2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆1.1.4平行线分线段成比例定理学案北师大版选修4-1

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高中数学第一章直线、多边形、圆1圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材1

托勒密定理及逆定理的证明托勒密定理：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．证明：设ABCD 是圆内接四边形.在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠BDC ，而在AB 上，∠ADB = ∠ACB 。

在AC 上取一点K ，使得∠ABK = ∠CBD ；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD ，所以∠CBK = ∠ABD 。

因此△ABK ∽△DBC ，同理也有△ABD ∽△KBC 。

因此AK/AB = CD/BD ，且CK/BC = DA/BD ；（1）因此AK·BD = AB·CD ，且CK·BD = BC·DA; （2）两式相加,得（AK+CK ）·BD = AB·CD + BC·DA ；但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA 。

证明: 设四边形ABCD 有外接圆O ，AC 和BD 相交于P,∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD 的四边都相等，则四边形ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等,不失一般性，设AB 〈AD 。

在弧AD 上取一点E ，使DE=AB,连结AE ，BE,DE ，则AE∥BD ，于是△ABD ≌△EDB ，从而AD=BE ．KAB C DS 四边形ABCD =21AC ×BD ×sin α又S 四边形BCDE =21（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC而S 四边形ABCD =S 四边形BCDE ，所以21（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC=21AC ×BD ×sin α即（AD ×BC+AB ×CD ）sin ∠EBC=AC ×BD ×sin α．由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC ，所以AD ×BC+AB ×CD=AC ×BD ．托勒密定理逆定理的证明：证明：在任意四边形ABCD 中，连接AC ，取点E 使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD ）∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD ，）则△ABE ∽△ACD 所以CDBE =AC AB ，即BE·AC=AB·CD （1）又有比例式ACAB=ADAE 得：AEAB =ADAC而∠BAC=∠1+∠EAC ，∠DAE=∠2+∠EAC 得∠BAC=∠DAE所以△ABC ∽△AED 相似.得：ED BC =AD AC即ED·AC=BC·AD (2)且∠5=∠6 (1)+(2）,得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD得：AB·CD+AD·BC≥AC·BDA BCDE12 3 456当BE+ED= BD时,点B，E,D共线此时因为∠3=∠4,∠5=∠6在△ABC中,∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180o得:∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180o即∠BAD+∠BCD=180o得此时，A,B，C,D四点共圆.（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证。

2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆 1.2.2 圆的切线的判定和性质学业分层测评北师大版选修4-1

学业分层测评(五) 2.2 圆的切线的判定和性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线，其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】由圆的切线的定义知①②不正确，③④正确.【答案】 C2.如图1241，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P为直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )图1241A. 5B. 3C. 4D. 6【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，∴PB2＝OP2－OB2，而OB＝2，∴PB2＝OP2－4，即PB＝OP2－4，当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PB的最小值为9－4＝ 5.【答案】 A3.如图1242，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )图1242A.72°B.63°C.54°D.36°【解析】连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 【答案】 B4.如图1243，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )图1243A.20°B.25°C.40°D.50°【解析】连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上，所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.【答案】 B5.如图1244，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于( )图1244A.45B.54C.34D.56【解析】设⊙O 的半径为r ，由O 向DC 作垂线，垂足为E ，则Rt△OED ∽Rt△ACD .∴OE ED ＝AC CD ，即r 1－r ＝41，解得：r ＝45.【答案】 A 二、填空题6.如图1245，在半径分别为5 cm 和3 cm 的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，则弦AB 的长为______________cm.图1245【解析】连接OA ，OC ， ∵AB 是小圆的切线， ∴OC ⊥AB ，∴AC ＝12AB .∵在Rt△AOC 中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 87.如图1246所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝______.【导学号：96990022】图1246【解析】如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°. ∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°. ∴OB ＝OD ＝12AO .∴AO OB ＝21. 【答案】 2∶18.圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D ，E ，则∠DAC ＝__________，DC ＝__________.【解析】连接OC ， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°， ∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠DCA ＝∠OCB ， ∵OC ＝3，BC ＝3， ∴△OCB 是正三角形.∴∠OBC ＝60°，即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt△ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝33，DC ＝AC sin 30°＝323.【答案】30°33 2三、解答题9.如图1247，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线.图1247【证明】连接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm.(1)求△ABC内切圆的半径；(2)若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC和边BC都相切，求r的取值范围.【解】(1)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.连接OD，OE，OF，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四边形CEOD是正方形.∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB.∴BD＝BF.同理可得，AE ＝AF .∴AC ＋BC －AB ＝AE ＋EC ＋BD ＋DC －AF －BF ＝EC ＋DC ＝2OD . ∴内切圆的半径r ＝OD ＝AC ＋BC －AB2＝3＋4－52＝1 cm. (2)如图所示，动⊙O 与AC ，BC 相切的最大的圆与AC ，BC 的切点分别是A ，D ，连接OA ，OD ，则四边形AODC 是正方形，此时应有OA ＝AC ＝3 cm ，∴动圆的半径r 的范围为(0,3].能力提升]1.AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是( ) A.AB 与⊙O 相切于直线CD 上的点C B.CD 经过圆心O C.CD 是直径D.AB 与⊙O 相切于C ，CD 过圆心O【解析】圆的切线垂直于过切点的半径或直径. 【答案】 D2.已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径是( )A.533B.536C.10D.5【解析】如图，连接OC ，∠PAC ＝30°，由圆周角定理知， ∠POC ＝2∠PAC ＝60°，由切线性质知 ∠OCP ＝90°.∴在Rt△OCP 中，tan∠POC ＝PCOC. ∴OC ＝PCtan∠POC ＝5tan60°＝533.【答案】 A3.如图1248，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC于点D，若AB＝BC＝2 cm，则CE＝__________，CD＝__________.图1248【解析】∵BC是⊙O切线，AB为直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝2.∴OB＝1，又∵BC＝2，∴OC＝4＋1＝ 5.又∵OE＝1，∴CE＝(5－1)cm，连接BE.不难证明△CED∽△CBE，∴CECD＝CBCE，∴CE2＝CB·CD，∴(5－1)2＝2CD，∴CD＝(3－5)cm.【答案】(5－1)cm (3－5)cm4.如图1249，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于点G.图1249(1)求证：F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线.【导学号：96990023】【证明】(1)∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.∴F是BD中点.(2)连接OC，BC，∵AB是直径，∴BC⊥AD于C.在Rt△BCD中，F为BD中点，∴CF＝BF＝DF.∴∠FCB＝∠FBC.又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠FCB＋∠OCB＝∠FBC＋∠OBC＝∠DBO＝90°.即∠OCG＝90°.∴CG是⊙O的切线.。

