x =，焦点坐标为(1,0)-，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =-，应选D ．3.“a>1”是“<1”的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4.△ABC 的三个顶点为A 〔3，3，2〕，B 〔4，－3，7〕，C 〔0，5，1〕，那么BC 边上的中线长为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】试题分析：由中△ABC 的三个顶点为A 〔3，3，2〕，B 〔4，-3，7〕，C 〔0，5，1〕，利用中点公式，求出BC 边上中点D 的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B〔4，-3，7〕，C 〔0，5，1〕，那么BC 的中点D的坐标为〔2，1，4〕那么AD即为△ABC中BC边上的中线222(32)(31)(42)3AD =-+-+-=应选B.考点：空间中两点之间的间隔点评：此题考察的知识点是空间中两点之间的间隔，其中根据条件求出BC 边上中点的坐标，是解答此题的关键．假设向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不一共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定一共面；③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-〕 A.①② B.①③C.②③D.①②③【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①【详解】解：①假设向量a b ，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a b ，的关系是不一共线；所以不正确．反例：假设有一个向量a b ，为零向量，一共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OAOB OC ，，不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定一共面；这是正确的．③向量a b c ，，是空间的一个基底，那么向量a b a b c +-，，，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不一共线，正确．应选C ．【点睛】此题考察一共线向量与一共面向量，考察学生分析问题，解决问题的才能，是根底题． 6.如下列图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．假设AB a =，AD b =，1AA c=，那么以下向量中与BM 相等的向量是〔〕 A.1122-++a b c B.1122++a b c C.1122--+a b cD.1122-+a b c 【答案】A【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把BM 用的一组基底表示. 【详解】1111()2BMBB B M AA AD AB =+=+-111()222c b a a b c =+-=-++.【点睛】此题考察了空间向量用一组基底进展表示.7.△ABC 的周长为20，且顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕，那么顶点A 的轨迹方程是〔〕A.2213620x y +=〔x≠0〕 B.2212036x y +=〔x≠0〕 C.221620x y +=〔x≠0〕D.221206x y +=〔x≠0〕【答案】B 【解析】【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A 到两个定点的间隔之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【详解】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕， ∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12， ∵12＞8∴点A 到两个定点的间隔之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a ＝6，c ＝4 ∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠【点睛】此题考察椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，此题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 8.过抛物线2y4x =的焦点作直线交抛物线于()()1122A x ,y B x ,y 两点，假设12x x 6+=，那么AB (=)A.6B.8C.9D.10【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为12AB x x p =++．【详解】抛物线24y x =中，2p =，∴12628AB x x p =++=+=，应选B ．【点睛】AB 是抛物线的焦点弦，1122(,),(,)A x y B x y ，0p >，抛物线22y px =的焦点弦长为12AB x x p =++，抛物线22y px =-的焦点弦长为12()AB x x p =-++，抛物线22x py =的焦点弦长为12AB y y p =++，抛物线22x py =-的焦点弦长为12()AB y y p =-++．9.假设直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()22221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得3-＜k ＜－1. 答案：D.【点睛】此题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 10.试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的间隔与到()A 2,1-的间隔之和最小，那么该点坐标为()A.1,14⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,14⎛⎫⎪⎝⎭C.(2,--D.(2,-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =．过点P 作PMl ⊥于点M ，由定义可得PM PF =,所以PA PF PA PM+=+，由图形可得，当,,P A M 三点一共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的间隔与点到直线的间隔的转化．(1)将抛物线上的点到准线的间隔转化为该点到焦点的间隔，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解； (2)将抛物线上的点到焦点的间隔转化为点到准线的间隔，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短〞解决．11.在长方体1111ABCD A B C D -中，假设AB BC 1==，1AA 2=，那么A 到直线1A C 的间隔为()A.263B.362C.233D.63【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：连接1A C ，AC ，过A 作1AE A C ⊥，根据长方体得性质可得：1A C ⊥平面ABCD ，即可得到AC 2=，1A C 6=，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接1A C ，AC ，过A 作1AE A C ⊥，如下列图：根据长方体得性质可得：1A A ⊥平面ABCD ．因为AB BC 1==，1AA 2=，所以AC =1A C =根据等面积可得：11A A AC AEA C ⋅==．应选C ．【点睛】此题主要考察了点、线、面间的间隔计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于根底题．.12.点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，假设△2ABF 为正三角形，那么该椭圆的离心率e 为()A.12B.2C.13D.3【答案】D 【解析】【分析】由椭圆的对称性得到2130AF F ︒∠=，结合21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩化简即可求解.【详解】由椭圆对称性质，可知12F F 平分角2AF B ，那么2130AF F ︒∠=，由于122F F c=且122AF AF a +=代入到21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩，可求得123AF AF c e a ===⎧⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩．故此题正确答案为D ．【点睛】此题主要考察了椭圆离心率的求法，属于中档题. 二、填空题〔每一小题5分，一共4小题，总分值是20分〕13.A 〔1，－2，11〕、B 〔4，2，3〕、C 〔x ，y ，15〕三点一共线，那么xy=___________. 【答案】2．【解析】试题分析：由三点一共线得向量AB 与AC 一共线，即AB k AC =，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．考点：空间三点一共线．14.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=，那么该双曲线的离心率为___________. 【答案】54【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=所以34b a =,∴54c a == 故答案为54点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或者不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.假设椭圆221369x y +=的弦被点〔4，2〕平分，那么这条弦所在的直线方程是________【答案】y=-0.5x+4【解析】【详解】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+.16.②在ABC ∆中，“60B ∠=︒〞是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列〞的充要条件.③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或者x >2”3≤x ≤2，那么x 2＋x －6≤0” 以上说法中，判断错误的有___________. 【答案】③ 【解析】【分析】 . 【详解】对于②，因为在ABC ∆中，“60B ∠=︒〞的充要条件为“120A C ∠+∠=︒〞，即“2BA C ∠=∠+∠〞,即“,,ABC ∠∠∠三个角成等差数列〞，故②正确；对于③，由32x y xy +>⎧⎨>⎩，不妨取31x y =⎧⎨=⎩，不能推出12x y >⎧⎨>⎩，即12x y >⎧⎨>⎩不是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件，即③错误；“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或者x >2”3≤x ≤2，那么x 2＋x －6≤0”，即④正确，综上：以上说法中，判断错误的有③，故答案为：③.【点睛】.三、解答题〔一共6小题，总分值是70分〕17.2:10p x mx ++=2:44(2)10q x m x +-+=无实根，假设p p ∧为假，p q ∨为真，务实数m 的取值范围.【答案】(1,2]【解析】【分析】p 和q 的真假性，逐个判断.【详解】因为p p ∧假，并且p q ∨为真，故p 假，而q 真即210x mx ++=不存在两个不等的负根，且244(2)10x m x +-+=无实根.所以216(2)160m ∆=--<，即13m <<，当12m <≤时，210x mx ++=不存在两个不等的负根，当23m <<时，210x mx ++=存在两个不等的负根. 所以m 的取值范围是(1,2]【点睛】此题考察了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于根底题.【此处有视频，请去附件查看】18.椭圆C 的两焦点分别为()()12F F -、，长轴长为6．⑴求椭圆C 的HY 方程;⑵过点〔0，2〕且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度．【答案】〔1〕22191x y +=；〔2 【解析】【分析】(1)由焦点坐标可求c 值，a 值，然后可求出b 的值．进而求出椭圆C 的HY 方程．〔2〕先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．【详解】解：⑴由()()12F F -、，长轴长为6得：3c a ==所以1b = ∴椭圆方程为22191x y += ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①, ∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= 所以12121827,510x x x x +=-=又5AB == 【点睛】此题考察椭圆的方程和性质，考察韦达定理及弦长公式的应用，考察运算才能，属于中档题．19.如图，三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且OA 1=，OB OC 2==，E 是OC 的中点．()1求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；()2求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．【答案】〔1〕25；〔2 【解析】【分析】()1以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；()2求出平面ABC 的法向量和BE ，利用向量法能求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值【详解】解：〔1〕以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．那么有A 〔0，0，1〕、B 〔2，0，0〕、C 〔0，2，0〕、E 〔0，1，0〕∴()210EB =-，，，()021AC =-，， ∴COS 25EB AC ==-＜＜，＞＞所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25 〔2〕设平面ABC 的法向量为()1n x y z =，，那么1n AB ⊥知120n AB x z ⋅=-=1n AC ⊥知120n AC y z ⋅=-=取()1112n =，，，那么130sin EB n =＜，＞故BE 和平面ABC 20.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．〔1假设直线l 过点T 〔3，0〕，那么OA OB ⋅＝3”〔2〕写出〔1【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.【解析】【分析】〔1〕直线方程与抛物线方程联立，消去x 后利用韦达定理判断2121212121()4OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+的值是否为3 〔2.【详解】〔1〕证明：设过点(,)30T 的直线l 交抛物线22y x =于点1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l 与抛物线相交于(3,A B ，所以963OA OB ⋅=-=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠， 22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2260ky y k --=，那么126y y =-，又因为22112211,22x y x y ==，所以212121212136()6344OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=，假设直线l 过点T 〔3，0〕，那么OA OB ⋅＝3”〔2l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，假设OA OB ⋅＝3，那么该直线过点2(1)3y x =+ 例如：取抛物线上的点1(2,2),(,1)2A B ，此时OA OB ⋅＝3，直线AB 的方程为2(1)3y x =+，而T 〔3，0〕不在直线AB 上.【点睛】.21.如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =〔1〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔2〕求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】〔1〕证明见解析〔2〕2【解析】【分析】〔1〕建立空间直角坐标系，再利用向量的数量积运算，证明线线垂直，从而证明线面垂直；〔2〕建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用数量积求向量的夹角即可得解.【详解】解：〔1〕建立如下列图的直角坐标系，那么A 〔0，0，0〕、D 〔0，2，0〕、P 〔0，0，2〕.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2.∴B 〔2，0，0〕、C 〔2，2，0〕，∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .〔2〕由〔1〕得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，那么110,0n PD C n D ==⋅⋅，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =, ∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP =为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为，依题意可得1112cos 22n APn AP θ⋅===⋅，故二面角P —CD —B 2 【点睛】此题考察了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角的余弦值，重点考察了运算才能，属中档题.22.如下列图，1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，,A B 为两个顶点，椭圆C 上的点3(1,)2到1F 、2F 两点的间隔之和为4. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程和焦点坐标；〔Ⅱ〕过椭圆C 的焦点2F 作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求1F PQ 的面积.【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=，12(1,0),(1,0)F F -；〔Ⅱ〕2. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的间隔之和为4,得2a =，椭圆方程为22214x y b+=，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得，23b =，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；〔Ⅱ〕根据题意得到PQ 20y -+=，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出PQ ,11212 2F PQ F F Q F F P P Q S S S y y =+=-=. 试题解析：〔Ⅰ〕由椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的间隔之和为4,得24,2a a ==，椭圆方程为22214x y b +=，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得，23b =，从而可得椭圆的方程为22143x y +=，从而可得焦点坐标为()()121,0,1,0F F -. 〔Ⅱ〕1121212121122F PQ F F Q F F P P Q P Q P Q S S S F F y F F y y y y y =+=⋅+⋅=+=-将PQ l 与C 联立，消去x ，得2890y +-=1F PQ P Q S y y =-==。

