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【好题】高三数学上期末试卷及答案(1)

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2021年高三数学上学期期末考试卷含答案

2021年高三数学上学期期末考试卷含答案

数学本卷须知：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成。

总分值160分，考试时间为120分钟。

2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方。

3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效。

第I 卷〔填空题〕【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.全集U =R ，集合A =(),0-∞，{}1,3,B a =--，假设()U C A B ≠∅，那么实数a的取值范围是 。

2.2(,)34ia bi ab R i-=+∈-，那么a +b = 。

3.等差数列{}n a ，4610a a +=，前5项的和55S =，那么其公差为 。

4.命题〝20,0x x x ∀>+>〞的否定是 。

5.圆222x y r +=在点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=，类似的，可以求得椭圆22182x y +=在〔2，1〕处的切线方程为 。

6.以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点的抛物线标准方程为 。

7.如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，那么∠CAE 的正切值为 。

8.直线sin 2xcos y θθ+=与圆224x y +=的公共点的个数是 。

9.在△ABC 中，假设2AB AC AB CB •=•=，那么边AB 的长等于 。

10.P是椭圆221124x y +=上的动点，12,F F 是椭圆的两个焦点，那么12PF PF •的取值范围是 。

11.计算：sin10cos 20sin 30cos 40= 。

12.函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，那么函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 。

13.方程12sin()1x x π=-在区间[-2018，2019]所有根之和等于 。

高三数学上学期期末考试试题扫描版

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江苏省扬州市高三数学上学期期末考试试题（扫描版）扬州市2021—2021学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案 第一部分1. {}0 2．12-3. R x ∈∃,0322<-+x x 4. 13 5. 156.7. -2 8. 17 9. 221412x y -= 10.(][)12-∞-+∞，，11.112.12 13. [2,3] 14. e 14.解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+．依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a -=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >，设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >，从而当且仅当log a x e=时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e=．15⑴由图，212,()1433T A ==--=，得4T =，2πω=，则()2sin()26f x x ππ=+， ……3分 由22()2sin()2323f πϕ=⋅+=，得sin()13πϕ+=，所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈， 又02πϕ<<，得6πϕ=，所以()2sin()26f x x ππ=+； ……7分⑵(1)()2sin()2cos()sin()2626212y f x f x x x x ππππππ=-+=+-+=-， ……10分 因为15[,]22x ∈，故762126x ππππ≤-≤，则1sin()12212x ππ-≤-≤，即()f x ≤≤， 所以函数(1)()y f x f x =-+的值域为[． ……14分16⑴解：E 为AC 中点．理由如下： 平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE平面ABC DE =，而//BC 平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以//BC DE ， ……4分PACDE在ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； ……7分 ⑵证：因为PA PB =，D 为AB 的中点，所以AB PD ⊥， 因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC CD =，在锐角PCD ∆所在平面内作PO CD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，…10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥ 又POPD P =，,PO PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥． ……14分 17.解⑴因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==，又,2AC BC BC AC ⊥=，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形， ……3分则(,0),(,),(,),2222a a a a A a C B AB --=，所以2222()()221a a a b -+=，则223a b =，所以222,c b e ==； ……7分⑵ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a aP，半径为4a ，则ABC ∆的外接圆为：2225()()448a a x y a -+-= ……10分 令0x =，54a y =或4a y =-，所以5()944a a--=，得6a =，92=得6a =）所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分18⑴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ，PABCD O∵02πθ<<，tan θ=cos 14θ=，sin 14θ=，则9sin 2m OP θ=⋅=，cos n OP θ=⋅=， ……4分 依题意，AB ⊥OA ，则OA=92，OB=2OA=9，商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km ． ……7分⑵方式1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB：9()2y k x =-，①令0y =，得92A x =；由题意，直线OB的方程为y =，②解①②联立的方程组，得B x =，∴2B OB x ===∴92y OA OB =+=++0A x >，0B x >，得k >0k <． ……11分'y =='0y =，得k =，当k <时，'0y <，y是减函数；当0k <<时，'0y >，y 是增函数，∴当k =时，y 有极小值为9km；当k>'0y <，y 是减函数，结合⑴知13.5y >km ． 综上所述，商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ，此时OA=6km ，OB=3km ，方式2：如图，过P 作PM//OA 交OB 于M ，PN//OB 交OA 于N ，设∠BAO=α，△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--，得PN=1，ON=4=PM ，△PNA 中∠NPA=120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中，sin sin(120)BM PM αα︒=-，得4sin sin(120)MB αα︒=-， sin(120)4sin 1459sin sin(120)y OA OB αααα︒︒-=+=+++≥+=-， ……13分当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即tan α=时取等号．方式3：若设点()B m ，则AB9292y x m -=-，得4(4,0)21A m +-，∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--， ……13分 当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号．方式4：设(,0)A n ，AB：92x nn -=-，得2142Bx n =+-， 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--， ……13分当且仅当444n n -=-即6n =时取等号．答：A 选地址离商业中心6km ，B 离商业中心3km 为最佳位置． ……15分19⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a+++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =； ……4分（没有过程，直接写1a =不给分）⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q aa ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m ma a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+，211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n na a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+，当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分20.⑴解: (0)1f =，'()xf x e =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……4分⑵解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分 ①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1x h x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2x k x h x e x =-，则'()=2xk x e -， 当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 40k e =-=->因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 21xe x >+.即22xe x ax >≥， 所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2x e ax >.②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x -=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增. 取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分证法二：设2()x e h x x =，则3(2)'()x e x h x x -=，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2(2)4e h =， ……12分 ①若24e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立， 即当24e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ②若24e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >； ③若24e a >，同证明一的②， ……15分 综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分第二部分（加试部分） 21．A ．设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……5分 又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=所以曲线1C 的方程是 224x y +=． ……10分B．由cos()4πρθ-=，得曲线1C 的直角坐标系的方程为10x y ++=, ……3分由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的普通方程为21(11)x y x +=-≤≤, ……7分 由2101x y x y ++=⎧⎨+=⎩，得220x x --=，即2x =（舍去）或1x =-，所以曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标为(1,0)-． ……10分22．在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，其中221331(),()1,(),()1333444P A P A P B P B ==-===-=……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则1111(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=，2(3)()3P P A ξ===，1339(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=．ξ的分布列为：1629023434848348E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……7分⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,12931(3)34848P P ξ=≥=+=；21333133327(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, ……9分因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分23⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =，故满足条件的x 共有4个，分别为：004x =++，024x =++，104x =++，124x =++,它们的和是22． ……4分 ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；na 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -的分歧取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， ……6分 当a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，na 有1n -种取法，故nA 中所有含a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，nA 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；nA 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n--++++--⋅=⋅；…… nA 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn----++++--⋅=⋅；当na 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故nA 中所有含na 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n+-+++-⋅=⋅； 所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n nn n n n n n nn+---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-． ……10分。

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（ ） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（ ） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知①不正确 命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】 不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后 可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点 当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立 根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立 故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1； （2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数； 当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值． 【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间； （2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数； 当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。

【沪科版】高中数学必修三期末试卷带答案(1)

【沪科版】高中数学必修三期末试卷带答案(1)