高中数学第1章直线、多边形、圆 1.1.4 平行线分线段成比例定理学案北师大版选修41

1.4 平行线分线段成比例定理1.理解平行线分线段成比例定理及其推论.2.理解三角形内角平分线定理.3.能利用平行线分线段成比例定理及三角形内角平分线定理证明比例式或求值.[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例. (2)符号语言表示：如图1123，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝DEEF.图11231.如图1124，已知DE ∥BC ，则下列比例式成立的是( )图1124A.DA AB ＝AC AE B.DE BC ＝DA AB C.EA AB ＝DA AC D.DA AB ＝AE AC【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，DA AC ＝EAAB. 【答案】 C2.如图1125所示，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )图1125A.AB ＝2A ′B ′B.3A ′B ′＝B ′C ′C.BC ＝B ′C ′D.AB ＝A ′B ′【解析】根据平行线分线段成比例定理知，A ′B ′B ′C ′＝AB BC ＝13，∴3A ′B ′＝B ′C ′. 【答案】 B教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例.(2)符号语言表示：如图1126，若l 1∥l 2∥l 3，则AD AB ＝AEAC.图11263.如图1127，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC等于( )图1127A.95 B.54 C.59D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45.∴AB DB ＝95， ∴DB AB ＝59. 又∵DB AB ＝ECAC，∴EC AC ＝59. 【答案】 C教材整理3 三角形内角平分线定理(1)定理的内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.(2)符号语言表示：如图1128，AD 为∠BAC 的平分线，则AB AC ＝BD DC.图11284.在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝5，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则CD BD＝________. 【解析】根据三角形内角平分线定理知，CD BD ＝AC AB ＝53. 【答案】 53[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]如图1129所示，已知l 1∥l 2∥l 3，BC ＝n .求证：DF ＝m ＋n.图1129【精彩点拨】根据平行线分线段成比例定理，寻求AB BC 与DEEF的关系，再用合比性质证明. 【自主解答】 ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴DE EF ＝AB BC ＝m n ， ∴DE DE ＋EF ＝mm ＋n ， ∴DE DF ＝m m ＋n.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明.首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式.在计算或几何证明的同时，注意等比性质、合比性质等的运用.[再练一题]1.如图1130所示，已知：a ∥b ∥c ，那么下列结论中错误的是( )图1130A.由AB ＝BC ，可得FG ＝GHB.由AB ＝BC ，可得OB ＝OGC.由CE ＝2CD ，可得CA ＝2BCD.由GH ＝12FH ，可得CD ＝DE【解析】于E ，F ，交CB 延长线于N ，若AE ＝2，AD ＝6.求AF ∶AC 的值.图1131【精彩点拨】由AD ∥BC ，AM ＝MB 推出AE ＝BN 可得AF ∶AC 的值. 【自主解答】 ∵AD ∥BC ，AM ＝MB ， ∴AF FC ＝AE NC， ∴AF AF ＋FC ＝AEAE ＋NC . ∵AE BN ＝AMMB＝1， ∴AE ＝BN . ∴AF AC ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15，即AF ∶AC ＝1∶5.1.解答本题时，根据题意寻找使用平行线分线段成比例定理的推论的条件是解题的关键.2.运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值.应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等.[再练一题]2.如图1132，已知AE ∥CF ∥DG ，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，CF ＝12 cm ，求AE ，DG 的长.【导学号：96990004】图1132【解】 ∵AE ∥CF ， ∴AE CF ＝ABBC， ∴AE ＝AB BC·CF ，∵AB ∶BC ＝1∶2，CF ＝12 cm ， ∴AE ＝12×12＝6(cm)，∵CF ∥DG ， ∴BC BD ＝CF DG. ∵BC CD ＝23，∴BC BD ＝25， ∴DG ＝BD BC ·CF ＝52×12＝30(cm).如图上的任意一点，过E 作与AD 平行的直线，分别交直线AB ，CA 于F ，G ，求证：BE BF ＝CECG.图1133【精彩点拨】在三角形中，只要存在内角平分线，要考虑三角形内角平分线定理的应用.【自主解答】 ∵EF ∥AD ，∴BE BF ＝BDBA. 又∵AD 平分∠BAC ，∴AB AC ＝BDDC.即BD AB ＝DC AC ，∴BE BF ＝DC AC. ∵AD ∥EG ，∴DC AC ＝CECG，∴BE BF ＝CE CG.解题时注意角平分线定理与平行线分线段成比例定理的综合应用，关键是寻找由公共边构成的比例关系.[再练一题]3.如图1134所示，CD 是∠ACB 的角平分线，DE ∥CB ，BC ＝2，AC ＝3，则DE ＝________.图1134【解析】 ∵CD 平分∠ACB ， ∴AD DB ＝AC BC ＝32， ∴AD AB ＝35. 又∵DE ∥CB ， ∴DE BC ＝AD AB ＝35， ∴DE ＝65.【答案】 65如图1135所示，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于E ，F ，与CD 的延长线交于K .图1135求证：KO 2＝KE ·KF .【精彩点拨】延长CK ，BA ，设它们交于点H ，则图形中出现两个基本图形，将KO KE ，KF KO进行转换而找到中间比.【自主解答】延长CK ，BA ，设它们交于点H .∵KO ∥HB ，∴KO HB ＝DKDH，KE HA ＝DK DH. ∴KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA. ∵KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HBHA.∴KO KE ＝KF KO，即KO 2＝KE ·KF .本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到KO KE 与KFKO的中间比，使问题得以突破，也可以由两个基本图形直接得到KO KE ＝HB HA ，KF KO ＝HBHA.[再练一题]4.已知：如图1136，点E 是▱ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O ，交AD于点F .求证：OB 2＝OE ·OF .图1136【证明】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，AD ∥BC . 由AB ∥CE ，得OB OE ＝OA OC . 由AF ∥BC ，得OA OC ＝OF OB. 所以OF OB ＝OBOE(等量代换).即OB 2＝OE ·OF .[探究共研型]【提示】 (1)它包括以下三种基本图形(DE 为截线)，如下图.习惯上称图a 与c 为“A”型.称图b 为“X”型.(2)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.探究2 如何构造利用平行线分线段成比例定理的条件？【提示】在已有三条(或三条以上)平行线时，可作直线与这些平行直线都相交；在三角形中作边的平行线或在梯形中作两底的平行线等.这些线的作出并非随意，而是根据题目的具体条件和要求而定.如图1137，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 中点，延长AC ，DE 相交于点F ，求证：AC BC ＝AF DF.图1137【精彩点拨】由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证.【自主解答】作EH ∥AB 交AC 于点H ，则AC AH ＝BC BE ，∴AC BC ＝AH BE.同理：AF AH ＝DFDE， ∴AF DF ＝AH DE. ∵△BDC 为直角三角形，且E 为BC 边中点， ∴BE ＝CE ＝DE . ∴AH BE ＝AH DE .∴AC BC ＝AF DF.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究.有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的.[再练一题]5.已知AD ∥EF ∥BC ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE ∶BE ＝2∶3，AD ＝10 cm ，BC ＝15 cm ，求EF 的长.【解】法一：如图(1)，连接BD 交EF 于点G .(1) (2)∵AE BE ＝23，∴AE AB ＝25，BE AB ＝35. ∵AD ∥EF ∥BC ， ∵AE AB ＝DF DC ＝GF BC ＝25. ∵BC ＝15 cm ，∴GF ＝6 cm. 同理可得EG ＝6 cm. ∴EF ＝EG ＋GF ＝12 cm.法二：如图(2)，过点D 作DH ∥AB 交EF 于点G ，交BC 于点H . ∵AD ∥EF ，DH ∥AB ， ∴四边形AEGD 是平行四边形. ∴EG ＝AD ＝10 cm. 同理可得BH ＝10 cm. 又BC ＝15 cm ，∴HC ＝5 cm. ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AE AB ＝DF DC ＝GF HC ＝25.又HC ＝5 cm ，∴GF ＝2 cm ，∴EF ＝EG ＋GF ＝12 cm.[构建·体系]1.如图1138，D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，则以下比例成立的是( )图1138A.AD BD ＝DE BCB.AE EC ＝BF FCC.DF AC ＝DE BCD.EC AC ＝BF BC【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE EC ，∴BD AD ＝ECAE. ① 又∵DF ∥AC ，∴BD DA ＝BFFC. ②由①②知EC AE ＝BF FC ，即EC AE ＋EC ＝BFFB ＋FC.∴EC AC ＝BF BC. 【答案】 D2.如图1139所示，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，AD 平分∠BAC ，则BD 的值是( )【导学号：96990005】图1139A.167 B.157C.125D.52【解析】 ∵AD 平分∠BAC ， ∴BD DC ＝AB AC ＝34， ∴BD BD ＋DC ＝33＋4＝37，即BD 5＝37， ∴BD ＝157.【答案】 B3.如图1140，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －ABBN为( )图1140A.12B.1C.32D.23【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM，∴DM ＋MN MN ＝MC ＋BMBM . ∴DN MN ＝BC BM， ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MNMN＝1. 【答案】 B4.如图1141所示，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD的值为________.图1141【解析】结合平行线的性质可得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，那么EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 【答案】 15.如图1142，已知：AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，过O 作OM ∥AD 交AB 于点M ，求证：1AD ＋1BC ＝1OM.【导学号：96990006】图1142【证明】 ∵AD ∥BC ∥OM ， ∴BM AB ＝OM AD ，AM AB ＝OM BC ， ∴OM AD ＋OM BC ＝BM ＋AM AB ， ∴OM AD ＋OMBC＝1， ∴1AD ＋1BC ＝1OM.我还有这些不足：(1)(2 我的课下提升方案：(1)(2)。

