高等代数课件
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高等代数【北大版】课件
PART 05
特征值与特征向量
REPORTING
特征值与特征向量的定义与求法
特征值与特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx 成立，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特
征向量。
特征值的求法
通过解方程|A-λI|=0得到特征值λ，其中I为单位矩阵。
多项式的因式分解与根
总结词
多项式的因式分解、根的定义和求法 。
详细描述
多项式的因式分解是将一个多项式表 示为若干个整式的乘积。根是指使多 项式等于零的数。求根的方法有多种 ，如求根公式、因式分解法等。
多项式的导数与极值
总结词
多项式的导数、极值的定义和求法。
详细描述
多项式的导数是多项式关于变量的导数，表示为$f'(x)$。极值是函数在某点处 的最大值或最小值。求极值的方法有多种，如导数法、二阶导数法等。
特征值与特征向量的应用
在数值分析中的应
用
在求解线性方程组时，可以利用 特征值和特征向量的性质进行高 阶矩阵的近似分解，提高计算效 率。
在量子力学中的应
用
在量子力学中，波函数可以表示 为一个矩阵，而这个矩阵的特征 值和特征向量可以用来描述量子 态的能量和状态。
在经济学中的应用
在经济学中，可以利用特征值和 特征向量的性质研究投入产出模 型，分析各个产业之间的关联程 度和经济系统的稳定性。
高等代数矩阵的标准型91λ矩阵的等价与法式课件
在研究矩阵的秩、行列式和特征多项式时，可以利用91λ矩阵的等价性进 行化简和推导。
在研究矩阵的相似性和不变子空间时，可以利用91λ矩阵的等价性进行转 化和推导。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
91λ矩阵的法式
91λ矩阵的法式定义
01
91λ矩阵的法式是矩阵的一种 标准型，它表示矩阵经过有限 次初等行变换和初等列变换后 所得到的矩阵形式。
法式在数学、物理和工程等领域也有广泛应用，特别是在求解线性方程组、计算特征值和求解微分方程 等方面。
在某些应用场景中，91λ矩阵标准型和法式可以相互转换，但它们的应用侧重不同，需要根据具体问题 选择合适的标准型或法式。
REPORT
THANKS
感谢观看
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
91λ矩阵的法式具有唯一性， 即同一矩阵的法式是唯一的。
03
91λ矩阵的法式可以用于研究 矩阵的性质和计算矩阵的行列 式、逆矩阵等。
91λ矩阵法式的计算方法
01
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，再 通过初等列变换化为标准型矩阵。
02
在计算过程中，需要注意变换的顺序和变换的性质 ，以确保最终得到的法式是正确的。
91λ矩阵标准型的每一行和每 一列只有一个非零元素，而法 式的每一行和每一列只有一个
在研究矩阵的相似性和不变子空间时，可以利用91λ矩阵的等价性进行转 化和推导。
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SUMMAR Y
03
91λ矩阵的法式
91λ矩阵的法式定义
01
91λ矩阵的法式是矩阵的一种 标准型，它表示矩阵经过有限 次初等行变换和初等列变换后 所得到的矩阵形式。
法式在数学、物理和工程等领域也有广泛应用，特别是在求解线性方程组、计算特征值和求解微分方程 等方面。
在某些应用场景中，91λ矩阵标准型和法式可以相互转换，但它们的应用侧重不同，需要根据具体问题 选择合适的标准型或法式。
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02
91λ矩阵的法式具有唯一性， 即同一矩阵的法式是唯一的。
03
91λ矩阵的法式可以用于研究 矩阵的性质和计算矩阵的行列 式、逆矩阵等。
91λ矩阵法式的计算方法
01
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，再 通过初等列变换化为标准型矩阵。
02
在计算过程中，需要注意变换的顺序和变换的性质 ，以确保最终得到的法式是正确的。
91λ矩阵标准型的每一行和每 一列只有一个非零元素，而法 式的每一行和每一列只有一个
高等代数第11章双线性函数与辛空间PPT优秀课件
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
• 则A的迹 Tr(A)= a11+a22++ann
• 是Pnn上的一个线性函数.