山东省新泰市2023_2024学年高二数学上学期第二次月考试题含解析

2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.42.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-3.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +-D.2132a b c +- 4.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左支交于A ，B 两点，且112AF F B =，290ABF ∠=︒，则C 的渐近线为（）A.223y x =±B.324y x =±C.62y x =±D.102y x =±5.在数列{}n a 中，1210,8a a ==，且()*1122,n n n a a a n n +-+=≥∈N ，则数列{}na 的前15项和为（）A.84B.102C.120D.1386.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.67.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且2022202310a a -<<，则使0n S >成立的正整数n 的最小值为（）A.2022B.2023C.4043D.40448.已知圆:C 224410x y x y +---=，AB 是圆C 上的一条动弦，且AB =，O 为坐标原点，则+OA OB 的最小值为（）A.2- B.1- C. D.二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+B.圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为C.两圆有两条公切线D.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF 310.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535a =B.535S =C.11n n a a n +-=+ D.不存在正整数2m >，使得m a 为质数11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B.若G 为正方形，则G 的边长为C.若P 是直线l ：230x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-D.若H 是椭圆C 蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.14.已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．15.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.16.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过仿射变换x x a y y b =⎧'='⎪⎨⎪⎩，则椭圆变为了圆222x y a ''+=，并且变换过程有如下对应关系：①点()0,Px y 变为00,a P x y b⎛⎫' ⎪⎝⎭；②直线斜率k 变为a k k b '=，对应直线的斜率比不变；③图形面积S 变为aS S b'=，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆2214x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作一直线与椭圆相交于C 两点,A B ，则AOB 的面积的最大值为______．四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2230n S n n =-：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值.18.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．19.已知圆O ：224x y +=及点()4,0M ，动点P 在圆O 上运动，线段MP 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点3,22⎛⎫-⎪⎝⎭作直线l 与Q 的轨迹交于A ，B两点，满足AB =l 的方程．20.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，AB =，PA PD ==PB =（1）证明：PD OB ⊥；（2）试判断线段PC 上是否存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为277，若存在求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.22.如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQ MD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，所以抛物线的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，所以焦点到准线的距离为14.故选：C.2.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.3.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.2132a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．【详解】因为2OM MA =，点N 为BC 中点，所以13MA OA = ，12BN BC =，故1132MN MA AB BN OA OB OA BC=++=+-+ ()()11213232a b a OC OB a b c b =+-+-=-++- 211322a b c =-++．故选：B ．4.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左支交于A ，B 两点，且112AF F B =，290ABF ∠=︒，则C 的渐近线为（）A.223y x =±B.324y x =±C.62y x =±D.102y x =±【答案】A 【解析】【分析】由题意设1BF x =，则12AF x =，根据双曲线定义可得222AF a x =+，22BF a x =+，在2ABF △，12BF F △中分别利用勾股定理可求得答案.【详解】如图．设1BF x =，12AF x =，则222AF a x =+，22BF a x =+，在2ABF △中由勾股定理：()()()2223222x a x a x ++=+，解得：23x a =，在12BF F △中，由勾股定理：222222433a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：22179c a =，所以2289b a =，所以渐近线方程为：3y x =±.故选：A ．5.在数列{}n a 中，1210,8a a ==，且()*1122,n n n a a a n n +-+=≥∈N ，则数列{}na 的前15项和为（）A.84B.102C.120D.138【答案】C 【解析】【分析】先利用等差中项判断数列为等差数列，然后利用通项公式基本量的运算求出通项，利用求和公式求出和，然后分组求和即可求解.【详解】因为()*1122,Nn n n a a a n n +-+=≥∈，所以{}na 是等差数列，又1210,8a a ==，所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=-，所以()11122n a a d n n =+-=-，所以{}n a 单调递减，且60a =，所以{}n a 的前n 项和()210122112n n n S n n +-==-，所以数列{}n a 的前15项和为()()1231512678151562120a a a a a a a a a a S S ++++=++++----=-+= .故选：C6.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】求出上焦点1F F1的坐标，由双曲线的定义可得1122PF PA a PF PA a AF +=++≥+，从而求得12a AF +的值，推出结果．【详解】解：∵F 是双曲线221412y x -=的下焦点，∴2,a b ==，c ＝4，F （0，−4），上焦点为1F （0，4），由双曲线的定义可得112249PF PA a PF PA a AF +=++≥+=+=，当A ，P ，H 三点共线时，PF PA +取得最小值9．故选：A ．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．7.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且2022202310a a -<<，则使0n S >成立的正整数n 的最小值为（）A.2022 B.2023C.4043D.4044【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析出20220a <、20230a >、202220230a a +>等，利用等差数列的前n 项和公式()12n n n a a S +=分析出结果.【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，所以等差数列{}n a 的公差0d >，因为202220230a a <，所以20220a <，20230a >，所以202220232022410a a a a a <<<<<<< ，又因为202220231a a >-，所以2022202310a a +>，即2022202320230a a a +>，故202220230a a +>，所以()1404320224043404340432022a a a S +⨯==<，()()1404420222023404440444044022a a a a S ++==>，当4043n ≤时，0nS <；当4044n ≥时，0n S >；故使0n S >成立的正整数n 的最小值为4044.故选：D.8.已知圆:C 224410x y x y +---=，AB 是圆C 上的一条动弦，且AB =，O 为坐标原点，则+OA OB 的最小值为（）A.2-B.1- C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦AB 的中点为H ，则2OA OB OH +=，由弦AB 的值求出1CH =，即可得到点H 在以C 为圆心，1为半径的圆上，从而求出OH 的最小值，即可得解.【详解】圆:C 224410x y x y +---=，即()()22229x y -+-=，圆心()2,2C ，半径3r =,设弦AB 的中点为H ，则CH AB ⊥,2OA OB OH +=，且AB =，所以1CH ==，所以点H 在以C 为圆心，1为半径的圆上，所以11OH OC ≥-=，所以+OA OB 的最小值为2.故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+B.圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为2C.两圆有两条公切线D.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF 53【答案】BCD 【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C ；两圆作差得公共线直线方程，由此判断A ；求出圆心到直线AB 的距离，从而得到2R d -<，进而判断B ；EF 的最大值为OM 加上两圆半径，由此判断D.【详解】对于C ，因为圆22:4O x y +=，所以圆心()0,0O ，半径为2R =，因为圆22:4240M x y x y +-+=+，可化为()()22211x y ++-=，所以圆心()2,1M -，半径为1r =，则21521OM -<=<+，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C 正确；对于A ，两圆作差得4244x y -+=-，即24y x =+，所以公共弦所在的直线方程为24y x =+，故A 错误；对于B ，圆心()0,0O 到直线20x y ++=的距离为d ==则2R d -=<，所以圆O 上有2个点到直线20x y ++=的距离为，故B 正确；对于D ，max ||213EF OM =++=，故D 正确．故选：BCD ．10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535a =B.535S =C.11n n a a n +-=+ D.不存在正整数2m >，使得m a 为质数【答案】BCD 【解析】【分析】根据每层的球的个数可得1n n a a n --=，利用累加法求得(1)2n n n a +=，即可求得55,a S 的值，判断A ，B ；根据1n n a a n --=，可判断C ；根据(1)2n n n a +=，结合数的奇偶性，可判断D.【详解】依题意因为1213211,2,3,n n a a a a a a a n -=-=-=-=，，以上n 个式子累加可得︰(1)123,(2)2n n n a n n +=++++=≥ ,又11a =满足上式，所以(1)2n n n a +=,故556152a ⨯==，故A 错误；因123451,3,6,10,15a a a a a =====，所以512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故B 正确；因为1n n a a n --=，所以11n n a a n +-=+，故C 正确；因为(1)2n n n a +=，故当2m >且为整数时，(1)2m m m a +=，此时(1)m m +必为偶数，则(1)2m m +为整数，且为合数，则不存在正整数2m >，使得m a 为质数，D 正确，故选：BCD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，假设在线段BD 上存在点M ，设BM BD λ=，01λ≤≤，利用坐标法验证线面垂直，可判断C 选项；分别证明EFG 与1A B 上的所有点到平面EFG 的距离为定值，即可判断D 选项.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()0,2,1E ，()1,0,2F ，()2,1,0H ，()1,2,0G ，设AH xAE y AF z AG =++，则()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++，所以222120y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11232x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故1x y z ++=，即E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；因为()2,2,0BD =-uu u r，()1,2,1EF =- ，所以cos ,2BD EF BD EF BD EF⋅==⋅ ，所以BD 与EF 所成角的大小为6π，故B 错误；假设在线段BD 上存在点M ，符合题意，设BM BD λ=（01λ≤≤），则()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=- ，若MC 1⊥平面EFG ，则10MC EF ⋅= ，10MC EG ⋅=,因为()1,2,1EF =- ，()1,0,1EG =-，所以24420220λλλ-++=⎧⎨-=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点M ，使得MC 1⊥平面EFG ，故C 错误；因为()12,0,22A B EG =-=，所以1//A B EG ，又1⊄A B 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以1//A B 平面EFG ，故1A B 上的所有点到平面EFG 的距离即为B 到平面EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确；故选：AD.12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B.