人教版九年级上册一元二次方程复习课导学案 (有答案)

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人教版九年级数学上册21.1一元二次方程导学案含答案

人教版九年级数学上册21.1一元二次方程导学案（含答案）21.1一元二次方程（导学案）学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣.重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项..学习过程一、创设问题情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛思考:(1)全场共比赛__________场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他__________个队各赛一场,全场共比赛__________场.由此,我们可以列方程__________.化简得__________.问题4一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得.二、揭示问题规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数它的最高次数是几它们有什么共同特点2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: .3.下面哪些数是上述问题4方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．三、尝试应用【例1 】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y(2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)-1=x2【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:3x(x-1)=5(x+2).[例3]判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)(2)五、自主总结1.本节重点学习的是什么方程一般形式是什么特别应该注意什么2.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题3.本节课用了那些数学方法？六、达标测试1.若（p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则（）A.p=2B.p≠0C.p>2D.p≠22.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.5、-4、6B.1、-5、0C.5、-2、1D.5、-4、33.下列各未知数的值是方程的解的是（）A. B. C. D.4.方程的一次项是（）A. B. C. D.5.把化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______.6.已知m是方程的一个根，则代数式________.7.某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是100万元，现在生产这种药品每吨的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为x，则可列方程为__________.8.已知：关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0)，则a-b的值为.根据题意列出方程（不必解答）两个连续整数的积是210，求这两个数；在一块长250米，宽150米的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191平方米，求这条道路的宽度。

数学人教版九年级上册一元二次方程复习导学案

一元二次方程复习的导学案福清滨江中学林华明（一）引例：复习提问：我们学了一元二次方程的哪些解法？（课前小测）请用指定的方法解下列方程：（1）2X2-4=0（直接开平方法）（2）(x+2)（x+3）=6（因式分解法）（3）2x2-4x=6（配方法）（4）x2+7x=1（公式法）（二）给下列方程选择简便的方法（1）4（1+x）2=9 （2）x2+4x+2=0（3）3x2+2x-1=0 （4）（2x+1）2=-3(2x+1)（5）（2x-1）2+3(2x-1)+2=0（三）拓展延伸1、阅读材料，解答问题：材料：为解方程（x2-1）2-5(x2-1) +4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，然后设x2-1=y，原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y1=1时, x2-1=1即x2=2，x=当y2=4时, x2-1=4即x2=5，x=原方程的解为：x1=1, x2=-1, x3=, x4=,解答问题：（1）填空：在由方程得到①的过程中利用法，达到了降次的目的，体现数学思想。

（2）解方程x4-x2-6=02、配方法应用举例：已知代数式x2-6x+10(1)试说明无论x取何实数时，代数式的值都大于0；(2)求代数式的最小值。

（四）能力提升：1、关于X的方程（m-1）x2+(m+1)x+3m-1=0,当m= 时，是一元一次方程；当m= 时，是一元二次方程；2、当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4.3、方程（2x-1）(x+1)=1化成一般形式是，其中二次项系数是，一次项系数是.4、两个连续自然数的积为132，则这两个数是 .（五）课后训练1. 如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）A．－2 B．－3 C．1 D．22. 已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，那么x12+x22的值是（）A．1 B．5 C．7 D、3. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于 x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长是5。

一元二次方程(复习课导学案)

