优质金卷：江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题(解析版)
2018年最新 江苏省海门市2018届送考修整试题(附答案)
高三数学综合试题班级_____姓名_________学号____ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={}2,1,0满足条件{}4,3,2,1,0=⋃A B 的集合B 共有（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2.要使函数122+-=ax x y 在［１，２］上存在反函数，则a 的取值范围是（ ） A ．≤a 1 B ．2≥a C ．≤a 1或2≥a D ．21≤≤a3.有一件商品的成本为1000元，若在月初出售，可获利100元，然后将本利存入银行(已知银行月息为2%)；若在下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，则（ ）A.本月初出售获利大B.在下月初出售获利大C.在本月初出售和在下月初出售获利相同D.在本月初出售和在下月初出售获利大小不能确定 4. 若等差数列{}n a 中，246a a a ++为一个确定的常数，则其前n 和中也为确定的常数的是 （ ） A.17S B .15S C .8S D .7S 5. 对于二项式)()1(*3N n x xn ∈+，四位同学作出了四种判断： ①存在*N n ∈，展开式中有常数项； ②对任意*N n ∈，展开式中没有常数项； ③对任意*N n ∈，展开式中没有x 的一次项； ④存在*N n ∈，展开式中有x 的一次项。
上述判断中正确的是 （ ）A.①与③B. ②与③C. ②与④D. ④与①6.2018年度参加大学学科能力测验的有12万名学生，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于11级分？选出最接近的数目（ ）A ．4000人B ．10000人C ．15000人D ．20000人7. 给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是：“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是：“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 和圆)(,)2(222222b a c c b y x -=+=+交于四个不同点，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．)53,55(B ．)1,35( C ． )53,0( D ．)55,0(9.给出四个命题，则其中正确命题的序号为 （ ）①存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1; ②△ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ;③直线x =8π是函数y =sin(2x +45π)图象的一条对称轴； ④△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 10. 把曲线012cos =-+y x y 先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）A. ()032sin 1=-+-y x yB. ()032sin 1=-+-y x yC. ()012sin 1=+++y x yD. ()012sin 1=+++-y x y11.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A ．48210A C 种B ．5919AC 种 C ．5918A C 种D ．5818A C 种12. 已知抛物线12-=x y 上一定点A （－１，０）和两动点P 、Q ，当PQ PA ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是 （ ）Ａ.(]3,-∞- Ｂ.[)+∞,1Ｃ.[]1,3- Ｄ. (]3,-∞-∪[)+∞,1 附选择题答案：二、填空题：共16分，每题4分13．已知x x f 3log )(=，当20<<a 时，有)2()(f a f >，则a 的取值范围是 . 14．甲、乙、丙、丁为湖中四个亭子，要建3座小桥将四个亭子连接起来，不同的建桥方案共有_________种.15.若对n 个向量1a ，2a ，…n a 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ，使得k 11a +k 22a +…+k n n a =成立，则称向量1a ，2a ，…n a 为“线性相关”。
江苏省2018年高考[数学]考试真题与答案解析
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江苏省2018年高考：数学卷考试真题与答案解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()f x =的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距，则其离心率的值是 ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．答案解析一、填空题1、{1，8}2、23、904、85、[2，+∞）6、3107、π6-8、2910、4311、–312、3 13、914、27二、解答题15．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得1,2x =所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．解：（1）由条件知：112(,)n nn a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,32．（2）由条件知：111(1),n nn a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）．①当2n m ≤≤时，1112222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-．②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．。
2018高考真题__数学(江苏卷)+含解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
江苏省南通市2018届高三数学最后一卷 --- 备用题
2x2 7x 2y2 4y
2
x
7 4
2
2
y
12
65 8
．
即 PA
PB PC
的最小值是
65 8
．
7． 如图，在平面四边形 ABCD 中， E，G 分别为线段 AD 的
两个三等分点，F，H 分别为线段 BC 的两个三等分点，且
则
0，
x1
x2
2k 1 k2
， x1x2
3 1 k2
．
所以
2
k
1
2k k
2
1
3 k
2
8 3
．
综上，
为定值
8 3
．
【说明】①本题亦可设点 Q 坐标求解；
②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似．
3
试题绝密高考复习资料
12．秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气 污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买 了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都 要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，
单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg．
【答案】 30
6． 在△ABC 中，AB 5 ，AC 4 ，且 AB AC 12 ．设 P 是平面 ABC 上的一点，则 PA PB PC
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5小分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合==-{0,1,2,8},{1,1,6,8}A B ,那么A B ⋂=__________.2.若复数z 满足12i z i ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为__________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________.5.函数()2log 1f x =-__________.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率是__________.7.已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图像关于直线3x π=对称,则ϕ的值是__________.8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值是__________. 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((15))f f 的值为__________.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11.若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________.12.在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为__________. 13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为__________.14.已知集合{}{}**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________.二、解答题15.在平行四边形1111ABCD A B C D -中, 1111,AA AB AB B C =⊥1.求证: //AB 平面11A B C2.平面11ABB A ⊥平面1A BC 16.已知,αβ为锐角, ()45tan ,cos 35ααβ=+=- 1.求cos2α的值。
2018年江苏省高考数学试卷 (含答案)
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5分）函数f（x）=的定义域为．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．二、题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，所以填：{1，8}．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．解：由i•z=1+2i，得z=，所以填2．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．所以填904．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．所以填85．（5分）函数f（x）=的定义域为．解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．所以填[2，+∞）．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2．解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，所以填为：10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．所以填：．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．所以填-312．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．所以填：3．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，所以填：9．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为27．解：利用列举法可得：S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．S27==546，28=45⇒1228=540，符合题意，所以填：27．二、题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2+b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．（2）∵a1=b1＞0且|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，∴|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即﹣2b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴2≤2，2﹣2n≤﹣2，（n=2，3，…，m+1），∴﹣2b1=（q n﹣1﹣2n+2）=（q n﹣1﹣2n+2）=（2﹣2n+2）≤0，（n=2，3，…，m+1），又∵＞0，（n=2，3，…，m+1），∴存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立当m=1时，（）b1≤d≤b1，设c n=，则c n+1﹣c n=﹣=b1•q n﹣1•，（n=2，3，…，m），设f（n）=（q﹣1）n﹣q，∵q﹣1＞0，∴f（n）单调递增，∵q∈（1，]，∴f（m）=（q﹣1）m﹣q≤（m﹣1）（﹣）=（m﹣1）（2﹣），设=x，（x∈（0，]），且设g（x）=2x+，则g′（x）=2x ln2﹣，∵2x ln2，≥4，∴g′（x）=2x ln2﹣＜0，在x∈（0，]上恒成立，即g（x）单调递增，∴g（x）的最大值为g（）=＜0，∴f（m）＜0∴f（n）＜0对（n=2，3，…，m）均成立，∴数列{c n}，（n=2，3，…，m+1）单调递减，∴c n的最大值为c2=b1q，c n的最小值为c m+1=，∴d的取值范围是d∈[b1q﹣2b1，]．数学Ⅱ（附加题）选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排+1列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．因此，f n+1当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．。
【数学】江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题
2018届高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．集合A={0,2}x ，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.2．已知样本数据12,,,n x x x 的均值x =5，则样本数据123+1,3+1,,3+1n x x x 的均值为______.3．若复数(1)(1)(z i ai i =+-为虚数单位，a ∈R)满足|z|=2，则a=______. 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______.5、将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.6、若双曲线22116y x m-=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______. 7、已知函数()2()xxf x x e e -=--，则不等式2(2)0f x x ->的解集为______.8.如图，四棱锥P 一ABCD ，PA ⊥底ABCD,底面ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E 一PAB 的体积为4，则PA 的长为______.9.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。