若G 为正方形，则G 的边长为C.若P 是直线l ：230x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-D.若H 是椭圆C 蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18【答案】ABC 【解析】【分析】A 3==，得到蒙日圆方程；B 选项，设出边长，得到方程，求出答案；C 选项，直线l ：230x y +-=与229x y +=的交点即为所求P 点，联立后得到P 点坐标，得到斜率；D 选项，2236HP HQ +=，由基本不等式求出最值.【详解】A选项，3==，故椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=，A 正确；B 选项，由题意，G 为圆229x y +=的内接矩形，若G 为正方形，设G 的边长为t ，则2226t t +=，解得t =B 正确；C 选项，由题意得，直线l ：230x y +-=与229x y +=的交点即为所求P 点，则222309x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或95125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()3,0P 或912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故00030OP k -==-或12459305OP k -==---，C 正确.D 选项，由对称性可知，四边形BQHP 为矩形，其中PQ为对角线，且2236HP HQ +=，故()2211924HPQ S HP HQ HP HQ =⋅≤+= ，当且仅当HP HQ =时等号成立，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解蒙日圆的定义与性质，从而得解.三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角形面积公式，即可求出点()4,4P ，然后抛物线定义，求出PF 长度，根据等面积法即可求出.【详解】()1,0F ，设()24,4P t t ，因为1422OFP S OF t =⋅= ，所以1t =，不妨取()4,4P ，则5PF =,122OFPS PF h =⋅= ,则45h =，故O 到PF 距离为45.故答案为：4514.已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．【答案】115【解析】【详解】分析：由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-=则1112,n na a +-=由此可求出n a ，即可得到8a 详解：由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-=则1112,n n a a +-=则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()8111121,,.2115n n n a a a n =+-∴=∴=-即答案为115.点睛：!本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.【答案】63【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得124223MF MO MF a ===，进而利用余弦定理列式求解.【详解】因为12222232MF MF MF MF MF a +=+==，所以124223MF MO MF a ===，因为1F OM ∠与2F OM ∠互补，且1212222F F OF OF c ===，由余弦定理可得2222224164499990222233c a a c a a c a c a+-+-+=⨯⨯⨯⨯，可得2223c a =，所以3e ==.故选：C．16.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过仿射变换x xa y yb =⎧'='⎪⎨⎪⎩，则椭圆变为了圆222x y a ''+=，并且变换过程有如下对应关系：①点()0,Px y 变为00,a P x y b⎛⎫' ⎪⎝⎭；②直线斜率k 变为a k k b '=，对应直线的斜率比不变；③图形面积S 变为aS S b'=，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆2214x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作一直线与椭圆相交于C 两点,A B ，则AOB 的面积的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及P '点坐标，求得A O B '''V 的面积最大值，结合定义即可求出AOB 的面积的最大值.【详解】2214x y +=，2a =，1b =，有仿射变换2x x y y =⎧⎨=''⎩，椭圆方程变换为：224x y ''+=，11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭变换为()1,1P '，如图所示：所以：222221424222A OB d d S r d d d d '''-+'=⨯-=-≤=而：2AO B AOB S S ''''=△，所以：1AOB S ≤△，即AOB 的最大面积为1．故答案为：1.四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2230n S n n =-：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值.【答案】（1）432n a n =-，{}n a 是等差数列（2）最小值112-，7n =【解析】【分析】（1）根据1n n n a S S -=-计算，然后验证即可；（2）结合二次函数性质求解n S 取得最小值时n 的值.【小问1详解】当1n =时，有11a S ==203028-=-.当2n ≥时，有2212302(1)30(1)n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----=⎣⎦432n -.又因为413228⨯-=-，所以1n =时432n a n =-也成立，因此数列的通项公式为：432n a n =-.因为14(1)32(432)4n n a a n n +-=+---=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】（方法一）因为()22215225230215222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小，最小值是227307112⨯-⨯=-.（方法二）由432n a n =-可知数列{}n a 是递增的等差数列，而且首项1280a =-<.令0n a ≤，可得4320n -≤，解得8n ≤，而且8a =0.由此可知，7n =或8时，n S 最小，最小值是8(280)1122⨯-+=-.18.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．【答案】（1）1y x =+（2）9y x =-+或132y x =+【解析】【分析】（1）根据点斜式求得AB 边的高所在直线的方程.（2）对l 是否与直线AB 平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线l 的方程.【小问1详解】直线AB 的斜率为42111-=---，所以AB 边的高所在直线的斜率为1，所以AB 边的高所在直线的方程为()514,1y x y x -=⨯-=+.【小问2详解】直线AB 的斜率为1-，若直线l 与直线AB 平行，则直线l 的方程为()54,9y x y x -=--=-+.线段AB 的中点坐标为()0,3，若直线l 过()0,3，则直线l 的方程为5313,3402y x y x -=+=+-.19.已知圆O ：224x y +=及点()4,0M ，动点P 在圆O 上运动，线段MP 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭作直线l 与Q 的轨迹交于A ，B两点，满足AB =l 的方程．【答案】（1）()2221x y -+=（2）32x =或1577816y x =-【解析】【分析】（1）解法1：设()00,P x y ，(),Q x y ，由中点坐标公式可得00242x x y y =-⎧⎨=⎩，再将点P 代入圆O 的方程即可得出答案；解法2：设线段OM 的中点为N ，连接NQ ，由题意可得点Q 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆，即可得出答案.（2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q 到直线l 的距离为d，由AB =入求解即可得出答案.【小问1详解】解法1：设()00,P x y ，(),Q x y ，由中点坐标公式可得：00242x x y y =+⎧⎨=⎩解得：00242x x y y=-⎧⎨=⎩由于点P 在圆O ：224x y +=上，所以：22004x y +=，代入可得：()()222424x y -+=化简可得点Q 的轨迹方程为：()2221x y -+=．解法2：设线段OM 的中点为N ，连接NQ ，∵Q 为MP 的中点，∴112NQ OP ==，∴点Q 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆，则点Q 的轨迹方程为：()2221x y -+=．【小问2详解】当k 不存在时，直线l 的方程为32x =．此时圆心Q 到直线l 的距离为31222d =-=所以：AB ===满足条件．当k 存在时，直线l 的方程为322y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设圆心Q 到直线l 的距离为d ，则AB ===12d =而Q 到直线l的距离为12d ===，解得：158k =此时直线l 方程为：1531577282816y x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭．综上：满足条件的直线l 的方程为：32x =或1577816y x =-，20.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()240y x x =≥（2）存在，()2,0M -【解析】【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【小问1详解】动点()(),0P x y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，又0x ≥ ，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线l 过点()2,0Q ，∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =，可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又 124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ∠=∠21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，AB =，PA PD ==PB =（1）证明：PD OB ⊥；（2）试判断线段PC 上是否存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为7，若存在求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点M 在PC 的五等分点的二等分点处（靠近P ）【解析】【分析】（1）连接PO ，通过证明OB ⊥平面PAD 来证得PD OB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，设出M 点的坐标，利用二面角M OB C --的余弦值求得M 点的位置.【小问1详解】连接PO ，因为PA PD ==PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，AB =AD =O 为边AD 的中点，所以AO =∴2PO ===，因为60BAD ∠=︒，所以22212cos 312292BO AO AB AO AB BAO =+-⋅⋅∠=+-=，因此2224913PO BO PB +=+==，即PO OB ⊥，又因为2223912OA OB AB +=+==，所以AD OB ⊥，又AD PO O = ，AD ⊂平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以OB PD ⊥，即PD OB ⊥.【小问2详解】由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A ，()0,3,0B ，()002P ,,，()C -，于是()2PC =-- ，()0,0,2PO =- ，()0,3,0OB = ，令(01)PM PC λλ=<< ，则(),3,22OM PM PO PC PO λλλ=-=-=-- ，取平面OBC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面OBM 的一个法向量为(),,n x y z =r ，因为00n OB n OM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()301,0,13220y n x y z λλλ=⎧⎛⎫⎪⇒= ⎪⎨ ⎪--++-=⎪⎝⎭⎩ ，又二面角M OB C --为锐二面角且设为θ，所以cos cos ,7m n m n m n θ⋅===⨯ ，277=，2=5λ（负值舍去），故存在点M 使得二面角M OB C --的余弦值为277，此时点M 满足25PM PC =.22.如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E．（1）求E 的方程；（2）过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQ MD DQ -是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2212516x y +=（2）是定值，为15.【解析】【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQ MD DQ -即可得答案.【小问1详解】设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，则由已知2PF r =，110PF r =-，消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=，21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+-令0y =，得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+，即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQ DQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQ MD DQ -∴是定值，且为15.。