初三数学班级姓名一元二次方程（复习课导学案）复习目标1．了解一元二次方程的有关概念。

2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

复习流程考点呈现考点1：一元二次方程的概念例1 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A.3（x+1）2=2(x+1)B.02112=-+x xC.ax 2+bx+c=0D.x 2+2x=x 2-1 解析：构成一元二次方程（一般形式）必须同时满足以下条件：①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.选项B 不满足①，C 不满足②，D 不满足④.故选Ａ.考点2：一元二次方程的根例2已知x=-1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222-n mn m +的值为．解析：把x ＝-1代入一元二次方程，得m-n ＝1, 则m 2-2mn+n 2＝(m-n) 2＝1．考点3：一元二次方程的解法例3 方程x(x －1)＝2的解是（）A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝2解析：将原方程化为一般形式为x 2-x-2＝0，用公式法解得x 1＝-1，x 2＝2. 故选D.例4方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是．解析：方法一：去括号，整理得 x 2－x －6＝0.用公式法解得x 1＝－2，x 2＝3.方法二：移项，提取公因式x ＋2，得 (x ＋2)(x －3)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝3．点评：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用，讲究解法技巧，准确、迅速．考点4：一元二次方程根的判别式例5已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是．解析：一元二次方程有实数根，即满足b 2-4ac ≥０且a ≠0.由题意，得1-4(m-1)≥0且m-1≠0.解得m ≤54且m ≠1. 例6若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.解析：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，∴b 2-4ac=244121680k k -⨯⨯=-≥.解得2k ≤.∴k 的非负整数值为0,1,2.考点5: 一元二次方程的应用问题例7 20XX 年5月，中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到20XX 年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.（1）求从20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率.（2）若20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元.解析：（1）设从2010至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意，得 ()2518.45x +=.解得x 1=0.3=30%,x 2=-2.3(不合题意,舍去).答略.（2）这三年共投资()5518.45x +++=5+5×(1+0.3)+8.45=19.95(亿元). 答略.误区点拨一、概念理解不清致错例1 关于x 的方程（m +2）22m x -+2（m -1）x-1=0，当m= 时，该方程是一元二次方程.错解：当m ²-2=2，即m=±2时，原方程是一元二次方程.剖析：错解忽视了一元二次方程定义中二次项系数不等于0这一条件.正解：m=2.二、解方程出错例2用公式法解方程4722=+x x ．错解：∵a=2,b=7,c=4,b 2-4ac=72-4×2×4=17,∴x=22177⨯±-. 4177,417721--=+-=∴x x .剖析：用公式法解方程时应先将方程化为一般形式，错解忽视了这一点，出现常数项c 错误.正解：原方程化为.04-722=+x x∵a=2,b=7,c=-4,b 2-4ac=72-4×2×（-4）=81,∴x=22817⨯±-. ∴12142x x =-=，．三、思维定势例3若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围.错解：由 m 2－1≠0 ，解得 m ≠±1，b 2-4ac =［－2（m+2）］2－4（m 2－1）≥0 ， m ≥ 54-. 所以m 的取值范围是m ≥54-且m ≠±1. 剖析：题设中的方程没有明确指出是一元二次方程，因此方程也有可能为一元一次方程，此时有 m 2－1=0且－2（m+2）≠0，解得m=±1 .正解：m ≥54- 时，原方程有实数根. 四、忽视检验根是否符合题意致错例4 新华中学八年级同学参加“手拉手”活动，甲班同学（人数不超过60人）全体都参加此项活动，共捐书300本；乙班同学有30人参加此项活动，共捐书260本，这两个班参加此活动的同学人均捐书比甲班人均捐书多1本，甲班有多少名同学？错解：设甲班有x 名同学.依题意,得300300260130x x +=-+．化简整理，得 223090000x x -+=．解得 1250180x x ==，．所以，甲班有50名或180名同学．剖析：方程的根没有检验是否符合题意，忽视了“甲班同学（人数不超过60人）”这个已知条件．正解：在错解的基础上，求得x 1=50,x 2=180.由于甲班同学人数不超过60人，所以50=x ，即甲班有50名同学．跟踪训练1．方程（k+2）x |k|+3kx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么k 的值是（）A ．k=±2 B．k=2 C ．k=－2 D ．k≠±22.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为1681)47(2=-t D. 3y 2-4y-2=0化为910)32(2=-y3．如果方程x 2＋mx ＋12=0的一个根是4，则另一个根和m 的值分别是( )A ．3 -7B ．3 7C ．-3 7D ．-3 -74．用公式法解方程x 2－3x －1=0，正确的解为（）A ．x 1=2133+-，x 2=2133--B ．x 1= 253+-，x 2= 253-- C ．x 1= 253+ ，x 2= 253- D ．x 1=2133+，x 2=2133- 5.如果关于x 的方程220x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= .6．定义新运算“*”，规则：()()a ab a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，如122*=，(=若x 2+2x-3=0 的两根为12,x x ，则12x x *＝．7．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场.设共有x•个队参加比赛，则可列方程为__________．8．等腰△ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．解：（1）当AB 或AC 的长为8时，64－10×8+m=0，所以m=_____；（2）当AB=AC 时，方程x 2－10x+m=0有两个相等的实数根，则b 2－4ac=0，即______，所以m=____．9．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．用配方法解方程2x 2－5x －8=0．解：原方程化为x 2－5x －8=0． ①配方，得x 2－5x+（－52）2=8+（－52）2． ② 所以（x －52）2=574． ③解得x 1，x 2④ （1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有，错在第______步，原因是_________．（3）写出正确的解答过程．10. 一块矩形耕地大小尺寸如下图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？中考零距离1.(20XX 年芜湖市)关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，则a 满足（）A.a ≥1B.a>1且a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠52.（20XX 年毕节市）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人3.（20XX 年眉山市）一元二次方程2260x -=的解为_______．4.（20XX 年清远市）方程2x(x-3)=0的解是 .5.（20XX 年新疆维吾尔自治区）解方程：2x 2－7x ＋6＝0.6.（20XX 年武汉市）解方程:x 2+x-1=0.7.（20XX 年天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻20XX 年平均每公顷产8 000 kg ，20XX 年平均每公顷产9 680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.（Ⅰ）用含x 的代数式表示：① 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为；② 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程；（Ⅲ）解这个方程，得；（Ⅳ）检验：；（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.8.（20XX 年安徽省）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m 2 ,下降到5月份的12600元/m 2.1）问：4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m 2？请说明理由．跟踪训练答案1.B2.B3.A4.D5.16. 1 7．x （x －1）=90 8. （1）16 （2）100－4m=0 259．（1）①二次项系数化为1 ②移项，方程的两边都加上一次项系数一半的平方 ③方程左边化为完全平方式 ④用直接开平方法解方程（2）① 常数项和一次项系数未同时除以2（3）x 1，x 2（过程略） 10. 解：设水渠应挖x 米宽.根据题意，得(162-2x)(64-4x)=9600 ,即x 2-97x+96=0.解得 x 1=1,x 2=96(不合题意，舍去) .答：水渠应挖1米宽.中考零距离答案1.A2.B3.x=4.x 1=0，x 2=35.21=x ,232=x .6.251-1+=x , 25-1-2=x . 7.解：（Ⅰ）①8000(1)x + ②28000(1)x +（Ⅱ）28000(1)9680x += （Ⅲ）10.1x =，2 2.1x =- （Ⅳ）10.1x =，2 2.1x =-都是原方程的根，但2 2.1x =-不符合题意，所以0.1x = （Ⅴ）108.解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x.根据题意，得12600)1(140002=-x . 化简，得9.0)1(2=-x . 解得95.1,05.021≈≈x x （不合题意，舍去）.因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为10000113409.012600)1(126002>=⨯=-x ,所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2.。

