【人教版】初三数学下册《三边成比例的两个三角形相似》课件
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初三数学《三角形相似的判定》课件
• 1：已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°， ∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什 么？ • 2：下列图形中，∠1=∠2，找出各个图形中的相似三角形。
A 1 E 1 D 2 B D △ABC∽△DAC 2 A
C
B
C
△ADE∽△ABC
例2 如图，已知：在△ABC中，EF∥BC 求证：△AEF∽△ABC
C′ 从而
A D AD AB AB K
（相似三角形的对应边 成比例）
相似三角形的对应高的比等于相似比。
二、判断下列命题是否正确。
1．任意两个等边三角形一定相似。 ……………(√ ) 2．任意两个等腰三角形一定相似。 ……………(× ) 3．有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 …( √ ) 4．顶角相等的两个等腰三角形相似。 …………(√ ) 5．有一个底角相等的两个等腰三角形相似。 …( √ ) 6. 有一个角是80°的两个等腰三角形相似。 …(× ) 7. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似。…( √ ) 8．有一个角相等的两个等腰三角形相似。 ……( ×)
• 1、什么是相似三角形？
三个角对应相等，且三边对应成比例的两个 三角形叫作相似三角形
• 2、我们学过的三角形相似的判定定理有哪些？
判定定理1、三边对应成比例的两个三角形相似
• 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等，那么它们的第三个角相等吗？
由于三角形的内角和为180°，因此它们的第三 个角也相等
A 证明：∵EF∥BC ∴∠AEF=∠ABC（两直线平行，同位角相等） 又∵∠A是公共角 ∴△AEF∽△ABC
E B
F
C 你能将这个问题的结论用文字加以表述吗？
人教版初中数学三年级下册《相似三角形的性质》图文课件
A
边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
C B D
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比 (求相似三角形的相似比要注意顺序性)
F
如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为： E “△ABC∽△DEF”读作“△ABC相似于△DEF” 对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边。
探 索2:
A
三组对应边成比例
A’
B C
B’
C’
A' B' B' C' A' C' ＝ ＝ AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
动手：
1、请同学们在所发的方格纸上任意画一个△ABC, 使点A、B、C三点均在格点上。
2、作△A‘B’C‘，使A‘、B’、C‘各点也在格 点上。且A'B'=kAB,B'C'=kBC,A'C'=kAC.(k取一个大于0 且便于画图的数）
(三边对应成比例的两个三角形相似)
练习1: 已知△ABC和 △DEF,根据下列 条件判断它们是否相似. 否 (1) AB=3，
BC=4， AC＝6 DE＝6， EF＝8， DF＝9
是 (2) AB=4，
BC=8， AC＝10 DE＝20， EF＝16， DF＝8
否 (3) AB=12，
BC=15， AC＝24 DE＝16， EF＝20， DF＝30
相似三角形的性质
蓦然回首
1、什么叫做全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形。（如右图△ABC≌△DEF）
B
A D C E F
2、全等三角形的对应边、对应角之 间各有什么关系？
九年级数学人教版下册用三边关系判定三角形相似课件
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm， A′B′= 12 cm，B′C′= 18 cm，A′C′=24 cm. 解： ∵ A B = 4 1 ， B C 6 1 ， A C = 8 1 ，
A B 1 23B C 1 83A C 2 43 ∴AB= BC AC.
AB BC AC
∴△ABC ∽△A'B'C'.
解：设另外两条边长分别是x cm和y cm(x<y)，由题意得
4 2＝ 5 x＝ 6 y或 5 2＝ 4 x＝ 6 y或 6 2＝ 4 x＝ 5 y， 解得xy＝ ＝352，或xy＝ ＝18552，或xy＝ ＝5343，
因此另外两条边长应当分别是 5 cm和3 cm或 8 cm和 1 2 cm
2
5
5
儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
贫 心穷志是要一 坚切 ，是艺 意术 趣1职 要)业 乐，的 。母每亲。个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小
有志登山顶，无志站山脚。
有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。
正方形的顶点上)，是相似三角形的为( ) 志不立，天下无可成之事。
【点拨】设小正方形的边长为 1，则“帅”“相”“兵”所在位置的格
点构成的三角形的三边长分别 2，2 5，4 2.“车”“炮”之间的距
离为 1，“炮”②之间的距离为 5，“车”②之间的距离为 2 2，
∵ 5 ＝2 25 4
22＝12，∴“马”应该落在②处．
【答案】B
7．如图，正方形网格中有三个三角形，其中相似的是( B ) A．A 与 B B．A 与 C C．B 与 C D．A，B，C 都相似
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。
解：由勾股定理知AC＝ ，BC＝2，AB＝
A B 1 23B C 1 83A C 2 43 ∴AB= BC AC.