一、选择题1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．2129B ．2329C ．1112D ．12132．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B ．33πC ．23D ．9π 3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18C ．38D ．3164．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3B ．31-C ．3πD ．31π-5．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤7．执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是( )A ．15B ．16C ．31D ．328．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 的值分别为1，2，则输出的S 是（ ）A ．70B ．29C ．12D ．59．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，若此同学的得分恰好为x ，则（ ）A ．1x x =，221s s = B ．1x x =，221s s < C ．1x x =，221s s >D ．1x x <，221s s =10．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（ ） 广告费用（万元） 销售客（万元）根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为（ ） A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元11．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．8112．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A．90.5 B．91.5 C．90 D．91二、填空题13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.14．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．15．如图，圆柱12O O内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱12O O的概率为______；16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____17．执行右边的程序框图，若，则输出的________．18．运行右图所示程序框图，若输入值xÎ[-2，2]，则输出值y 的取值范围是_____．19．已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.⑤回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点；⑥若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________．20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.22．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．23．已知底面半径为r ，高为h 的圆柱和一正方体的体积相等，试设计一个程序分别求圆柱的表面积和正方体的表面积，并画出程序框图(π＝3. 14).24．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资.25．为了了解高中新生的体能情况，某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12﹒（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．26．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x（分钟）时刻的细菌个数为y个，统计结果如下：x12345y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x，y的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yx n axby bx ====---∑∑）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：设水深为x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 详解： 设水深为x 尺， 则（x+2）2=x 2+52， 解得x=214， 即水深214尺． 又葭长294尺， 则所求概率为2129. 故选A ．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．2．B解析：B 【分析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率22333493r P ππ==故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为21121sin 326S π=⨯⨯⨯=， 由几何概型的概率计算公式，可得所求概率31P π=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A PN求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 5．C解析：C 【分析】分析式子11113519++++的特征，可以得到程序框图的功能是求11113519S =++++的值，观察循环量i 的特征，得到结果. 【详解】由于程序框图的功能是求11113519S =++++的值， 分母n 的初值为1，终值为19，步长为2， 故程序共执行10次，故循环变量i 的值不大于10时，应不满足条件，继续执行循环， 大于10时，应满足条件，退出循环， 故判断框内应填的是i ＞10，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，解题思路如下： （1）观察式子的特征，得到程序框图的功能； （2）由式子的项数，得到循环量i 的特征，得到结果.6．B解析：B 【分析】根据框图，模拟程序运行即可求解. 【详解】根据框图，执行程序，12,2S n ==；1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=， 解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤， 故选 ：B 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju7．C解析：C 【分析】根据程序框图的循环结构,依次运行,算出输出值为6n =时S 的值,使得S p <不成立时p 的值即可. 【详解】根据程序框图可知,1,0n S == 则11021,2S n -=+==21123,3S n -=+== 31327,4S n -=+== 417215,5S n -=+== 5115231,6S n -=+==此时应输出6n =,需31p <不成立.因而整数p 的最大值为31 故选:C本题考查了程序框图的简单应用,根据输出结果确定判读框,属于中档题.8．B解析：B 【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果. 【详解】 解： 模拟程序：,,a b n 的初始值分别为1,2，4，第1次循环：s 1225=+⨯=，,,a 2b 5n 3===，不满足2n <； 第2次循环：s 22512=+⨯=，,,a 5b 12n 2===，不满足2n <； 第3次循环：s 521229=+⨯=，,,a 12b 29n 1===，满足2n <， 故输出29S =. 故选B. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.9．C解析：C 【分析】根据平均数和方差公式计算比较即可. 【详解】设这个班有n 个同学，分数分别是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()1n x -，方差为()()()()()222222121111i i n s a x a x a x a x a x n -+⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦-； 第二次计算时，()11n nxx x -+=x =，方差为()()()()()()222222221121111++i i i n n s a x a x a x a x a x a x s n n-+-⎡⎤=-+-⋅⋅⋅-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦故有1x x =，221s s >.故选:C 【点睛】本题主要考查样本的平均数和方差公式;属于中档题.10．B解析：B【分析】先求出，由样本点的中心在回归直线上，可求出，从而求出回归方程，然后令，可求出答案.【详解】由题意，，则样本中心点在回归方程上，则，故线性回归方程为，则广告费用为万元时销售额为万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=．故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．A解析：A【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为90+91=90.52，故选A.【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.二、填空题13．【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况再分别求对应概率最后根据互斥事件概率公式求结果【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分甲第二次发球失分乙第一次发球得分（2）甲解析：28 75【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分所以概率为32223222128 55355355375⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.14．；【分析】利用分步计数原理连续拋掷同一颗骰子3次则总共有：6×6×6=216种情况再列出满足条件的所有基本事件利用古典概型的计算公式计算可得概率【详解】每一次拋掷骰子都有123456六种情况由分步计解析：25 216；【分析】利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.【详解】每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以25216 P=.【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.15．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【 解析：916【分析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率. 【详解】设球的半径为r，依题意可知，圆柱底面半径r =='，故圆柱的体积为22333πππ44r r r r r ⋅=⋅⋅='，而球的体积为34π3r ，故所求概率为333π944π163rr =. 【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.16．-1【分析】计算的值找出周期根据余数得到答案【详解】依次计算得：…周期为32019除以3余数为0故答案为-1【点睛】本题考查了程序框图的相关知识计算数据找到周期规律是解题的关键解析：-1 【分析】计算a 的值，找出周期，根据余数得到答案. 【详解】 依次计算得：2,1a i ==1,22a i ==1,3a i =-= 2,4a i == ….周期为32019除以3余数为0，1a =- 故答案为-1 【点睛】本题考查了程序框图的相关知识，计算数据找到周期规律是解题的关键.17．【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：不成立输出考点：程序框图解析：【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：17,1,0,17,2,,27,3,23p n s n s n ===<==<=⨯ 1111167,7,,772334233478s n s =+<==+++<⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出111113233478288s =+++=-=⨯⨯⨯ 考点：程序框图18．【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数因此本题实质为根据定义域xÎ-22求值域当时当时所以值域为考点：流程图函数值域 解析：[1,4]-【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数2,0(){(2),0x x f x x x x -<=-≥，因此本题实质为根据定义域xÎ[-2，2]，求值域.当[2,0)x ∈-时，()(0,4];f x ∈当[0,2]x ∈时，()[1,0];f x ∈-所以()f x 值域为(0,4][1,0][1,4].⋃-=- 考点：流程图，函数值域.19．①③④⑦【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可【详解】在线性回归模型中相关指数越接近于1表示回归效果越好①正确；两个变量相关性越强则相关系数r 的绝对值就越接近于1②错误；③正确；两个模型中残差平解析：①③④⑦ 【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可． 【详解】在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，不一定过样本点，⑤错误；若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确．故答案为①③④⑦. 【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题．20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2 【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b aa b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2三、解答题21．（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）13. 【分析】（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果；（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=，∴补全频率分布直方图如下图所示：均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为10.025100.005100.1752⨯⨯+⨯=， 1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛. （3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况，成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，∴所求概率51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 22．(1) 0.4(2)1个 (3) 31()62P A == 【解析】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 试题（1）重量在[)90,95的频率为：；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数为：；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有，，，，，6种情况．其中符合 “重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 3种;设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==．考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．23．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT语句输入半径以及高的值，再分别赋值圆柱的表面积和正方体的表面积，最后输出圆柱的表面积和正方体的表面积试题程序如下：INPUT“r，h＝”；r，hS＝3. 14*r^2m＝2*3. 14*r*hS1＝2*S＋mV＝3. 14*r^2*ha＝V^(1/3)S2＝6*a^2PRINT“圆柱、正方体的表面积分别为”；S1，S2END程序框如图所示．点睛：24．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT语句输入法定工作时间以及加班工作时间，再分别赋值法定工作时间工资,加班工作时间工资以及总工资，最后输出一周所得的工资.试题程序如下：点睛：25．（1）0．08，150；（2）88％;（3）第四小组，理由见解析【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1结合面积之比得到第二小组的频率，从而求得样本容量；（2）由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1与面积之比可求出达标的频率即达标率；（3）求出前四组的频数即可得到中位数所在的区间． 试题（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为频率= 所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．考点：频率分布直方图26．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果；（Ⅱ）利用公式代入数据计算即可.【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561n ii i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑ 122216153 3.67ˆ0.7555310n i ii n i i x y nx y xb x n ==-⨯⨯====-⨯--∑∑，ˆˆ 3.60.73 1.5a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ0.7 1.5yx =+， 当0.7 1.512x +=时，解得15x =. 所以当15x =时细菌个数为12个.【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题.。