一元二次方程解法（复习课）导学案（5篇）

一元二次方程解法（复习课）导学案（5篇）第一篇：一元二次方程解法(复习课)导学案一元二次方程（复习课）导学案复习目标1．了解一元二次方程的有关概念。

2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点：能灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

复习流程回忆整理1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________()其中二次项系数是、一次项系数是常数项。

例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。

2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________（2）（3）（4）求根公式法，求根公式是 ___________________3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。

例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1)x(5x+21)=20(2)x2+9=6x(3)x2—3x = —54．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2=；x1 ·x2= ____________例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2=；x1 ·x2= _________典例精析例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.例2：解下列方程:(1)2 x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.5）（x＋1）（x－1）＝22x（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.温馨提示：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单及作业设计【学习目标】对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 【课前学习任务】复习《一元二次方程》一章相关知识点.【课上学习任务】学习任务一：例 1：已知关于 x 的方程是一元二次方程，则m 的值为 .学习任务二：例 2：关于 x 的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）若方程的一个实数根为-1，求 m 的值及方程的另一个实数根.学习任务三：例 3：关于 x 的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．学习任务四：例 4：随着经济建设的发展，某省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业. 据统计，2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的5/3倍；到2022 底，全省5G基站的数量将达到17.34万座.（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座?（2）按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面三道课后作业：1.若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0 有一根为0，则m= .2. 已知关于x的一元二次方程 x2-6x+2k-1=0 有两个相等的实数根，求k的值及方程的根.3. 用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.【参考答案】1. m=-1；2. k=5；x1=x2=3；3. 能围成一个面积为75cm2的矩形，长15cm，宽5cm.不能围成一个面积为101cm2的矩形，因为方程 x2-20x+101=0 无实根.。

一元二次方程(导学案)九年级数学上册系列(人教版)

21.1 一元二次方程学案1.通过一元一次方程的概念，能探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；2。

掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。

★知识点1：一元二次方程的概念只含有一个未知数，未知数最高次数是2，等号两边都是整式，这类方程应该叫一元二次方程。

★知识点2：一元二次方程一般式ax2+bx+c=0 （a≠0）______未知数，未知数最高次数是__，等号两边都是______，这类方程应该叫一元二次方程。

2. 一元二次方程一般式________________（_____≠0）,其中二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为_____。