AB BC AC
∴△ABC ∽△A'B'C'.
解：设另外两条边长分别是x cm和y cm(x<y)，由题意得
4 2＝ 5 x＝ 6 y或 5 2＝ 4 x＝ 6 y或 6 2＝ 4 x＝ 5 y， 解得xy＝ ＝352，或xy＝ ＝18552，或xy＝ ＝5343，
因此另外两条边长应当分别是 5 cm和3 cm或 8 cm和 1 2 cm
2
5
5
儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
贫 心穷志是要一 坚切 ，是艺 意术 趣1职 要)业 乐，的 。母每亲。个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小
有志登山顶，无志站山脚。
有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。
正方形的顶点上)，是相似三角形的为( ) 志不立，天下无可成之事。
【点拨】设小正方形的边长为 1，则“帅”“相”“兵”所在位置的格
点构成的三角形的三边长分别 2，2 5，4 2.“车”“炮”之间的距
离为 1，“炮”②之间的距离为 5，“车”②之间的距离为 2 2，
∵ 5 ＝2 25 4
22＝12，∴“马”应该落在②处．
【答案】B
7．如图，正方形网格中有三个三角形，其中相似的是( B ) A．A 与 B B．A 与 C C．B 与 C D．A，B，C 都相似
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。
解：由勾股定理知AC＝ ，BC＝2，AB＝
人教版九年级下册数学《相似三角形的判定》相似PPT(第3课时)
2、通过动手实践活动，养成创新意识与创造发 明意识。
工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、双面胶、硬纸板、马铃薯、红薯 （或萝卜）等
活动实践
活动1 以硬纸板为主要材料，分别做出下面两组视 图所表示的立体模型。
活动2 按照下面给出的两组三视图，用马铃薯 （或萝卜）做出相应的实物模型。
活动3 下面的每一组平面图形都由四个等边三角形 组成。
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∵∠C=90°, ∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴ AE AD ， AB AC
∴ AD AC AE 8 5 4. AB 10
追问1：目前我们见到过哪些常见的相似基本图形？
DE ∥ BC
AB ∥ CD
追问2:下列图形相似吗？满足什么条件才相似？
13 12
5
课题拓广
课外活动 设计并制作笔筒 设计你喜欢的笔筒，画出三视图和展开 图，制作笔筒模型，体会设计制作过程中 三视图、展开图、实物（立体模型）之间 的关系。
欣赏一下手工笔筒吧！
课堂小结
这节课你有哪些收获？你觉得依据三视 图制作立体模型时有哪些需注意的问题，与 同伴交流。
课后作业
了解有关生产实际，结合具体例子，写 一篇短文介绍三视图、展开图的应用。
所有判定一般三角形相似的方法，都可以用来判定直角三角形相似. 由于直角三角形是特殊的三角形，所以有其特有的更简洁的判定相似 的方法.
问题2：如果是一条直角边和斜边对应成比例，那么两个直角三角形 相似吗？
它们相似.
问题3：你能归纳出判定两个直角三角形相似的条件吗？
一个锐角相等，或者两边对应成比例.
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.