高三数学上学期期末考试试题含解析试题_1_1

高三数学上学期期末考试试题含解析试题_1_1

2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么MN =〔 〕A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}2,3D.{}2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】求出集合M ，然后利用交集的定义可求出集合M N ⋂. 【详解】{}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=，因此，{}2,3MN =，应选C.【点睛】此题考察交集的计算，考察计算才能，属于根底题.22y x 149-=的渐近线方程是 ( ) A. 3y x 2=±B. 2y x 3=±C. 9y x 4=±D.4y x 9=±【答案】B 【解析】由双曲线HY 方程可知，2,3a b ==，且焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为32y x =±，应选A.{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，那么“1532S S S +<〞是“0d <〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义以及前n 项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论. 【详解】由1532S S S +<，得()111510233a a d a d ++<+，即0d <， 所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的充分条件， 由0d <，()151********a a S S a a d ++=+=+，()1331322662a a S a d +=⨯=+， 所以，151********S S a d S a d +=+<=+， 所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的必要条件， 综上，“1532S S S +<〞是“0d <〞的充要条件. 应选：C.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决此题的关键，属于根底题.4.某几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为〔 〕A.76B.476C.72D.236【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥的体积即为该几何体的体积.【详解】由三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为111232*********V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察了几何体的三视图，属于根底题.()()2ln122x x f x xx ++=++-的图象大致是〔 〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，且()00f =，即可得到结论.【详解】由于()f x 是奇函数，故排除A ，B ；又()0f x =，那么0x =，即函数有唯一零点，再排除选C .应选：D.【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决此题的关键，属于根底题.X 的分布列是假设()116E X =，那么()D X 的值是〔 〕 A.1736B.1718C.239D.2318【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质得23a b +=，再由()116E X =，解得12a =，16b =，进而求得()D X 的值.【详解】由1231P P P ++=，得23a b +=①. 由()1112336a E Xb =++=②，得3232a b +=，联立①②，得12a =，16b =.所以()2221111111111712363626636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应选：A.【点睛】此题考察了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于根底题.x 的二项式(x +3ax)n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，那么a 的值是( ) A. 1 B. ＋1 C. 2 D. ±2【答案】C 【解析】由题意知2n＝32，n ＝5，T r ＋1＝5rC (x )5－r a r·r x13＝5rC a r 5526r x -，令55026r -=，得3r ＝，∴a 335C ＝80，解得a ＝2.应选C. 8.1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的间隔 等于b ，那么椭圆E 的离心率为〔 〕A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】 【分析】过2F 做直线1PF 的垂线，交1PF 于点H ，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于a ，b ，c 的方程，进而可求得离心率的值. 【详解】由得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-， 又2F 到直线1PF 的间隔 等于b ，即2F H b =， 由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥， 可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，应选：B.【点睛】此题考察椭圆的方程及其简单几何性质，考察等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考察数形结合思想，属于中档题.()()()21,111,1x x a x x x e f x f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩，假设函数()2y f x =-恰有两个零点，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. )1,2B.}[)11,2C.}[)11,+∞D.)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性讨论a 的范围即可得到答案.【详解】由()()()21,111,1x x a x x x f x e f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩()2221222(0)2(10)21(1)x x ax a x f x ax a x e a a x +⎧-+≥⎪⇒=-+-≤<⎨⎪++-<-⎩， 当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，不满足条件； 当0a =时，显然不满足条件；当0a >时，()f x 在(],1-∞-上为增函数，在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∵x →-∞，()221f x a a →+-且()2f x =恰有两个零点，那么()12f -=或者221222a a a f a f ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩或者222122212a a a f a f a a ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪<≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得31a 或者12a ≤<.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥'A BCD -，在此过程中，二面角'A BC D --、'A CD B --的大小分别为α，β，直线'A B 与平面BCD 所成角为γ，直线'A D 与平面BCD 所成角为δ，那么〔 〕 A. γδβ<<B. γαβ<<C. αδβ<<D.γαδ<<【答案】B 【解析】 【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论. 【详解】如图，因为AB AD >，所以点A 在BD 上的投影点H 靠近点D ，由翻折的性质，知点'A 在底面的投影点在AH 所在的直线上，如图设为点O ，那么'A FO α∠=，'A EO β∠=，'A BO γ∠=，'A DO δ∠=，由最大角原理知：γα<，δβ≤，当且仅当D 与E 重合时，取到等号；而'tan A O OB γ=，'tan A OOD δ=，如图易得，OB OD >，所以tan tan γδ<，即γδ<；又'tan A O OF α=，'tan A OOEβ=，由图易得，OF OE >，所以αβ<； 综上可得：γαβ<<. 应选：B.【点睛】此题考察二面角，线面角，利用平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，构造圆面解决问题是关键，属于中档题. 二、填空题()1z a i a R =+∈，21z i =+〔i 为虚数单位〕，那么2z =______；假设12z z 为纯虚数，那么a 的值是______.【答案】 (2). 1 【解析】 【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】2z ==假设12z z 为纯虚数，那么()1211101z z a a i a a =-++⇒-=⇒=.；1.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，属于根底题． 12.中国古代数学专著?九章算术?有问题：“五只雀，六只燕，一共重一斤〔等于16两〕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重〞，那么雀重______两，燕重______两. 【答案】 (1).3219 (2). 2419【解析】 【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可. 【详解】设雀重x 两，燕重y 两， 由题意得：互换后有458x y y x +=+=，解得：3219x =，2419y =， 故答案为：3219；2419. 【点睛】此题考察了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解，属于根底题.x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，那么实数m 的取值范围为______，假设目的函数z x y =-的最小值为-1，那么实数m 等于______. 【答案】 (1). 2m > (2). 5m = 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，结合目的函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论. 【详解】作出可行域如图，那么要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >； 目的函数可视为y x z =-，那么z 为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ， 该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=， 故答案为：2m >；5m =.【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法，属于根底题.ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos cos 2cos a B b AC c+=，那么C =______；又23ABC S ∆=6a b +=，那么c =______. 【答案】 (1). 3π(2). 23【解析】 【分析】利用正弦定理或者余弦定理将边化为角或者角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：〔边化角〕∵cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B B A c C ++=()sin 1sin A B C+==，∴2cos 1C =，∴1cos 2C =， ∵0C π<<，∴3C π=；∵1sin 24ABC ab C b S a ∆===8ab =，又∵6a b +=〔可消元求出边a 、b 〕 ∴()()22222cos 21cos c a b ab C a b ab C =+-=+-+216281122⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，∴c =.解析2：〔任意三角形射影定理〕∵cos cos 1a B b A cc c+==下同.故答案为：3π，【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于根底题. 15.a ，b 均为正实数，那么()124a a b b ⎛+⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为______.【答案】【解析】 【分析】利用根本不等式即可得到结论.【详解】()1412284a b a b ab a b⎛⎫+=+++≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当a =b =.故答案为：【点睛】此题考察了根本不等式的应用，构造根本不等式是解题的关键，属于根底题. 16.从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，那么使a b c d e ⋅⋅+⋅为奇数的不同排列方法有______种.【答案】180 【解析】 【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】假设a b c ⋅⋅为奇数d e ⋅为偶数时，有323336A A ⨯=种； 假设a b c ⋅⋅为偶数d e ⋅为奇数时，有2334144A A ⨯=种； 一共180种. 故答案为：180.【点睛】此题考察计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于根底题．17.(b c k k ==>，0b c ⋅=，假设存在实数λ及单位向量a ，使得不等式()()()1112ab bc c b c λλ-+-++--≤成立，那么实数k 的最大值为______. 【答案】5【解析】 【分析】利用三点一共线，将不等式转化为求最值的间隔 问题，或者利用绝对值不等式a b a b +≥-，解得即可.【详解】解析：原题等价于()()()min1112a b b c c b c λλ⎧⎫-+-++--≤⎨⎬⎩⎭解析1：几何法〔三点一共线+将HY 饮马〕如图，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()1112a b c c b c λλλλ⎡⎤⎡⎤=--++--+⎣⎦⎣⎦AP EP =+〔A 为单位圆上的，a OA =，b OB =，c OC =，P 为BC 上一点，E 为OC中点〕，由将HY 饮马模型，作E 关于BC 对称点'E ，那么()min '''1AP EP E A OE +==-225'112OC E C k =+-=-，所以，5451125k k -≤⇒≤.解析2：代数法〔建系坐标运算+将HY 饮马〕 设(),0c k =，()0,b k =，()cos ,sin a θθ=，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()()2222221cos sin (1)12k k k k θλθλλλ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭()()()2222222212cos 21sin 1112k k k k k k λλθλθλλλ⎛⎫=---+-+-+- ⎪⎝⎭()()()()222222222222121sin 1112k k k k k k λλλθαλλλ⎛⎫=-+-++-+-+- ⎪⎝⎭()()222211112λλλλ⎛⎫≥+-+-+- ⎪⎝⎭那么k≤，由将HY 饮马可得2⎭2≥=⎝⎭，所以5k≤.解析3：绝对值不等式a b a b+≥-+将HY饮马因为()22122112b c k k aλλλλ--=-+≥≥=，所以()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b caλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭12=-⎭，由解析2可得k≤解析4：绝对值不等式a b a b+≥-，{}max,a b a b a b+≥+-+对称转化因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b c aλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭，因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=-++-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=+-+-+-⎪⎝⎭，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭max,max,22222c c kb⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≥+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，所以1125k k-≤⇒≤.故答案为：5.【点睛】此题考察不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将HY饮马〞模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的间隔 ，垂线段最短，属于难题. 三、解答题()()()sin 0f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的间隔 为π.〔1〕假设()y f x =的图象过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且局部图象如下图，求函数()f x 的解析式；〔2〕假设函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到yg x 的图象，求函数()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】〔1〕()5sin 26f x x π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭〔2〕()max 52f x =，()min 13f x =【解析】 【分析】〔1〕由题意得2ω=，再由()102f =，进而可得解析式； 〔2〕由()y f x =是偶函数，得2ϕπ=，从而()cos2f x x =，经过平移得()g x ，再表示出()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用余弦型函数即可得最值. 【详解】解析：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+.〔1〕由于()102f =，那么1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<， 那么56πϕ=或者6π=ϕ〔舍去〕，故()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.〔2〕由于()()sin 2y f x x ϕ==+是偶函数，那么()0sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度， 得到()cos 23x y g x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2222cos cos 223x y fg x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13331cos 2cos 2sin 21cos 2sin 22222x x x x x =++-=+-3113cos 2sin 213cos 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72666x πππ≤+≤， 所以()()max 502f x f ==，()min 51312x f f π⎛⎫= ⎪⎭=-⎝. 【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于根底题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点.〔1〕求证：//EF 平面PAD ；〔2〕求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕33020【解析】 【分析】〔1〕利用线面平行的性质定理即可得到结论；〔2〕方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】〔1〕解析：因为底面ABCD 为平行四边形，F 是AC 中点，所以F 是BD 中点，所以1//2EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD . 〔2〕解析1：〔几何法〕 因为DE ⊂平面PBD ，平面PBD平面PAC PF =，所以直线DE 与平面PAC 的交点即为DE 与PF 的交点，设为G ，1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，取PC 中点O ，那么DO PC ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ， 平面PAC平面PCD PC =，DO PC ⊥，所以DO ⊥平面PAC ，所以DGO ∠是直线DE 与平面PAC 所成角，因为E ，F 分别为PB ，AC 的中点，所以G 是PBD ∆的重心， 在Rt PAD ∆中，3PA =2PB AC ==，在平行四边形ABCD 中，6BD =，在PBD ∆中，4161cos 2214BPD +-∠==-⨯⨯，在PED ∆中，2511211cos 2DE EPD =+-⨯⨯⨯∠=，所以102DE =， 所以21033DG DE ==，又因为32OD =， 所以3sin 3020OD DGO DG ∠==，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020. 解析2：〔向量法〕取PC 中点O ，那么1//2OF PA ，因为PA ⊥平面PCD ， 所以OF ⊥平面PCD ，因为1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形， 所以OD PC ⊥，此时OD ，OF ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt PAD ∆中，3PA =3F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由12FE DP =，得3314E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3333,,424DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，平面PAC 的法向量为32OD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3cos ,3020DE OD DE OD DE OD⋅==-⋅， 所以3sin cos ,3020DE OD θ==即直线DE 与平面PAC 所成角的【点睛】此题考察线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于根底题.{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+.〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕设23,41,n n nn a b n n a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：12313...6n c c c c +++⋅⋅+<.【答案】〔1〕n a n =，112n n b -=〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕由根本量思想的等差数列{}n a 的通项公式，由n b 与n S 的关系即可得到结论； 〔2〕利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】〔1〕由题意得11112349a d a a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，即数列{}n a 的通项公式为n a n =， 由122n n S S +=+，得21322222S S S S =+⎧⎨=+⎩，两式相减整理得：322b b =，∴12q =，11b =， ∴112n n b -=，即数列{}n b 的通项公式为112n n b -=〔2〕解析1：〔应用放缩和错位相减求和证明不等式〕解：123n n C c c c c =+++⋅⋅⋅+，1321k k A c c c -=++⋅⋅⋅+，242k k B c c c =++⋅⋅⋅+，012110123135214444431352144444k k k k k A k A -+⎧-⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩两式相减整理得5511023346k k A k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，又因为()()()222121k k k >-+，∴()222111242k B k =++⋅⋅⋅+1111111213352121k k ⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭1326<=. 所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 〔2〕解析2：〔应用放缩和裂项求和证明不等式〕 令()114n n d an b -=+，11214n n n n d d +--=-化简整理得：1841394n n d n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴115511023346k k k A d d k +⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭，22221111123n T n =+++⋅⋅⋅+()111112231n n <+++⋅⋅⋅⨯⨯-⨯122n=-<，()222211111112242422n T n n =++⋅⋅⋅+<-<， 所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 【点睛】此题考察等差数列与等比数列的通项公式，考察数列求和，考察放缩法，属于中档题.E ：()220y px p =>过点()1,2Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O .〔1〕求抛物线E 的方程；〔2〕求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】〔1〕24y x =〔2〕证明见解析,PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】 【分析】〔1〕直接将()1,2Q 代入抛物线方程即可得到答案； 〔2〕设直线方程为1ty x =-，联立方程，表示出PABQABS S ∆∆，运用根本不等式即可得到结论. 【详解】〔1〕由题意，将点()1,2Q 代入22y px =，即222p =，解得2p =，所以，抛物线E 的方程为24y x =. 〔2〕解析1：〔巧设直线〕证明：设l ：1ty x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2104y ty --=，那么有121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩，可设AP ：()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+，同理BP ：12344y y x y =-+，解得()3,3P t -，即动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d t S d S d t AB d ∆∆+===322t t =+≥，当且仅当3t =±1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 . 〔2〕解析2：〔利用向量以及同构式〕证明：设l ：()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2440y my --=，那么有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩.21001,4y PA y x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,4y y OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB ⋅=，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304xx y x ++=的两根，所以012012044124y y y m x y y x ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩00000333y mx y m x x =-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=-⎩⎩，所以动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d m S d S d m AB d ∆∆+===322m m =+≥，当且仅当m =1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 .【点睛】此题考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察根本不等式的应用，考察计算才能，属于中档题.()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R .〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【答案】〔1〕()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减〔2〕14,2e e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦〔3〕42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】〔1〕求出函数的导函数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；〔2〕别离变量k 得不等式，由恒成立把[]1,2a ∈，[]1,x e ∈放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出c 的范围，即可得到结论. 【详解】〔1〕因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->，当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减； 〔2〕()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥， 令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x +-++-+-=⇒=，由〔1〕()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；〔1〕当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增； ∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.〔2〕当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减；∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.〔3〕当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，那么当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>.∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增，()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察函数的单调区间，考察不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，运用不等式放缩、分类讨论思想是解题的关键，属于难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

新高三数学上期末试卷(含答案)