一元一次方程的概念：只含有_______未知数（元），未知数最高次数是_____，等号两边都是________，这样的方程叫一元一次方程。

一元一次方程的一般形式：___________________________________。

1．下列方程中，是一元一次方程的是( )A．x2−4x=3 B．3x−1=x2C．x+2y=1 D．xy−3=52．如果方程ax|a+1|+3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为_____新知探究【问题1】正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？【问题2】有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600 c m2（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【问题3】如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？【问题4】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?追问1：观察上述所列方程有什么共同点？追问2：结合一元一次方程的概念，你发现了什么？追问3：为什么a≠0。

人教版初三数学上册一元二次方程解法复习课导学案

课题：一元二次方程解法复习课学案
学习内容：人教版九年级上第21章：解一元二次方程。

学习目标：灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想。

学习重点：公式法。

一、问题引入
1.什么是一元二次方程？
2.写出一个一元二次方程。

3.分析这方程的各项及系数。

二、探究解法
例1：写出一个一元二次方程: 变式1:令0
=
a，_____________; 变式2:令0
=
b，_____________; 解方程:
变式3:令0
=
c，_____________; 解方程：
变式4: 0,0,0≠≠≠c b a ,___________________. 解方程：
三、自我检测：
1、（2014中考）解方程: 0322
=-+x x
2、（2013中考）解方程 03)3(=-+-x x x
四、解法小结：
1：说出下列方程选择哪种方法会更简便些?
①6)1(32
=+x ； ②3)1)(3(=++x x ；
③142
-=-x x ； ④0122
=--x x .
五、作业：
1、（2008中考）
方程065-2
=+x x 的两个根是等腰AB C ∆两条边的长，则等腰AB C ∆的周长为_____________。

新人教版九年级上第21章一元二次方程复习课教学案(有答案)

第二十一章一元二次方程章末复习学习目标1.了解一元二次方程的有关概念.2.能运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.4.知道一元二次方程的根与系数的关系,并会运用它解决有关问题.5.能运用一元二次方程解决简单的实际问题.6.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.7.经历运用知识、技能解决问题的过程.学习过程一、知识网络二、专题练习专题一:一元二次方程的有关定义及根1.若(a-3)-+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为()A.3B.-3C.±3D.无法确定2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2015-a-b的值是()A.2 020B.2 008C.2 014D.2 0123.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.归纳:1.一元二次方程满足的条件:2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数和常数项可以为0.3.根能使方程左右两边相等,已知一个根,可代入然后求出方程中的字母系数.专题二:一元二次方程的解法1.解方程x2-2x-1=0.2.若将方程x2+6x=10化为(x+m)2=19的形式,则m=.3.解方程(x-3)2-9=0.归纳:专题三:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系1.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个实数根2.若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断3.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是()A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解4.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为()A.2B.3C.4D.85.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是()A.-2B.-3C.2D.3归纳:(一)根的判别式的应用1.根的判别式的作用:2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.(1)当Δ=b2-4ac>0时,.(2)当Δ=b2-4ac=0时,.(3)当Δ=b2-4ac<0时,.(4)对于以上三种情况,反之也成立.3.已知一根求另一个根.(二)求含根的代数式的值.成立的前提条件是Δ≥0.1.两根的倒数和:+=;2.两根的平方和:+=(x1+x2)2-2x1x2.专题四:一元二次方程的应用某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=0.5t2+1.5t(t≥0),乙以4 cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21 cm.(1)甲运动4 s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?归纳:一元二次方程解应用题的六个步骤练习:1.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是()A.100 m2B.64 m2C.121 m2D.144 m22.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498 m2,绿化150 m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170 m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3 m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?三、达标检测1.下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.0.5x2=0C.3x2+2y-=0D.x2+-5=02.方程a2-4a-7=0的解是.3.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A.x2+3=0B.x2+2x=0C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=04.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是()A.1B.-1C.1或-1D.25.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为.参考答案二、专题练习专题一:1.B 2.A 3.2-3-2专题二:1.x=1±;3;3.x1=6,x2=0专题三:1.C;2.A;3.B;4.C;5.B;归纳:(一)2.(1)方程有两个不相等的实数根.(2)方程有两个相等的实数根.(3)方程没有实数根.专题四:(1)14 cm(2)3 s(3)7 s练习:1.B;2.(1)22 m2;(2)长为17 m,宽为10 m.三、达标检测1.B;2.a=2±3.C4.B5.10%。