高二数学上学期第二次月考试题文含解析

HY 博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2021-2021学年高二数学上学期第二次月考试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.,,a b c ∈R ,那么以下推理中正确的选项是 ( ) A. 22>⇒>a b am bm B.a ba b c c>⇒> C. 3311,0a b ab a b>>⇒< D. 2211,b 0a b a a b>>⇒< 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，当0m =时不成立；对于B ，当0c <时不成立；对于D ，当,a b 均为负值时，不成立，对于C ，因为3y x =在R 上单调递增，由33a b a b >⇔>，又因为0ab >，所以a b ab ab >即11a b<，正确；综上可知，选C. 考点：不等式的性质.2.“x＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的〔〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或者x ＞1．由此知“x＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”， “x 2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或者x ＞1”．∴“x＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．应选A ．点评：此题考察充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意根本不等式的合理运用．3.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值是〔〕A.14B.12C. 2D. 4【答案】A 【解析】【详解】试题分析：将其方程变为HY 方程为2211y x m＋＝，根据题意可得，11m >，且14m=，解得14m=，故A 正确．考点：椭圆的方程及根本性质 4.以下命题中，真命题是〔〕 A. 00,0x x R e∃∈≤ B. 2,2x x R x ∀∈>C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 1,1a b >>是1ab >的充分条件【答案】D 【解析】A ：根据指数函数的性质可知0x e ＞恒成立，所以A 错误．B ：当1x =- 时，()2112112--＝＜＝，所以B 错误．C ：假设0a b 时，满足0a b += ，但 1a b=-，不成立，所以C 错误． D ：11a b ＞，＞，那么1ab ＞，由充分必要条件的定义，11a b ＞，＞，，是 1ab ＞的充分条件，那么D 正确．应选D ．5.假设不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 A. (2,2]-B. [2,2]-C. (2,)+∞D.(,2]-∞【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，结合不等式〔a ﹣2〕x 2+2〔a ﹣2〕x ﹣4＜0对任意实数x 均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围．【详解】a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x 均成立；a≠2时，不等式〔a ﹣2〕x 2+2〔a ﹣2〕x ﹣4＜0对任意实数x 均成立，等价于()2204(2)1620a a a -⎧⎨-+-⎩＜＜， ∴﹣2＜a ＜2．综上知，实数a 的取值范围是〔﹣2，2]．应选A ．【点睛】此题考察恒成立问题，考察解不等式，考察分类讨论的数学思想，考察学生的计算才能，属于中档题．,x y 满足约束条件22{2441x y x y x y +≥+≤-≥-，那么目的函数3z x y =-的取值范围是A. 3[,6]2-B. 3[,1]2-- C. [1,6]-D.3[6,]2-【答案】A 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影局部所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由220{240x y x y +-=+-=，解得A(2,0)；由420{240x y x y -+=+-=，解得B(12，3)． ∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32. ∴z＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．7.0x >，0y >，821y x+=，那么x y +的最小值为〔〕 A. 6 B. 12C. 18D. 24【答案】C 【解析】【分析】由82()()x y x y y x+=++展开后利用根本不等式求得最小值。

高二数学上学期第二次月考试题(含解析)

【2019最新】精选高二数学上学期第二次月考试题（含解析）高二数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“且”的否定形式是（）A. 且B. 或C. 或D. 且【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n”的否定形式是：∃n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0，故选C．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.2. 若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，所以有,故A 错，故选A.3. 已知抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则的值为（）A. 4B.C. 8D.【答案】D【解析】抛物线的焦点为, 双曲线的焦点为,,, ,故选D.4. 已知的三个内角所对的边分别为，若，则（）A. 成等差数列B. 成等比数列C. 成等差数列D. 成等比数列【答案】C【解析】试题分析：由题意知:,根据正余弦定理得,,化简得,即,所以成等差数列,故选C.考点：1.正余弦定理；2.等差数列. 5. 给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；③若是的必要条件，则是的充分条件；④在中，“”是“”的充要条件.其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】①：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故①错误；②：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故②不正确;③若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故③正确；④：充分性：在中，若，则a>b，根据正弦定理，可得到，反之也成立，故④项正确.故选B.6. 已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴，∴∴故选C.7. 设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，表示可行域内的点与点的连线的斜率. 其中最大值为最小值为即目标函数的取值范围为，故选考点：1.简单线性规划的应用；2.直线的斜率.8. 已知是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D.【答案】B【解析】由抛物线方程,可得抛物线的焦点,准线为,又,即N与F重合.由抛物线的定义可得(d为P到准线的距离),圆的圆心设为,半径为1,如图,过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,此时取得最小值,且为.故选B.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．9. 已知，若恒成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得，∴2x+3y=(2x+3y) =13+≥13+2=25，当且仅当x=y=5时取等号.∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，解得-8＜t＜3.故选B.点睛：本题主要考查基本不等式求最值.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项（式）均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项（式）的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项（式）均相等，确保取得最值.10. 已知中，角的对边分别是，若，则是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：∵，∴由正弦定理可得：，而，当且仅当时取等号．∴，即，又，故可得：，∴．又∵，可得，故三角形为等腰直角三角形．故选：C．考点：1．正弦定理；2．基本不等式．11. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的长圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，∴，故双曲线的方程为，故选D.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．视频12. 已知数列的前项和为，，且成等比数列，成等差数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】B.....................故数列等差数列；又由，可得,所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以即，故，故，，故，答案为B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列}满足且，则__________.【答案】【解析】数列}满足,, , 可得, 数列的周期为3.14. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】试题分析：由已知可得，若,则恒成立；若，对不等式两边同除以可得恒成立，故，解之得，故应填。