• 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数,定义 P[x]上的函数Lt为:
•
Lt(p(x))=p(t), p(x)P[x]
• 即 P[xL]t(上p(x的))线为性p(x函)在数t.点的值, 则Lt(p(x))是
•
f(x)=0
• 则由引理之<3>,x=0, F是单射;又因为V与 V**维数相同,所以F是双射, F是同构映射.
• 注 说明V 和 V *是互为线性函数空间的, 故称为对偶空间.
17
§3 双线性函数
• 一. 双线性函数的概念
• 定义 设V是数域P上的线性空间, f(,)是
V上一个二元函数, 即对V中任意两个向
nn
f(X,Y) aijxiyj
2
i1j1
• 注<1>和<2>是双线性函数f(,)的一般形式如下19:
度量矩阵
• 定义设f(,)是数域P上n维线性空间
V上的一个双线性函数, V的一组基, 则矩阵
1,2,,n是
f(1,1) Af(2,1)
《高等代数》线性变换PPT课件
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
N 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 {1,2, ,n}
的矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:
(1) ( 1 , 2 , n ) ( ( 1 ) ( 2 ) , , ( , n ) ( 1 ) 2 n ) A
7.1.2 线性变换的象与核
定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射,
(1)如果 VV, 那么 (V ) { ()| V }叫做 V
在σ之下的象.
(2)设 WW,那么 { V|() W }叫做 W 在σ
之下的原象.
定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而
:VW是一个线性映射，那么V 的任意子空间
②对于任意 a F , V ,( a) a()
容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,bF和任意 ,V,
( a b ) a ( ) b ( )
在②中取 a 0，对③进行数学归纳，可以得到：
（1）(0)0
（2） ( a 1 1 a n n ) a 1 ( 1 ) a n ( n )
代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
a0 a 1 ann.
这个线性变换叫做当 x时f (x)的值，并且
记作 f ( ).
高等代数经典课件
§1 数域
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.
例1 所有具有形式
2b a +
的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.
例2 所有可以表成形式
m m n n b b b a a a π
πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.
例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.
一、一元多项式
定义2 设n 是一非负整数，形式表达式
0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,
(1)
其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为
高等代数北大第三版
上式中
皆能被 整除，
故 不可约．
矛盾．
•整理课件
•19
例3 证明： 在 上不可约． 证：（令 即可）． ( 可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) 例4 判断
（ 为素数）在 上是否可约．
•整理课件
•20
解： 令
即
则 为整系数多项式．
但 在 上不可约， 从而
在 上不可约．
•整理课件
•21
注意百度文库
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件．也就是说，如果一个整系数多项式
§ 1 . 9 有理系数多项式
一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
•整理课件
•1
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对
则 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积.
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个
一般的方法.
•整理课件
•2
2. 我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约 多项式；
•14
注意
定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件 而非充分条件．
例1 求方程 解： 可能有理根为
的有理根.
用综合除法可知，只有1为根．
•整理课件
•15
例2 证明: 证： 若 可约，则
在 上不可约． 至少有一个一次因式，
高等代数ppt课件
转
相除下去，显然所得余式的次数不断降低，因此，在有限次之后，
必然有一个余式为零.于是得到一串带余除法算式：
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x),
g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),
r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),
(※)
………
rs-2(x)=qs(x)rs-1(x)+rs(x), rs-1(x)=qs+1(x)rs(x)+0.
－b0－b1x－b2x2－…－b m1 x m1－bmxm. 多项式f (x)与g(x)的差f (x)－g(x)是指多项式f (x)＋(－g(x)).
对F[x]中任意多项式f (x)，g(x)，h(x),我们都有 1) f (x)＋g(x)=g(x)＋f (x); 2) (f (x)＋g(x))＋h(x)=f (x)＋(g(x)＋h(x));
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
2、最大公因式：设 f (x)、g(x)是P[x]中的多项式如，果在P[x]中
相除下去，显然所得余式的次数不断降低，因此，在有限次之后，
必然有一个余式为零.于是得到一串带余除法算式：
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x),
g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),
r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),
(※)
………
rs-2(x)=qs(x)rs-1(x)+rs(x), rs-1(x)=qs+1(x)rs(x)+0.