2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆 1.3.1 圆内接四边形 1.3.2

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆1.3.1 圆内接四边形 1.3.2 托勒密定理学业分层测评北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，②sin A＋sin C＝0，③cos B＋cos D＝0，④cos B＝cos D.其中恒成立的关系式的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】因为圆内接四边形的对角互补，故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立.同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立.④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立.【答案】 B2.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确，②④错误.【答案】 B3.如图1315，ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B等于( )图1315A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】 ∵∠HAD ＝30°， ∠AHD ＝90°，∴∠D ＝60°，则∠B ＝120°. 【答案】 B4.如图1316，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，则∠BOD 等于( )图1316A.75°B.90°C.100°D.120°【解析】 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°. 【答案】 C5.如图1317，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )图1317A.33a B.62aC.12a D.13a 【解析】 ∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ，∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°，∴AB ＝AD ＝BD ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠CDB ＝30°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ＝tan30°·AD ＝33a . 【答案】 A 二、填空题6.圆内接四边形ABCD 中，∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________.∠D ＝__________.【导学号：96990039】【解析】 ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ∶∠D ＝1∶3， ∴∠B ＝45°，∠D ＝135°.又∠B ∶∠C ＝1∶2， ∴∠C ＝90°.又∠A ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＝90°【答案】 90° 45° 90° 135°7.(陕西高考)如图1318，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.图1318【解析】法一：连接CE ，则∠BEC ＝90°，∵AC ＝2AE .∴∠ACE ＝30°，∠A ＝60°，△ABC 为等边三角形，在Rt△BCE 中，∠BCE ＝30°，∴CE 为∠ACB 的平分线，∴︵BE ＝︵EF ，∴BE ＝EF ＝12BC ＝3.法二：∵B ，C ，F ，E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC ，即12＝EF6，∴EF ＝3. 【答案】 38.如图1319，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，则AC ＝__________，BD ＝__________.图1319【解析】 ∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB ，即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD ， ∴BD ＝AB 22＝5 2.【答案】 6 cm 5 2 cm 三、解答题9.如图1320，BA 是⊙O 的直径，延长BA 至E ，使得AE ＝AO ，过E 点作⊙O 的割线交⊙O 于D ，C ，使得AD ＝DC .图1320(1)求证：OD ∥BC ；(2)若ED ＝2，求⊙O 的内接四边形ABCD 的周长.【解】 (1)证明：连接AC ，∵OD 是⊙O 的半径，AD ＝DC ， ∴OD ⊥AC ，又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴OD ∥BC .(2)由(1)及EA ＝AO ，ED ＝2，知OD BC ＝ED EC ＝EO EB ＝23，∴EC ＝3.∵ED ·EC ＝EA ·EB ＝3EA 2， ∴3EA 2＝2×3，即EA ＝ 2.∵CD ＝EC －ED ＝1，BC ＝32OD ＝32EA ＝322，∴四边形ABCD 的周长为AD ＋CD ＋BC ＋BA ＝2＋722.10.如图1321，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根，图1321(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径.【证明】 (1)如图，连接DE ，在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆.(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12，故AD ＝2，AB ＝12. 如图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.能力提升]1.若AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高线，交于H ，则图1322中四点共圆的组数是( )图1322A.3B.4C.D.6【解析】 B ，D ，H ，F 共圆；C ，D ，H ，E 共圆；A ，E ，H ，F 共圆；A ，F ，D ，C 共圆；B ，C ，E ，F 共圆；A ，B ，D ，E 共圆.【答案】 D2.如图1323，AB 是⊙O 的弦，过A ，O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )图1323A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm 【解析】连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ， ∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD .∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ， ∠CDO ＝∠OBA ，∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C3.若两条直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0，(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a ＝__________.【解析】 ∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，∴这两条直线垂直，即(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1. 【答案】 ±14.如图1324，在直径是AB 的半圆上有两点M ，N ，设AN 与BM 的交点为P . 求证：AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB 2.图1324【证明】作PE ⊥AB 于点E .∵AB 为直径， ∴∠ANB ＝∠AMB ＝90°，∴P ，E ，B ，N 四点共圆，P ，E ，A ，M 四点共圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ AE ·AB ＝AP ·AN ，BE ·AB ＝BP ·BM .①②①＋②得AB (AE ＋BE )＝AP ·AN ＋BP ·BM ，即AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB 2.。

高中数学第1章直线、多边形、圆1.1.4平行线分线段成比例定理学业分层测评北师大版选修41