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新高三数学上期末试卷( 含答案 )一、选择题1． 以下结论正确的选项是（）A ．若 a b ，则 ac 2bc 2B ．若 a 2b2，则 a bCa b,c 0 ，则 a cbc D．若 a b ，则 ab．若2． 已知数列a 的前 n 项和为 S ，且 1a n4nn21 p S4n3 建立，则实数p的取值范围是（nn 1，若对随意nN * ，都有）A ．2,3B ． 2,3C ． 2,9D ． 2,9223． 已知数列 a n 的前 n 项和 S n n 2 ， b nnb n 的前 n 项和 T n 知足1 a n 则数列（）A ． T n1nB ． T n nn为偶数，C ． T nnD ． T nn, n为奇数 .2n, n4． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b2 ， B ， C = ，64则ABC 的面积为（）A ．223B ．31C ．232D ．315． 在 ABC 中， AC2, BC2 2,ACB 135o ，过 C 作 CDAB 交AB 于D ，则CD () A ．2 5B ． 2C ． 3D ． 556． “干支纪年法”是中国历法上自古以来就向来使用的纪年方法，干支是天干和地支的总 称，把干支次序相当正好六十为一周，循环往复，循环记录，这就是俗称的“干支表” 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元 1984 年阴历为甲子年，公元 1985年阴历为乙丑年，公元 1986 年阴历为丙寅年，则公元 2047 年阴历为A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年7． 数列 a n , b n为等差数列，前 n 项和分别为 S n ,T n S n3n 2 a 7 （ ），若，则b 7T n2n4123 1111A ．B ．C ．D ．2614 768． 已知 ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边为 a 、b 、c ，面积为 S ，且S(bcc 2 ) tan B ，则 A 等于（）2 3 tan B 2A ．6B ．C ．D ．4329． 数列 { a n } 为等比数列，若 a 11， a 78a 4 ，数列1的前 n 项和为 S n ，则 S 5( a n)B ．15A ． 31C ． 7D ． 31168xy 3 0,102x 上存在点 (x, y) 知足x 2y30, 则实数 m 的最大值为． 若直线 yx m,A ． 2B ． 1C ． 1D ． 311． 已知 0 x 1 ， 0y 1，则x 2 y 2x 21 y 21 x21 x 21y 2y 2的最小值为（）A ． 5B ．2 2C ． 10D ．2 312．设 S 为等差数列a的前 n 项和， (n 1)S ＜ nSn 1 (n N ).若a 81 ，则（ ）nnna 7A ． S n 的最大值为 S 8B ． S n 的最小值为 S 8C ． S n 的最大值为 S 7D ． S n 的最小值为 S 7二、填空题13． 数列 a n 知足： a 1a （ aR 且为常数）， a n 1a n 3 a n 3 n N * ，当4 a n a n3a 100 时，则数列 a n 的前 100项的和 S 100 为________.14． 已知数列a n 知足： a 1 1， a n 1 a n a 1 , a 2 , , a n n N * ，记数列 a n 的前 n项和为 S n ，若对全部知足条件的a n ， S 10 的最大值为 M 、最小值为m，则M m ______.rrx, y 2 ，此中 xr ry的最小值为15． 已知向量 a1, x ,b，若 a 与 b 共线，则x__________．ABC A B C 所对的边分别为 a b c ，若 acosB 5bcosA ， asinA ﹣ bsinB＝ 16．△ 中，角 ， ， ， ， ＝2sinC ，则边 c 的值为 _______． a b ac b c17． 已知 a 、b 、c R ， c 为实常数，则不等式的性质”能够用一个“函数在 R 上的单一性来分析，这个函数的分析式是f ( x) =_________18． 数列11 2 n N * ，则通项公式an 知足a 1，且1 an 11 a na n _______．19． 设正项数列a n 的前 n 项和是 S n ，若 a n和 S n 都是等差数列，且公差相等，则a 1 ＝ _______．20． 已知等比数列S 4an 的公比为2,前n项和为 S n ,则 a 2=______.三、解答题21． 已知 a ， b ， c 分别为ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边，且3b sin A acos B 2a0 .（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）若 b 7 ，ABC 的面积为3，求 a c 的值．222． 在ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且知足b sin A a cosB.6（1）求角 B 的大小；（2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 S ABC 的最大值 .23． 已知函数 f x a x x bc.a ＞0，b ＞0，c ＞0， (1) 当 a b c 1 时 , 求不等式 f x ＞3 的解集；(2) 当 fx 的最小值为 3 时,求11 1 的最小值 .a b c24． 已知等差数列n 的前 n 项和为 S n , a 2a 5 12, S 4 16 ．a(1) 求 a n 的通项公式；1， T n 为数列(2)数列b n 知足 b nb n 的前 n项和，能否存在正整数m4S n 1，k 1 mk ，使得 T k3T m 2 ?若存在，求出 m ， k 的值；若不存在，请说明原因．x y 6 025． 已知实数 x 、 y 知足x y 0 ，若 zaxy 的最大值为 3a 9 ，最小值为x 33a3，务实数 a 的取值范围 .26． 在ABC 中， 3a sin C c cos A ．（Ⅰ ）求角 A 的大小；（Ⅱ ）若S ABC3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．D 分析： D【分析】选项 A 中，当 c=0 时不符，所以 A 错．选项 B 中，当 a2, b 1时，切合 a2知足 ab ，B 错．选项 C 中 , ac bc , 所以 C 错．选项 D 中，因为 0a22b ．选 D.b ，由不等式的平方法例，ab ，即 a 2．B分析： B【分析】11n 1S n 414124221 n1n22 24n114n32132Q 1 p S n4 3nn即 1p2 2 1 33 32对随意 n N * 都建立，当 n 1 时， 1 p 3当 n 2时， 2 p6当 n3时，4p43 概括得： 2 p 3应选 B点睛：依据已知条件运用分组乞降法不难计算出数列a n 的前 n 项和为 S n ，为求值范围则依据 n 为奇数和 n 为偶数两种状况进行分类议论，求得最后的结果3．A分析： A【分析】【剖析】b 2 ，不p的取先依据 S n n 2 ,求出数列 a n的通项公式 ,而后利用错位相减法求出b n的前 n 项和 T n .【详解】解: ∵ S n n 2 ,∴当 n 1 时 , a 1 S 1 1;当 n2 时 , a nS n Sn 1 n 222n 1 ,n 1又当 n 1 时 , a 1 1切合上式 ,∴ a n 2n1,∴1n1n 2 1 ,b n a nn∴ T n 1123n1 3 1 511 2n 1 ①,∴ T n1 1234 n131 5112n 1 ②,①-② ,得 2T n1 22341nn 11112n 11121n 11 212n 11n 11 n112n,∴ T n 1 n n ,∴数列b 的前 n 项和T n1 n n .n应选 :A. 【点睛】本题考察了依据数列的前 n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前 n 项和 ,考察了计算能力,属中档题 .4．B分析： B【分析】试题剖析：依据正弦定理，，解得 ， ，而且，所以考点： 1．正弦定理； 2．面积公式．5．A分析： A【分析】【剖析】先由余弦定理获得 AB 边的长度，再由等面积法可获得结果 .【详解】2 22 依据余弦定理获得ACBCAB2.将 AC 2, BC 2 2 ,代入等式获得2 AC BC2AB= 2 5,再由等面积法获得1 25CD 12 2 22 CD 2 52 22 5故答案为 A.【点睛】这个题目考察认识三角形的应用问题，波及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形 相关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依照.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab 及b 2 、 a 2 时，常常用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交错出现时，常常运用正弦定理将边化为正弦函数再联合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．C分析： C【分析】记公元 1984 年为第一年，公元 2047 年为第 64 年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯” , 所以公元 2047 年阴历为丁卯年 . 应选 C.7．A分析： A【分析】a 1 a 13 13S 13412a 72依题意，b13T13.2b 7 b 1132628．C分析： C【分析】【剖析】利用三角形面积公式可得1acsinBbc c 2 tanB2 ，联合正弦定理及三角恒等变换知识23tanB 2可得 3sinA cosA 1，从而获得角A.【详解】bc c 2 tanB∵ S3tanB 22∴1acsinB bc c 2 tanB2 3tanB 22即 asinBb c tanBb c，3tanB 1， acosB3sinB∴3sinAsinB sinAcosB sinB sinC sinB sin A B ∴ 3sinA cosA1∴ sin A1，62∴ A6或5（舍）66∴ A3应选 C【点睛】本题考察了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，娴熟掌握边角的转变是解本题的重点．9．A分析： A【分析】【剖析】先求等比数列通项公式，再依据等比数列乞降公式求结果.【详解】Q 数列a n为等比数列，a11， a78a4，q68q3，解得 q2，a n a1q n 12n 1，Q 数列1的前n项和为na n S ，11 1111131S52514816116．212应选 A．【点睛】本题考察等比数列通项公式与乞降公式，考察基本剖析求解能力，属基础题. 10．B分析： B【分析】【剖析】第一画出可行域，而后联合交点坐标平移直线即可确立实数m 的最大值 .【详解】不等式组表示的平面地区以以下图所示，y 2xx 1 由2 y3 0，得：，x y2即 C 点坐标为（－ 1，－ 2），平移直线 x ＝m ，移到 C 点或 C 点的左侧时，直线 y 2x 上存在点 (x, y) 在平面地区内，所以， m ≤－ 1，即实数 m 的最大值为－ 1.【点睛】本题主要考察线性规划及其应用，属于中等题.11．B分析： B【分析】【剖析】x2y 2x y ，则x2y2x y ， x 21 y2x 1 y ，依据均值不等式，可有22221 2y21 xy ， 1 221 x 1y，再利用不等式的基天性质，两xx1 y2 2边分别相加求解。

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【鲁教版】高中数学必修一期末试卷带答案(1)