高二数学上学期第二次月考试题理含解析试题 2

智才艺州攀枝花市创界学校宁夏源上游二零二零—二零二壹高二数学上学期第二次月考试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1.x R ∀∈，ln x x <〞的否认为〔〕 A.x R ∀∈，ln x x ≥ B.x R ∀∈，ln x x > C.0x R ∃∈，00ln x x ≥ D.0x R ∃∈，00ln x x >【答案】C 【解析】x R ∀∈，ln x x <〞，其否认为：0x R ∃∈，00ln x x ≥.应选C. 2.抛物线212y x =-的焦点坐标是〔〕A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,08⎛⎫-⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先将方程化为抛物线的HY 方程，然后求出2p，可得到焦点坐标. 【详解】解：由212y x =-得，22x y =-，那么22,1p p ==，所以122p =,因为抛物线22xy =-的焦点在y 的负半轴上，所以焦点坐标为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】此题考察的是抛物线方程求其焦点坐标，属于根底题. 3.椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，那么椭圆的方程为〔〕A.2214x y +=B.221164y x += C.2214x y +=或者221164y x +=D.2214x y +=或者2214y x +=【答案】C 【解析】【分析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，又椭圆经过点(2，0)，分类讨论，即可求解. 【详解】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，又椭圆经过点(2，0)，那么假设焦点在x 轴上，那么2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=；假设焦点在y 轴上，那么4a =，2b =，椭圆方程为221164y x +=，应选C ．【点睛】此题主要考察了椭圆的方程的求解，其中解答中熟记椭圆的HY 方程的形式，合理分类讨论是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 4.设,m n 为两条不同的直线，,αβ〕 A.假设//m α，//m n ，//n β，那么//αβB.假设//m α，m n ⊥，n β⊥，那么//αβC.假设m α⊥，//m n ，//n β，那么αβ⊥D.假设//m α，m n ⊥，//n β，那么//αβ【解析】【分析】通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.【详解】如图，,αβ相交，故A 错误如图，,αβ相交，故B 错误D.如图，,αβ相交，故D 错误应选C.【点睛】此题考察直线和平面之间的位置关系，属于根底题. 5.20x x -=，那么1x =1x ≠，那么20x x -≠〞；②假设“p ⌝或者q p 且q ⌝③假设p ：(2)0x x -≤，q ：2log 1x ≤，那么p 是q 的充要条件；p ：存在x ∈R ，使得22x x <成立，那么p ⌝：任意x ∈R ，均有22x x ≥成立；〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】20x x -=，那么1x =1x ≠，那么20x x -≠〞，故①正确；②假设“p ⌝或者q p ⌝，q p 和q ⌝③假设p ：()20x x -≤，得02x ≤≤；由q ：2log 1x ≤，得02x <≤，那么p 是q 的必要不充分条件，故③错误；p ：存在x R ∈，使得22x x <成立，那么p ⌝：任意x R ∈，均有22x x ≥应选C 6.()()2'21f x x x f =+⋅，那么()'3f =〔〕A.2B.2-C.1D.4-【答案】A 【解析】【分析】先对函数()f x 求导，然后令1x =先求出'(1)f ，再令3x =可求得()'3f 的值.【详解】解：因为()()2'21f x x x f =+⋅，所以''()22(1)f x x f =+，令1x =，那么''(1)22(1)f f =+，解得'(1)2f =-所以'()24f x x =-，所以'(3)2342f =⨯-=,应选：A【点睛】此题考察的是导数的根本运算，属于根底题. 7.正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为〔〕A.12【答案】C 【解析】【分析】作出相关图形，设正方体边长为1，求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案.【详解】如下列图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，那么直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11BC 与平面11A BC 11A BC ∆为等边三角形，那么1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心，那么11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 1，显然BO因此1B O那么111110sin B B C OB C ∠==，故答案选C. 【点睛】此题主要考察线面所成角的正弦值，意在考察学生的转化才能，计算才能和空间想象才能.22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的间隔等于焦距的14，那么该双曲线的渐近线方程是〔〕 A.20x y ±= B.20x y ±=C.0x ±=0y ±=【答案】C 【解析】试题分析：因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的间隔为,b 所以2,2.4c b c b ==因此.a =因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为,b y x a =±所以该双曲线的渐近线方程是0x ±=.考点：双曲线的渐近线方程 9.在空间直角坐标系中，点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，那么OA OB ⋅=()A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，求得,OA OB 的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB-=,那么22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=，应选D.【点睛】此题主要考察了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.10.双曲线22145x y -=的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线上一点，且122·0F F PF =，那么1PF 等于〔〕.A.132B.92C.72D.32【答案】A 【解析】由122·0F F PF =,可得12F F ⊥2PF ，双曲线22145x y -=的2,3a b c ====，左、右焦点分别为1F (−3,0),2F (3,0)，令x =3,29 145y -=,解得52y =±，即有252PF =，由双曲线的定义可得125132422PF a PF =+=+=. 应选A. 11.函数()ln f x e x x =-在(]02e ，上的最大值为〔〕A.1e -B.1-C.e -D.0【答案】D 【解析】【分析】求得函数的导数()1e e xf x x x-'=-=，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案．【详解】由题意，函数()ln f x e x x =-，那么()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(,2]x e e ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当xe =，函数()f x 获得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=，应选D ．【点睛】此题主要考察了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．12.双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的间隔等于4，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，那么抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-间隔之和的最小值为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的间隔求出234a=，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的间隔转化为到焦点的间隔，最后结合图形根据“垂线段最短〞求解．详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=．4=，解得234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的间隔为||MA ，到直线2l 的间隔为||MB ，那么MB MF=，∴MA MB MA MF+=+．结合图形可得当,,A M F 三点一共线时，MA MB MA MF+=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的间隔2d ==．应选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的间隔与点到直线的间隔的转化，详细有以下两种情形：〔1〕将抛物线上的点到准线的间隔转化为该点到焦点的间隔，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解；〔2〕将抛物线上的点到焦点的间隔转化为点到准线的间隔，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短〞解决．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.椭圆2221(0)x y a a +=>a =_____．【解析】【分析】分别在1a >和01a <<两种情况下利用离心率构造方程求得结果.【详解】当1a >时，离心率3e ==，解得：a =当01a <<时，离心率3e ==，解得：a =【点睛】此题考察根据椭圆的离心率求解参数值，易错点是忽略焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，需分类讨论. 14.函数43263f x x x -+1()=4，那么0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆__________.【答案】1- 【解析】【分析】根据导数的定义和极限之间的关系进展求解．【详解】根据导数的定义可知：0(1)(1)lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆；由于43263f x x x -+1()=4，故32()2f x x x '=-；那么(1)121f '=-=-；故答案为-1【点睛】此题考察导数的定义的应用，利用导数和极限之间的关系是解决此题的关键．()22:2440p x a x a a -+++<()():230q x x --<，假设p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a的取值范围为．【答案】[]1,2-【解析】:4p a x a <<+，:23q x，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，p q ∴⌝⇒⌝，∴q p ⇒，∴2,43,a a ≤⎧⎨+≥⎩∴12a -≤≤，所以a 的取值范围为[]1,2-.考点：一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件. 16.如下列图，二面角l αβ--为60，,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，那么CD 的长______．【答案】【解析】【分析】推导出CDCA AB BD =++，从而()22CDCA AB BD=++，结合0,0AC AB BD AB ⋅=⋅=，4AB =，6AC =，8BD =能求出CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60，,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面α、β内，且,,4,6,8AC l BD l AB AC BD ⊥⊥===所以0,0AC AB BD AB ⋅=⋅=,所以CDCA AB BD =++， ()22CD CA AB BD =++， 361664268cos12068=+++⨯⨯⨯=，CD ∴的长CD ==故答案为【点睛】此题主要考察空间向量的运算法那么以及数量积的运算法那么，意在考察灵敏应用所学知识解答问题的才能，是中档题．三、解答题〔一共70分〕17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.〔1〕求证：//PA 平面BDE ；〔2〕证明：平面BDE ⊥平面PBC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：〔1〕连结AC ，设AC 与BD 交于O 点，连结EO ，易证EO 为PAC ∆的中位线，从而//OE PA ，再利用线面平行的判断定理即可证得PA平面BDE ；〔2〕依题意，易证DE ⊥底面PBC ，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE ⊥平面PBC .试题解析：〔1〕连接AC 交BD 于O ，连接OE ∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 中点，∵在PAC 中，E 是PC 的中点， ∴//OEPA ∵OE ⊂平面,EDB PA ⊄平面EDB ，∴在//PA 平面EDB〔2〕∵侧棱PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，∴PD BC ⊥ ∵底面ABCD 是正方形，∴DC BC∵PD 与DC 为平面PCD 内两条相交直线，∴BC ⊥平面PCD∵DE ⊂平面PCD ，∴BC DE ⊥∵,PD CD E =是PC 的中点，∴DEPC ⊥ ∵PC 与BC 为平面PBC 内两条相交直线，∴DE ⊥平面PBC∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PBC考点：直线与平面平行的断定；平面与平面垂直的断定.18.函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =-+++∈，且()()''130f f -==.〔1〕求-a b 的值；〔2〕假设函数()f x 在[]2,2-上的最大值为20，求函数()f x 在[]1,4-上的最小值.【答案】〔1〕6-；〔2〕9-【解析】【分析】〔1〕先对函数()f x 求导，然后由()()''130f f -==，列出关于,a b 的方程组，解方程组可求出,a b 的值；〔2〕由函数()f x 在[]2,2-上的最大值为20，求出c 的值，然后由函数的单调性求函数()f x 在[]1,4-上的最小值.【详解】解：〔1〕因为()32f x x ax bx c =-+++，所以'2()32f x x ax b =-++，因为()()''130f f -==,所以23(1)2(1)0a b -⨯-+⨯-+=,233230a b -⨯+⨯+=解得39a b =⎧⎨=⎩所以396a b -=-=-.〔2〕由〔1〕可知32()39f x x x x c =-+++，那么'2()369f x x x =-++，令'()0f x =，得1,3x x =-=x 和()f x 的变化情况如下表：因为(2)2,(2)22f c f c -=+=+，所以函数()f x 在[]2,2-上的最大值为(2)22f c =+,所以2220c +=，解得2c =-,所以32()392f x x x x =-++-,由上面可知()f x 在[1,3]-上单调递增，在[3,4]上单调递减；又因为(1)13929,(4)644836218f f -=-+--=-=-++-=，所以函数()f x 在[]1,4-上的最小值为9-.【点睛】此题考察利用导数求函数的极值和最值，属于根底题.19.双曲线()222:10y C x b b -=>. 〔1〕假设双曲线C 的一条渐近线方程为2y x =，求双曲线C 的HY 方程；〔2〕设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 上，假设12PF PF ⊥，且1PF F ∆的面积为9，求b 的值. 【答案】(1)2214y x -=;(2)3b =【解析】【分析】〔1〕由双曲线()222:10y C x b b -=>的渐近线为y bx ±=，而它的一条渐近线为2y x =，所以2b =，从而可得双曲线的HY 方程；〔2〕由12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为9，可得1218PF PF ⋅=，由双曲线的定义可知1222PF PF a -==，两边平方，再结合勾股定理和222c a b =+可求出b 的值.【详解】〔1〕因为双曲线()222:10y C x b b -=>的渐近线为y bx ±=，而它的一条渐近线为2y x =, 所以2b =,所以双曲线的HY 方程为2214y x -=, 〔2〕因为12PF PF ⊥，所以121212PF F S PF PF ∆=⋅⋅, 因为12PF F ∆的面积为9，所以1218PF PF ⋅=, 又因为1222PF PF a -==，所以22112224PF PF PF PF -⋅+=, 所以221240PF PF +=, 又因为222212124PF PF F F c +==,所以210c =，所以2110b +=，所以3b =. 【点睛】此题考察的是双曲线的根本运算，属于根底题.20.抛物线C ：22(0)ypx p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. 〔Ⅰ〕求抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕假设直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.【答案】〔Ⅰ〕24y x =〔Ⅱ〕122y x =+ 【解析】【分析】〔Ⅰ〕由题得12322x x +=，再利用抛物线的定义求p 的值，即得抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.根据求出k=2,设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，根据直线和抛物线相切求出b 的值得解.【详解】〔Ⅰ〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为AB 的中点的横坐标为32，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++= 所以35p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.〔Ⅱ〕设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.那么由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=. 所以212224k x x k ++=，即22243k k+=，解得2k =. 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=. 依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =. 故所求的切线方程为122y x =+. 【点睛】此题主要考察抛物线的HY 方程的求法，考察抛物线的定义，考察直线和抛物线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.21.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，四边形11BDD B 是矩形． (1)求证:1BD A C ⊥；(2)假设112,AB BD AA AC ===点E 在棱1BB 上，且114B B B E =，求二面角11E A C C --的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕3【解析】【分析】〔1〕连接AC 交BD 于点O ，由菱形的性质得出BD AC ⊥，由矩形的性质得出1BD DD ⊥，结合11//AA DD ，得出1BD AA ⊥，再利用直线与平面垂直的断定定理证明BD ⊥平面1ACC ，于是得出1BD A C ⊥；〔2〕先证明OA ⊥平面ABCD ，再由AC BD ⊥得知OA 、OB 、1OA 两两互相垂直，建立以点O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求出平面1A CE 和平面11A CC 的法向量，再利用向量法求出二面角11E A C C --的余弦值．【详解】〔1〕连接AC 交BD 于点O ，因为底面ABCD 是菱形，所以，AC BD ⊥，且O 为AC 的中点，因为四边形11BDD B 是矩形，所以，1BDDD ⊥，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA DD ，所以，1BD AA ⊥，因为1AA 、AC ⊂平面11ACC A ，1AA AC A =，所以，BD ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，1BD AC ∴⊥；〔2〕111AA AC =，且O 为AC 的中点，所以，1AO AC ⊥， BD ⊥平面11ACC A ，所以，平面ABCD ⊥平面11ACC A ，因为平面ABCD 平面11ACC A AC =，1A O ∴⊥平面ABCD ，1AO AO ∴⊥，1A O OB ⊥，所以，OA 、OB 、1OA 两两互相垂直，分别以OA 、OB 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，又因为111AA AC ==，2BD =，AB =1OB =，12OA OA ==，所以()2,0,0A 、()0,1,0B 、()10,0,2A 、()2,0,0C -、()2,1,2B -，所以，()12,0,2AC =--，()12,0,2B B =-，()112,1,0A B =-，所以，11111,0,422B EB B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，111131,1,22A E A B B E ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，设平面1A CE 的一个法向量为(),,n x y z =，那么有110{0A E n AC n ⋅=⋅=，即310{22220x y z x z -+-=--=，取1x =，那么1z=-，1y =，()1,1,1n ∴=- 易得平面11A CC 的一个法向量为()0,1,0OB =，所以，3cos ,3OB nOB n OB n ⋅==⋅，所以，二面角11E A C C --的余弦值为3．【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察二面角余弦值的求法，在证明线线垂直时，一般利用线面垂直得到线线垂直，所以找出并证明线面垂直是关键，另外，在求解二面角时，一般利用空间向量法求解，所以建系、求平面法向量是解空间角问题的核心，考察运算求解才能，属于中等题．22.斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为31,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C的上顶点为(B . 〔1〕求椭圆C 的离心率；〔2〕设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于,M N 两点，假设直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点.【答案】〔1〕12e=〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕设点P ，Q 的坐标，代入椭圆C 的方程，利用点差法及中点坐标公式可得a ，b 的关系，可得e ；〔2〕联立直线l '方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得M ，N 的横坐标的和与积，由直线AM 与AN 的斜率之和为2可得m 与k 的关系，再由直线系方程得答案．【详解】〔1〕设点()11,P x y ，()22,Q x y ，由于点A 为线段PQ 的中点所以1212232x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，又22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差212121212121x x y y b k a y y x x +--⋅===+-，所以2234b a =，即12e =；〔2〕由〔1〕结合上顶点B ，椭圆的方程为22143x y +=，设点()()3344,,,M x y N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，那么韦达定理得，据题意可得342234283441234km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩34343434341122(2(BM BN kx m kx m x x k k k m k m x x x x x x ⎛⎫++-+=+=+=++=+ ⎪⎝⎭代入韦达定理得2822(412km k m m --=-=-，化简得m =-所以直线l '为(y kx k x =-=-(，综上，直线l '过定点(. 【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察直线与椭圆位置关系的应用，考察了点差法的技巧，是中档题。