高中数学第1章直线、多边形、圆1.1.4平行线分线段成比例定理学业分层测评北师大版选修41(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1143，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，BC ＝100，那么EF 的值是( )图1143A.10B.12C.16D.18【解析】因为AB ∥EF ∥CD ，所以EF AB ＝CF BC ，EF CD ＝BFBC，故EF AB ＋EF CD ＝CF BC ＋BF BC ＝BCBC ＝1，即EF 20＋EF80＝1，EF ＝16. 【答案】 C2.如图1144，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )图1144A.2∶1B.3∶1C.4∶1D.5∶1【解析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点，所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.【答案】 C3.如图1145所示，梯形ABCD 中，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于G ，交BC 于F ，下列结论：图1145①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】 ∵BC ∥AD ，∴EC CD ＝EF AF ，FG AG ＝BGGD，∴①，②正确. 由BC ∥AD 得AF EF ＝CDCE，∴AF AF ＋EF ＝CDCD ＋CE . 即AF AE ＝CD DE，即AF CD ＝AEDE，∴④正确.【答案】 C4.如图1146，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ∶DB ＝2∶3，BC ＝20 cm ，则BF ＝( )图1146A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴AD DB ＝AE EC. 又∵EF ∥AB ， ∴BF FC ＝AE EC，∴BF FC ＝AD DB ＝23.设BF ＝2x ，则FC ＝3x ，∴5x ＝20，x ＝4， ∴BF ＝2x ＝8(cm). 【答案】 C5.如图1147，已知P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP CP ＝25，CQ QA ＝34，则ARRP＝( )图1147A.3∶14B.14∶3C.17∶3D.17∶14【解析】过点P 作PM ∥AC ，交BQ 于M ，则AR RP ＝AQPM.∵PM ∥AC 且BP CP ＝25，∴QC PM ＝BC BP ＝72. 又∵CQ QA ＝34，∴AQ PM ＝QC PM ·AQ QC ＝72×43＝143.即AR RP ＝143. 【答案】 B 二、填空题6.如图1148：已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 的延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，则AE ＝__________.图1148【解析】作DH ∥BC 交AB 于H ，则H 为AB 中点， ∵AG ∶BG ＝1∶3，∴AG ∶GH ＝1∶1， ∴G 为AH 的中点，又∵HD ∥AE ， ∴AE ＝HD ＝12BC ＝4.【答案】 47.如图1149所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，已知AB ，BD ，DC 的长度分别是3,2,4，则AC 的长为__________.图1149【解析】如图所示，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于E .则BD DC ＝AEEC.又∵AD 为∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAE .∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE . ∴∠DAE ＝∠ADE .∴AE ＝DE . ∴BD DC ＝AE EC ＝DE EC ＝AB AC ，即BD DC ＝ABAC.∴AC ＝AB ·DC BD ＝3×42＝6. 【答案】 68.如图1150，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4，则S △ADE ∶S 四边形DEGF∶S 四边形BCGF ＝__________.【导学号：96990007】图1150【解析】 ∵AD ∶DF ＝2∶3， ∴AD ∶AF ＝2∶5. ∴S △ADE ∶S △AFG ＝4∶25.∵AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4，∴AD ∶AB ＝2∶9.∴S △ADE ∶S △ABC ＝4∶81，∴S △ADE ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形BCGF ＝4∶21∶56. 【答案】 4∶21∶56 三、解答题9.如图1151所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .图1151(1)求证：OE ＝OF ； (2)求OE AD ＋OE BC的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.【解】 (1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC .∴OE BC ＝AEAB，OF BC ＝DF DC ，AE AB ＝DF DC ，∴OE BC ＝OF BC，即OE ＝OF . (2)∵OE ∥AD ， ∴OE AD ＝BE AB. 由(1)知，OE BC ＝AE AB， ∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知， ∵OE AD ＋OE BC ＝1， ∴2OE AD＋2OEBC＝2.由(1)，知EF ＝2OE ， ∴EF AD ＋EF BC＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF.10.如图1152，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：EF ∥BC 且EF ＝12(BC －AD ).图1152【证明】法一：如图，连接AE 并延长交BC 于点G . 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠GBE ，DE ＝BE ，∠AED ＝∠GEB ， ∴△ADE ≌△GBE ， ∴AE ＝GE ，AD ＝BG . 又∵AF ＝CF ，∴EF 为△ACG 的中位线， ∴EF ∥CG ，EF ＝12CG ，即EF ＝12(BC －AD ).法二：如图，取DC 的中点M ，连接EM . ∵E 是BD 的中点， ∴EM 是△BDC 的中位线， ∴EM ═∥12BC .又∵AD ∥BC ，∴EM ∥AD ， ∴EM 与AC 的交点必为AC 的中点. ∵F 是AC 的中点， ∴F 在EM 上且MF ═∥12AD . ∴EF ＝EM －FM ＝12(BC －AD ).能力提升]1.如图1153所示，AB ∥CD ∥EF ，AF ，BE 相交于O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO 的长为( )图1153A.103cm B.5 cm C.52cm D.3 cm【解析】 ∵CD ∥EF ，OD ＝DF ， ∴C 为OE 中点，∴OC ＝CE .∵AB ∥CD ，AO ＝OD ，∴O 为BC 中点， ∴BO ＝OC ，∴OB ＝13BE ＝103 cm.【答案】 A2.如图1154所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ∶BC ＝a ∶b ，中位线EF ＝m ，则图中MN 的长是( )图1154A.m a ＋b b －aB.m b －aa －bC.m b －a2a ＋bD.m b －aa ＋b【解析】 ∵EF 是梯形ABCD 的中位线， ∴EF ＝12(AD ＋BC )，即AD ＋BC ＝2m .又∵EM ∥AD ，E 为AB 的中点， ∴EM ＝12AD .同理EN ＝12BC ，∴MN ＝EN －EM ＝12(BC －AD )＝12·2m BC －AD AD ＋BC ＝m b －a a ＋b . 【答案】 D3.如图1155所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为__________.【导学号：96990008】图1155【解析】如图，延长AD ，BC 交于点O ，作OH ⊥AB 于点H . ∴xx ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 1，S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1，∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 【答案】 7∶54.如图1156，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN ∥BC 且交对角线BD 于O ，AD ＝DO ＝p ，BC ＝BO ＝q ，则MN 为多少？图1156【解】 ∵AD ∥BC ，MN ∥BC ， ∴AD ∥BC ∥MN ， ∴MO AD ＝BO BD ＝qp ＋q，ON BC ＝OD BD ＝p p ＋q， ∴MO ＝AD ·qp ＋q ＝pq p ＋q，ON ＝BC ·p p ＋q ＝pqp ＋q，∴MN ＝MO ＋ON ＝2pqp ＋q.。