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一、选择题1．已知函数()102xx f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞3．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.35．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<< B ．325y x z << C ．523z x y<< D ．532z y x<< 6．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：()()()1f xy f x f y =++，当1x >时，()1f x <-，且128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()(3)3f x f x +->-的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(0,1)(2,3)8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞9．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ． ()0,2C ．(0,4)D ．(,2)-∞10．定义集合运算{},,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．811．若集合2{||31|2},{|0},1x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（ ）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃ D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭12．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为______.14．关于x 的方程()2310xx x e b -+-=恰好有3个实数根，则实数b 的取值范围是__________.15．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 16．若()34,0mnm n =≠，则4log 3=______.（用m n ，表示）17．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.18．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.19．若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.20．若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且下列四个关系：（1）1a =；（2）1b ≠；（3）3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是___________.三、解答题21．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产()*x x N ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x =+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 22．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？23．（1）求值:)()141231()102208500---+⨯-（2）已知14,x x -+=3322x x -+.24．已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值； （2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12x =-.（1）求该二次函数的表达式；（2）当26x ≤≤时，函数()22y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.26．已知全集{}|0U x x =>，集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|5C x a x a =-<<. （1）求()U AB A B ，；（2）若()C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10xy =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.2．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e.故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.3．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.4．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.5．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<. 故选A.6．B解析：B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象， 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-，根据定义可得()f x 在(0,)+∞上为递减函数，令1x y ==得(1)1f =-，令18,8x y ==可得(8)4f =-，可得(2)2f =-，将不等式化为[(3)](2)f x x f ->，利用单调性和定义域可解得结果. 【详解】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-， 所以()()()()222111111111x x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=++<-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上为递减函数，在()()()1f xy f x f y =++中，令1x y ==得(1)2(1)1f f =+，得(1)1f =-，令18,8x y ==得11(1)(8)(8)()188f f f f =⨯=++，所以(8)1124f =---=-， 又(8)(2)(4)1f f f =++(2)(2)(2)113(2)2f f f f =++++=+4=-，所以(2)2f =-，()(3)3f x f x +->-可化为()(3)12(2)f x f x f +-+>-=，所以[(3)](2)f x x f ->，所以030(3)2x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，解得01x <<或23x <<.故选：D 【点睛】关键点点睛：利用定义判断函数的单调性以及求出(2)f 是解题关键.8．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把()80f x x->，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-，设()()g x xf x =，可得()()12120g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，因为()24f =，则()228f =， 不等式()80f x x ->，可化为()80xf x x-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，即()()2g x g >，可得2x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<， 所以不等式()80f x x->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.10．B解析：B 【分析】根据新定义得到{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=其真子集个数为：42115-= 故选：B 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.11．D解析：D 【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．二、填空题13．【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值令由题意可知方程有两个不同的实数根根据数形结合和韦达定理可知一个根在内一个根在内再令因为所以只需由此即可求出的取值范围【详解】解：令得或1当时函数在上单调递解析：3366e m e >+【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，再令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】解：()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()363f x f e =-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =， 因为关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为36e ，另一根在()2,0e -内；因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在()2,0e -内，也不可能一根为36e，另一根在()2,0e -内；所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故答案为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．14．【分析】将方程转化为两个函数与的交点问题通过求导分析函数的单调性和极值画出的图形则问题即可迎刃而解【详解】由题意有：设∴问题转化为与有三个交点∴对进行分析可知：∴令有：或者当有：当有：或者∴在单调递解析：50,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将方程转化为两个函数2()(31)x f x x x e =-+与()g x b =的交点问题，通过求导分析函数()f x 的单调性和极值，画出()f x 的图形，则问题即可迎刃而解.【详解】由题意有：设2()(31)x f x x x e =-+，()g x b =， ∴问题转化为()f x 与()g x 有三个交点 ∴对()f x 进行分析可知： 2()(3123)x f x x x x e '=-++- 2(2)x x x e =-- (2)(1)x x x e =-+∴令()0f x '=有：1x =-或者2x =， 当()0f x '<有：12x -<<， 当()0f x '>有：1x <-或者2x >∴()f x 在(,1)-∞-单调递增，在(1,2)-单调递减，在(2,)+∞单调递增； ∴()f x 有极大值5(1)f e'-=，极小值2(2)f e '=-， 又∵当x →-∞时，()0f x →， ∴()f x 的图像如下图，故答案为：50,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题通过求方程中参数的范围，考查了学生运用导数工具处理函数中交点个数问题，也考验了学生用导数作复合函数图像的能力，以及用数形结合思想处理函数交点个数引起的参量的范围问题，对学生要求较高，为中等难度题目.15．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312a <≤． 故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．16．【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题解析：n m【分析】利用换底公式化简即可. 【详解】设()34,0m na m n ==≠,则34log ,log m a n a ==,故344341log 3log log log 31log 4log log a a a a na m a====. 故答案为：n m【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.17．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题解析：1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x =-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+成立， 即22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值， 而2117()2()48f x x=-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2，故221()22min x x x =-+，故12a， 故答案为：1[,)2+∞ 【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：()f x m >有解max ()f x m ⇔>； ()f x m <有解min ()f x m ⇔<.18．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()(),52,-∞-+∞【分析】令()()224f m t m t =-+-，由题意得出()10230f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2240t m t -+->恒成立，令()()224f m t m t =-+-，则()()()()()()2211524202223324250f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-+-=-+>⎩， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.故答案为：()(),52,-∞-+∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.19．【分析】首先讨论的取值解不等式；再由集合的元素个数最少推出只有满足若集合的元素个数最少由集合只需求的最大值即可再由集合中只需即可求解【详解】由题知集合内的不等式为故当时可得；当时可转化为或因为所以不解析：[]3,2--【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有k 0<满足，若集合A 的元素个数最少，由k 0<，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解. 【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故 当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+， 所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当k 0<时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当k 0<时，集合A 的元素个数为有限个，故当k 0<时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k =+（k 0<），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =()f k在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-≤+<-，即32k -≤≤-时， 集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -≤≤- 故答案为：[]3,2-- 【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.20．6【分析】利用集合的相等关系结合（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的通过分析推理即可得出结论【详解】若（1）正确则（2）也正确不合题意;若（2）正确则（1）（3）（4）不正确即则满足条解析：6 【分析】利用集合的相等关系，结合（1）1a =；（2）1b ≠；（3）3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】若（1）正确，则（2）也正确不合题意;若（2）正确，则（1）（3）（4）不正确，即1,1,3,4a b c d ≠≠≠=， 则满足条件的有序组为: 2,3,1,4a b c d ====；或3,2,1,4a b c d ====; 若（3）正确，则（1）（2）（4）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠===, 则满足条件的有序组为: 2,1,3,4a b c d ====;若（4）正确，则（1）（2）（3）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠=≠≠, 则满足条件的有序组为: 2,1,4,3a b c d ==== 或3,1,4,2a b c d ====或4,1,2,3a b c d ====, 所以符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为6 【点睛】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题.三、解答题21．（1）()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）110台.【分析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果. 【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本21602t x x =+，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2211150606009060022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；若年产量不小于100台，另外投本242001524700t x x=+-，固定投本600万，总收入150x 万元，故利润2420024200150152470060024100y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. 故()()2**1906000100,22420024100100,x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）当0100,*x x N <<∈时，21906002y x x =-+-，在对称轴90x =处，取得最大值，max 3450y =；当100x ≥，*x N ∈时，2242002410021001410y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，对勾函数2110t x x=+在[]100,110上递减，在()110,+∞上递增，故110x =时，利润取得最大值，max 3660y =，综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元. 【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.22．（1）不能获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损，（2）400 【分析】（1）先确定该项目获得的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论 【详解】解：（1）当[200,300]x ∈时，该项目获利为S ，则2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--，所以当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不会获利，当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使项目不亏损，（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+，所以当120x =时，yx取得最小值240；当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时，yx取得最小值200， 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式在最值问题中的应用，函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是根据题意确定函数关系式，属于中档题23．（1）16-；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算法则直接计算即可；（2）由2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可求出1122x x -+，再利用()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭即可求出. 【详解】（1）原式412500102012=-⨯- )10201126=+-20201616=+-=-；（2）14x x -+=，2111222426x x x x --⎛⎫∴+=++=+= ⎪⎝⎭， 又11220x x ->+，1122x x -∴=+())112233122141x x x x x x ---⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭+【点睛】本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式和立方和公式的应用，属于基础题. 24．（1）0；0，（2）定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，见解析 【分析】（1）先求出1(2)02f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，再证明1()0f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即得解；（2）先求出函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，再分类讨论证明()f x 在定义域上恒正.【详解】（1）1(2)02f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，111111()ln ln 11221f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭ 1111111ln ln ln 1ln 121212121x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=.所以[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111(11)(12)(29)(66)011122966f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）由题得0x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，1()ln 2(1)x f x x x +=-. 当(0,1)x ∈时，10x -<，ln 0x <，10x +>，所以()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，10x ->，ln 0x >，10x +>，所以()0f x >.综上，()f x 在定义域上恒正.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查函数值的求法，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【分析】（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；（2）由（1）知22(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12m x -=，讨论12m -与区间[]2,6的位置关系求m 范围及对应()h m .【详解】解：（1）由题可得12215b a c a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2221y x x =++； （2）22(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为12m x -=. ①当122m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221()2m m H m -++=，21169()1322h m m m =-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221()2m m H m -++=，2125()522h m m m =-+； ④当162m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.综上，()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【点睛】关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.26．（1）{|210}A B x x ⋃=<<，(){|23U A B x x =<<或710}x ≤<；（2）(,3]-∞．【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由子集的定义求解．【详解】（1）∵{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|0U x x =>，{|210}A B x x ⋃=<<，{|03U A x x =<<或7}x ≥，则(){|23U A B x x =<<或710}x ≤<；（2）∵{}|5C x a x a =-<<，()C A B ⊆⋃，若5a a ≤-，即52a ≤，则B =∅，满足题意； 若52a >，则2510a a ≤-⎧⎨≤⎩，解得3a ≤，∴532a <≤， 综上，a 的范围是(,3]-∞．【点睛】本题考查集合的综合运算，考查由包含关系确定参数范围，解题时要注意空集是任何集合的子集，这类问题一般要分类讨论．。

【浙教版】高中数学必修三期末一模试题(附答案)(1)

【浙教版】高中数学必修三期末一模试题(附答案)(1)