已知数列{}n a 是等积数列且a 1=2，前21项的和为62，则这个数列的公积为______.10．如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若8OP OA ⋅= ，则OC AP ⋅的值为______.11.已知函数2221,01()2,1x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，若()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是______.12.在平面角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ是直线y =两点,则tan()αβ+的值为______.13.设x 、y 均为正实数，且33122x y+=++,以点(x ，y)为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.14.已知332()69()f x x ax a x a R =-+∈,当a>0时，若[0,3]x ∀∈有()4f x ≤恒成立，则实数a 取值范围是______.二、解答题：本大照共6小题，共90分 15.已知斜三角形△ABC 中，π1sin()cos 62C C +-=. (1)求角C(2)若c =，求当△ABC 的周长最大时的三角形的面积16.如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点. (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，米证：四边形BB 1D 1D 是矩形17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别为12(A A ·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M ，便得01290F MF ∠=.（1）求椭圆C 的标准方程（2）设圆T 的圆心T(0,t)在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点，点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点，若0PQ QT ⋅= 时，PQ 取得最大值为2，求实数t 的值.18.将一个半径为3dm ，圆心角为ααπ∈((0,2))的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm 3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗). (1)求V 关于α的函数关系式 (2)当α为何值时，V 取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球?请说明理由.19.已知函数21()2ln ().2f x x x ax a R =+-∈ (1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，当x ∈(0,1]，求证：123()()2ln 22f x f x -≥-; (3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a ∈(0,2)时，总存在x ∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k 的取值范围20．对于数列{}n a ，记1*n+11=,,,,k k k n n n n n a a a a a a k n N ++∆-∆=∆-∆∈则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k 阶塑数列”，(1)已知1()2nn a ∆=-，①若{}n a 为等比数列，求1a 的值②设t 为任意正数，证明：存在*k N ∈，当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；(2)已知232n n a ∆=-，若1=1a ，且3n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围. 答案 1.0 2.15 3.1± 4.11 5.296. 4y x =±7.（0，2） 8.4 9.0或8 10.4 11. 1[,0)2-12. 13. 22(4)(4)256x y -+-=14. [1 15. （1）ππ1sin()cos sin()662C C C +-=-= 663C C C ππππ∈∴-=∴=（0，）（2）224sin cR R C=∴=2(sin sin ))6a b R A B A π∴+=+=+2(0,),33A A a b ππ∈∴=+ 最大，此时2c S === 16.略17. (1)111a c b ==∴=∴=因此2212x y += （2）设220000(,),12x P x y y ∴+= 圆T ：222()1(0)x y t t t +-=+>，2222200()1PQ QT PQ PT QT y t t ⋅=⇒=-=-+++当1t -≤-58t ==（舍）；当1t ->-12t ==， 综上12t =18.（1）3=2,r h απ=2113()(0,2).332V r h αππαππ∴==∈(2) 令2223()(0,9),()(9)2t r f t t t απ==∈=-， ()3(6)0,(0,9)6f t t t t t '=--=∈∴=因此6,3t α==时，max .V = （3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为0.r0011(330.522r r ++==， 所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球 19.略20.（1）①222131111111()()243a a a a a a a =∴-=-∴=当2n ≥时11121111()[1()]11122=()3321()2n n n n n a a a a a -------∆+∆+∆+=+=--- ，满足题意；②11()[1()]21122=[()()]13221()2m n m n m n m a a -----=-----所以21121141||=|()()|[()+()]()32232232n m n m mn m a a t ----≤≤≤，24log 3m t ∴≥，因此取k 不小于24log 3t的正整数，当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；（2）11123(13)3131=2(1)22132222n n n n a n a n a n a --∆--+∆=-++∆=-+-- 因为20n a ∆>，所以n a ∆｛｝递增， 因此232223432=0070.=070a a a a a a a a a ∆-≤≤⎧⎧∴∴-≤≤⎨⎨∆-≥+≥⎩⎩2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
江苏省南通市2018届高三数学最后一卷 --- 备用题(含答案)
数学备用题第Ⅰ卷（共60分） 第Ⅱ卷（共90分）一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．2.已知实数,x y 满足22024010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且(1)20k x y k --+-≥恒成立，则实数k 的最小值是 ．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2018)f 的值为 ．4.已知数列{}n a 的首项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为 ． 5.甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A （单位/kg ）维生素B （单位/kg ）甲 3 5乙4 2分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为kg ．6.在ABC ∆中，5,4,AB AC ==且12AB AC ⋅=，设P 是平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 ．7.如图，在平面四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==⋅=，则AB DC ⋅的值为 ．8.已知函数()()y f x x R =∈满足()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上一点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满足2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是 ． 10.在斜ABC ∆中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.如图，已知圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y （元）与使用年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户用于维修保养的费用()f n （元）与使用年数*()n n N ∈的函数关系； （2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）13.如图，某机械厂欲从2AB =米，22AD =米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中心为原点，过,A F 两点的圆方程. 15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围； （3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 是非常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出一对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素； （2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出m 个． （1）若1m =，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若2m =，记所取子集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥． （1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求二面角1P A C A --的余弦值．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2． （1）求,p t 的值；（2） 设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ． 求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案一、填空题1.6552.43.24.10235.306.6587. 58.4416log 6a <≤ 9.612k ≤-或612k ≥+ 10.22 二、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1,0Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x k λ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代入224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=， 则0∆>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+， 所以222812331k k u k k λ-++=+=⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得14001000k b =⎧⎨=-⎩所以*0,1()14001000,2n f n n n n N π=⎧=⎨-≥∈⎩且 （2）记使用n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+⎡⎤=-+⨯--⎢⎥⎣⎦211372006000013760070030060300(700)n n n n n ⎡⎤=-+-=-+⎣⎦ 13720060000270040700n n≤-⋅= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂足为M . 在Rt FME ∆中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ==故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=-所以1()(AF )2f BE AB θ=+⨯122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=⨯-+⨯=-据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C 时，22,2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sincos2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--11112tan tan 3tan 23tan 232222tan tan tan tan 2222θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+--=+≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号又,,,42284ππθππθ⎡⎫⎡⎫∈∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 故3tan,,23263θθππθ=== 2432223,AF sin 3sin tan 3BE θθθ===-= 答：当,BE AF 的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为23平方米.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以3b =椭圆方程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++⋅⋅+= 1212043x x y y +=① 因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +- 又()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦② 由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2123131212()(2)444416x x ⎡⎤=-+=⋅-=⎢⎥⎣⎦所以圆心坐标为121(,)24-± 故所求圆方程为2212157(x )(y )2416++±= 15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x -+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程'()0f x =的两个正根， 即210ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，即1212411a x x x x a ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪=⎩所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-故12()()f x f x +得取值范围是(7ln 4,)-+∞ （3）据题意，()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 430x ax ax a +-+≥对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立.