2016-2017学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质 2 平行线分线段成比例定理学案

二平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．图121如图122所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )图122A.AD DC ＝AFDE B.CE CB ＝BF AB C.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC【解析】 ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形， ∴DE ＝BF ，DF ＝EB ， ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确；CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确； CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确．【答案】 D教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论阅读教材P 7～P 9，完成下列问题． 1．文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．图形语言如图123，l 1∥l 2∥l 3，图123如图124所示，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不正确的是( )图124A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE【解析】由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A ，B ，C 都是正确的，D 是错误的．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]如图F ，使AE ＝AF ，求证：EP FP ＝AC AB.图125【精彩点拨】在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N ，且BC 的中点为D ，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】如图，过C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N .∵AE ＝AF ，∴AM ＝AC . ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD ＝CD .延长AD 到G ，使得DG ＝AD ，连接BG ，CG ，则四边形ABGC 为平行四边形，∴AB ＝GC . ∵CM ∥EF ，∴EP MN ＝FP CN ＝APAN，∴EP FP ＝MN CN.又AB ∥GC ，AM ＝AC ，GC ＝AB ， ∴MN CN ＝AM GC ＝AC AB ，∴EP FP ＝ACAB.1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，EP FP ＝MN CN ＝AM GC ＝ACAB.[再练一题]FH ，求证：AB AC ＝EG FH.图126又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF， ∴AB AC ＝EG FH.如图FE ∥BC 交AB于E ，DF 的延长线交BC 于H ，DE 的延长线交CB 的延长线于G .求证：BC ＝GH . 【导学号：07370006】图127【精彩点拨】从复杂的图形中找出基本图形△ABC 和△DHG ，而EF 是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】 ∵FE ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH. ∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH，∴EF BC ＝EF GH，∴BC ＝GH .1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式． 2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．[再练一题]2．如图128所示，已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，两腰BA ，CD 的延长线相交于点O ，EF ∥BC 且EF 过点P .求证：(1)EP ＝PF ； (2)OP 平分AD 和BC .图128【证明】 (1)∵EP ∥BC ，∴EP BC ＝AE AB.又∵PF ∥BC ，∴PF BC ＝DF DC. ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC，∴EP BC ＝PF BC，∴EP ＝PF . (2)在△OEP 中，AD ∥EP ，∴AH EP ＝OH OP. 在△OFP 中，HD ∥PF ，∴HD PF ＝OHOP， ∴AH EP ＝HD PF.又由(1)知EP ＝PF ，∴AH ＝HD . 同理BG ＝GC∴OP 平分AD探究1 【提示】∴DF ＝BC ， ∴AD AB ＝DE BC， ∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC.探究2 如何证明课本中P 9中“探究”？【提示】如果l 1与l 2相交于点G (如图(1))，那么l 1与l 2确定一个平面π.连接AD ，BE ，CF ，则AD ，BE ，CF 均在平面π上，且AD ∥BE ∥CF .由平行线分线段成比例定理可知，AB BC ＝DE EF. 如果l 1与l 2是异面直线，那么可在直线l 2上取一点G ，过点G 作l 3∥l 1，设l 3与平面α，β，γ分别相交于P ，Q ，R (如图(2))，则l 1与l 3确定一个平面π1，l 3与l 2确定一个平面π2.在π1中，连接AP ，BQ ，CR ，则AP ∥BQ ∥CR ，所以AB BC ＝PQQR . 在平面π2中，连接PD ，QE ，RF ，则PD ∥QE ∥RF ，所以PQ QR ＝DEEF，所以AB BC ＝DE EF.(1) (2)如图129所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求OE AD ＋OE BC的值； (2)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.图129【精彩点拨】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出EF ＝2OE ，再利用(1)的结果证明．【自主解答】 (1)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BE AB. ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC ， ∴OE BC ＝AE AB， ∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(2)证明：∵AD ∥BC ∥EF ，可得OF BC ＝OD BD ＝OA AC ＝OEBC，故OF ＝OE ，即EF ＝2OE . 由(1)知，∵OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC＝2.∴EF AD ＋EFBC＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形． 2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．[再练一题]3．如图1210，已知点E 是▱ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O ，交AD07370007】图1210由AF ∥BC ，得OA OC ＝OF OB，所以OF OB ＝OB OE(等量代换)，即OB 2＝OE ·OF .[构建·体系]1．如图1211，已知DE ∥BC ，则下列比例式成立的是( )图1211A.DA AB ＝ACAE B.DE BC ＝DA AB C.EA AB ＝DA ACD.DA AB ＝AE AC【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，DA AC ＝EAAB.【答案】 C2．如图1212，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC等于( )图1212A.95 B.54 C.59D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45.∴AB DB ＝95， ∴DB AB ＝59. 又∵DB AB ＝EC AC，∴EC AC ＝59. 【答案】 C3．如图1213所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【解析】设河宽为x＝35，BC CD ＝3，则AEEC＝________. 