高二数学上学期第二次月考试题(含解析)

南阳一中２017年秋期高二第二次月考数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共１2个小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、等差数列中,,,则前9项和的值为( )Ａ、 6６Ｂ。

99 Ｃ。

144 D。

297【答案】B【解析】试题分析:由已知得,,因此,,,故选B。

考点:等差数列的性质与求和公式、2、在中,若,,则的外接圆半径是( )A。

B、Ｃ、Ｄ、【答案】Ｄ【解析】试题分析:因为正弦定理内容能够计算出外接圆的半径、 ,由正弦定理知故选Ｄ。

考点: 同角的三角函数关系正弦定理3、不等式的解集为( )Ａ。

B、或C、Ｄ。

或【答案】A【解析】,选A。

4。

设数列的前项和,( )A。

12４ B。

1２０ C。

12８ D。

12１【答案】D【解析】当时,,当时,,不符合,则,,选D。

【点睛】已知数列的前n项和,求通项公式分两步,第一步n=1 时,求出首项,第二步,当时利用前n项和与前n—1项和作差求出第n项,若首项满足后者,则可书写统一的通项公式,若首项不满足,则通项公式要写成分段函数形式,本题求和要注意首项不满足,数列从第二项开始成等差数列,从第二项以后利用等差数列前n项和公式求和,而第一项要要单独相加。

5、在中,若,则的形状一定是( )A、等腰直角三角形 B。

直角三角形 C、等腰三角形Ｄ、等边三角形【答案】C６、设是非零实数,若,则一定有( )A、 B。

C。

D、【答案】C【解析】试题分析:因为是非零实数,,因此,因此,因此,故选C。

考点:不等式的性质、７、在中,,,,则角( )A、Ｂ。

或 C。

D、【答案】A【解析】试题分析:由题意得,依照正弦定理可知,又因为,因此,故选A、考点:正弦定理、8、设数列满足,通项公式是( )A、 B、 C、D。

【答案】Ｃ【解析】当时,,…………。

、(1) , ……、。

、(2),(１)—(２)得: ,,符合,则通项公式是,选C、9、若,则的取值范围是( )A、 B。

高二数学上学期第二次月考试卷(含解析)

高二数学上学期第二次月考试卷（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．02．已知直线l1经过两点（﹣1，﹣2）、（﹣1，4），直线l2经过两点（2，1）、（x，6），且l1∥l2，则x=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．13．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0 4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm35．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④6．圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣2）2+y2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=57．经过两圆x2+y2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A．8x+6y+13=0 B．6x﹣8y+13=0 C．4x+3y+13=0 D．3x+4y+26=0 8．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．（5，2）B．（2，3）C．（5，9）D．（﹣，3）9．已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则实数m的值是（）A．3 B．﹣1，3 C．﹣1 D．﹣310．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能11．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或412．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如果点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是．14．已知斜率为且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是．15．当动点P在圆x2+y2=2上运动时，它与定点A（3，1）连线的中点Q的轨迹方程是．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．一个长、宽、高分别是80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000cm3，现放入一个直径为50cm的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？18．在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（﹣4，0），B （0，6），C（1，2）．（1）证明：A，B，C三点不共线；（2）求过A，B的中点且与直线x+y﹣2=0平行的直线方程；（3）求过C且与AB所在的直线垂直的直线方程．19．已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．20．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）求点D1到平面EAC的距离．22．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年肇庆四中高二（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】把原点坐标（0，0）和点A的坐标（﹣2，﹣2）一起代入两点表示的斜率公式 k=，即可得到结果．【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k===1，故选 B．【点评】本题考查用两点表示的斜率公式得应用，注意公式中各量所代表的意义，体现了代入的思想．2．已知直线l1经过两点（﹣1，﹣2）、（﹣1，4），直线l2经过两点（2，1）、（x，6），且l1∥l2，则x=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据条件可知直线l1的斜率不存在，然后根据两直线平行的得出x的值．【解答】解：∵直线l1经过两点（﹣1，﹣2）、（﹣1，4），∴直线l1的斜率不存在∵l1∥l2 直线l2经过两点（2，1）、（x，6），∴x=2故选：A．【点评】本题考查了两直线平行的条件，同时考查斜率公式，属于基础题．3．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定．【专题】计算题．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】证明题；压轴题；空间位置关系与距离．【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．6．圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣2）2+y2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径还是2，从而求得所求的圆的方程．【解答】解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），是解题的关键，属于基础题．7．经过两圆x2+y2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A．8x+6y+13=0 B．6x﹣8y+13=0 C．4x+3y+13=0 D．3x+4y+26=0【考点】圆系方程．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】利用圆系方程，求解即可．【解答】解：联立x2+y2=9和（x+4）2+（y+3）2=8，作差可得：8x+6y+26=0，即6x﹣8y+13=0．故选：B．【点评】本题考查圆系方程的应用，考查计算能力．8．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．（5，2）B．（2，3）C．（5，9）D．（﹣，3）【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题．【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．故选B【点评】本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．9．已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则实数m的值是（）A．3 B．﹣1，3 C．﹣1 D．﹣3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得m的值．【解答】解：∵l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则，解得：m=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对两直线系数所满足关系的记忆，是基础题．10．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能【考点】点与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由于直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，可得圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离d＜r．利用点到直线的距离公式和点与圆的位置关系判定即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，∴圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离d＜r．∴，化为．∴点P（a，b）在圆的外部．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，属于中档题．11．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选D．【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l 与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l 与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．【点评】正确求出直线与切线相切时的m的值及其数形结合等是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如果点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是或．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设P（0，0，z），由于|OP|=1，可得，即|z|=1，解得z．再利用两点间的距离公式即可得出|PA|．【解答】解：设P（0，0，z），∵|OP|=1，∴，即|z|=1，解得z=±1．∴|PA|=或．故答案为：或．【点评】本题考查了空间中的两点间的距离公式，属于基础题．14．已知斜率为且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是y=±2．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】设直线的方程为y=+m，分别令x=0，y=0，可得A（0，m），B（﹣2m，0）．可得=4，解出即可．【解答】解：设直线的方程为y=+m，分别令x=0，y=0，可得A（0，m），B（﹣2m，0）．∵=4，解得m=±2．∴直线方程为：y=±2，故答案为：y=±2．【点评】本题考查了直线的方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．当动点P在圆x2+y2=2上运动时，它与定点A（3，1）连线的中点Q的轨迹方程是（2x﹣3）2+（2y﹣1）2=2 ．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】根据已知，设出中点Q的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点P的坐标，根据点P在圆x2+y2=2上，代入圆的方程即可求得中点Q的轨迹方程．【解答】解：设中点Q（x，y），则动点P（2x﹣3，2y﹣1），∵P在圆x2+y2=2上，∴（2x﹣3）2+（2y﹣1）2=2，故答案为：（2x﹣3）2+（2y﹣1）2=2．【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可．【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．【点评】考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于1，此时4个，等于3个，等于1，大于1是2个．）是有难度的基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．一个长、宽、高分别是80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000cm3，现放入一个直径为50cm的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】根据长方体的体积公式求出水槽的体积，再根据球的体积公式求出木球的体积，结合题意，根据水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的体积比较，即可确定答案．【解答】解：∵水槽是一个长、宽、高分别是80cm、60cm、55cm的长方体，根据长方体的体积公式可得，水槽的容积为V水槽=80×60×55=264000（cm3），∵木球的三分之二在水中，∴木球在水中部分的体积为（cm3），又∵水槽中有水200000cm3，∴水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为（cm3），∴V＜V水槽，故水不会从水槽中流出．【点评】本题考查了长方体的体积公式，考查了球体的体积公式，解题的关键是抓住水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的体积之间的关系．属于中档题．18．在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（﹣4，0），B （0，6），C（1，2）．（1）证明：A，B，C三点不共线；（2）求过A，B的中点且与直线x+y﹣2=0平行的直线方程；（3）求过C且与AB所在的直线垂直的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用斜率计算公式分别计算出KAB，KAC，即可判断出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出；（3）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．【解答】解：（1）∵，，∴KAB≠KAC，∴A，B，C三点不共线．（2）∵A，B的中点坐标为M（﹣2，3），直线x+y﹣2=0的斜率k1=﹣1，所以满足条件的直线方程为y﹣3=﹣（x+2），即x+y﹣1=0为所求．（3）∵，∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即2x+3y﹣8=0．【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、三点共线与斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．19．已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．【解答】解：∵圆心在直线x﹣y+1=0上，∴设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得=，解之得a=﹣3∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r=5因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．【点评】本题给出圆C满足的条件，求圆的方程．着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题．20．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）首先利用勾股定理的逆定理证明DE⊥AE，及PA⊥平面ABCD，根据三垂线定理即可证明PE⊥DE；（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位线定理可知∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．再利用余弦定理即可得出．【解答】（1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得，同理，∴AE2+DE2=4=AD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．由PA=2，AB=1，BC=2，得，，∴，．∴异面直线PD与AE所成的角的大小为．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、三角形的中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理是解题的关键．21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）求点D1到平面EAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）设D1到平面EAC的距离为d，根据建立等式关系可求出d，即可求出点D1到平面EAC的距离．【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于F，连EF．（1分）因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．（3分）在DDD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．（5分）又EFÌ平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（7分）（2）设D1到平面EAC的距离为d．在DEAC中，EF^AC，且，，所以，于是．（9分）因为，（11分）又，即，（13分）解得，故D1到平面EAC的距离为．（14分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定以及点到平面距离的度量，同时考查了空间想象能力，转化能力和计算求解的能力，属于中档题．22．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，分直线l1斜率存在与不存在两种情况求出直线l1的方程即可；（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，∴d=r，即=2，解得：a=0或a=﹣5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）由题意可知圆心C到直线l1的距离为=1，若直线l1斜率不存在，则直线l1：x=1，圆心C到直线l1的距离为1；若直线l1斜率存在，设直线l1：y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，则有=1，即k=0，此时直线l1：y=1，综上直线l1的方程为x=1或y=1；（3）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），N（t，0），A （x1，y1），B（x2，y2），联立得：，消去y得：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=，若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，即+=0， +=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即﹣+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．【点评】此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。