令2()2ln 43,1h x x ax ax a x =+-+>，则2221'()242ax ax h x ax a x x-+=+-=⋅①若0a =，当1x >时，()2ln 0h x x =>，故0a =符合题意； ②若0a >，（i ）若2440a a -≤，即01a <≤，则'()0h x >，()h x 在(1,)+∞上单调赠 所以当1x >时，()h(1)0h x >=，故01a <≤符合题意；（ii ）若2440a a ->，即1a >，令'()0h x =，得2111a ax a-=-<（舍去）， 2211a ax a-=+>，当2(1,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 在2(1,)x 上单调减；当2(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 在2(,)x +∞上单调递增， 所以存在21x x =>，使得2()h(1)0h x <=，与题意矛盾， 所以1a >不符题意.③若0a <，令'()0h x =，得2011111a a x a a-=-=+->当0(1,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 在0(1,)x 上单调增；当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在0(,)x +∞上单调减.首先证明：024x a-> 要证：024x a->，即要证：2241a a a a -->-，只要证：223a a a ->-因为0a <，所以2222(23)()81140a a a a a ---=-+>，故223a a a ->- 所以024x a-> 其次证明，当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立 令3()ln ,12t x x x a x =-+>，则1'()10t x x =-<，故()t x 在(1,)+∞上单调递增，所以3()(1)102t x t a <=-<，则3ln 02x x a -+<所以当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立所以当24x a >-时，223()2ln 432()432h x x ax ax a x a ax ax a =+-+<-+-+即2()40h x ax x a ⎡⎤⎛⎫<--< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，与题意矛盾，故0a <不符题意， 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,116.解：（1）68,(2)nn n a n b =-=-，则{}112244,,,1,2,4a b a b a b A ====（2）不妨设(0),n n n a a bn b b pq =+≠=，由nn n n a ba b a bn pq n q p p=⇔+=⇒+= 令,,(0)a bs t t p p==≠，原问题转化为n 关于的方程 0n q tn s --=①最多有多少个解.下面我们证明：当0q >时，方程①最多有2个解：0q <时，方程①最多有3个解 当0q >时，考虑函数()xf x q tx s =--，则'()ln xf x q q t =- 如果ln 0t q <，则()f x 为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果ln 0t q >，且不妨设由'()0f x =得'()f x 由唯一零点0log ln xtx q=，于是当0x x >时， '()f x 恒大于0或恒小于0，当0x x <时，'()f x 恒小于0或恒大于0这样()f x 在区间0(0,)x 与0(,)x +∞上是单调函数，故方程①最多有2个解 当0q <时，如果0t > 如果n 为奇数，则方程①变为0nq tn s ++=显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程① 如果n 为偶数，则方程①变为0nq tn s --=，由0q >的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个这样，最多有3个正数满足方程①对于0t <，同理可以证明，方程①最多有3个解. 综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个. 再由（1）可知集合A 中的元素个数最多有3个.三、解答题17.解（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C =种取法，其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个 因此3766(=3)35P X C ===. （2）由题意，X 的可能取值为3,2,6,23,33 其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个； 其中6X =的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个；其中23X =的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个； 其中33X =的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个；因此69(=3),(=2)3535P X P X ====6122(=6),(=23),(=33)353535P X P X P X ======所以随机变量的概率分布列为：X326 23 33()P X635 935635 1235 235所求数学期望6961223636618()3262333353535353535E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 18.解：（1）当1m =时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”. 则集合{}1,2,3,4,5的非空子集数为52131-=，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为3217-=，全为偶数的子集数为2213-=， 所以31(73)21()3131P A -+==（2）当2m =时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4则11112222222223111022(0)46593C C C CC C C C P C ξ+++==== 122334455555555523120541(1)46593C C C C C C C C P C ξ+++==== 13243555555523111022(2)46593C C C C C C P C ξ++==== 14255555231357(3)46593C C C C P C ξ+==== 155523151(4)46593C C P C ξ====所以ξ的数学期望4122411110()12349393939393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解：（1）分别1,,AB AC AA 以所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系1A BCA -， 设1AA t =，则1(0,0,0),(0,4,)A C t1(3,0,),(0,4,0)B t C所以11(0,4,),(3,4,),AC t BC t ==--， 因为11B C AC ⊥，所以110AC BC ⋅=， 即2160t -=，解得4t = 所以1AA 的长为4.（2）因为1BP =，所以(3,0,1)P ， 又1(0,4,0),(0,0,4)C A ，故11(0,4,4),(3,0,3)AC A P =-=- 设(,,)n x y z =为平面1PA C 的法向量，则11n A C n A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即440330y z x z -=⎧⎨-=⎩取1z =，解得1,1y x ==∴(1,1,1)n =为平面1PA C 的一个法向量， 显然，(3,0,0)AB =为平面1A CA 的一个法向量 则33cos 33111n AB n AB n AB⋅⋅==++⋅据图可知，二面角1P A C A --大小的余弦值为20.解：（1）由抛物线定义知，122p+= 所以2p =，将点(1,t)(t 0)T <代入抛物线得24y x =，2t =（2）设221212(,),(,)44y y A y B y①则直线TA 的方程为：12122(1)14y y x y ++=-- 令2y y =得，22(2)(2)14y y x +-=+，所以222(2)(2)(1,)4y y D y +-+同理111(2)(2)(1,)4y y D y +-+所以直线CD 的斜率为21212112121(2)(2)(2)(2)4()444y y y y y y y y y y --==-+-+---（定值）②设点,E F 的横坐标分别为,E F x x由①知，直线CD 的方程为：121(2)(2)14y y y y x +--=-++令2y =-得，121(2)(2)214F y y x y +-=+++又直线AB 的方程为：11124()y y x x y y -=-+令2y =-得，1121(2)()4E y y y x x ++=-所以1121211(2)()(2)(2)214422E F y y y y y x y x x +++--+++++= 2111122112214228422448x y y y y y y y y y y ----++++--+=211488x y -+=1=所以T 是线段EF 的中点.。
江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题(解析版)
2018届高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 集合A=，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.【答案】0.【解析】分析：由题意得到关于x的方程，解方程求x的值即可.详解：由题意结合交集的定义可知：，解方程可得：点睛：本题主要考查结合元素的互异性，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知样本数据的均值=5，则样本数据的均值为______.【答案】16【解析】分析：由题意结合均值的性质计算均值即可.详解：由题意结合均值的性质可知：样本数据的均值为.点睛：本题主要考查均值的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若复数为虚数单位，a∈R)满足|z|=2，则a=______.【答案】.【解析】分析：由题意结合复数模的运算法则得到关于a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合复数的运算法则可得：，即：，解得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算公式与运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______.【答案】11.【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；5. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.【答案】.【解析】试题分析：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3×3=9种放法在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法∴在1，2号盒子中各有1个球的概率为.考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式,属基础题.点评：本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题．6. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】.【解析】分析：首先求得m的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由双曲线方程可知：，且：，，则，双曲线的离心率：，解得：，则双曲线的渐近线满足：，整理可得渐近线方程为：.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程.7. 已知函数，则不等式的解集为______.【答案】（0，2）.【解析】分析：首先确定函数的单调性，然后结合函数的单调性求解不等式的解集即可.详解：由函数的解析式可得：，由于，当且仅当，即时等号成立，据此可得：，则函数是上的单调递减函数，注意到，则题中的不等式等价于，结合函数的单调性脱去符号有：，解得，即不等式的解集为.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．8. 如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB 的体积为4，则PA的长为______.【答案】4.【解析】分析：由题意结合三棱锥的体积公式求解P A的长度即可.详解：由题意可知，点E到平面的距离为，由三棱锥的体积公式可得：，即：.点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【答案】0或8.【解析】分析：由题意类比等比数列的性质分类讨论求解公积即可.详解：当公积为0时，数列，，，满足题意；当公积不为0时，应该有：，且，由题意可得：，则：，此时数列的公积为：.综上可得：这个数列的公积为0或8.点睛：本题的核心在于利用公比、公差的定义进行类比推理解题.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素；②找对应元素的对应关系．10. 如图，在扇形AOB中，OA=4，∠AOB=120,P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C,若，则的值为______.【答案】4.【解析】分析：首先求得∠AOP的大小，然后利用数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，则，，结合平面几何知识可得：，由向量的运算法则可知：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是______.【答案】.【解析】分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即可求得最终结果.详解：当时，函数的零点满足：，很明显不是其零点，则：，当时，函数的零点满足：，则：，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求实数m的取值范围.很明显单调递减，且当时，，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m的取值范围是.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12. 在平面角坐标系xOy中，已知是直线上的两点,则的值为______.【答案】.【解析】分析：将原问题转化为三角方程的问题，求解三角方程后结合特殊角的三角函数值即可求得最终结果.详解：由题意可得：，，则是方程的两个实数根，三角方程即：，则，据此可得：，不妨设，，则，.点睛：本题主要考查方程的思想，三角函数的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 设x、y均为正实数，且,以点(x，y)为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.【答案】.【解析】试题分析：因为，所以令，则所以，当且仅当，即时取等号，此时半径，则此时所求圆的方程为，故答案为.考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.14. 已知,当a>0时，若有恒成立，则实数取值范围是______. 【答案】.【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.详解：f'(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)，f(x)在(0，a)上递增，在(a，3a)上递减，在(3a，+∞)上递增．