【导学号：07370008】图1214【解析】 ∵a ∥b ， ∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又∵AF BF ＝35，∴AG BD ＝AF BF ＝35， ∴AG 4CD ＝35，∴AG CD ＝125， ∴AE EC ＝AG CD ＝125.【答案】1255．如图1215，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15 cm ，AF ＝4 cm ，求BE 和DE 的长．图1215【解】 ∵DE ∥AC ， ∴∠3＝∠2. 又AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，即AE ＝ED . ∵DE ∥AC ，EF ∥BC ，∴四边形EDCF 是平行四边形， ∴ED ＝FC ，即AE ＝ED ＝FC . 设AE ＝DE ＝FC ＝x .由EF ∥BC ，得AE BE ＝AF FC ，即x 15－x ＝4x，解得x 1＝6，x 2＝－10(舍去)．所以DE ＝6(cm)，BE ＝15－6＝9(cm)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1216，梯形ABCD 中，AE 分别交BD 于G ，交BC 于F .下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )图1216A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵BC ∥AD ， ∴EC CD ＝EF AF ，AF AE ＝CDDE，故①④正确．∵BF ∥AD ，∴FG AG ＝BG GD，故②正确．【答案】 C2．如图1217，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝( )图1217A.32 B.23 C.52D.25【解析】 ∵CD ∥AB ，∴CD BE ＝FD EF ＝32，又AD ∥BC ，∴BF AD ＝EF ED.由FD EF ＝32，得FD ＋EF EF ＝3＋22，即ED EF ＝52， ∴AD BF ＝ED EF ＝52.故选C. 【答案】 C3．如图1218，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －AB BN为( )【导学号：07370009】图1218A.12 B ．1 C.32D.23【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM， ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋BMBM，∴DN MN ＝BC BM， ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MNMN＝1.【答案】 B4．如图1219，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )图1219A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1【解析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点，所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.【答案】 C5．如图1220，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是( )图1220A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21【解析】如图，作MN ∥AD 交DC 于点N ，∴DN NE ＝AM ME. 又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52，∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1221，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ＝CE ，若AB ∶AC ＝3∶2，BC ＝10，则DE 的长为__________．图1221【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴AD ∶AE ＝AB ∶AC ＝3∶2. ∵AD ＝CE ， ∴CE ∶AE ＝3∶2. ∵AE ∶AC ＝2∶5， ∴DE ∶BC ＝2∶5. ∵BC ＝10， ∴DE ∶10＝2∶5，解得DE ＝4. 【答案】 47．如图1222，已知B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，则AD ∶DF ＝________.图1222【解析】如图，过D 作DG ∥AC 交FC 于G .则DG BC ＝ED EB ＝23，∴DG ＝23BC .又BC ＝13AC ，∴DG ＝29AC .∵DG ∥AC ，∴DF AF ＝DG AC ＝29，∴DF ＝29AF .从而AD ＝79AF ，∴AD ∶DF ＝7∶2.【答案】 7∶28．如图1223，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.图1223【解析】 ∵AD ∥EF ∴EO ＝FO ，而EO BC ＝AE AB ＝AD ＝12，，∴EF ＝15.为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P .如图1224，图1224【解】过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，因为D 为OA 中点，所以AE ＝CE ＝12AC ，DE CO ＝12，因为点C 为OB 中点，所以BC ＝CO ，DE BC ＝12，所以PE PC ＝DE BC ＝12，所以PC ＝23CE ＝13AC ，所以AP PC ＝AC －PC PC ＝23AC13AC ＝2.10．如图1225，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连接AD ，BC 交于点E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF. 【导学号：07370010】图1225【证明】 ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BFBD，∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝DF ＋BF BD ＝BDBD ＝1，∴1AB ＋1CD ＝1EF.[能力提升]1．如图1226，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为()图1226A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13.而AE BE ＝13，即AE BE ＝DGBE，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝FD ，EF ＝FG ＝CG，故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.【答案】 C2．如图1227，已知P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP CP ＝25，CQ QA ＝34，则AR RP＝( )图1227A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14【解析】过点P 作PM ∥AC ，交BQ 于M ，则AR RP ＝AQPM.∵PM ∥AC 且BP CP ＝25，∴QC PM ＝BC BP ＝72. ＝143，中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上EFCD 的面积比为__________．图1228【解析】如图，延长AD ，BC 交于点O ，作OH ⊥AB 于点H .∴xx ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 1，S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1，∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 【答案】 7∶54．某同学的身高为1.6 m ，由路灯下向前步行4 m ，发现自己的影子长为2 m ，求这个路灯的高．【解】如图所示，AB 表示同学的身高，PB 表示该同学的影长，CD 表示路灯的高，则AB ＝1.6 m ，PB ＝2 m ，BD ＝4 m.∵AB ∥CD ， ∴PB PD ＝AB CD， ∴CD ＝AB ×PDPB＝＋2＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.1 全等与相似三角形重要要素素材北师大版选修4-1