九年级上册数学《一元二次方程》全章复习导学案

九年级上册数学《一元二次方程》全章复习导学案一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

例：下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）C．（2x﹣1）（3x+2）＝5D．（2x+1）2＝4x2﹣3练习：下列方程中哪些是一元二次方程？（1）（2）4x2﹣3y﹣1＝0（3）ax2+bx+c＝0（4）x（x+1）﹣2＝0（5）（6）（m﹣2）2＝1（7），是一元二次方程的有：．（填番号）（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

例：一元二次方程x2﹣4x=5的一般形式是什么？二次项是什么？二次项系数是什么？一次项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．例：关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2练习：1、下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）C．（2x﹣1）（3x+2）＝5 D．（2x+1）2＝4x2﹣32、若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2m2﹣4m+2021的值为．3．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝3，x2＝﹣1，那么方程a（x+m﹣2）2+b＝0的解．4、若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．22、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

人教版九年级数学上第21章《一元二次方程》导学案

21.1 一元二次方程（第 1 课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。

三、学习过程1.回答以下问题。

（ 1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（ 2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：(a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。

2．新课应用 :1、下列方程是一元二次方程的是有：（ 1），（2） (x+1)(x-1)=0，2x2110，（5），（ 6）2x2 3 y 5 0（ 3），（ 4）x2、一元二次方程4x 2x25x 1 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是：.3、若(m3)x n23nx30 是关于x的一元二次方程，则（） .A m≠0， n=3B m≠3， n=4C m≠0， n=4D m≠3， n≠04、已知：关于 x 的方程k2 1 x2k 1 x20 .（ 1）当 k 取何值时，此方程为一元一次方程.（ 2）当 k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（） .A . 3 x 12 2 x 1B .11 2 0 C. ax2bx c 0 D. x22x x 21x 2x2．一元二次方程(13x)( x3) 2 x21化为一般形式为：，二次项系数为：___，一次项系数为：____，常数项为：_____.3．关于 x 的方程(m1)x 2(m1)x3m20 ,当 m________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程 .4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16 元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x ，则根据题意可列方程为．21.1 一元二次方程（第2 课时） ----一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。

【人教版】九年级上册数学导学案(含答案) 21.1 一元二次方程2

21.1 一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

其中为一元二次方程的是：【我学会了】2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）（2）【巩固练习】教材第27页练习2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）±1 ±2；（2）±2，±4（2）把方程 2（x-1）2+2x=16 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。

人教版九年级数学上册第二十一章《解一元二次方程复习》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版九年级数学上册第二十一章
《解一元二次方程复习》学习任务单及作业设计
【学习目标】
1.掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。

2.通过对比分析，能够归纳出一元二次方程各种解法之间的区别和联系。

3.通过方法选择和总结计算技巧，增强数学计算中的成就感。

【课前学习任务】
复习之前学过的有关方程的相关知识。

【课上学习任务】
学习任务一：复习一元二次方程的解法
1.1：我们学习过一元二次方程的几种解法？
1.2：观察一元二次方程的结构特征，你能选用哪种方法解该方程呢？
学习任务二：如何选择适当的方法解方程
2.1：用适当的方法解下列一元二次方程：
学习任务三：解含字母系数的方程
3.1：解下列关于 x 的方程：
参考答案：
1.1：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
1.2：配方法，因式分解法，公式法均可
2.1：
3.1：
【作业设计】
请同学们课后完成以下练习：
用适当方法解下列关于x的方程：
【参考答案】。

最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)