(1)当a≥3时，函数f(x)在[0，3]上递增，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．(2)当1≤a<3时，有a<3≤3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3]上递减，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得a=1．(3)当a<1时，有3>3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a，3a]上递减，在[3a，3]上递增，所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．由f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3)：①时，f(a)≤f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．②时，f(a)>f(3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．综上所述，．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．二、解答题：本大照共6小题，共90分15. 已知斜三角形△ABC中，.(1)求角C(2)若，求当△ABC的周长最大时的三角形的面积【答案】(1).(2) .【解析】分析：（1）由题意结合两角和差正余弦公式可得，则.（2）由题意可知，当时，三角形的周长最大，此时三角形的面积为详解：（1），.（2），，最大，则△ABC的周长最大，此时点睛：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，M是AB的中点，O1是A1C1与B1D1的交点.(1)求证：O1M∥平面BB1C1C(2)若平面AA1C1C⊥平面ABCD，求证：四边形BB1D1D是矩形【答案】（1）见解析.(2)见解析.【解析】分析：(1)取的中点，连结，由题意可证得平面平面，则平面.(2)很明显四边形是平行四边形，由几何关系可证得平面,则，，四边形BB1D1D是矩形.详解：(1)如图所示，取的中点，连结，由可得，由可得，利用面面垂直的判断定理可得：平面平面，则平面.(2)很明显四边形是平行四边形，如图所示，连结AC,BD交于点O，连结OO1，底面是菱形，则，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AA1C1C∩ABCD=AC，由面面垂直的性质定理可得：平面,而平面，故，而，故，据此可得：四边形BB1D1D是矩形.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右顶点分别为·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M，便得.（1）求椭圆C的标准方程（2）设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点，若时，PQ取得最大值为，求实数t的值.【答案】(1).(2) .【解析】试题分析：（1）由可知，也在以为直径的圆上，将条件转化为直线与圆相切，从而确定焦距，求得椭圆方程；（2）由可知，为圆的切线，利用勾股定理求切线的长，从而建立目标函数；求解最值时，由于对称轴不确定，需要分类讨论；试题解析：（1）因为椭圆左，右顶点分别为，所以．又因为直线上恰存在一个点，使得，即以原点O为圆心，半径为作圆O，使得圆O与直线相切即可．又圆心O到直线的距离，所以，，所以椭圆的标准方程为；（2）设，因为点在椭圆上，所以有,因为圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点．所以圆的方程为,，由得，又，所以，①当即时,当时,取得最大值,因为的最大值为，所以,解得,又，故舍去.②当即时,当时,取最大值,所以，解得，又，所以.综上,当时,的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.二次函数的图象与性质；18. 将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于的函数关系式(2)当为何值时，V取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.【答案】(1)(2)(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为(2) 令换元之后利用导函数研究函数的性质可得时，（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.详解：（1），(2) 令，，因此时，（3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.19. 已知函数(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x∈(0,1]，求证：;(3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a∈(0,2)时，总存在x∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k的取值范围【答案】(1) 单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；(2)证明见解析；(3) .【解析】分析：(1)当时，，据此讨论可得函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.(2)由题意结合韦达定理可得，原问题转化为证明：.构造函数：，证明即可证得题中的结论.(3)由题意将原问题转化为在上恒成立，结合函数的性质切线放缩可得实数k的取值范围是.详解：(1)当时，，则：，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上可得，函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.(2)，则，结合题意可知，是一元二次方程的两个实数根，即：，据此有：，，①，结合①的结论和韦达定理可得：，原问题等价于证明：，即.构造函数：，只需证明即可.则，令，则，由二次函数的性质可知，的最小值为，则恒成立，函数单调递增，的最大值为，则恒成立，函数单调递减，则函数.则原命题得证.(3)由可得：，恒成立，函数单调递增，的最大值为，原问题等价于在上恒成立，令，则函数的函数图象恒在函数图象的下方.则，则函数单调递减，且，则的图象下凸.注意到当时，，且，而，如图所示，利用切线放缩的方法可知：实数k的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20. 对于数列，记则称数列为数列的“k阶塑数列”，(1)已知，①若为等比数列，求的值②设t为任意正数，证明：存在，当时总有；(2)已知，若且对恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ①.②见解析.(2)【解析】分析：（1）①由题意结合新定义的知识可得.②由题意可得，则，取不小于的正整数，则题中的结论成立. （2）由题意得到关于的不等式组，求解不等式组可得详解：（1）①.当时，满足题意；②，所以，，因此取不小于的正整数，当时总有；（2），因为，所以递增，因此点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
江苏省南通市海门中学2018届高三第二次教学质量调研数学试题 含答案
海门中学2018届高三第二次教学质量调研数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=B x x x A ，则=B A ▲ ． 2.已知复数z 满足i z i =+)43(（i 为虚数单位），则=||z ▲ ． 3.函数x x x x f ln )23()(2++=的零点的集合为 ▲ ．4.若31tan ),2,0(,=∈απβα，21)tan(=+βα，则=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12(t P π-，向右平移)0(>k k 个单位长度得到点'P ，若'P 在函数x y 2sin =的图像上，则k 的最小值为 ▲ ．6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0),cos(0,sin )(22x x x x x x x f α是奇函数，则=αcos ▲ ． 7.若双曲线),(132222R n m nm y n m x ∈=--+的焦距为4，则实数n 的取值范围为 _____▲ ．8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，则y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，若25242322a a a a +=+，且279=S ，则数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．10.已知圆:C 0422=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于N M ,两点，AB MN =若直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，则直线l 的方程为____▲ ．11.若0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，则b a 2131+的最小值为 ▲ ．12.设R m ∈，若过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33-=相切，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在ABC ∆中，2=AB ，060=∠A ，点D 满足DB CD 2=，且337=AD ，则=∙ ▲ ．14.在ABC ∆中，2tan 2tan 2tan222CB A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若bc A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；（2）若2,32==c b ，求ABC ∆的面积。
江苏省海门中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
江苏省海门中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3C ．1D ．1-2．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．3．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．114．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 5．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．787．若()*3nx n N ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A．7B．7C．12D．199．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．410．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 11．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．412．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
优质金卷：江苏省海门中学2018届高三5月考试(最后一卷)数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高考数学内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.一、填空题1．集合A=，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.2．已知样本数据的均值=5，则样本数据的均值为______.3．若复数为虚数单位，a ∈R)满足|z|=2，则a=______.4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1,2号盒子中各有1个球的概率为______.6．若双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______.7．已知函数，则不等式的解集为______.8．如图，四棱锥P-ABCD ，PA ⊥底ABCD,底面ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E-PAB 的体积为4，则PA 的长为______.9．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。
已知数列是等积数列且a 1=2，前21项的和为62，则这个数列的公积为______.10．如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若，则的值为______.11．已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是______.12．在平面角坐标系xOy 中，已知是直线上的两点,则的值为______.13．设x 、y 均为正实数，且33122x y+=++,以点(x ，y)为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______. 14．已知,当a>0时，若有恒成立，则实数取值范围是______.二、解答题15．已知斜三角形△ABC 中，.(1)求角C(2)若，求当△ABC的周长最大时的三角形的面积16．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，M是AB的中点，O1是A1C1与B1D1的交点.(1)求证：O1M∥平面BB1C1C(2)若平面AA1C1C⊥平面ABCD，求证：四边形BB1D1D是矩形17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的左，右顶点分别为())12,A A·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M，便得01290F MF∠=.（1）求椭圆C的标准方程（2）设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点，若0PQ QT⋅=时，PQt的值.18．将一个半径为3dm ，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V 关于的函数关系式(2)当为何值时，V取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.19．已知函数(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x∈(0,1]，求证：;(3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a∈(0,2)时，总存在x∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k的取值范围20．对于数列，记则称数列为数列的“k阶塑数列”，(1)已知，①若为等比数列，求的值②设t 为任意正数，证明：存在，当时总有；(2)已知，若且对恒成立，求的取值范围.。
优质金卷：江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题(解析版)