一、选择题1．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．142．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．35B ．45C ．1D ．653．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34D ．14．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．275．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为511，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．5i <D ．6i ≤6．如图所示程序框图是德国数学家科拉茨1937年提出的一个著名猜想.根据猜想，不断重复程序运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.按照这种运算，若输出k 的值为9，则输入整数N 的值可以为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．107．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A．6B．10C．8D．4)8．执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的y(A．28B．10C．4D．29．某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（）A ．海水稻根系深度的中位数是45.5B ．普通水稻根系深度的众数是32C ．海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D ．普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差10．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>11．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均不变 B ．这组新数据的平均数为am C ．这组新数据的方差为2a nD ．这组新数据的方差不变12．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④二、填空题13．掷一颗骰子，向上的点数第一次记为x ，第二次记为y ，则()2log 3x y +=的概率________．14．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．15．如图，圆柱12O O 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，O O的概率为______；此点取自圆柱1216．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .17．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．18．如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________.19．《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为___________.20．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y 4.543 2.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a=-+，则a等于___三、解答题21．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d⋅=++++.22．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续n天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图.空气质量指数（AOI）(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,)+∞空气质量等优良轻度污染中度污染重度污染严重污染级频数（天）2540m1050（Ⅰ）求m，n的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（Ⅲ）在空气质量指数分别为(50,100]和(100,150]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.23．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，APB△的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并画出程序框图.24．某算法框图如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式及7[()]6ff -的值；(2)若在区间[2,2]-内随机输入一个x 值，求输出y 的值小于0的概率.25．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x2 3 4 5 6 y 2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求： （1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：1221ni ii nii x ynxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-）26．某城市200户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,280，[)280,300分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x 的值；（2）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取20户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ （3）求月平均用电量的中位数和平均数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，即可计算得到概率． 【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）； 第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10）， 所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3， 则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P 14=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档试题.2．D解析：D 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.3．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点， 则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．4．B解析：B 【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749DEF ABCSS∴==． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．B解析：B【分析】模拟运行程序1i =，满足条件，1013S =+⨯，2i =，满足条件，进入循环体，反复操作，直到输出511S =，核对满足的条件即可. 【详解】 1i =，满足条件，1013S =+⨯； 2i =，满足条件，111335S =+⨯⨯； 3i =，满足条件，111133557S =++⨯⨯⨯； 4i =，满足条件，111113355779S =+++⨯⨯⨯⨯； 5i =，满足条件，11111115(1)1335577991121111S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯； 6i =，不满足条件，输出511S =. 故选：B.【点睛】本题考查了对程序框图的理解与应用，由程序运行结果，补充条件，数列求和的裂项相消法，属于中档题.6．C解析：C【分析】模拟程序的运行，可以从N 为1出发，按照规则，逆向求解即可求出N 的所有可能的取值.【详解】解：模拟程序的运行，可知输出时，1,9N k ==，逆向运行程序得：2,8N k ==⇐4,7N k ==⇐8N =或1（舍去）,6k =⇐16,5N k ==⇐5,4N k ==⇐10,3N k ==⇐20N =或3,2k =⇐40N =或6,1k =.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，推理与证明，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.7．C解析：C【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案.【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：134,2146n S =+==⨯+=；第二循环：437,26719n S =+==⨯+=；第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=，要使的输出的结果为48，根据选项可知8k，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．C解析：C【分析】x 的变化遵循以2-为公差递减的等差数列的变化规律，到0x <时结束，得到1x =-，然后代入解析式，输出结果.【详解】0x ≥时，每次赋值均为2x - x 可看作是以2019为首项，2-为公差的等差数列{}n x()()20191220212n x n n ⇒=+-⨯-=-当0x <时输出，所以0n x <，即202120n -< 20212n ⇒> 即：10100x >，10110x < 10112021210111x ⇒=-⨯=-1314y ∴=+=本题正确选项：C【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.9．D解析：D【分析】选项A 求出海水稻根系深度的中位数是444745.52+=，判断选项A 正确；选项B 写出普通水稻根系深度的众数是32，判断选项B 正确；选项C 先求出海水稻根系深度的平均数，再求出普通水稻根系深度的平均数，判断选项C 正确；选项D 先求出普通水稻根系深度的方差，再求出海水稻根系深度的方差，判断选项D 错误.【详解】解：选项A ：海水稻根系深度的中位数是444745.52+=，故选项A 正确；选项B ：普通水稻根系深度的众数是32，故选项B 正确；选项C ：海水稻根系深度的平均数393938434447495050514510+++++++++=，普通水稻根系深度的平均数252732323436384041453510+++++++++=，故选项C 正确；选项D ：普通水稻根系深度的方差2222222211[(3845)(3945)(3945)(4345)(4445)(4745)(4945)(5045)10S =-+-+-+-+-+-+-+-+， 海水稻根系深度的方差2222222221[(2535)(2735)(3235)(3235)(3435)(3635)(3835)(4035)(10S =-+-+-+-+-+-+-+-+，故选项D 错误故选：D.【点睛】本题考查根据茎叶图求中位数、众数、平均数、方差，是基础题. 10．A解析：A【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==， 设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ， 则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+- 22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选:A ．【点睛】 本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．11．D解析：D【分析】考查平均数和方差的性质，基础题．【详解】设这一组数据为()1,n X a a =，由()()E X a E X a +=+，()()D X a D X +=，故选：D ．【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题. 12．B解析：B【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯， 故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】计算得到列举共有5种情况计算得到概率【详解】则故解有共5种情况故故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算意在考查学生的计算能力和应用能力 解析：536【分析】计算得到8x y +=，列举共有5种情况，计算得到概率.【详解】()2log 3x y +=，则8x y +=，故解有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种情况，故556636p ==⨯. 故答案为：536. 【点睛】 本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.14．【解析】【分析】列举出所有的结果选出的所有的结果根据古典概型概率公式可求出函数是增函数的概率【详解】所有取值有：共12个值当时为增函数有共有6个所以函数是增函数的概率为故答案为【点睛】本题主要考查古 解析：12【解析】【分析】 列举出a b 所有的结果，选出1a b >的所有的结果，根据古典概型概率公式可求出函数()log a b f x x =是增函数的概率.【详解】a b 所有取值有：135713571157,,,,,,,,,,,222244446266共12个值， 当1a b >时，()f x 为增函数，有357577,,,,,222446共有6个， 所以函数()log a b f x x =是增函数的概率为61122=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用以及对数函数的性质，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n=求得概率. 15．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【 解析：916【分析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.【详解】设球的半径为r，依题意可知，圆柱底面半径r =='，故圆柱的体积为22333πππ44r r r r r ⋅=⋅⋅='，而球的体积为34π3r ，故所求概率为333π944π163r r =. 【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度. 16．10【解析】当时则；当时则；当时则；当时此时运算程序结束输出应填答案解析：10【解析】当0,1s n ==时，0(1)109s =+-+=<，则112n =+=；当0,2s n ==时，20(1)239s =+-+=<，则213n =+=；当3,3s n ==时，33(1)359s =+-+=<，则314n =+=；当5,4s n ==时，45(1)4109s =+-+=>，此时运算程序结束，输出10s =，应填答案10．17．【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循 解析：7【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =满足条件4i <，执行循环体，2S =，2i =满足条件4i <，执行循环体，4S =，3i =满足条件4i <，执行循环体，7S =，4i =此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为7．故答案为7．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．34【解析】由题设循环体要执行3次第一次循环结束后第二次循环结束后；第三次循环结束后；故答案为34点睛：本题考查循环结构解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数然后依次计算得出结果；由于的 解析：34【解析】由题设循环体要执行3次， 第一次循环结束后3a a b =+=，5b a b =+=，2i = 第二次循环结束后8a a b =+=，13b a b =+=，4i =；第三次循环结束后21a a b =+=，34b a b =+=，6i =；故答案为34.点睛：本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数，然后依次计算得出结果；由于a b ，的初值是12，，故在第一次循环中，3a a b =+=，5b a b =+=，计数变量从2开始，以步长为2的速度增大到6，故程序中的循环体可以执行3次，于是可以逐步按规律计算出a 的值.19．【分析】由搜集算法所费的时间的数据求得数据的平均数再结合方差的计算公式即可求解【详解】由题意搜集算法所费的时间的数据可得数据的平均数为所以方差为所以标准差故答案为：【点睛】本题主要考查了数据的平均数解析：【分析】由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据， 可得数据的平均数为939388819491906x +++++==， 所以方差为2222222(9390)(9390)(8890)(8190)(9490)(9190)206s -+-+-+-+-+-==，所以标准差s ==故答案为：【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.20．【分析】首先求出xy 的平均数根据样本中心点满足线性回归方程把样本中心点代入得到关于a 的一元一次方程解方程即可【详解】：（1+2+3+4）＝25（45+4+3+25）＝35将（2535）代入线性回归直解析：21 4【分析】首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【详解】：14x=（1+2+3+4）＝2.5，14y=（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，故a＝214．故答案为21 4【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题三、解答题21．（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）3 5 .【分析】（1）根据题目所给出的数据填写22⨯列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论.（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，女生3人，分别标号，列出所有的基本事件，再利用古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】解：（1）22⨯列联表如下：又()2100301045153.03 2.70675254555K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（2）方法一：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A、B；女生3人设为,,a b c，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B，(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，(),a b，(),a c，(),b c，共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63 105=.方法二：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为；女生3人，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为11222563105C CC==【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题.22．（Ⅰ）20m=，100n=，直方图见解析；（Ⅱ）90，81.25；（Ⅲ）815.【分析】（Ⅰ）由频率的计算公式，即可求得参数,m n，根据表格中数据，即可补全直方图；（Ⅱ）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，即可容易求得；（Ⅲ）先用分层抽样求得6天中在区间(50,100]和(100,150]的天数，列举出所有任取2天的可能性，找出满足题意的可能性，根据古典概型的概率求解公式即可求得结果.【详解】（Ⅰ）由题知100.00250n⨯=，解得100n=，所以20m=.频率分布直方图如图：（Ⅱ）平均数为[250.005750.0081250.0041750.0022250.001]50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯6.25302517.511.2590=++++=；中位数为0.50.25 505081.250.4-+⨯=；（Ⅲ）按分层抽样在(50,100]和(100,150]中抽取分别抽取4天和2天，在所抽取的6天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为1A，2A，3A，4A，空气质量指数为(100,150]的2天分别记为1B，2B，从中任取2天的基本事件为()()()()()()()()()()() {1213142324341112212231 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B A B ()()()()}32414212,,,,,,,A B A B A B B B共15个，其中事件M“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括8个，所以概率8()15P M=.【点睛】本题考查频率的计算，频率分布直方图的绘制，以及由频率分布直方图计算中位数和平均数，古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合中档题.23．()()()()204848212812x xy xx x⎧≤≤⎪=≤≤⎨⎪-≤≤⎩;程序框图见解析；【解析】试题分析：根据题意可得到面积函数是一个分段函数，写出函数后，利用条件分支结构写出程序框图即可.试题由题意可得y＝．程序框图如图：点睛：本题考查分段函数的算法写法，属于中档题，注意当分段函数为两段时，需要一个分支结构，如果分段函数三段时，需要两个分支结构才能完成，特别在写算法程序时，注意分支结构的连接，是与否的处理一定要细心.24．（1）24；（2）14 【分析】 (1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到76f f ⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值; (2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x 值，从而求得结果.【详解】(1)由算法框图得： 当0x >时，2πcos 2x y =，当0x =时，0y =，当0x <时，1y x =--， ()2πcos ,020,01,0x x y f x x x x ⎧>⎪⎪∴===⎨⎪--<⎪⎩7711666f ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos 71π26cos 661224f f f +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)当02x ≤≤时，()[]0,1f x ∈，当20x -≤<时，由0y <得10x -<<故所求概率为()()011224P --==-- 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力. 25．（1） 1.2308ˆ.0yx =+；（2）12.38万元.. 【分析】（1）由已知表格中的数据，易计算出变量x ，y 的平均数，及2i x ，i i x y 的累加值，代入回归直线系数公式1221n ii i n i i x y nxy b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程.（2）把使用年限10代入回归直线方程，即可估算出维修费用的值.【详解】（1）4x =，5y =，52190ii x==∑，51112.3i i i x y ==∑， 12215 1.235n ii i n ii x y xy b xx ==-==-∑∑，0.08a y bx =-=，所以回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+； （2） 1.23100.0812.3ˆ8y=⨯+=， 即估计用10年时维修费约为12.38万元.【点评】本题考查回归直线的方程求解，关键是要求出回归直线方程的系数，由已知的变量x ，y 的值，我们计算出变量x ，y 的平均数，及2i x ，i i x y 的累加值，代入回归直线系数公式1221n ii i n i i x y nxy b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程.属于中等题.26．（1）0.0075；（2）10户；（3）224a =，225.6x =.【分析】（1）由频率和为1列出方程求解x ；（2）求出三组用户的月平均用电量的频率推出比例关系，用20乘以月平均用电量在[)220,240的用户所占比例即可得解；（3）根据中位数左边和右边的直方图面积相等列出等式估计中位数，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.【详解】（1）由直方图的性质可得 ()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，解得0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075.（2）因为月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280的三组用户的频率分别为0.25、0.15、0.1，所以这三组用户的月平均用电量比例为5:3:2，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取5201010⨯=（户）. （3）因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，解得224a =.平均数 1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，225.6所以月平均用电量的中位数为224，平均数为225.6.【点睛】本题考查统计案例、分层抽样、根据频率分布直方图估计总体的数字特征，属于中档题.。

山东省枣庄市、滕州市2020届高三上期末数学试卷及答案

山东省枣庄市、滕州市2020届高三上期末数学试卷及答案

小岛
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故
事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好
玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃
及人喜欢使用分子为1 的分数(称为埃及分数)．如用两个埃及分数 1 与 1 的和表示 2
2 19
10．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ．设 l 与
x 轴的交点为 K ，P 为 C 上异于 O 的任意一点，P 在 l 上 的射影为 E ，EPF 的外角平分线交 x 轴于点 Q ，过 Q 作 QM PF 于 M ，过 Q 作 QN PE 交线段 EP 的延长线 于点 N ，则
3 15
5
等．从 1 ， 1 ， 1 ，…， 1 ， 1 这100 个埃及分数中挑出不同的 3 个，使得它们
234
100 101
的和为1 ，这三个分数是
．（按照从大到小的顺序排列）
14．在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是 O ，始边是 x 轴的非负半轴， 0 2π ，
点 P(1 tan π ，1 tan π ) 是 终边上一点，则 的值是
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {x | 1 x 1}，则 A N