－b0－b1x－b2x2－…－b m1 x m1－bmxm. 多项式f (x)与g(x)的差f (x)－g(x)是指多项式f (x)＋(－g(x)).
对F[x]中任意多项式f (x)，g(x)，h(x),我们都有 1) f (x)＋g(x)=g(x)＋f (x); 2) (f (x)＋g(x))＋h(x)=f (x)＋(g(x)＋h(x));
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
2、最大公因式：设 f (x)、g(x)是P[x]中的多项式如，果在P[x]中
高等代数知识点总结课件
特征值与特征向量
特征值
对于一个线性变换，如果存在一 个非零向量，使得该向量经过变 换后变为零向量，则称该向量为 特征向量，对应的数称为特征值 。
特征多项式
描述特征值与矩阵元素之间关系 的多项式。
特征值的性质
特征值具有一些重要的性质，如 特征值的乘积等于矩阵行列式的 值，特征值的和等于矩阵对角线 元素之和等。
03
可逆矩阵的条件：行列式不为0。
线性方程组的解法
高斯消元法
01
通过消元和回代求解线性方程组。
行列式方法
02
通过求解行列式来求解线性方程组。
克拉默法则
03
当线性方程组系数行列式不为0时，可以通过克拉默法则求解线
性方程组。
02
向量空间与线性变换
向量空间的基本概念
01
02
03
向量空间
由满足一定条件的向量和 数构成的集合。
THANKS
感谢观看
行列式的应用
• 总结词：行列式在解决线性方程组、向量空间和矩阵运算等领域有广泛的应用。
• 详细描述：行列式在解决线性方程组中有重要的应用。通过克拉默法则，我们可以利用行列式来求解线性方程组。具体来说，对于一个包含$n$个方程和$n$个未知数的线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x2 + \cdots + a{1n}x_n = b1 \ a{21}x1 + a{22}x2 + \cdots + a{2n}x_n = b2 \ \vdots \ a{n1}x1 + a{n2}x2 + \cdots + a{nn}x_n = b_n \end{cases}$，其解可以通过计算相应的行列式并按照一定规则得到。此外，行列式在向量空间和矩阵运算等领域也有广泛的应用。
第一章 高等代数多项式ppt课件
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
ppt精选版
20
多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
推论2：若f (x)•g(x) = f (x)•h(x)，且f (x) ≠ 0，则 g(x) = h(x)。
由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。
定义5：记P [x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P [x] 对多项式的加、减、乘法封闭，故称P [x]为数域P上的一 元多项式环。
若记Pn [x]={数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多
成立，其中(r(x))(g(x)或)者r(x) = 0，并且这样的q(x)
和r(x)是唯一确定的。
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f(x ) x 3 x 2 x , g (x ) x 1 2 i
ppt精选版
18
多项式
二、多项式的整除性
§3 整除的概念和性质
定义1：设f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x]使得 f (x) = g(x)h(x)
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20
多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
推论2：若f (x)•g(x) = f (x)•h(x)，且f (x) ≠ 0，则 g(x) = h(x)。
由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。
定义5：记P [x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P [x] 对多项式的加、减、乘法封闭，故称P [x]为数域P上的一 元多项式环。
若记Pn [x]={数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多
成立，其中(r(x))(g(x)或)者r(x) = 0，并且这样的q(x)
和r(x)是唯一确定的。
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f(x ) x 3 x 2 x , g (x ) x 1 2 i
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18
多项式
二、多项式的整除性
§3 整除的概念和性质
定义1：设f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x]使得 f (x) = g(x)h(x)
高等代数第4章多项式4.6重因式与重根ppt课件
x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x 的值相等，
故 ux 有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾， 故 u x 0, 即 f x g x
问题3、设 a1, a2 , , an 是F中n个不同的数，
b1,b2, ,bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x，使
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
2024/4/1
高等代数
p x 是f (k1) x的（k-(k-1)=1）单因式，
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x 的值相等，
故 ux 有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾， 故 u x 0, 即 f x g x
问题3、设 a1, a2 , , an 是F中n个不同的数，
b1,b2, ,bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x，使
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
2024/4/1
高等代数
p x 是f (k1) x的（k-(k-1)=1）单因式，
高等代数课件
(+)+ =+(+) + = +()=
k(+) = k+k (k+l) = k+l
(kl) = k(l) 1 =
其中, , 是V到V的任意变换, k, l是F中的任意数. 因此:
定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个 线性空间.