1．.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2．.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，直线过定点，若恒成立，可行域在直线下面，当直线过时，有最小值，最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3．.【解析】分析：由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.4．.【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列，，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.5．.【解析】分析：设甲食物重，乙两食物重，则，混合物重，利用线性规划可得结果.详解：点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．.【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8．.【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：在两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得，，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10．.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.又在中，，，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 11．证明见解析.【解析】分析：设直线的方程为，，，则, 将代入，得，利用韦达定理,.详解：当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.点睛：探索定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.12．(1) .(2) 这台收割机使用年，可使年均收益最大.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到函数关系记使用年，年均收益为（元），利用基本不等式求最值即可解析：（Ⅰ）依题意，当，；，，即，解得，所以.（Ⅱ）记使用年，年均收益为（元），则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.13．(1) 函数的定义域为.(2) 当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.详解：（1）过点作，垂足为.在中,所以故所以据题意，，所以且当点重合于点时，所以函数的定义域为.（2）由（1）可知，当且仅当时，不等号取等号又故答：当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14．(1) .(2) .试题解析：（1）设直线与轴的交点是，依题意，即,,,,即………①因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为又………②由①和②得，所以圆心坐标为故所求圆方程为15．(1) .(2) .(3) .【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）是方程的两个正根，可得，则可化为，令，可得在上单调递增，所以；（3）对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，讨论的范围，令的最小值不小于零，可得到实数的取值范围.（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16．(1) .(2)3个，证明见解析.详解：（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解当时，考虑函数，则如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解当时，如果如果为奇数，则方程①变为显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①如果为偶数，则方程①变为，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个这样，最多有个正数满足方程①对于，同理可以证明，方程①最多有个解.综上所述，集合中的元素个数最多有个.再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 17．(1) .(2)分布列见解析，.共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18．(1) .(2) 分布列见解析，.详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．(1) .(2) .详解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以，因为，所以，即，解得所以的长为.（2）因为，所以，又，故据图可知，二面角大小的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．(1) ，.(2) ①证明见解析. ②证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，②设点的横坐标分别为由①知，直线的方程为：令得，又直线的方程为：令得，所以所以是线段的中点.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。
2018年海门二模中考数学试卷含答案 word版2
2017~2018学年度第二学期期末测试卷九年级数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题．．卡相应位置．．．．．上）1的值是【▲】A ．4B ．2C ．±2D ．2-2．下列计算中，正确的是【▲】A ．532a a a =⋅ B ．()832a a =C ．523a a a =+ D ．248a a a =÷ 3．若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是【▲】 A ．x ≥3B ．x ＜3C ．x ≤3D ．x ＞34．函数y x =-的图象与函数1y x =+的图象的交点在【▲】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列说法中，正确的是【▲】A ．一个游戏中奖的概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 B ．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式 C ．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D ．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小 6．篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是【▲】A ． 2B ． 3C ． 4D ． 57．如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的同样长为半径作圆 弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ． 若∠ACD ＝110°，则∠CMA 的度数为【▲】 A ．30° B ．35°C ．70°D ．45°8．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2 cm 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是【▲】A ．π23 cm 2B ．π3 cm 2C ．π25 cm 2D ．π5 cm 29．如图，等边△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x (s)，y =PC 2，则y 关于x 的函数的图像大致为【▲】10．正方形ABCD 的边长AB =2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD 相交于点M 、N ， 则MN 的长为【▲】A ．655B ．1352-C ．1554 D ．33 二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程,请把正确答案直接填在答题卡相应的位置．．．．．．．．上） 11．“辽宁舰”最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为 ▲ . 12．分解因式：2232ab b a a +-= ▲ . 13．正n 边形的一个内角为135︒，则n = ▲ .14．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 ▲ ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝3，AB ＝5，OD ⊥BC 于点D ， 则OD 的长为 ▲ ．A ．B ．D ． （第9题）C ．PEFMDCBA(第7题)(第10题)A（第15题）16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是▲ ．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△CBA'''，则在旋转过程中点A、C'两点间的最大距离是▲ ．18．在平面直角坐标系xoy中，过点A（3，0）作垂直于x轴的直线AB，直线bxy+-=与双曲线xy1=交于点)(11yxP，，)(22yxQ，，与直线AB交于点)(33yxR，，若321yyy>>时，则b 的取值范围是▲ .三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．（本小题满分10分）（1112201333-⎛⎫-+--+⎪⎝⎭tan30°；（2）解方程：11322xx x-=---．20．（本小题满分8分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--②①122314)12(23xxxx，并写出x的所有整数解．A'“校园安全”受到全社会的广泛关注．某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 ▲ 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 ▲ 度； （2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．22．（本小题满分8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回．．．，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．23．（本小题满分8分）如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离． （结果保留根号）了解很少基本了解50%不了解了解扇形统计图很少程度了解 条形统计图C如图，□ ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 延长线于点F ． （1）求证：CF =AB ； （2）连接BD 、BF ，当∠BCD =90°时，求证：BD =BF ；25．（本小题满分8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为 ▲ km/h ，快车的速度为 ▲ km/h ； （2）解释图中点C 的实际意义并求出点C 的坐标； （3）求当x 为多少时，两车之间的距离为500km ．26．（本小题满分12分）如图，△ABC 中，AB =6㎝，AC =24㎝，BC =52㎝，点P 以1㎝/s 的速度从点B 出发沿边BA →AC 运动到点C 停止，运动时间为t s ，点Q 是线段BP 的中点． （1）若CP ⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；（3）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并写出t 的取值范围．（第26题）（第24题）A B F CD Ey （第25题）已知，正方形ABCD ，A （0，-4），B （1，-4），C （1，-5），D （0，-5），抛物线422--+=m mx x y （m 为常数），顶点为M ，（1）抛物线经过定点坐标是 ▲ ，顶点M 的坐标（用m 的代数式表示）是 ▲ ； （2）若抛物线422--+=m mx x y （m 为常数）与正方形ABCD 的边有交点，求m 的取值范围； （3）若∠ABM =45°时，求m 的值．28．（本小题满分14分）如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A 、B 重合）的任一点，点C 、D 为⊙O上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠CPD 为直径AB 的“回旋角”．（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）若⌒CD的长为π413，求“回旋角”∠CPD 的度数； （3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为313+24，直接写出AP 的长．（第27题）BB28。
海门市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
海门市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1． 如图，四面体D ﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（ ）A． B ．2 C． D ．32． 已知点M （a ，b ，c ）是空间直角坐标系O ﹣xyz 中的一点，则与点M 关于z 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（a ，﹣b ，﹣c ） B ．（﹣a ，b ，﹣c ） C ．（﹣a ，﹣b ，c ） D ．（﹣a ，﹣b ，﹣c ）3． 已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a ＜1＜bB ．a ＜b ＜1C ．1＜a ＜bD ．b ＜1＜a4．不等式恒成立的条件是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0＜m ＜25． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关6． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ） A．B．C．D．7． 已知x ，y ∈R，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．4﹣B．4﹣ C．D．+8．在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB9．常用以下方法求函数y=[f（x）]g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]g（x）{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=x x（x＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（）A．h（）B．h（）C．h（）D．h（）10．计算log25log53log32的值为（）A．1 B．2 C．4 D．811．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣C．D．212．+（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4 C．a≠2 D．a≠4二、填空题13．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．14．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．15．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f （x）＞0成立的x的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a=．17．在数列中，则实数a=，b=．18．数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．三、解答题19．