高二数学上学期第二次12月月考试卷理含解析试题

内蒙古杭锦后旗奋斗中学2021-2021学年高二数学上学期第二次〔12月〕月考试卷理〔含解析〕一、单项选择题1.点P的直角坐标为，那么点P的极坐标可以为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.【详解】，那么点P的极坐标应选C【点睛】此题考察将直角坐标化为极坐标，属于根底题，解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式准确代入求解.2.曲线的极坐标方程化为直角坐标为A. B.C. D.【答案】B【解析】此题考察极坐标方程的知识答案 B点评：通过极坐标的公式就可以直接转化3.曲线的参数方程为〔为参数〕，那么该曲线离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把曲线C化成普通方程，再求曲线的离心率.详解：由题得曲线C的普通方程为，所以曲线C是椭圆，a=4,.所以椭圆的离心率为.应选A.点睛：此题主要考察参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于根底题.4.抛物线上的点到焦点的间隔为，那么的值是〔〕A. 或者B.C.D. 或者【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义有〔负值舍去〕，此时，将点代入抛物线方程中，求出，选D.的离心率为，那么的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【考点定位】此题考察双曲线的根本性质，考察学生的化归与转化才能.6.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数〕，那么曲线C〔〕A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】试题分析：由题意得，曲线的参数方程可化为，化为普通方程为，表示以为圆心，以为半径的圆，应选A．考点：参数方程与普通方程的互化．7.假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出k的值是〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】试题分析：当输入的值是时，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；退出循环输出结果为，应选A.考点：1、程序框图；2、条件结果及循环构造.8.“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交〞是“0＜b＜1”的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线与圆都相交，因此题中应选必要不充分条件．9.直线的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D. 与有关，不确定【答案】B【解析】极坐标方程即： ,整理可得：，据此可得直线的位置关系是垂直 .此题选择B选项.10.两点A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，点P是椭圆上任意一点，那么点P到直线AB的间隔最大值为〔〕A. B. C. 6 D.【答案】A【解析】由题意得直线AB的方程为，点到直线的间隔最大值即为图中过点P且与直线AB平行的切线与直线AB之间的间隔。

高二年级第一学期第二次月考数学参考答案解析版

若直线 l 与双曲线 E 的右支相交于 A， B 两点，当 l x 轴时， AB 2b2 2 3 a3
由 AB 2 3 2 3 ，所以此时满足条件的直线有 2 条. 3
若直线 l 与双曲线 E 的左、右支各有一个交点，此时 AB 2 3 2a
则满足条件的直线即为 y 0 ，故此时只有一条直线满足条件.
选项 A，当点 P 在右支上时， PF1 c a 2
3 ，由 7 2
2
3 ，所以点 P 在左支上，
则 PF2
PF1
2a
7 2
2
3 ，所以选项 A 不正确.
选项 B.双曲线 E 的离心率为 e c 2 2 3 ，所以选项 B 不正确. a33
选项 C.双曲线 E 的渐近线方程为 x 3y 0
PF1
7， 2
直线 l ： y k x 2 与 E 交于 A， B 两点，则（）
A． PF2
72 2
3
或
PF2
=
7 2
2
3
B． E 的离心率为 3
( ) C． E 的渐近线与圆 x - 2 2 + y2 = 1相切
D．满足 AB 2 3 的直线 l 有 3 条
【答案】CD
【详解】由双曲线 E 的方程为 x2 y2 1，则在双曲线 E 中 a 3, b 1, c 2 3
A．
,
3 4
[4,
)
B．
3 4
,
4
1
C．
1 5
,
D．
4,
3 4
答案：A
7．从某个角度观察篮球(如图 1)，可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮形为圆 O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）

高二数学上学期第二次月考试题含解析 (2)

HY中学2021-2021学年上学期高二第二次月考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学试卷考试时间是是：120分钟；满分是150分考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写上在答题卡上第I卷〔选择题〕一、单项选择题1.在直角坐标系中，原点到直线的间隔为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】，应选．2.以下命题中错误的选项是 ( )A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B. 在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D. 在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)【答案】A【解析】空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．应选A.3.两条直线与平行，那么它们间的间隔为〔〕A. 4B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行〔与y轴平行除外〕时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的间隔即为平行线间的间隔．【详解】根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣，解得m=2，那么直线为6x+2y+1=0，取3x+y﹣3=0上一点〔1，0〕求出点到直线的间隔即为两平行线间的间隔，所以d==．应选：D．【点睛】此题考察了两直线间的间隔，可直接利用公式求解，也可以转化为点到直线的间隔，属于根底题.4.直线的倾斜角为，在轴上的截距为，那么有( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由直线，那么直线的斜率为，即，那么，令，那么，即直线在轴上的截距为，应选A.，，三点一共线，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：过、两点直线方程为：，因为、、三点一共线，所以满足直线方程，所以，应选A．考点：三点一共线成立的条件，直线方程．【思路点晴】此题主要考察是三点一共线，求其中一个点坐标，属于根底题，先根据两个点、的坐标，求出点、两点所在的直线方程，然后由、、三点一共线，将点坐标代入直线方程，求出的值．6.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出以下四个命题：①假设，且，那么；②假设，，，那么；③假设，，那么；④假如，，，那么.那么错误的命题个数为〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】①假设，且，那么是正确的，垂直于同一个平面的直线互相平行；②假设，，，那么；是错误的，当m和n平行时，也会满足前边的条件。