最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为某cm，则盒底的长为__(100－2某)cm__，宽为__(50－2某)cm__．列方程__(100－2某)·(50－2某)＝3600__，化简整理，得__某2－75某＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__437＝28__．设应邀请某个队参赛，每个队要与其他__(某－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共某（某－1）某（某－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__某2－某－56＝0__．②22探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于某的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a某2＋b某＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__a某2__是二次项，__a__是二次项系数，__b某__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)某3－2某2＋5＝0；(2)某2＝1；13(3)5某2－2某－＝某2－2某＋；45(4)2(某＋1)2＝3(某＋1)；(5)某2－2某＝某2＋1;(6)a某2＋b某＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3某(某－1)＝5(某＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3某2－3某＝5某＋10.移项，合并同类项，得3某2－8某－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于某的方程(m2－8m＋17)某2＋2m某＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2某2＋10某＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以某＝－2或某＝－3是一元二次方程2某2＋10某＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－某2＝0;(2)2(某2－1)＝3y；12(3)2某2－3某－1＝0;(4)2－＝0；某某(5)(某＋3)2＝(某－3)2;(6)9某2＝5－4某.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若某＝2是方程a某2＋4某－5＝0的一个根，求a的值．解：∵某＝2是方程a某2＋4某－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，3解得a＝－.43．根据下列问题，列出关于某的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长某；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长某.解：(1)4某2＝25，4某2－25＝0；(2)某(某－2)＝100，某2－2某－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(某＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如某2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(某＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为某dm，则一个正方体的表面积为__6某2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__1036某2＝1500__，由此可得__某2＝25__，根据平方根的意义，得某＝__±5__，即某1＝__5__，某2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2某－1)2＝5及方程某2＋6某＋9＝4方程(2某－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2某－1＝±5__，即将方程变为__2某－1＝5和__2某－1＝－5__两个一元一1＋51－5次方程，从而得到方程(2某－1)2＝5的两个解为某1＝__，某2＝____．22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程某2＋6某＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(某＋__3__)2＝4，进行降次，得到__某＋3＝±2__，方程的根为某1＝__－1__，某2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成某2＝p(p≥0)或(m某＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得某＝±p或m某＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(某－8)2＝50；(3)(2某－1)2＋4＝0;(4)4某2－4某＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(某－8)2＝50，y2＝4，(某－8)2＝25，y＝±2，某－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；某－8＝5或某－8＝－5，∴某1＝13，某2＝3；(3)(2某－1)2＋4＝0，(4)4某2－4某＋1＝0，(2某－1)2＝－4<0，(2某－1)2＝0，∴原方程无解；2某－1＝0，1∴某1＝某2＝.2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成某2＝p(p≥0)或(m某＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3某＋1)2＝7;(2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？－b＋b2－4ac问题：已知a某＋b某＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根某1＝，某2＝2a2－b－b2－4ac.2a分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a某2＋b某＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac将a，b，c代入式子某＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数2a根．－b±b2－4ac(2)某＝叫做一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的求根公式．2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2某2－3某＝0；(2)3某2－23某＋1＝0；(3)4某2＋某＋1＝0.3解：(1)某1＝0，某2＝；有两个不相等的实数根；2(2)某1＝某2＝3；有两个相等的实数根；3(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程某2－4某＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)某2－(2m－3)某＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？111解：(1)m＜；(2)m＝；(3)m＞.4443.已知某2＋2某＝m－1没有实数根，求证：某2＋m某＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵某2＋2某－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程某2＋m某＝1－2m，即某2＋m某＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴某2＋m某＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：3(1)2某2－3某－＝0;(2)16某2－24某＋9＝0；2(3)某2－42某＋9＝0;(4)3某2＋10某＝2某2＋8某.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)某2＋某－12＝0;(2)某2－2某－＝0；4(3)某2＋4某＋8＝2某＋11;(4)某(某－4)＝2－8某；(5)某2＋2某＝0;(6)某2＋25某＋10＝0.解：(1)某1＝3，某2＝－4；(2)某1＝2＋32－3，某2＝；22(3)某1＝1，某2＝－3；(4)某1＝－2＋6，某2＝－2－6；(5)某1＝0，某2＝－2;(6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把－b±b2－4ac2a，b，c的值代入某＝(b－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定出b2－4ac的值、．a，b，c的值，再算．最后代入求根公式求解．．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/的速度竖直上抛，那么经过某物体离地的高度(单位：m)为10某－4.9某2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01)设物体经过某落回地面，这时它离地面的高度为0，即10某－4.9某2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：某(10－4.9某)＝0，于是得某＝0或10－4.9某＝0，②∴某1＝__0__，某2≈2.04．上述解中，某2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，而某1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(某＋1)(某－1)＝0，那么__某＋1＝0或__某－1＝0__，即__某＝－1__或__某＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)某(某－8)＝0；(2)(3某＋1)(2某－5)＝0.15解：(1)某1＝0，某2＝8；(2)某1＝－，某2＝.322．