高三数学第一学期期末试题(附答案)

高三数学第一学期期末试题(附答案)

高三数学第一学期期末试题2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2sin2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．在等差数列}a {n 中，90S 15=，则8a 等于 A ．3 B ．4 C ．6 D ．122．如果)x (f )x (f -=π+且)x (f )x (f -=，则f(x)可以是 A ．sin2x B ．cosx C ．sin|x| D ．|sinx|3．题设：平面α、β、γ直线l 、m 满足：α⊥γ，γI α=m ，γI β=l ，l ⊥m ，结论：①β⊥γ；②m ⊥β；③α⊥β，那么由题设可以推出的正确结论是 A ．①和② B ．③ C ．②和③ D ．①和③4．从1、2、3…，100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A ．167133C CB ．233167133C C C + C ．233CD ．1C 2C 267100--5．若复数z 满足|z+2i|+|z-2i|=4，记|z+1+i|的最大值和最小值分别为M ，m 则mM等于（ ） A ．2 B ．5 C ．10 D ．210 6．过抛物线x 4y 2=的焦点F 做直线与抛物线交于P ，Q 两点，当此直线绕其焦点F 施转时，弦PQ 中点的轨迹方程为（ ）A ．)1x (2y 2-=B ．1x 2y 2-=C ．1x y 2-=D ．21y y 2-= 7．设复数i 31z 1+=，i 3z 2+=，则)z z arg(21等于（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．将长为2πcm ，宽为πcm 的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面及粘接处），立放于桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A ．直三棱柱B ．直四棱柱C ．高为π的圆柱D ．高为2π的圆柱9．椭圆1m )6y (4)3x (222=++-的一条准线为x=7，则随圆的离心率等于A ．21 B ．22 C ．23 D ．4110．在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1和AC 的公垂线，则直线EF 与1BD 的关系是A ．异面B ．平行C ．相交且垂直D ．相交但不垂直 11．（理）在极坐标系中，点)611,2(P π到直线1)6sin(=π-θρ的距离等于A ．2B ．1C ．3D ．31+（文）自点（-1，4）作圆012y 6x 4y x 22==--+的切线，则切线长为 A ．5 B ．5 C ．10 D ．312．某工厂8年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越慢；②前三年中，产量增长的速度越来越快；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ）A ．②与③B ．②与④C ．①与③D ．①与④二、填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13．已知曲线C 与曲线02y 2x 2==+关于直线x-y=0对称，则曲线C 的焦点坐标为_________。

最新高三数学上期末试卷附答案

最新高三数学上期末试卷附答案

最新高三数学上期末试卷附答案一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．15．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．27．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．29．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定11．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34D ．3212．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．57二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．17．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．18．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+形的外接圆半径是______20．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 三、解答题21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.25．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()5A C -=，求线段DC 的长．26．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121n nn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.3．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．4．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．5．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.6．C解析：C 【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．7．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．10．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】先求出sin 3C =，再利用正弦定理求c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A为锐角，则cos A =sin C = 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故3sin 31sin 3a Cc A⨯=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故29722b b =+-⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 16．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11 【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．17．512【解析】【分析】利用已知将n 换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n （）∴an+1an+2=2n+解析：512 【解析】 【分析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】 .试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.19．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)222B +=︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即223623226R ++=， 解得：22R = 故答案为：2【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 三、解答题21．（1）3π；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >， 则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 2ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆3433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．tan sin sin()s θβαβ⋅+【解析】 【分析】 【详解】 在△BCD 中，CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin CD BDCBC CBD∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+在Rt △ABC 中，tan AB BC ACB =∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+.23．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 24．（1）50；（2）30 【解析】 【分析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++⋅⋅⋅+用1a 和d 表示,再求出其值. 【详解】解:(1)由题意,得1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=,12950n n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=, ∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++⋅⋅⋅++=, 根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=⋅⋅⋅=+, ∴()11060n a a +=,∴16n a a +=, 又{}n a 的所有项和为150,∴()11502n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.(2)由(1)知,1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,即112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴()2122233021305a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+()15249a d =+11152492010⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭30=.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 25．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos 2B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin 55A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故5125xx =⇒=．所以5AD DC ==． 26．（1）14n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49nn n T +-⋅=．【解析】 【分析】（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【详解】（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =，可得41(14)8514a -=-，解得11a =，则14n n a -=，*n N ∈；（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，两式相减可得23134444(1)4n nn T n --=+++⋯+--⋅14(14)(1)414n n n --=--⋅-，化简可得4(34)49nn n T +-⋅=．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．。

【鲁教版】高中数学必修一期末试卷(含答案)(1)

【鲁教版】高中数学必修一期末试卷(含答案)(1)

一、选择题1．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离()m s 与速度()km/h v 之间有如下关系式：2s k M v =⋅⋅，其中k 是比例系数，且0,k M >是汽车及其载重质量之和.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h 的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m .当这辆卡车装载等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m 处有障碍物时能在离障碍物5m 及以外处停车，则最高速度是（设司机发现障碍物到踩刹车经过1s ）（ ） A ．36km/hB ．30km/hC ．24km/hD ．18km/h2．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞3．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6B ．13C ．22D ．335．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --6．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦7．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③8．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．202021- B ．202021+C ．202020202121+-D ．202020202121-+10．集合{}2|6,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6111．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1612．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ） A ．310B ．112C ．4564D ．38二、填空题13．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈）14．已知函数22()1()x xf x x e a x e a R =++∈有四个零点，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______. 16．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.17．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，21.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是______．18．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是______19．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________.20．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________三、解答题21．已知关于x 的方程()2320,,,0ax bx c a b c R a ++=∈≠，其中0a b c ++=，且()320a b c c ++>.（1）求证：关于x 的方程2320ax bx c ++=有两个不等的实根； （2）若21ba-<<-，且1x ，2x 是方程2320ax bx c ++=的两个实根，求12x x -的取值范围.22．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 24．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. （1）解不等式(26)(5)f a f a +；（2）已知对任意的实数()23,14m f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，是否存在实数k ，使得对任意的[1,0]x ∈-，不等式()()142240x x xf f k ++--⋅>恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由.25．已知函数()2342()log log 16af x x x=⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集； （2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值.26．关于x 的不等式22(21)(2)0x a x a a -+++->，223()0x a a x a -++<的解集分别为M 和N（1）试求M 和N ；（2）若M N ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据v =36km/h 时，20m s =，求出5324k M ⋅=，求出司机发现障碍物到踩刹车经过1s ，汽车行驶的距离，再由不等式25202518vk Mv --⋅可解得结果. 【详解】因为2s k M v =⋅⋅，且当v =36km/h 时，20m s =， 所以22036k M =⋅⋅，∴5324k M ⋅=， 司机发现障碍物到踩刹车经过1s ，汽车行驶的距离为10005(m)360018vv ⋅=， 由25202518v k Mv --⋅，得25520518162v v --， 即294860v v +-≤，解得2718v -≤≤. ∴则最高速度是18km/h . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.2．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+，002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．3．D解析：D 【解析】根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数()22y f x x =-， 当221x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，当221x x -=时，解得1x =+1x =--故函数()22y f x x =-的零点共有7个. 故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.4．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.5．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算6．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题7．A解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点，所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.8．C解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。

【典型题】高三数学上期末试卷及答案(1)

【典型题】高三数学上期末试卷及答案(1)

【典型题】高三数学上期末试卷及答案(1)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184 C ．183 D ．1764．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( )A B C D5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．3C D ．26．已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4017．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 8．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )A ．338- B ．334- C ．338+ D ．33+ 9．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定12．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．32二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.16．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．17．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 18．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．19．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．20．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a +的值；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin a A b B c C B +=+()1求角C ；()2求cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．24．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 25．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，求ABC ∆的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到22222AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到112222CD CD ⨯=⨯⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5．D解析：D【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案.由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.8．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin A = 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 2a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，b =（b =∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．9．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．12．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．二、填空题13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为： 解析：[]0,9；【解析】【分析】 利用()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++- ()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：1，最大值为10 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09， 故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.16．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析：22【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x =+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.【详解】 ∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r 共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+ ∴22222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号 ∴y x的最小值为22. 【点睛】 该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.17．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3.考点：基本不等式 18．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验解析：*2)1(n n N +∈【解析】【分析】由2*2n S n n n N =+∈，，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．【详解】当2n ≥，且*n N ∈时，()()()2212121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦ ()2222122n n n n n =+--++- 21n =+，又211123S a ==+=，满足此通项公式，则数列{}n a 的通项公式()*21n a n n N=+∈． 故答案为：()*21n n N+∈【点睛】 本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．19．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题解析：1-【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-，又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】【分析】 由题得11(1)2a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】 由题意知，1112a q =-，可得11(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2224b c a +=（2 【解析】【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc =，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =，∴2sin cos 3sin c B A a A =，由正弦定理得22cos 3cb A a =， 由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=， ∴2224b c a +=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==， ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立，∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A ==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S .【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．()()124C π=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到222a b c +=，再由余弦定理得到()222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于3cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可．解析：()2221sin sin sin sin a A b B c C B a b c +=∴+=Q即222a b c +-=由余弦定理()222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，（2cos 4A B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭31cos cos 2cos 4422A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫--+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()110,,6612A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Q ，， 12sin 26A π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为2 23．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得112m <<+，从而可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， ()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈； （2）()2122n n n S n n -=+⨯=， 211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-，又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在2,12m k ==满足题意．【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．24．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.25．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以． ∴． ∴ = =点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:. 11n a n n n n ==+++26．（Ⅰ）23B π=；（Ⅱ）275 【解析】【分析】 （Ⅰ）由由正弦定理得()sin 2sin cos 0A C B B ++=，进而得到sin 2sin cos 0B B B +=，求得1cos 2B =-，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得5b =，再由余弦定理得2225a c ac =++，利用三角形的面积公式，求得3ac =，进而求得a c +的值，得出三角形的周长.【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=，又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-， 又因为(0,)B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，232=⨯，解得5b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++，因为ABC ∆的面积为1sin 424ac B ac ==，解得3ac =， 所以()()2222253a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：a c +=，所以ABC ∆的周长5L a c b =++=.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.。

2021年高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析)

2021年高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析)