高二数学中高二数学上学期第二次月考试题文含解析试题

上高二数学中2021-2021学年高二数学上学期第二次月考试题文〔含解析〕单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明一、单项选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．圆心为〔1，﹣1〕，半径为2的圆的方程是〔〕A．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝2 B．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝4C．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝2 D．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝42．抛物线的焦点坐标是〔0，﹣3〕，那么抛物线的HY方程是〔〕A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x3．程度放置的△ABC是按“斜二测画法〞得到如下图的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是〔〕A．B．C．D．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，那么该椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．5．A〔﹣4，2，3〕关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，那么|AA2|等于〔〕A．8 B．12 C．16 D．196．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．87．P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，假设|PF1|•|PF2|＝12，那么∠F1PF2的大小为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，那么直线AD1与EF所成的角余弦值是〔〕A．B．C．D．9．P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的间隔为d，对于给定点A〔4，5〕，那么|PA|+d的最小值为〔〕A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣410．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么|AB|＝〔〕A．4 B．6 C．8 D．1011．椭圆E：的右焦点为F〔3，0〕，过点F的直线交椭圆E于A、B 两点．假设AB的中点坐标为〔1，﹣1〕，那么E的方程为〔〕A．B．C．D．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的选项是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公一共点，那么实数m的取值范围为．14．过点P〔1，1〕的直线，将圆形区域{〔x，y〕|x2+y2≤4}分两局部，使这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为．15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，假设＝2，那么椭圆的离心率为．16．三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的外表积为．三、解答题．〔一共70分〕17．圆心为C的圆经过点A〔﹣1，1〕和B〔﹣2，﹣2〕，且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上〔1〕求圆C的HY方程；〔2〕假设直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．〔1〕假设点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG〔2〕假设F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．19．抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M〔4，0〕的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．〔Ⅰ〕写出抛物线C1的HY方程；〔Ⅱ〕求△ABO面积的最小值．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．〔Ⅰ〕求证：AC1∥平面CDB1；〔Ⅱ〕求证：DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．〔1〕证明：BE⊥平面D1AE；〔2〕设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．22．椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕的短轴长为2，离心率为．过点M〔2，0〕的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕求•的取值范围；〔Ⅲ〕假设B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．2021-2021学年上高二中高二〔上〕第二次月考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、单项选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．圆心为〔1，﹣1〕，半径为2的圆的方程是〔〕A．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝2 B．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝4C．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝2 D．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝4【解答】解：根据题意得：圆的方程为〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝4．应选：D．2．抛物线的焦点坐标是〔0，﹣3〕，那么抛物线的HY方程是〔〕A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x【解答】解：依题意可知焦点在y轴，设抛物线方程为x2＝2py∵焦点坐标是F〔0，﹣3〕，∴p＝﹣3，p＝﹣6，故抛物线方程为x2＝﹣12y．应选：A．3．程度放置的△ABC是按“斜二测画法〞得到如下图的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是〔〕A．B．C．D．【解答】解：因为，且假设△A′B′C′的面积为×2××＝，那么△ABC的面积为应选：A．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，那么该椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：由抛物线y2＝4x的方程得准线方程为x＝﹣1，又椭圆+y2＝1的焦点为〔±c，0〕．∵椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，∴﹣c＝﹣1，得到c＝1．∴a2＝b2+c2＝1+1＝2，解得．∴．应选：B．5．A〔﹣4，2，3〕关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，那么|AA2|等于〔〕A．8 B．12 C．16 D．19【解答】解：A〔﹣4，2，3〕关于xOz平面的对称点为A1〔﹣4，﹣2，3〕．A1关于z轴的对称点为A2〔4，2，3〕．那么|AA2|＝＝8．应选：A．6．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．8【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2，∴该几何体的体积V＝＝，应选：B．7．P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，假设|PF1|•|PF2|＝12，那么∠F1PF2的大小为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵P是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|＝8，|F1F2|＝2∵|PF1|•|PF2|＝12，∴〔|PF1|+|PF2|〕2＝64，∴|PF1|2+|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝60°，应选：B．8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，那么直线AD1与EF所成的角余弦值是〔〕A．B．C．D．【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，那么EG＝，GF＝1，EF＝cos∠GEF＝，应选：C．9．P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的间隔为d，对于给定点A〔4，5〕，那么|PA|+d的最小值为〔〕A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F〔1，0〕，准线l：x＝﹣1．如下图，过点P作PN⊥l交y轴于点M，垂足为N，那么|PF|＝|PN|，∴d＝|PF|﹣1，∴|PA|+d≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1．应选：B．10．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么|AB|＝〔〕A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：过B向准线做垂线垂足为D，过A点做准线的垂线垂足为E，准线与x轴交点为G，根据抛物线性质可知|BD|＝|BF|∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°∴|AF|＝|AE|＝|CF|＝3，∵|CF|＝2|GF|＝3，|BF|＝1，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝4．应选：A．11．椭圆E：的右焦点为F〔3，0〕，过点F的直线交椭圆E于A、B 两点．假设AB的中点坐标为〔1，﹣1〕，那么E的方程为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．应选：D．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的选项是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【解答】解：根据直二面角的定义知，BD⊥面ACD，所以BD⊥AC，①正确；因为三角形ABC为等腰直角三角形，设AD＝1，那么可求出AB＝BC＝AC＝，所以△BCA是等边三角形，所以②正确；由上可知AB＝BC＝AC，且AD＝BD＝CD，根据正三棱锥的定义可知，三棱锥DABC是正三棱锥，所以③正确，④不正确．应选：B．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公一共点，那么实数m的取值范围为[1，9〕．【解答】解：直线y＝kx+1恒过定点P〔0，1〕，焦点在x轴上的椭圆，可得0＜m＜9，①由直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公一共点，可得P在椭圆上或者椭圆内，即有+≤1，解得m≥1，②由①②可得1≤m＜9．故答案为：[1，9〕．14．过点P〔1，1〕的直线，将圆形区域{〔x，y〕|x2+y2≤4}分两局部，使这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为x+y﹣2＝0 ．【解答】解：要使直线将圆形区域分成两局部的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长到达最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又点P〔1，1〕，那么k OP＝1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P〔1，1〕，故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1＝﹣〔x﹣1〕，即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，假设＝2，那么椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A〔﹣c，〕，∵＝2，∴，且x C﹣c＝c，得x C＝2c．∴C〔2c，〕，代入椭圆，得，即5c2＝a2，解得e＝．故答案为：．16．三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的外表积为12π．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的外表积：4π×＝12π．故答案为：12π．三、解答题．〔一共70分〕17．圆心为C的圆经过点A〔﹣1，1〕和B〔﹣2，﹣2〕，且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上〔1〕求圆C的HY方程；〔2〕假设直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．【解答】解：〔1〕∵点A〔﹣1，1〕和B〔﹣2，﹣2〕，∴k直线AB＝＝3，线段AB的中点坐标为〔﹣，﹣〕，∴线段AB垂直平分线方程为y+＝﹣〔x+〕，即x+3y+3＝0，与直线l联立得：，解得：，∴圆心C坐标为〔3，﹣2〕，∴半径|AC|＝＝5，那么圆C方程为〔x﹣3〕2+〔y+2〕2＝25；〔2〕∵圆C半径为5，弦长为8，∴圆心到直线kx﹣y+5＝0的间隔d＝＝3，即＝3，解得：k＝﹣．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．〔1〕假设点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG〔2〕假设F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．【解答】解：如图，〔1〕证明：设CE∩BD＝O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．〔2〕∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，∴；又∵F是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CF⊥AB，∴，又平面ABC⊥平面BCDE，EB⊥BC，∴EB⊥平面BCF，∴．19．抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M〔4，0〕的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．〔Ⅰ〕写出抛物线C1的HY方程；〔Ⅱ〕求△ABO面积的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕椭圆C2：+＝1的右焦点为〔1，0〕，设抛物线的方程为y2＝2px〔p＞0〕，即有＝1，解得p＝2，那么抛物线的方程为y2＝4x；〔Ⅱ〕设直线AB的方程为x＝my+4，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣16＝0，判别式为16m2+64＞0恒成立，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，那么△ABO面积为S＝S△OAM+S△OBM＝•|OM|•|y1﹣y2|＝2|y1﹣y2|＝2＝2≥2＝16，当且仅当m＝0时，△ABO的面积获得最小值16．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．〔Ⅰ〕求证：AC1∥平面CDB1；〔Ⅱ〕求证：DA1⊥平面AA1C1C．【解答】证明：〔1〕连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF．∵四边形AA1C1C是矩形，∴F是A1C的中点，∴EF∥A1B1，EF＝A1B1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，∴AD∥A1B1，AD＝A1B1，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC1∥DE．又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．〔2〕∵AB＝4AA1＝4，D是AB中点，∴AA1＝1，AD＝2，∵∠BAA1＝60°，∴A1D＝＝．∴AA12+A1D2＝AD2，∴A1D⊥AA1，∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B＝AA1，AC⊥AA1，AC⊂平面AA1C1C，∴AC⊥平面AA1B1B，∵A1D⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1D，又∵AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AC∩AA1＝A，∴DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．〔1〕证明：BE⊥平面D1AE；〔2〕设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．【解答】〔1〕证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝2，∴AE＝BE＝2，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE．〔2〕＝．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN＝＝AB，∴M，F，N，A一共面，假设MF∥平面AD1E，那么MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM＝FN＝．∴＝．22．椭圆C ：＝1〔a＞b＞0〕的短轴长为2，离心率为．过点M〔2，0〕的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕求•的取值范围；〔Ⅲ〕假设B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．【解答】〔Ⅰ〕解：由题意b＝1，得a2＝2c2＝2a2﹣2b2，故a2＝2．故方程为．〔Ⅱ〕解：设l：y＝k〔x﹣2〕，与椭圆C的方程联立，消去y得〔1+2k2〕x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．由△＞0得．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么．∴＝＝．∵，∴，故所求范围是．〔Ⅲ〕证明：由对称性可知N〔x2，﹣y2〕，定点在x轴上．单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明直线AN ：，令y＝0得：，∴直线l过定点〔1，0〕．单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明。

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