相似三角形的判定 第3课时
工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、双面胶、硬纸板、马铃薯、红薯 （或萝卜）等
活动实践
活动1 以硬纸板为主要材料，分别做出下面两组视 图所表示的立体模型。
活动2 按照下面给出的两组三视图，用马铃薯 （或萝卜）做出相应的实物模型。
活动3 下面的每一组平面图形都由四个等边三角形 组成。
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∵∠C=90°, ∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴ AE AD ， AB AC
∴ AD AC AE 8 5 4. AB 10
追问1：目前我们见到过哪些常见的相似基本图形？
DE ∥ BC
AB ∥ CD
追问2:下列图形相似吗？满足什么条件才相似？
13 12
5
课题拓广
课外活动 设计并制作笔筒 设计你喜欢的笔筒，画出三视图和展开 图，制作笔筒模型，体会设计制作过程中 三视图、展开图、实物（立体模型）之间 的关系。
欣赏一下手工笔筒吧！
课堂小结
这节课你有哪些收获？你觉得依据三视 图制作立体模型时有哪些需注意的问题，与 同伴交流。
课后作业
了解有关生产实际，结合具体例子，写 一篇短文介绍三视图、展开图的应用。
所有判定一般三角形相似的方法，都可以用来判定直角三角形相似. 由于直角三角形是特殊的三角形，所以有其特有的更简洁的判定相似 的方法.
问题2：如果是一条直角边和斜边对应成比例，那么两个直角三角形 相似吗？
它们相似.
问题3：你能归纳出判定两个直角三角形相似的条件吗？
一个锐角相等，或者两边对应成比例.
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.
相似三角形的判定 第3课时
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
人教版数学九年级下册27用角的关系判定三角形相似课件(56张)
那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 吗？
事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝90°， ∠C′＝90°， AB AC ,
AB AC
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证
巩固新知
1 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等
腰三角形呢？证明你的结论.
解：底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC， 在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠B＝∠B′. 求证： △ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在 △ABC中，AB＝AC，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠A＝∠A′.求 证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝ ∠C，同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝ 180－ A ，∠B′＝ 180－ A ， ∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B′.又∵∠A＝∠2 A′，∴△ABC∽△2A′B′C′.
解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当 A D D P 时，△ADP∽△PCQ， PC CQ 1
等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应
D∠C．′＝∵A9B0°＝，10，AC＝83，k∴由和勾股4定k理(k可是得BC正＝6整. 数)为直角边的直角三角形一定与
直角三角形相似的判定定理：
Rt△ABC相似吗？为什么？ ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′.
事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝90°， ∠C′＝90°， AB AC ,
AB AC
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证
巩固新知
1 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等
腰三角形呢？证明你的结论.
解：底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC， 在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠B＝∠B′. 求证： △ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在 △ABC中，AB＝AC，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠A＝∠A′.求 证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝ ∠C，同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝ 180－ A ，∠B′＝ 180－ A ， ∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B′.又∵∠A＝∠2 A′，∴△ABC∽△2A′B′C′.
解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当 A D D P 时，△ADP∽△PCQ， PC CQ 1
等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应
D∠C．′＝∵A9B0°＝，10，AC＝83，k∴由和勾股4定k理(k可是得BC正＝6整. 数)为直角边的直角三角形一定与
直角三角形相似的判定定理：
Rt△ABC相似吗？为什么？ ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′.
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第2课时《三边成比例的两个三角形相似》
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第2课时《三边成比例的两个三角形相似》一. 教材分析人教版九年级数学下册第27.2.1节《三边成比例的两个三角形相似》是相似三角形这一章的重要内容。
本节课主要通过探究三边成比例的两个三角形相似的性质，让学生理解相似三角形的判定方法，为后续学习相似三角形的应用打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。
但学生在学习过程中，对于相似三角形的判定方法容易混淆，解题时往往忽视对已知条件的挖掘和运用。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生充分理解三边成比例的两个三角形相似的性质，并通过大量练习，提高学生的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握三边成比例的两个三角形相似的判定方法，能运用这一性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.重点：三边成比例的两个三角形相似的判定方法。
2.难点：如何引导学生发现并证明三边成比例的两个三角形相似。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、发现知识。
2.运用多媒体辅助教学，展示三角形相似的动态过程，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重练习巩固，及时反馈，提高学生的应用能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习已学知识，引出相似三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生观察、操作、猜想、验证三边成比例的两个三角形相似的性质。
3.讲解例题：分析例题，讲解解题思路，巩固新知识。
4.练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，及时反馈，提高解题能力。
人教版九年级数学下册《相似三角形》
二十七章相似
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
人教版初中数学《相似三角形》_PPT
【获奖课件ppt】人教版初中数学《相 似三角 形》_p pt1-课 件分析 下载
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思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
【获奖课件ppt】人教版初中数学《相 似三角 形》_p pt1-课 件分析 下载
B
A
A1
要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
C 注意 B1
C1
当∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2（2）
【获奖课件ppt】人教版初中数学《相 似三角 形》_p pt1-课 件分析 下载
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推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
l
l
A
l1
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3. ∵ DE∥BC， ∴ AD AE .
AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
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思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
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B
A
A1
要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
C 注意 B1
C1
当∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
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图1
图2（2）
【获奖课件ppt】人教版初中数学《相 似三角 形》_p pt1-课 件分析 下载
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推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
l
l
A
l1
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3. ∵ DE∥BC， ∴ AD AE .
AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
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人教版_《相似三角形的判定》PPT经典课件1
AD AE DE AD AE DE 如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段. A.AC＝AB＝BC B.AB＝AC＝BC 可以将 DE 平移到BC 边上去
∵DE是⊙O的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB， 要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，我们需要证明什么？ 12．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且
只要DE∥BC，这个结论恒成立.
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，
理解相似三角形的概念。
我们需要证明什么？ 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
B1 A1
A2(B2)
A3
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)，所得的对应线段成比例.
巩固新知
C AB//CD AB//CD//EF
AB//CD//EF
合作探究
新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 人教版 · 数学· 九年级（下）
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
7．(2019·贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，
几何语言： 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
∵DE是⊙O的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB， 要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，我们需要证明什么？ 12．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且
只要DE∥BC，这个结论恒成立.
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，
理解相似三角形的概念。
我们需要证明什么？ 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
B1 A1
A2(B2)
A3
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)，所得的对应线段成比例.
巩固新知
C AB//CD AB//CD//EF
AB//CD//EF
合作探究
新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 人教版 · 数学· 九年级（下）
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
7．(2019·贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，
几何语言： 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
人教版数学九年级下册《 三边成比例的两个三角形相似》PPT课件
例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
4
A
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA；
在 △DEF 中，DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴
BC=2B′C′，BB'CC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
巩固练习
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
DE
1 2
AC，DF
1 2
BC，EF
=
1 2
AB，
∴
DE AC
DF BC
=
EF AB
=
1， 2
∴ △ABC∽△EFD.
探究新知
考点 3 利用三角形相似说明角相等
AB BC AC
D
E
又
AB A' B'
BC B' C'
AC A' C'
人教版九年级数学下册相似三角形全章课件
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
A A′
B
B′ C
C′
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似.
【例】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
A C
B
D
P2 P3
P1 P4
E
P5 F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，
得
， ，BC=5；
，，
.
∵
，∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
A C
B
P3 E
D P1 P2
P4
P5 F
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
4.（成都中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与B
C相交于点K，E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC，
求 的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明．再探究：当AE= AD (n>2)，而其余
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 152c . m
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__. A
数学人教版《相似三角形的性质》优质课(PPT)1
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
∴∠B＝∠B' ，
，
相似三角形对应高的比等于相似比.
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，则S△BCF=
.
(2)如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF的值．
知识点三：相似三角形面积的比等于相似比的平方
人教版 · 数学· 九年级（下）
第27章 相似 27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题。
2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题。
回顾旧知
相似三角形的判定方法有哪几种？
定义法：对应边成比例，对应角相等 的两个三角形相似.
AB AC 2
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 ×6 = 3，
2
面积为
1 2
2
12
5 3
5.