用因式分解法解下列方程：(1)某2－4某＝0;(2)4某2－49＝0；(3)5某2－20某＋20＝0.77解：(1)某1＝0，某2＝4;(2)某1＝，某2＝－；22(3)某1＝某2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5某2－4某＝0；(2)3某(2某＋1)＝4某＋2；(3)(某＋5)2＝3某＋15.4解：(1)某1＝0，某2＝；521(2)某1＝，某2＝－；32(3)某1＝－5，某2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4某2－144＝0；(2)(2某－1)2＝(3－某)2；13(3)5某2－2某－＝某2－2某＋；44(4)3某2－12某＝－12.解：(1)某1＝6，某2＝－6；4(2)某1＝，某2＝－2；311(3)某1＝，某2＝－；22(4)某1＝某2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)某2＋某＝0;(2)某2－23某＝0；(3)3某2－6某＝－3;(4)4某2－121＝0；(5)(某－4)2＝(5－2某)2.解：(1)某1＝0，某2＝－1；(2)某1＝0，某2＝23；(3)某1＝某2＝1；1111(4)某1＝，某2＝－；22(5)某1＝3，某2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为某m.则可列方程2π某2＝π(某＋5)2.解得某1＝5＋52，某2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系bc1.理解并掌握根与系数的关系：某1＋某2＝－，某1某2＝.aa2.会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程某2－5某＋6＝0某2＋3某－10＝0问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；某122某23－5某1＋某25－3某1某26－10答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②某2＋p某＋q＝0的两根某1，某2用式子表示你发现的规律.答：某1＋某2＝－p，某1某2＝q.自学2：完成下表：方程2某2－3某－2＝03某2－4某＋1＝0某1213某21－21某1＋某23243某1某2－113问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②a某2＋b某＋c＝0的两根某1，某2用式子表示你发现的规律．bc答：某1＋某2＝－，某1某2＝.aa自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)－b＋b2－4ac－b－b2－4aca某＋b某＋c＝0的两根某1＝____，某2＝____．2a2a2bc某1＋某2＝－，某1某2＝.aa二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)某2－3某－1＝0；(2)2某2＋3某－5＝0；1(3)某2－2某＝0.3解：(1)某1＋某2＝3，某1某2＝－1；(2)某1＋某2＝－，某1某2＝－；22(3)某1＋某2＝6，某1某2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)某2－6某－15＝0;(2)3某2＋7某－9＝0；(3)5某－1＝4某2.解：(1)某1＋某2＝6，某1某2＝－15；7(2)某1＋某2＝－，某1某2＝－3；351(3)某1＋某2＝，某1某2＝.44点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2某2＋k某－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．3解：另一根为，k＝3.2点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将某＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程某2－3某－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．11(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.αβ3解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)某2－3某＝15;(2)5某2－1＝4某2；(3)某2－3某＋2＝10;(4)4某2－144＝0.解：(1)某1＋某2＝3，某1某2＝－15；(2)某1＋某2＝0，某1某2＝－1；(3)某1＋某2＝3，某1某2＝－8；(4)某1＋某2＝0，某1某2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7某2－12某＋5＝0B．6某2－13某－5＝0C．4某2＋21某＋5＝0D．某2＋15某－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．bc3．要注意比的符号：某1＋某2＝－(比前面有负号)，某1某2＝(比前面没有负号)．aa学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了某个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__某__人，第一轮后共有__(某＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__某__人，第二轮后共有__(某＋1)(某＋1)__人患了流感．则列方程：__(某＋1)2＝121__，解得__某＝10或某＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__某__，则十位数字为__(6－某)__，则原两位数为__10(6－某)＋某，新两位数为__10某＋(6－某)__．依题意可列方程：[10(6－某)＋某][10某＋(6－某)]＝1008__，解得某1＝__2__，某2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有某名学生，根据题意，列出方程为()A．某(某＋1)＝2550B．某(某－1)＝2550C．2某(某＋1)＝2550D．某(某－1)＝255032分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(某－1)张相片，全班共送出某(某－1)张相片，可列方程为某(某－1)＝2550.故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出某个小分支，则有1＋某＋某2＝91，即某2＋某－90＝0，解得某1＝9，某2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为某，则列方程为：__某2＋(某＋4)2＝10(某＋4)＋某－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2.对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±某)n＝b，其中a是原有量，某为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为某，则一年后甲种药品成本为__5000(1－某)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－某)2__元．依题意，得__5000(1－某)2＝3000__．解得__某1≈0.23，某2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为某，则11月份的营业额为__5000(1＋某)__元，12月份的营业额为__5000(1＋某)(1＋某)__元，即__5000(1＋某)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋某)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为某，则一月(或一年)后产量为a(1＋某)；二月(或二年)后产量为a(1＋某)2；n月(或n年)后产量为a(1＋某)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋某)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为某，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000某·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000某·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为某，则1000＋2000某·80%＋(1000＋2000某·80%)某·80%＝1320，整理，得1280某2＋800某＋1600某＝320，即8某2＋15某－2＝0，解得某1＝－2(不符，舍去)，某2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2022年平均每公顷产7200kg，2022年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为某，则有7200(1＋某)2＝8460，解得某1＝0.08，某2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2.若平均增长(降低)率为某，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±某)n＝b(常见n＝2)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．一、自学指导．(10分钟)问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)分析：封面的长宽之比是27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．。