2021年高三数学上学期期末考试试卷理（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（） A． {﹣1，0，1，2，3} B． {﹣1，0，3} C． {1，2，3} D． {1，2} 2．已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 1或45．已知函数y=log（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbxb的图象可能是（）A． B． C． D．6．xx年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种 B．种C．种 D．种7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A． {1，3} B． {0，1，3} C． {0，1，3，4} D． {0，1，2，3，4}二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是．13．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是．14．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（xx•许昌三模）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x的值．16．（13分）（xx•南昌校级二模）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）17．（14分）（xx•铜仁市模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．18．（13分）（xx秋•丰台区期末）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．19．（14分）（xx秋•丰台区期末）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（xx秋•丰台区期末）已知数列{a n}满足a1=1，a n=λa n﹣1+1，（13分）20．（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{na n}的前n项和S n；（Ⅲ）如果[a n]表示不超过a n的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）a n]}的通项公式．xx学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（）A． {﹣1，0，1，2，3} B． {﹣1，0，3} C． {1，2，3} D． {1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式x2﹣x﹣2≤0的解集A，由交集的运算求出A∩B．解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则A={x|﹣1≤x≤2}，又B={1，2，3}，则A∩B={1，2}，故选：D．点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若∥，则x﹣2y=0，即x=2y，若x=﹣4且y=﹣2，满足x=2y，即充分性成立，当x=y=0时，满足x=2y但x=﹣4且y=﹣2不成立，即必要性不成立，故“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标关系是解决本题的关键．3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据每一个个体被抽到的概率都为，可得每个个体被抽到可能性相同．解答：解：∵两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，∴每一个个体被抽到的概率都为，∴该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同，故选D．点评：本题考查了抽样方法，在抽样方法中，每个个体被抽到的概率相等．4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 1或4考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理列出关系式，把b，c，cosB的值代入计算即可求出a的值．解答：解：∵△ABC中，b=，c=，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即7=a2+3﹣3a，解得：a=4或a=﹣1（舍去），则a的值为4．故选：C．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．解答：解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．6．xx年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种 B．种C．种 D．种考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法．解答：解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：B．点评：本题考查乘法原理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．解答：解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是四棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图所示：顶点P在底面ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选A点评：本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键．8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A． {1，3} B． {0，1，3} C． {0，1，3，4} D． {0，1，2，3，4}考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据菱形的不同位置进行判断即可．解答：解：根据对称性我们只研究在x轴上方的整点情况，∵菱形OABC的边长为2，点B 在y轴上，∴A，C点在半径为2的圆上，且A，C关于y轴对称，①如图1，若对角线OB的长度OB≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，②如图2．此时区域内整点为（0，1），个数为1，③如图3，此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（1，1），个数为3，④如图4．则此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1），个数为4个，⑤如图5．则此时区域内整点为（0，1），（0，2），个数为2个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2，3，4}，故选：D点评：本题主要考查平面区域内整点的判断，利用数形结合是解决本题的关键．比较复杂．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是﹣1+i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知：z1=2i，z2=1﹣i．∴===﹣1+i．故答案为：﹣1+i．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于15 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质求出a4的值，再求出公差d的值，利用等差数列的前n项和公式求出S3的值．解答：解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故答案为：15．点评：本题考查等差数列的前n项和公式、性质，属于基础题．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c，s的值，当c=8时，满足条件c ＞5，退出循环，输出s的值为20．解答：解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．12．若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是 5 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为x+y=10．由解得，即B（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5．故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是﹣1≤y0≤1．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，可得k的值；∠OMN≥，则≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．解答：解：y0=0，设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，∴k=；∠OMN≥，则≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：；﹣1≤y0≤1．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．解答：解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，则f（x﹣1）=﹣f（x），即f（x﹣1）=﹣f（x）=﹣（﹣f（x+1））=f（x+1）；故它是周期为2的周期函数；故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即x+T=Tx；故（1﹣T）x+T=0恒成立；故不存在T．故假设不成立，故不正确；③若函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即2﹣x﹣T=T•2﹣x，即（T﹣2﹣T）•2﹣x=0；而令y=x﹣2﹣x，作图象如下，故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正确；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；故T=1或T=﹣1；故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（xx•许昌三模）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由周期公式即可求T的值．（Ⅱ）由x∈，可求．从而可求最大值和最小值及相应的x的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）T==π．…7 分（Ⅱ）因为x∈，所以．所以当2x=，即x=时，y max=2；当2x=，即x=时，．…（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题．16．（13分）（xx•南昌校级二模）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）考点：频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；（Ⅱ）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列与期望E（X）．解答：解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；…（2分）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4；…（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=；X可能的取值是0，1，2，3；∴P（X=0）=••=；P（X=1）=•=；P（X=2）=••=；P（X=3）=••=；∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…（12分）所以 E（X）=0×+1×+2×+3×=；…（13分）（或X～B（3，），∴E（X）=np=3×=．点评：本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目．17．（14分）（xx•铜仁市模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AC，由已知数据和勾股定理可得AB⊥AC，可得AC⊥CD，再由线面垂直关系可得；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），又可得=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量，计算可得cos＜，＞，可得二面角；（Ⅲ）设N（x，0，0），由题意可得x的方程=，解方程可得．解答：证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB=AC=2，，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴=（﹣1，1，1），=（2，0，0），．设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y=1，则，∴平面MAB的法向量=（0，1，﹣1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞===﹣∵二面角M﹣AB﹣C 为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），∴=，解得x=1，即AN=1，NB=1，∴=1点评：本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题．18．（13分）（xx秋•丰台区期末）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数求出函数f（x）的单调区间，进而求出函数的极小值；（Ⅱ）先利用特殊值，判断两函数值的大小，再构造函数g（x）=g（x）﹣（kx﹣1），根据函数g（x）的最值来对k进行分类讨论．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，则x=0．当x＜0时，f′（x）＜0，当；x＞0x＞0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时函数有极小值f′（x）极小值=f（0）=0．（Ⅱ）∵函数，当x=0时，y=k•0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1与f（x）无交点，等价于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①当k=1时，，满足y=kx﹣1与f（x）无交点；②当k＞1时，，而，，所以，此时不满足y=kx﹣1与f（x）无交点．③当k＜1时，令，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；当x=﹣ln（1﹣k）时，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0 得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1与f（x）无交点．综上所述当k∈（1﹣e，1]时，y=kx﹣1与f（x）无交点．点评：本题考查了，函数的最值，单调性，图象的交点，运用了等价转化、分类讨论思想，是一道导数的综合题，难度较大．19．（14分）（xx秋•丰台区期末）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过右焦点可知：c=，左焦点F′（﹣，0），利用2a=|MF′|+|MF|可得a=2，进而可得结论；（Ⅱ）通过S△ABC=，可得λ=|OP|2﹣，对直线l的斜率存在与否进行讨论．当直线l的斜率不存在时，易得λ=﹣1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆C方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得λ=﹣1．解答：解：（Ⅰ）由题意知：c=，左焦点F′（﹣，0）．根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF|=+，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的标准方程为：+y2=1；（Ⅱ）由题意知，S△ABC=|AB|•|OP|=，整理得：λ=|OP|2﹣．①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=，此时|AB|=1，|OP|=，∴λ=|OP|2﹣=﹣1；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0，显然△＞0，则x1+x2=﹣，x1x2=，∵y1=k（x1﹣），y2=k（x2﹣），∴|AB|==•=4•，∴|OP|2=（）2=，此时，λ=﹣=﹣1；综上所述，λ为定值﹣1．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（xx秋•丰台区期末）已知数列{a n}满足a1=1，a n=λa n﹣1+1，20．（13分）（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{na n}的前n项和S n；（Ⅲ）如果[a n]表示不超过a n的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）a n]}的通项公式．考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）当λ≠0，1时，设，由于a n=λa n﹣1+1，可得当n≥2时，=λ为常数．即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=2时，{a n+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，可得a n+1=2n，即na n=n•2n﹣n．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：a n=．设c n=（λ﹣1）a n=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，即可得出．解答：（Ⅰ）证明：当λ≠0，1时，设，∵a n=λa n﹣1+1，∴当n≥2时，===λ为常数．∵，∴数列为等比数列，首项为，公比为λ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知λ=2时，{a n+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，∴a n+1=2n，na n=n•2n﹣n．设A n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，则2A n=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．相减得=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴．设B n=1+2+…+n=，则S n=A n﹣B n=．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：=．设c n=（λ﹣1）a n=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，∴[c n]=，（k∈N*）．∴[c n]=﹣．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“取整函数的性质”、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．%40230 9D26 鴦34425 8679 虹520837 5165 入N 9 -30853 7885 碅g38166 9516 锖€z。

最新高三数学上学期期末考试试卷含答案

最新高三数学上学期期末考试试卷含答案

一、选择题：(每小题5分，共60分) 1.已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：131>-x，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件2.下列函数图象,经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是( )A.xy 2= B.x y 5.0log = C.24xy =D.11log 2+=xy3.若把函数)(x f 的图像按)2,3(--=π平移后得到x y cos =的图像，则)(x f 解析式为( )A.2)3cos(--=πx y B.2)3cos(+-=πx yC.2)3cos(-+=πx y D.2)3cos(++=πx y4.已知{n a }是等差数列,115a =,555S =,则过点2(3,)p a ,4(4,)Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．14 C ．－4D ．－145.若2,2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．[2，6]C ．[3，6]D ．[3，5]6.已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量与的夹角为（ ）A ．θπ-23B ．θπ+2C ．2πθ- D ．θ7.在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边。

如果,,a b c 成等差数列30,B ∠=且△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+8.51cos sin ,0=+<<ααπα，则ααtan 1tan 1+-的值为（ ）A.71B.7C.71- D.－79.已知等比数列}{n a 中，12=a ，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A.]1,(--∞B.)0,(-∞∪),1(∞+C.),3[∞+D.]1,(--∞∪),3[∞+ 10.双曲线9322=-x y 的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±3xB ．y ＝±31x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x11.已知互不相等的正数a 、b 、c 满足222a c bc +=，则下列不等式中可能．．成立的是（ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．b>c>aD ．c>a>b12.已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足f (a ) f (b )f (c)<0, 若实数d 是方程f (x )=0的一个解，那么下列四个判断：① d<a ；②d>b ； ③d<c ； ④d>c 中有可能．．．成立的为( ) A ．①③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③二、填空题：(每小题5分，共20分) 13.奇函数)(x f 的反函数是)(1x f-，若aa f -=)(，则)()(1a fa f -+-=___________.14.已知⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10 ,101 ,1)(x x x x x f ，则使1)()(->--x f x f 成立的x 的取值范围是.15.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为____________.16.已知ABC ∆的顶点B )0,3(-、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为三、解答题：（共70分）17.（本小题满分10分）求函数)62sin(sin 22π++=x x y 的最小正周期和最小值，并求出该函数在],0[π上的单调递减区间。

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【好题】高三数学上期末试卷及答案(1)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-5．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-7．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A．1 B．1 C ．＋2D ．28．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．329．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3210．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD 二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a，b ，c ，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．16．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.17．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n naa +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.18．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.19．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.23．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.24．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y yaf x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.25．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.3．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.4．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.5．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a＋c)·(a＋b)≤2 2b c2a++⎛⎫⎪⎝⎭(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2423－＝2(3－1)＝23－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误8．D解析：D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1yx+的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得A（112，），1yx+的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk+==最大．故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．9．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．B解析：B 【解析】 【分析】2+≥x y，边分别相加求解。

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