巩固新知
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为 什么？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
AB BC CA k， AB BC CA
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kAB kBC kCA k. AB BC CA AB BC CA
人教版《相似三角形的性质》PPT优秀教学课件1
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边， 由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
九年级数学下册教学课件《相似三角形的判定第2课时》
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交 A'C'于点E. ∵DE∥B'C'
∴△A'DE∽△A'B'C'
A' D = A' E A' B' A' C'
D E
又∵ AB AC ∴ A' B' A' C'
A'D=AB ∴ △ABC∽△A'B'C'
A'E=AC △ABC≌△A'DE
第2课时 相似三角形的判定（2）
R·九年级下册
新课导入 三边对应相等的两个三角形全等，这 是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两 个三角形相似呢？
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
拓展延伸 在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A'B'C'中，∠B'=30°，A'B'=10cm， A'C'=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似， 说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
△ABC∽△A'B'C'
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交 A'C'于点E. ∵DE∥B'C'
∴△A'DE∽△A'B'C'
A' D = A' E A' B' A' C'
D E
又∵ AB AC ∴ A' B' A' C'
A'D=AB ∴ △ABC∽△A'B'C'
A'E=AC △ABC≌△A'DE
第2课时 相似三角形的判定（2）
R·九年级下册
新课导入 三边对应相等的两个三角形全等，这 是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两 个三角形相似呢？
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
拓展延伸 在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A'B'C'中，∠B'=30°，A'B'=10cm， A'C'=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似， 说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
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判断? 解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
A C A′ C′ B′
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
AB 4, BC 10, AC 2;
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC 相似.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC. ∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, 又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC. B′ C′ B D
E
C
A′
归纳
由此得到三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似．
典例精析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． D C 2.4 3 A 4 3.5 B E 1.8
2.1
F
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
∴ △ABC∽ △DEF.
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D、E、F分
别是AB、BC、CA的中点，
∴△ABC∽△EFD.
课堂小结
利用三边判定两个三角形相似
三边Байду номын сангаас比例 的两个三角 形相似
相似三角形的判定定理的运用
的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等， 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， (3) AB=12， BC=15， AC＝10. AC＝24.
∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC. 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， B C D E A
∴∠CAE=20°.
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm.
AB 4 1 解： ' ' A B 12 3 BC 6 1 ' ' B C 18 3 AC 8 ' ' A C 21 AB BC AC ' ' ' ' ' ' AB BC AC
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的
第二十七章 相
似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 A 问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？ D E
否
是
DE＝20， EF＝16， DF＝8. 否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
（注意：大对大，小对小，中对中．）
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C ′= 90°，且
A ' B ' A 'C ' 1 . AB AC 2
求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 由此得出，BC=2B′C′,
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边 来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若
A' B' B' C' A' C' ， AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？.
A′
A
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
B 'C ' 1 A ' B ' A 'C ' . 从而 BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
AB BC AC 如图，在△ABC和△ADE中， . AD DE AE ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
例3
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
设1个小方格的边长为1，则
A C A′ C′ B′
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
AB 4, BC 10, AC 2;
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC 相似.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC. ∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, 又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC. B′ C′ B D
E
C
A′
归纳
由此得到三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似．
典例精析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． D C 2.4 3 A 4 3.5 B E 1.8
2.1
F
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
∴ △ABC∽ △DEF.
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D、E、F分
别是AB、BC、CA的中点，
∴△ABC∽△EFD.
课堂小结
利用三边判定两个三角形相似
三边Байду номын сангаас比例 的两个三角 形相似
相似三角形的判定定理的运用
的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等， 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， (3) AB=12， BC=15， AC＝10. AC＝24.
∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC. 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， B C D E A
∴∠CAE=20°.
当堂练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm.
AB 4 1 解： ' ' A B 12 3 BC 6 1 ' ' B C 18 3 AC 8 ' ' A C 21 AB BC AC ' ' ' ' ' ' AB BC AC
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的
第二十七章 相
似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 A 问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？ D E
否
是
DE＝20， EF＝16， DF＝8. 否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
（注意：大对大，小对小，中对中．）
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C ′= 90°，且
A ' B ' A 'C ' 1 . AB AC 2
求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 由此得出，BC=2B′C′,
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边 来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若
A' B' B' C' A' C' ， AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？.
A′
A
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
B 'C ' 1 A ' B ' A 'C ' . 从而 BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
AB BC AC 如图，在△ABC和△ADE中， . AD DE AE ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
例3
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).