三角形重要要素中线连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线三角形的三边中任意两边中点的连线。

它平行于第三边且等于第三边的一半。

[1] [4] 边角关系三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

请参考相关词条。

性质角 1．在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）；2．在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；3．在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

边 6．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

7．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

8．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

9．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

10．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

11．等底同高的三角形面积相等。

12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

13．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

14．等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

其他15．在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.1 全等与相似平行线分线段成比例定理素材北师大版选修41

平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。

也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。

说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。

事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.1圆周角定理课件北师大版选修41

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【自主解答】延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，连接 BF，CG， ∵∠1＝∠2，∴B︵F＝C︵G， ∴BF＝CG，B︵G＝C︵F， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE， ∴∠F＝∠G，A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC.
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1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键. 2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.
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[再练一题] 1.如图 1-2-4，△ABC 内接于⊙O，高 AD，BE 相交于 H，AD 的延长线交⊙O 于 F，求证：BF＝BH.
图 1-2-4
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【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AHE＝∠C. ∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.
第三页，共49页。
1.△ABC 内接于⊙O，且A︵B∶B︵C∶C︵A＝3∶4∶5，则∠A＝________，∠B ＝________，∠C＝________.
【解析】 ∵A︵B∶B︵C∶C︵A＝3∶4∶5， ∴A︵B的度数为 90°，B︵C的度数为 120°，C︵A的度数为 150°， ∴∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°. 【答案】 60° 75° 45°
第三十三页，共49页。
(江苏高考)如图 1-2-9，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点.证明：∠OCB＝∠D.
图 1-2-9
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【精彩点拨】 A︵C所对的圆周角是∠B 与∠D，∠B＝∠D，△OBC 为等腰三角形，∠OCB＝∠B.

高三数学第1章知识点

高三数学第1章知识点在高三数学第1章中，有许多重要的知识点需要我们认真学习和掌握。

以下是本章中的主要知识点：1. 线段的长度计算在数学中，线段是由两个点构成的。

计算线段的长度是一个基本的数学技能。

我们可以使用勾股定理或坐标系中的距离公式来计算线段的长度。

2. 直线和平行线直线是由无数个点构成的，在二维平面上是一条无限延伸的路径。

而平行线是永远不会相交的直线。

我们需要学会如何判断两条直线是否平行，并能解决与平行线相关的问题。

3. 角的定义和计算角是由两条射线共同端点组成的图形。

角可以根据其大小被分类为锐角、直角、钝角或平角。

我们需要学会如何计算角的度数，并且能够在几何问题中应用角的性质。

4. 三角形的性质和分类三角形是由三条线段组成的图形。

根据其边长和角的大小，三角形可以被分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

学习三角形相关的性质和分类将帮助我们解决各种几何问题。

5. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

我们需要了解相似三角形的性质，并学会在解决几何问题时应用相似三角形的概念。

6. 圆的性质和计算圆是由一个确定的中心点和一系列以该中心点为半径的点构成的。

我们需要掌握圆的相关性质，如直径、弧长、扇形面积等，并能够应用这些知识解决圆相关的问题。

7. 平面向量平面向量是有大小和方向的物理量。

我们需要了解向量的表示方法、运算法则以及向量的几何意义，并能够在几何和物理问题中灵活运用向量的知识。

以上是高三数学第1章的主要知识点总结。

通过深入学习和理解这些知识点，我们将能够更好地应对数学问题，提高数学解题能力。

希望同学们能够认真对待，积极学习，取得优异的成绩！。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第二课时平行线