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；（1）求ω，φ；（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．20．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．21．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．22．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2ABD π∠=，AD =22AB DC ==，F为PA 的中点．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PB PD ===P BDF -的体积．23．已知角α的终边在直线y=x 上，求sin α，cos α，tan α的值．24．已知m ∈R ，函数f （x ）=（x 2+mx+m ）e x ． （1）若函数f （x ）没有零点，求实数m 的取值范围；（2）若函数f （x ）存在极大值，并记为g （m ），求g （m ）的表达式；（3）当m=0时，求证：f （x ）≥x 2+x 3．ABCDPF25．巳知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 和g （x ）=ax 2+bx+c •lnx （abc ≠0）．（Ⅰ）证明：当a ＜0时，无论b 为何值，函数g （x ）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点C （x 0，y 0），记直线AB 的斜率为k 若f （x ）满足k=f ′（x 0），则称其为“K 函数”．判断函数f （x ）=ax 2+bx+c 与g （x ）=ax 2+bx+c •lnx 是否为“K 函数”？并证明你的结论．26．（本小题满分12分）111]在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .海门市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．2．【答案】C【解析】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），∴点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣a，﹣b，c）．故选：C．【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．3．【答案】A【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，由图象知a＜1＜b，故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．4．【答案】D【解析】解：令f（x）=x2+mx+=（x+）2﹣+则f min（x）=﹣+．∵恒成立，∴﹣+＞0解得0＜m＜2．故选D．【点评】本题考查了函数恒成立问题，是基础题．5．【答案】C【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲得分的众数为a=85，乙得分的中位数是b=85；所以a=b．故选：C．6．【答案】A【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A．7．【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=﹣1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，即sin（α+θ）=﹣，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．8．【答案】D【解析】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，∴sinA=2sinBcosB，根据正弦定理==2R得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．故选D9．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．10．【答案】A【解析】解：log25log53log32==1．故选：A．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．11．【答案】B【解析】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；第二次运行S==﹣，i=3；第三次运行S==，i=4；第四次运行S==2，i=5；第五次运行S==﹣3，i=6，…S的值是成周期变化的，且周期为4，当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，∴输出S=﹣．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．12．【答案】B【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，∴，解得2≤a＜4或a＞4．故选：B．二、填空题13．【答案】．【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．14．【答案】．【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．15．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）==0=g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．16．【答案】2．【解析】解：∵f（0）=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，所以a=2故答案为：2．17．【答案】a=，b=．【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，a﹣b=26，由3，8，a+b，24，35知，a+b=15，解得，a=，b=；故答案为：，．【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．18．【答案】49【解析】解：==7a4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得•=，求得ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣）的图象，∵y=g（x）图象的一个对称点为（，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，故θ的最小正值为．（3）对任意的x∈[，]时，2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈，即f（x）∈，∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[，]时的图象可得，1≤m＜2．20．【答案】【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4．∴z=4﹣2i．（2）∵（z+mi）2=（﹣m2+4m+12）+8（m﹣2）i，根据条件，可知解得﹣2＜m ＜2， ∴实数m 的取值范围是（﹣2，2）．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．21．【答案】【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cos θ+sin θ）﹣6， 所以x 2+y 2=4x+4y ﹣6， 所以x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2为圆C 的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P 的直角坐标为（3，3）时，…x+y 取到最大值为6．…22．【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当E 为PB 的中点时，//CE 平面PAD ． （1分） 连结EF 、EC ，那么//EF AB ，12EF AB =． ∵//DC AB ，12DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． （3分） 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 为AD 的中点，连结OP 、OB ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥，在直角三角形ABD 中，12OB AD OA ==, 又∵PA PB =，∴PAO PBO ∆≅∆，∴POA POB ∠=∠,∴OP OB ⊥，∴OP ⊥平面ABD ． （10分）2PO ===，2BD ==∴三棱锥P BDF -的体积1112222233P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=． （13分）23．【答案】ABCDPOE F【解析】解：直线y=x，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sinα=，cosα=，tanα=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），则sinα=﹣，cosα=﹣，tanα=．【点评】本题考查三角函数的定义，涉及分类讨论思想的应用，属基础题．24．【答案】【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）e x=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，所以（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．25．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，则有g′（x）=2ax+b+=＞0；从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；又f′（x0）=2ax0+b，故k=f′（x0）；故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；而g′（x0）=2ax0+b+；故=，化简可得，=；设t=，则0＜t＜1，lnt=；设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=＞0；则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，故s（t）＜s（1）=0；则lnt≠；故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．26．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.。
江苏省江阴高级中学2018届数学最后一卷(含答案)
2018年江苏高考数学模拟试卷参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置） 1. 已知集合A ={0,3,4},B ={1,3}，则A B ⋃= ▲ ． 2. 已知复数z =1+1+2i1-i，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．（第3题）4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不低于100个的天数为 ▲ ．5. 将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．6. 若一圆锥的底面半径为1倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 7. 等比数列{}n a 中a 4=2,a 5=5,则数列lg a n {}的前8项的和等于 ▲ ． 8. 已知曲线24y x=的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ▲ ．9. 关于x 的不等式320x xe e --->的解集为 ▲ ．10. 将函数f (x )=tan(x +p4)图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到函数g (x )的图像，若0()2g x =，则0()4f x π-的值是 ▲ ．11. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2c （0c >）．当2c ba+取最大值时椭圆（第4题）的离心率为 ▲ ．12. 如图，等边△ABC 的边长为2，△ADE 也是等边三角形且边长为1，M 为DE 的中点，在△ABC 所在平面内，△ADE 绕A 逆时针旋转一周，BD →·AM →的最大值为 ▲ ．13. 设)(x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，2()(31)f x x a x =+-，若函数()|1|xy f x e =--有两个零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．14. 已知正实数x 、y 满足2223410x y x y+++=，则xy 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. (本小题满分14分)如图，一水平放置的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，已知CC 1⊥AC ，AB ＝BC ，D 、E 分别为A 1C 、AB 的中点，BF ⊥AC 且垂足为F ，BC ＝8，CC 1＝6，ED ＝5. （1）求证：B 1C ∥平面DEF ； （2）求证：平面DEF ⊥平面ABC.▲ ▲ ▲16. (本小题满分14分)已知函数f (x )=sin 2x +23sin x cos x + sin(x+π4) sin(x -π4)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，角A 为锐角，若f (A )+ f (-A ) =2，b +c =7，∆ABC 的面积为23，求a 边的值.▲ ▲ ▲ 17. (本小题满分14分)某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x (单位：元，x ＞0)时，A BCABD EF销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过25，则q (x )＝2400x ＋11；若x 大于或等于225，则销售量为零；当25≤x ≤225时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1) 求函数q (x )的表达式；(2) 当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．▲ ▲ ▲18. （本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）若直线l 与y 轴交于D ，且16DP DQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程；（2）设直线QA ，QB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值； （3）设AB 的中点为M ，点N 4(,0)3，若MN =，求QAB ∆的面积．▲ ▲ ▲ 19. (本小题满分20分)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4－3x 3－3ax 2－6x ＋b 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数.（1）a ＝1时，求g (x )的单调区间；（2）若g (x )存在极值点t ，且g (s )＝g (t )，其中s ≠t ，求证：s ＋2t ＝98；（3）在（1）的情形下，设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <.▲ ▲ ▲20. （本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n n a =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求2512a a -的取值范围；（3）设4n n nb a =*()n ∈N ，数列n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．▲ ▲ ▲数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按A B C D作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ． （1）求证：FB FC =； （2）求证：2FB FA FD =⋅．▲ ▲ ▲B.[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）若二阶矩阵A 满足：A=. （1）求二阶矩阵A ；（2）若曲线M 1：x 2+3y 2=8在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线M 2，求曲线M 2的方程.▲ ▲ ▲C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是5cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和曲线2C 在第一象限的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．▲ ▲ ▲D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．▲ ▲ ▲【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21-A 题）22. （本小题满分10分）在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另外5人接受乙种心理暗示.(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2) 用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望E (X ).▲ ▲ ▲23. （本小题满分10分）（1）设函数()ln (1)ln(1)(01)f x x x x x x =+--<<，求)(x f 的最小值； （2）设正数123212,,,,,n n p p p p p -满足1232121n n p p p p p -+++++=，求证112233212122ln ln ln ln ln .n n n n p p p p p p p p p p n --+++++≥-▲ ▲ ▲2018年江苏高考数学模拟试卷参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置）1．0,1,3,4{} 2．12 3．42 4．18 5．496．23π 7．48．2 9．()ln3,+∞ 10．34 11．512．34+ 3 13．2(0,]3 14． [1，83]二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.(本小题满分14分)证明: (1)三棱柱ABC －A 1B 1C 1 ∴1AA ∥1CC 在ABC ∆中, AB ＝BC , BF ⊥AC , ∴F 是AC 中点, 又D 为AB 的中点∴EF ∥BC ,在1AA C ∆中, D 、F 分别为A 1C 、AC 的中点∴DF ∥1AA ,又1AA ∥1CC , ∴DF ∥1CC ……………………………4分EF ∥BC , EF ⊄平面11BCC B , BC ⊂平面11BCC B ,∴EF ∥平面11BCC B , 同理DF ∥平面11BCC B , ……………………………6分 又EF 、DF ⊂平面DEF , EF DF F =∴平面DEF ∥平面11BCC B , 又B 1C ⊂平面11BCC B∴B 1C ∥平面DEF ……………………………8分 (2)1,CC AC ⊥ DF ∥1CC ,∴DF AC ⊥在1AA C ∆中, D 、F 分别为A 1C 、AC 的中点,∴1112312AA DF CC ===在ABC ∆中,E 、F 分别为AB 、AC 中点,∴124EF BC ==在DEF ∆中22225=EF D DF E =+，∴090EFD ∠=即DF EF ⊥， ……………………………11分 ,DF AC ⊥DF EF ⊥，又AC EF 、⊂平面ABC , AC EF F =∴DF ABC ⊥平面，又DF DEF ⊂平面∴平面DEF ⊥平面ABC ……………………………14分16.(本小题满分14分)解：(1)f (x )=sin 2x +3sin2x + 12( sin 2x -cos 2x ) (或者f (x )=sin 2x +3sin2x - sin(x+π4) cos (x+π4) )=1- cos2x 2+3sin2x - 12cos2x ( =1- cos2x 2+3sin2x - 12sin(2x+π2))=3sin2x - cos2x + 12=2sin(2x -π6)+ 12 ………………4分所以f (x )的最小正周期为π 由2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2( k ∈Z)，可得k π-π6≤x ≤k π+π3( k ∈Z)，所以f (x )单调增区间为[k π-π6，k π+π3]( k ∈Z). ………………7分(2)由 f (A )+ f (-A ) =2得， 2sin(2A -π6)+12-2sin(2A+π6)+12=2，化简得cos2A =-12，又因为0<A<π2，所以解得A= π3. ………………10分由题意知，S ∆ABC =12bc sin A =23，解得bc =8，由余弦定理得，a 2 = b 2+c 2 -2bc cos A =( b +c ) 2-2bc (1+cos A )=25，故a = 5. ………………14分17.(本小题满分14分)解：(1) 当25≤x ≤225时，由⎩⎨⎧a －b ·25＝400，a －b ·225＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝600，b ＝40. ………………2分故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2400x ＋11，0<x ≤25，600－40x ，25＜x ≤225，0， x >225.………………4分(2) 设总利润f (x )＝x ·q (x )， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧240000xx ＋11，0<x ≤25，60000x －4000x x ，25＜x ≤225，0，x >225.………………6分当0＜x ≤25时，f (x )＝240000x x ＋11＝240 000[x+11－11x ＋11]，f (x )在(0，25]上单调递增，所以当x ＝25时，f (x )有最大值1000 000. (8分) 当25＜x ≤225时，f (x )＝60 000x －4000x x ，f '(x )＝60 000－6000x ，令f '(x )＝0，得x ＝100. ………………10分 当25<x <100时，f '(x )>0，f (x )单调递增， 当100<x ≤225时，f '(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝100时，f (x )有最大值2000 000. ………………12分 当x >225时，f (x )＝0.答：当x 等于100元时，总利润取得最大值2000 000元． ………………14分) 18.（本题满分16分） 解：（1）若直线l 垂直与x 轴，则方程为2x =，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为4(2)y k x -=- 即240kx y k --+=，圆心到直线l 的距离d =，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以221d k =<+，解得34k >． ………2分 又(0,24)D k -+，(2,0)Q ，所以(2,24),(2,2)DQ k DP k =-=所以42(24)16DP DQ k k ⋅=+-=u u u r u u u r，解得3k =或1k =-（舍去）， 所以直线l 的方程是320x y --=．………………4分（2）联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221224(2)1(24)41k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪⋅=⎪+⎩所以12121212(2)4(2)42222y y k x k x k k x x x x -+-++=+=+---- 121212124(4)4422222()4x x k k x x x x x x +-=++=+---++ ………………6分22224(2)4(4)12(24)44(2)2411k k k k k k k k k --+=+----+++ 4(84)2221116k k k k +=-=--=-．即12k k +的值是1- ………………8分 （3）法一：设中点00(,)M x y ，则由（2）知12020024(2)212(2)(2)41x x k k x k k y k x k +-⎧==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩（*）………………10分又由MN =，得22220000413()()39x y x y -+=+ 化简得22000640x y x +++=，………………12分 将（*）代入解得1k =． ………………14分因为圆心到直线l的距离d ==，所以AB ==Q 到直线l的距离h =所以142ABQ S AB h ∆=⋅=即QAB ∆面积面积为4． ………………16分法二：设中点(,)M x y ，由MN =，化简得22640x y x +++=，① 又OM PM ⊥，所以M 在以OM 为直径的圆上（在圆O 的内部）即22(1)(2)5x y -+-= ②联立①②解得(1,1)M --，再求得QAB ∆面积面积为4．19.(本小题满分20分)解：（1）由f (x )＝2x 4－3x 3－3ax 2－6x ＋b ，可得g (x )＝f ' (x )＝8x 3－9x 2－6ax －6，由a ＝1得g' (x )＝24x 2－18x －6，令g' (x )＝0解得x ＝1或x ＝－14当x 变化时，g' (x )，g (x )变化情况如下表：11所以的单调增区间是(－∞,－14)和(1,＋∞)；单调减区间是(－14,1). ……………4分（2）证明：因为g (x )存在极值点，所以g' (x )＝24x 2－18x －6a ，△＞0可得a ＞－916由题意，得g' (t )＝6(4t 2－3t －a )＝0，则a ＝4t 2－3t g (s )＝8s 3－9s 2－6as －6，g (t )＝8t 3－9t 2－6at －6g (s )－g (t )＝8(s 3－t 3)－9(s 2－t 2)－6a (s －t )＝(s －t )[8(s 2＋st ＋t 2)－9(s ＋t )－6a ]＝(s －t )[8(s 2＋st ＋t 2)－9(s ＋t )－6(4t 2－3t )]＝(s －t )[8(s 2＋st －2t 2)－9(s －t )] ＝(s －t )2[8(s ＋2t )－9]＝0又因为s ≠t ，所以s ＋2t ＝98………………………………………………………8分（3）证明：由，，，令，， 由（1）得，当时，，当，，单调递减；当，，单调增； 所以当时，，可得，即. ………………………………………………………12分令，. 由（1）可知，在上单调递增，故当时，，单调递增； 故当时，，单调递减. 当时，，故. ………………………………………………………16分20.（本题满分16分）解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． ………………… 2分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(2)()n n a n a a a n ++≤+++++++（*），特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， ………………… 4分 由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥， 因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-， ………………… 6分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+，)(x g )())(()(0m f x m x g x h --=0()()()()h m g m m x f m =--000()()()()h x g x m x f m =--10()()()()H x g x x x f x =--10()()()H x g x x x ''=-]2,1[∈x 0)(>'x g 0[1,)x x ∈1()0H x '<1()H x 0(,2]x x ∈1()0H x '>1()H x ]2,(),1[00x x x ∈0)()()(0011=-=>x f x H x H 0)(1>m H 0)(>m h 200()()()()H x g x x x f x =--20()()()H x g x g x '=-)(x g ]2,1[),1[0x x ∈0)(2>'x H )(2x H ]2,(0x x ∈0)(2<'x H )(2x H ]2,(),1[00x x x ∈0)(0)(0)()(02022<⇒<⇒=<x h m H x H x H 0)()(0<x h m h所以110a +≥，即11a ≥-，所以222511114259()92()a a a a a =---=-≥--，因此2512a a -的取值范围是[)9,-+∞． ………………… 8分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以13121122n n n nS S S S S S S S ++=⋅⋅⋅≤，从而有11122n n n S S a +≤⋅⋅=， …………………10分 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⋅，即212)3(n n a a n -≤⋅≥，又222112a S a -⋅=≤，12112a a -⨯<，所以有2*12()n n a a n -≤⋅∈N ，所以1442n nn a a ≥⋅，假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得1144422m m nm m a d b a n a b +⋅≥=≥⋅=，即2112n da n ba ++≥， ………………… 12分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>， ………………… 14分从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立，因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：（1）因为AD 平分∠EAC ，所以∠EAD ＝∠DAC ．因为四边形AFBC 是圆的内接四边形， 所以∠DAC ＝∠FBC ．因为∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， 所以∠FBC ＝∠FCB ，所以FB ＝FC ． …………………………………………………5分 （2）因为∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， 所以△FBA ∽△FDB ， 所以FB FA FD FB=，即2FB FA FD =⋅． ………………………………………………10分 A B C DB.[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：（1）设矩阵B= ，易得B -1=， 故A=B -1= =. ……………………………………4分 （2）设P （x ′，y ′）为曲线M 1上任意一点，点P 在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′（x ，y ），即点P ′（x ，y ）在曲线M 2上，由于P （x ′，y ′）为曲线M 1上，即x ′2+3y ′2=8，又 = A ′ ′ = ′ ′ = ′，所以′ ′，即 ′ ′，代入x ′2+3y ′2=8得3x 2+ y 2=8，故曲线M 2的方程为3x 2+ y 2=8. ……………………………………10分C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：（1）由题意1C ：24y x =，22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=……………………………………3分 2C ：225x y x +=．