变换的乘法: ,L(V), 则它们(作为映射)的合成L(V), 称之 为与的积, 记作.
设W是的一个不变子空间, 定义映射|W :WW为 |W ()=(). 则|W是W的一个线性变换, 称它为线性变换在W上的限制.
设W是的一个非平凡的不变子空间, 1, 2, …, r是W的一个基, 把它扩充为V的一个基1, 2, …, r , r+1, …, n. 由于W在之下不变, 所以(1), (2), …, (r)仍在W内, 它们可用W的基1, 2, …, r线 性表示. 因此
f() a 0 a 1 a nn
若 f ( x ) g ( x ) , F [ x ] u ( x ) , f ( x ) g ( x ) v ( x ) , f ( x ) g ( x ) , A是一
个 n阶方阵, 则 u ( A ) f ( ) g ( ) v ( , ) f ( ) g ( ).
变换的加法: ,L(V), 定义V到V的映射+为 +: | ()+ ().
k(+) = k+k (k+l) = k+l
(kl) = k(l) 1 =
其中, , 是V到V的任意变换, k, l是F中的任意数. 因此:
定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个 线性空间.
变换的乘法: ,L(V), 则它们(作为映射)的合成L(V), 称之 为与的积, 记作.
设W是的一个不变子空间, 定义映射|W :WW为 |W ()=(). 则|W是W的一个线性变换, 称它为线性变换在W上的限制.
设W是的一个非平凡的不变子空间, 1, 2, …, r是W的一个基, 把它扩充为V的一个基1, 2, …, r , r+1, …, n. 由于W在之下不变, 所以(1), (2), …, (r)仍在W内, 它们可用W的基1, 2, …, r线 性表示. 因此
f() a 0 a 1 a nn
若 f ( x ) g ( x ) , F [ x ] u ( x ) , f ( x ) g ( x ) v ( x ) , f ( x ) g ( x ) , A是一
个 n阶方阵, 则 u ( A ) f ( ) g ( ) v ( , ) f ( ) g ( ).
变换的加法: ,L(V), 定义V到V的映射+为 +: | ()+ ().
高等代数课件 (3)
次数公式
命题: f , g K[ x1 , x2 , …, xn ], 有
deg( f + g ) max { deg( f ) , deg( g ) }
deg( f g ) = deg( f ) + deg( g ) 约定:
(–∞) + n = –∞, nZ,n0 (–∞) +(–∞) =–∞
证: 设 f = h g
= ( hs + hs +1 + … + hm ) ( gt + gt +1 + … + gr ) = hs gt + ( hs gt +1 + hs +1 gt ) + … + hm gr
hs 0 , gt 0 hs gt 0 hm 0 , gr 0 hm gr 0 f 齐次 s + t = m + r s = m, t = r
( i1 , i2 , … , in ) > ( j1 , j2 , … , jn )
全体 n 元指数向量被排成一条队
传递性
若有 ( i1 , i2 , … , in ) > ( j1 , j2 , … , jn ) ( j1 , j2 , … , jn ) > ( k1 , k2 , … , kn )
唯一分解性质
高等代数(绪论)讲解课件
向量与矩阵
向量
向量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
多项式与分式
多项式
多项式是一个数学表达式，它由变量、常数和有限次数的加减乘法运算组成。 在高等代数中，多项式是基础概念之一，它可以表示为线性组合的形式，也可 以通过因式分解来研究其性质。
详细描述
在高等代数中，线性方程组的求解通常转化为向量空间和矩阵的问题。通过矩阵的初等变换、消元法 等技巧，可以快速求解线性方程组，并得到唯一解或通解。
矩阵计算与数据处理
总结词
矩阵计算是高等代数中处理数据的重要手段，它可以用于数据分析和处理，以及机器学 习等领域。
详细描述
矩阵是高等代数中的基本概念之一，它可以用于表示和处理大量数据。通过矩阵运算和 特征值分解等技巧，可以对数据进行降维、分类和聚类等操作，从而挖掘出数据中的潜
根的性质
了解多项式的根的性质，如重根、根与系数的关系等 。
代数基本定理
掌握代数基本定理，理解多项式可以分解为线性因式 的必要性。
行列式与矩阵的计算技巧
行列式的计算
掌握行列式的计算方法，如按行展开、按列展开等。
高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编第四版.ppt
σ：σ(a)＝a0， aM （既不单射，也不是满射） 6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f(x)P[x]（是满射，但不是单射）
7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， aM
8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, nZ
（双射） （双射）
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
σ：σ(A)＝|A|， APnn
4）M＝P，M´＝P nn ，（P为数域）
（是）
τ：τ(a)＝aE， a（PE为n级单位矩阵） （是）
5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 固定元素.