第二课时平行线分线段成比例定理[对应学生用书P5][自主学习]1．平行线分线段成比例定理及推论如图，若a ∥b ∥c ，则AD AB ＝2．三角形内角平分线定理[合作探究]1．平行线分线段成比例定理的条件是什么？提示：定理的条件应给出一组平行线，至少三条，可以推广到多条但要注意对应成比例． 2．线段的比与比例线段有何异同？提示：线段的比是两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的．线段的比有顺序性，a ∶b 与b ∶a 通常是不相等的．比例线段也有顺序性，如线段a ，b ，c ，d 成比例，与线段a ，c ，b ，d 成比例不同．3．三角形内角平分线定理中能否写成AB ·DC ＝BD ·AC? 提示：可以．但要注意其对应成比例不变．[对应学生用书P5][例1] 如图，AD 为△ABC 的中线，在AB 上取点E ，AC 上取点F ，使AE ＝AF ，求证：EP FP ＝ACAB.[思路点拨] 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理证明比例式．解答此题时，可考虑过C 作CM ∥EF ，补一个平行四边形求解．[精解详析] 如图，过C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N .∵AE ＝AF ，∴AM ＝AC . ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD ＝CD .延长AD 到G ，使得DG ＝AD ，则四边形ABGC 为平行四边形． ∴AB ＝GC . ∵CM ∥EF ，∴EP MN ＝FP CN ＝AP AN ，∴EP FP ＝MNCN.又AB ∥GC ，AM ＝AC ，GC ＝AB ， ∴MN CN ＝AM GC ＝AC AB .∴EP FP ＝AC AB.1．利用平行线分线段成比例定理证明比例式时，当不能直接证明要证的比例成立时，常把线段的比转化为另两条线段的比．2．当题中没有平行线条件而必须转移比例时，常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的．1．AD 为△ABC 的中线，过C 作任一直线交线段AB 及中线AD 于F ，E .求证：AE ED ＝2AFFB.证明：作FK ∥AD 交BC 于点K ，则有AF FB ＝DK BK. 又FK AD ＝BK BD ，ED FK ＝CDCK，CD ＝BD ，两式相乘，得ED AD ＝BK CK ，即AD ED ＝CKBK，∴AE ＋DE ED ＝CD ＋DK BK ＝BD ＋DK BK ＝BK ＋2DKBK ， ∴AE ED＝2DK BK，又DK BK ＝AF FB，∴AE ED＝2AF FB.[例2] E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·FA .[思路点拨] 本题只需证AE EC ＝FA FB 即可．由于AE EC 与FAFB没有直接关系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来．因此考虑添加平行线构造过渡比．[精解详析] 过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点，如图所示．∵AG ∥BD ，∴FA FB ＝AG BD .又∵BD ＝DC ，∴FA FB ＝AG DC. ∵AG ∥BD ，∴AG DC ＝AEEC.∴AE EC ＝FA FB，即AE ·FB ＝EC ·FA .证明乘积式时先转化为比例式，再利用平行线分线段成比例定理证明，必要时添加辅助平行线．2．如图已知，点E 是▱ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O ，交AD 于点F .求证：OB 2＝OE ·OF .证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，AD ∥BC . 由AB ∥CE ，得OB OE ＝OA OC . 由AF ∥BC ，得OA OC ＝OF OB. 所以OF OB ＝OB OE(等量代换)．即OB 2＝OE ·OF .[例3] 如图所示，∠A ＝∠E ，AB BE ＝12，BD ＝8，求BC 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理求线段长．解此题时，由于BC 和BD 是对应线段，因此只需得出AC ∥DE 即可．[精解详析] ∵∠A ＝∠E ，∴AC ∥DE ，∴BC BD ＝AB BE ，∴BC 8＝12，∴BC ＝4.在列比例式求线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式的一项，以减少比例变形，减少错误．3.如图，EF ⊥FD ，AB ⊥FD ，CD ⊥FD ，EF ＝1.5，AB ＝2.5，FB ＝2，BD ＝6，求CD 的长．解：由EF ⊥FD ，AB ⊥FD ，CD ⊥FD ，得EF ∥AB ∥CD .过E作EH⊥CD于H，交AB于G，则EH∥FD，则EF＝GB＝HD，EG＝FB，GH＝BD，AG＝AB－EF＝2.5－1.5＝1，AG CH ＝EGEH＝FBFD＝14，所以CH＝4，所以CD＝CH＋HD＝4＋1.5＝5.5.本课主要考查平行线分线段成比例定理，难度较低，属中低档题．[考题印证]如图，设D是△ABC的边AB上的一点，D点沿着平行于BC的方向移动到AC边上的E点，再由E点沿着平行于AB的方向移动到BC边上的F点；再由F点沿着平行于CA的方向移动到AB边上的G点……这样每沿着平行于某边的直线移动到另一边算作一次，那么最多n次，D点可回到原出发点，则n的值为．[命题立意]本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．[自主尝试] 当D点是AB边的中点时，只需3次；当D点是AB边上除中点外的任一点时，由平行线分线段成比例定理得AD BD ＝AEEC＝BFFC＝BGAG＝CHAH＝CKBK＝AMBM，∴AD＋BDBD＝AM＋BMBM，即ABBD＝ABBM，∴BD＝BM，可知D点与M点重合，∴n＝6.答案：6[对应学生用书P7]一、选择题1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝2∶1，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝A ′B ′ B ．AB ∶AC ＝2∶3 C ．A ′C ′＝2BCD ．CC ′＝2AA ′解析：选B ∵AB BC ＝21，∴BC AB ＝12.∴BC ＋AB AB ＝1＋22.∴AC AB ＝32，即AB AC ＝23. 2．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1解析：选C 过D 作DG ∥AC 交BE 于G ， ∴DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，∴AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( )A ．∠AEF ＝∠DECB ．FA ∶CD ＝AE ∶BCC ．FA ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC解析：选B 对于A ，根据对顶角相等，此结论正确；对于B ，分析可得FA ∶FB ＝AE ∶BC ，所以此结论错误；对于C ，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；对于D ，由平行四边形性质知，正确．4．如图，在△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选C 过点D 作DG ∥AB 交EC 于G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DGBE.∴AE ＝DG . ∴AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG . ∴EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.二、填空题5．如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M ，交AB 于中点N ，交CB 的延长线于点P .若MN ＝1，PN ＝3，则DM 的长为．解析：∵AD ∥BC ，AN ＝NB ，∴DN PN ＝ANNB＝1. ∵PN ＝3，∴DN ＝3. ∵MN ＝1，∴DM ＝DN －MN ＝2. 答案：26．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝ .解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ，于是△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AE 2＝9.答案：97．如图，体育兴趣小组选一名身高1.6 m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2 m ，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9 m ，那么旗杆的高度是 m.解析：由题意得1.6∶1.2＝旗杆的高度∶9.所以旗杆的高度为12 m. 答案：128．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，直线AE 交BC 于F ，则BFFC的值为．解析：过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M ， ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . ∵点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF . ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.答案：12三、解答题9.已知线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P .如图，当OA ＝OB ，且D 为OA 中点时，求APPC的值．解：过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，因为D 为OA 中点，所以AE ＝CE ＝12AC ，DE CO ＝12，因为点C 为OB 中点，所以BC ＝CO ，DE BC ＝12，所以PE PC ＝DE BC ＝12，所以PC ＝23CE ＝13AC ，所以AP PC ＝AC －PC PC ＝23AC13AC ＝2.10．如图，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连接AD ，BC 交于点E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BFBD，∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝DF ＋BF BD ＝BDBD ＝1，∴1AB ＋1CD ＝1EF.11．已知▱ABCD 的对角线交于点O ，点P 是直线BD 上任意一点(异于B ，O ，D 三点)，过P 点作平行于AC 的直线，交直线AD 于E ，交直线BA 的延长线于F .(1)若点P 在线段BD 上(如图所示)，试说明：AC ＝PE ＋PF . (2)若点P 在BD 或DB 的延长线上，试探究AC ，PE ，PF 满足的等量关系式(只写出结论，不作证明)．解：(1)延长FP 交DC 于点G ，因为AB ∥CD ，AC ∥FG ，所以四边形AFGC 是平行四边形，所以AC ＝FG (平行四边形的对边相等)，因为EG ∥AC ，所以EP OA ＝DP DO ＝PG OC(被平行线所截的线段对应成比例)；又因为OA ＝OC ，所以PE ＝PG ，所以AC ＝FG ＝PF ＋PG ＝PE ＋PF .(2)若点P 在BD 延长线上，AC ＝PF －PE .如图所示．若点P在DB延长线上，AC＝PE－PF.如图所示．。

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