……………………………………5分（2）联立24y x =和225x y x +=，得1,2A A x y ==，设2(,)4mB m ，由2AOB π∠=，2124m m =-，得8m =-，(16,8)B -，…………………8分1202AOB S OA OB ∆=⋅=． ……………………………………10分 D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， …………………………5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==答：接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率518………………4分(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C === 41645105(1),21C C P X C === 326451010(2),21C C P X C === 23645105(3),21C C P X C === 14645101(4),42C C P X C ===8分X 的数学期望是 E(X)= ………………10分23. （本小题满分10分）解：（1）对函数)(x f 求导数：()(ln )[(1)ln(1)]f x x x x x '''=+--ln ln(1).x x =-- 于是.0)21(='f当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '<=--<在区间)21,0(是减函数，当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '>=-->在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ， ………………3分（2）证明：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数123123212212,,,,,1k k k k p p p p p p p p p p --+++++=满足，则11121222323222222log log log log log .k k k k p p p p p p p p p p k --+++++≥- ………………5分当1+=k n 时，若正数1111123123212212,,,,,1,k k k k p p p p p p p p p p ++++--++++=满足令123212,k k x p p p p p -=+++++则312212123212,,,,,.k k k k p p p p pq q q q q x x x x x--===== 则123212,,,,,k k q q q q q -为正数，且123212 1.k k q q q q q -+++++= 由归纳假定知112233212122ln ln ln ln ln .k k k k q q q q q q q q q q k --+++++≥-112233212122ln ln ln ln ln k k k kp p p p p p p p p p --+++++112233212122(ln ln ln ln ln k k k kx q q q q q q q q q q --=+++++ln )()ln ,x x k x x +≥-+ ①同理，由112122232121k k k k k p p p p p x +++++-+++++=-可得1111212122222323212122ln ln ln ln ln k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ++++++++++--+++++(1)()(1)(1).x k x ln x ≥--+--② 综合①、②两式1111112222212122ln ln ln ln ln k k k k p p p p p p p p p p ++++--+++++[(1)]()ln (1)ln(1)(1).x x k x x x x k ≥+--++--≥-+即当1+=k n 时命题也成立. 根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. ………………10分151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。
2018江苏省高考压轴卷数学含解析
绝密★启封前S5U2018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={|+1＞0}，则A∩B=．2.若复数满足（1﹣i）=2i（i是虚数单位），z是的共轭复数，则z= ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ．9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ．10.设定义在R 上的偶函数f （）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知=21，P 是BN 上一点，若AP =m AB +41，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ．14.已知函数f()=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （）的图象与直线y=有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．15.如图，在三棱柱1B 1C 1中，，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅.（1）求角C 的大小；（2）若2c =， △ABC.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离． AA 1B 1C 1BC F E（第16题）18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （）=2+m+1（m∈R），g （）=e ．（1）当∈[0，2]时，F （）=f （）﹣g （）为增函数，求实数m 的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数 G()=)x (g )x (f ，H()= ﹣41+45，求证：对任意1，2∈[1，1﹣m]，G （1）＜H （2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ 第23题）。
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1．0.【解析】分析：由题意得到关于x的方程，解方程求x的值即可.详解：由题意结合交集的定义可知：，解方程可得：点睛：本题主要考查结合元素的互异性，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．16【解析】分析：由题意结合均值的性质计算均值即可.详解：由题意结合均值的性质可知：样本数据的均值为.点睛：本题主要考查均值的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．.【解析】分析：由题意结合复数模的运算法则得到关于a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合复数的运算法则可得：，即：，解得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算公式与运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式,属基础题.点评：本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题．6．.【解析】分析：首先求得m的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由双曲线方程可知：，且：，，则，双曲线的离心率：，解得：，则双曲线的渐近线满足：，整理可得渐近线方程为：.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．8．4.【解析】分析：由题意结合三棱锥的体积公式求解PA的长度即可.详解：由题意可知，点E到平面的距离为，由三棱锥的体积公式可得：，即：.点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．0或8.【解析】分析：由题意类比等比数列的性质分类讨论求解公积即可.详解：当公积为0时，数列，，，满足题意；当公积不为0时，应该有：，且，由题意可得：，则：，此时数列的公积为：.综上可得：这个数列的公积为0或8.点睛：本题的核心在于利用公比、公差的定义进行类比推理解题.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素；②找对应元素的对应关系．点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．.【解析】分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即可求得最终结果. 详解：当时，函数的零点满足：，很明显不是其零点，则：，当时，函数的零点满足：，则：，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求实数m的取值范围.很明显单调递减，且当时，，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m的取值范围是.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 12．.【解析】分析：将原问题转化为三角方程的问题，求解三角方程后结合特殊角的三角函数值即可求得最终结果.不妨设，，则，.点睛：本题主要考查方程的思想，三角函数的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．()()2244256x y -+-=.【解析】试题分析：因为33122x y +=++，所以8(1),1y x y y +=>-令1(0)z y z =->，则1,y z =+所以281y yxy y +=-()()2218110991061016z z z z z zz z +++++===++≥+=，当且仅当9z z=，即3z =时取等号，此时4,4,y x ==半径16xy =，则此时所求圆的方程为()()2244256x y -+-=，故答案为()()2244256x y -+-=.考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考察圆的标准方程及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.本题就是利用不等式等号成立的条件进行解答的. 14．.【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.(2)当1≤a <3时，有a <3≤3a ，此时函数f (x )在[0，a ]上递增，在[a ，3]上递减， 所以函数f (x )在[0，3]上的最大值是f (a )， 若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有，解得a =1．(3)当a <1时，有3>3a ，此时函数f (x )在[0，a ]上递增，在[a ，3a ]上递减，在[3a ，3]上递增， 所以函数f (x )在[0，3]上的最大值是f (a )或者是f (3)．由f (a )-f (3)=(a -3)2(4a -3)：①时，f (a )≤f (3)，若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有，解得．②时，f (a )>f (3)，若对∀x∈[0，3]有f(x)≤4恒成立，需要有，解得．综上所述，．点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．15．(1) .(2) .【解析】分析：（1）由题意结合两角和差正余弦公式可得，则.（2）由题意可知，当时，三角形的周长最大，此时三角形的面积为点睛：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．（1）见解析.(2)见解析.【解析】分析：(1)取的中点，连结，由题意可证得平面平面，则平面.(2)很明显四边形是平行四边形，由几何关系可证得平面,则，，四边形BB1D1D是矩形.详解：(1)如图所示，取的中点，连结，由可得，由可得，利用面面垂直的判断定理可得：平面平面，则平面.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．(1)2212xy+=.(2)12t=.【解析】试题分析：（1）由1290F MF ︒∠=可知， M 也在以12F F 为直径的圆上，将条件转化为直线与圆相切，从而确定焦距，求得椭圆方程；（2）由0PQ QT ⋅=可知， PQ 为圆的切线，利用勾股定理求切线的长，从而建立目标函数；求解最值时，由于对称轴不确定，需要分类讨论；试题解析：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左，右顶点分别为())12,A A ，所以2=2a ．又因为直线3450x y ++=上恰存在一个点M ，使得1290F MF ︒∠=， 即以原点O 为圆心，半径为1r OF c ==作圆O ，使得圆O 与直线3450x y ++=相切即可．又圆心O 到直线3450x y ++=的距离1d ， 所以1c =， 2221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；因为PQ =解得58t =,又1t ≥，故舍去.②当1t ->-即01t <<时,当0y t =-时, PQ ,=，解得214t =，又01t <<，所以12t =.综上,当12t =时, PQ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.二次函数的图象与性质； 18．(1)(2)(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为(2) 令换元之后利用导函数研究函数的性质可得时，（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.（3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.19．(1) 单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；(2)证明见解析；(3) .【解析】分析：(1)当时，，据此讨论可得函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.(2)由题意结合韦达定理可得，原问题转化为证明：.构造函数：，证明即可证得题中的结论.(3)由题意将原问题转化为在上恒成立，结合函数的性质切线放缩可得实数k的取值范围是.详解：(1)当时，，则：，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上可得，函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为.结合①的结论和韦达定理可得：，原问题等价于证明：，即.构造函数：，只需证明即可.则，令，则，由二次函数的性质可知，的最小值为，则恒成立，函数单调递增，的最大值为，则恒成立，函数单调递减，则函数.则原命题得证.(3)由可得：，恒成立，函数单调递增，的最大值为，原问题等价于在上恒成立，注意到当时，，且，而，如图所示，利用切线放缩的方法可知：实数k的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．20．(1) ①.②见解析.(2)【解析】分析：（1）①由题意结合新定义的知识可得.②由题意可得，则，取不小于的正整数，则题中的结论成立.（2）由题意得到关于的不等式组，求解不等式组可得（2），因为，所以递增，因此点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。