人教版九年级数学上册第21章一元二次方程《复习课》导学案

第二十一章复习课1.知道一元二次方程的概念及一般形式,会用根的判别式判断一元二次方程解的情况.2.知道一元二次方程的四种解法,能灵活选用合适的方法解一元二次方程.3.知道一元二次方程根与系数的关系,并会简单应用.4.会用一元二次方程解决实际问题,体会数学的建模思想.5.重点:一元二次方程的解法及应用.◆体系构建补全本章知识网络图.一元二次方程◆核心梳理1.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.2.形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,用“直接开平方法”比较方便;当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时,用“因式分解法”比较方便;形如x2+2mx=n的方程,用“配方法”比较方便.3.用公式法解一元二次方程首先要把方程化为一般形式,确定a,b,c 的值;若b2-4ac ≥0,则把各项系数直接代入求根公式x=.专题一:一元二次方程及其解的含义1.关于x的一元二次方程(m+1)+4x+2=0的解为(C)A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.无解[变式训练]已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),则a-b的值为-1.【方法归纳交流】能使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解.专题二:一元二次方程的解法2.用恰当的方法解下列方程.(1)2(x+3)2=8;(2)4x2-4x+1=0;(3)(3x-4)2=9x-12;(4)x2-4x-2=0.解:(1)∵2(x+3)2=8,∴(x+3)2=4,∴ｘ1=-1,x2=-5.(2)Δ＝(-4)2-4×4×1=16,∴x=.。

新人教版九(上)一元二次方程全章导学案(精编)

学校___________ 班级___________ 姓名___________ 学号___________…………☉…不…☉…要…☉…在…☉…密…☉…封…☉…线…☉…内…☉…作…☉…答…………… 1.1一元二次方程的概念（学案）一，情景导入：问题（1）要设计一座高2m 的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?分析：设下部高度BC 为xm 则上部AC 为__________m.根据上部与下部的关系_________________。

列方程为：_________________化简得_________________。

问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm ²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?思考:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__________cm,宽为__________cm.根据方盒的底面积为3600cm 2.由此,可以列方程_________________,化简得___________________.问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思考:(1)全场共比赛___________场;(2) 若设应邀请x 个队参赛,则每个队要与其他____________个队各赛一场,全场共比赛_______场.由此,我们可以列方程_________________,(3) 化简得___________________.二、观察发现二．揭示概念观察并思考:x 2+2x -4=0; x 2-75x +350=0; x 2-x =56.(1).这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?(2).对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义:__________________.（3）揭示：经过去分母、去括号、移项、合并同类项能化为02=++c bx ax （其中a 、b 、c 为常数，且0≠a ）的整式方程，02=++c bx ax （其中a 、b 、c 为常数，且0≠a ）被称为一元二次方程的___________。

九年级(上)数学一元二次方程单元复习导学案

九年级（上）数学一元二次方程单元复习导学案【典型题例】例题1：关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定例题2：已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（）A．B．2 C．D．﹣2例题3：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=（）A．4 B．4﹣4 C．﹣4+4 D．4﹣4或﹣4+4例题4：设a，b，c都是实数，且满足a2﹣4a+4++|c+8|=0，ax2+bx+c=0，则代数式x2+x+1的值为．例题5：在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解．例题6：某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【跟踪训练】一、选择题．1．下列方程中，一元二次方程是（）A．B．ax2+bx﹣3=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点3．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17 C．17或19 D．194．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=05．使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣66．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送了90张，则该组共有（）A．20人B．15人C．10人D．9人7．某服装原价200元，连续两次涨价，每次都涨a%后的价格为242元，则a是（）A．20 B．15 C．10 D．5二、填空．8．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为．9．已知方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=．10．如果2x2+1与4x2﹣2x﹣5互为相反数，则x的值为．11．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是．12．已知方程3ax2﹣bx﹣1=0和ax2+2bx﹣5=0有共同的根﹣1，则a=，b=．13．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．14．关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的两根中有一个等于0，则m=．15．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程．三．解答题：16．用适当的方法解答下列个方程．（1）x2﹣5x+1=0 （2）3x2﹣x=3 （3）（x+3）2=（1﹣2x）2 （4）3x2﹣2x=x+3．17．关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣4）x﹣m2=0的一个根是1，求m及另一个根．18．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200=0，试判断△ABC的形状．19．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且CD=3cm．AD，BD是方程x2﹣6x+4=0的两根，求△ABC的面积．20．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？。