σ：σ(a)＝a0， aM
（是）
6）M＝M´＝P[x]（P为数域）
σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f(x)P[x]
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
3、集合间的运算
交：AB {xx A 且 x B }； 并：AB {xx A 或 x B } 显然有，A B A ;A A B
例题：
1、证明等式: A(AB )A ． 证：显然，A(AB ) A ．又 x A ,则 x AB ， ∴ xA(AB )， 从而, AA(AB )．
则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射， 记作σ－1．
7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， aM
8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, nZ
（双射） （双射）
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
σ：σ(A)＝|A|， APnn
4）M＝P，M´＝P nn ，（P为数域）
（是）
τ：τ(a)＝aE， a（PE为n级单位矩阵） （是）
5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 固定元素.
σ：σ(a)＝a0， aM
（是）
6）M＝M´＝P[x]（P为数域）
σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f(x)P[x]
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
3、集合间的运算
交：AB {xx A 且 x B }； 并：AB {xx A 或 x B } 显然有，A B A ;A A B
例题：
1、证明等式: A(AB )A ． 证：显然，A(AB ) A ．又 x A ,则 x AB ， ∴ xA(AB )， 从而, AA(AB )．
则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射， 记作σ－1．
高等代数【北大版】课件
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
线性方程组的解的结构
解的唯一性
当方程组有唯一解时，解是唯一的。
解的参数形式
当方程组有无穷多解时，解可以用参数表示。
解的无穷多性
当方程组无解或有无穷多解时，解是无穷多 的。
解的通解形式
对于线性方程组，其通解可以表示为特解和 相应的基础解系的线性组合。
线性方程组的解的判定定理
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩 相等时，方程组有唯一解。
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
高等代数课件
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
向量的加法
两个向量的加法运算满足结合律和交 换律，但并不满足分配律。
向量空间
给定一组向量，如果它们满足结合律 、交换律和分配律，那么它们构成一 个向量空间。
子空间
一个向量空间中的子集如果也满足以 上三个性质，那么它是一个子空间。
线性变换与矩阵表示
线性变换的定义
对于一个向量空间中的一组基，如果 对于每个向量，存在一个线性组合， 使得该组合等于该向量，那么这组基 是一个基底。
CHAPTER 03
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv对某个标量λ成立，则称λ是矩阵A的特征值，v 是对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量v与特征值λ唯一对应，且与A的阶数无关。特征向量v是对应于特征值λ的线性组合的系数向 量。
线性变换的基本性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
向量的加法
两个向量的加法运算满足结合律和交 换律，但并不满足分配律。
向量空间
给定一组向量，如果它们满足结合律 、交换律和分配律，那么它们构成一 个向量空间。
子空间
一个向量空间中的子集如果也满足以 上三个性质，那么它是一个子空间。
线性变换与矩阵表示
线性变换的定义
对于一个向量空间中的一组基，如果 对于每个向量，存在一个线性组合， 使得该组合等于该向量，那么这组基 是一个基底。
CHAPTER 03
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv对某个标量λ成立，则称λ是矩阵A的特征值，v 是对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量v与特征值λ唯一对应，且与A的阶数无关。特征向量v是对应于特征值λ的线性组合的系数向 量。
线性变换的基本性质
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