2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第3课时余弦练习(新版)湘教版

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高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β

= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.

即 sin(α+β)= .故选 C.

(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=

=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin

= × - × =- .故选 C.

( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (

,

) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=

九年级上册数学教案第4章锐角三角函数 4.1正弦和余弦2

正弦和余弦教学目标1.使学生了解正、余弦定义的理论基础是相似三角形；掌握正弦、余弦的定义，并能初步应用解答一些简单的三角函数值问题；2.使学生理解正、余弦的特殊角的三角函数值和取值范围的推导过程，并会用它们去解答一些基本问题；3.使学生理解从特殊到一般是认识客观事物的基本方法。

教学重点和难点正、余弦定义及其应用是重点；而它的抽象概括过程是难点。

教学过程设计一、从生产实际中提出学习本章的重要性例如，修建某扬水站……(板书本章和本节课题)二、正弦和余弦定义的教学过程1.从特殊到一般抽象、概括出正、余弦定义。

(教师打出投影片，每打一个，边讲边问)从图6-1到图6-4我们发现以下两点：(一边讲解，一边启发学生说出结论)在Rt △ABC 中，(1)当锐角∠A 不变时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值不变；(2)当锐角∠A 发生变化时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值也随着发生变化。

由此我们给出定义在△ABC 中，∠C ＝90°，如图6-5，那么BCAB(锐角A的对边与斜边的比)叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A类似地，AB AC (锐角A 的邻边与斜边的比)叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 cosA ＝斜边的邻边A 2.对符号的理解.sin 的全文为Sine,国际音标为［sain ］,cos 的全文为cosine,国际音标为［kausain ］.sinA 是一个完整的记号，不是Sin ·A,记号里省略了角的符号“∠”，第一个字母“S ”要小写.3.运用标准图形，变式图形和复合图形进一步熟悉正、余弦的定义.(图6-6)sinA ＝ sin Ｄ＝ sin Ｅ＝＝cos Ａ＝ cos Ｄ＝ cos Ｅ＝＝sin Ｂ＝ sin Ｅ＝ sin ∠ＧＦＥ＝cos Ｂ＝ cos Ｅ＝ cos ∠ＧＦＥ＝4.标准图形简单应用，变式练习.例1 △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10.(图6-7)求：(1)∠B 的正弦；(2)∠B 的余弦；(3)∠A 的正弦；(4)∠A 的余弦；练习1(标准图形)(课本P.7.1)例2 △ABC 中，∠C ＝90°，sin Ａ＝32.求：(1)cosA ； (2)sinB ； (3)cosC.例3 (复合图形)如图6-8，△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D.BC ＝12，AC ＝5.求：sinA,sin ∠BCD,cos ∠ACD.如图6-9，∠A 为钝角，AB ＝10，AC ＝17，sinB ＝4 5.求BC.(提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ，BC ＝21)三、特殊角的正弦和余弦三角函数值的教学过程1.求30°，45°，60°的正弦和余弦值.例4 根据定义求30°和60°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-10)，得到解答)sin30°＝ cos30°＝sin60°＝ cos30°＝例5 根据定义求出45°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-11，得到解答)sin45°＝cos45°＝2.记忆方法.(1)根据图形记忆；(图6-10和图6-11)(2)列表记忆.3.应用举例，变式练习.例6 求值：(1)sin30°＋sin60°； (2)︒-︒-︒30cos 160sin 45sin 2 答：(1)231+； (2)231--. 四、引导学生根据定义发现正弦和余弦的取值范围1.取值范围：如图6-12，sinA ＝ cosA ＝sinB ＝ cosB ＝你能发现sinA ，cosA 的取值范围吗?在学生回答的基础上，教师总结出，当∠A 为锐角时：0＜sinA ＜1， 0＜cosA ＜1.(因为sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，而直角三角形斜边大于直角边.)2.应用举例，变式练习.例7 ∠A 为锐角，下列正确的是（）A.2)1(sin -A ＝sinA －1B.cosA ＝1.02C.sinA ＝－0.34D.｜cosA ＋1｜＝cosA ＋1例8 化简：(1)｜1－cosA ｜－｜sinA －1｜；(A 为锐角)(2)｜cos α｜＋2)cos 1(α-.( α不锐角)解(1)：因为A 为锐角，所以0〈cosA 〈1,0〈sinA 〈1,则1－cosA 〉0，sinA －1〈0.故原式＝(1－cosA)－(1－sinA)＝sinA －cosA.(2)因为α为锐角，所以0＜cos α＜1，故原式＝cos α＋｜1－cos α｜＝cosA ＋1－cos α＝1.五、小结 1.教师先提出以下问题：这两节课学习了哪些内容?哪些重要的思维方法?应注意哪些问题?2.在学生回答的基础上，教师总结出：在学习了三个主要内容(2)学习了从特殊到一般认识客观规律的基本方法.(3)应注意sinA 是一个整体符号，是比值，它随着∠A 的变化而变化.六、作业1.已知△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5.求sinA,cosA 的值.2.已知△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝34.求sinA,sinB,cosB.3.计算：(1)sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°；(2)1－sin260°＋cos260°.选作：已知∠A ，∠B 均为锐角，并且sinA 是6x 2－11X ＋3＝0的根，cosB 是方程6X2－X －2＝0的根.求sin 2A ＋COS 2B 的值.(答案：95) 板书设计(略)课堂教学设计说明这份教案为两课时，讲了三个内容：正弦和余弦的定义及其两条性质.对于定义的教学，采取从特殊到一般的认识方法，让学生理解概念的形成过程，提高学生的抽象、概括问题的能力.对于两条性质的教学，也是尽可能让学生去猜想和发现，教师再归纳总结，其目的也是培养学生发现问题的能力.为了让学生理解和掌握上述三个内容，每一个内容之后，尽可能采取标准图形、变式图形(或变式练习)、复合图形和构造基本图形相结合的方式进行讲解和练习，以达到巩固知识的目的.这份教案是根据大纲和教材要求设计的，如果学生的学习成绩较好，还可以适当增加一些难度较大的题.由于这份教案是两课时，所以板书设计由老师们自定.。

湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4

湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册4.1的内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是引导学生探究正弦和余弦的定义，理解它们的性质和应用。

通过这部分的学习，学生能够更深入地理解三角函数的概念，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，他们对锐角三角函数已经有了初步的了解。

但是，对于正弦和余弦的定义和性质，他们可能还存在着一些模糊的地方。

因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、实验、推理等方法，深入理解正弦和余弦的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用它们解决一些实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实验、推理等方法，培养自己的探究能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养自己的合作意识和创新精神。

四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质。

2.难点：学生能够运用正弦和余弦解决一些实际问题，并深入理解它们的内在联系。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用观察、实验、推理、讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂活动。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解正弦和余弦的概念。

六. 说教学过程1.导入：通过复习锐角三角函数的内容，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探究正弦和余弦的定义：引导学生观察正弦和余弦的图象，通过实验和推理，引导学生探究正弦和余弦的定义。

3.性质探讨与应用：引导学生通过观察、实验、推理等方法，探究正弦和余弦的性质，并运用它们解决一些实际问题。

4.总结与拓展：引导学生总结本节课的学习内容，并进行拓展训练，提高学生的解决问题的能力。

第2课时_4.1_正弦和余弦

2
2 = 3 AB2 .
4
于是因此
AC = 3 AB. 2 sin60 = AC = 3 . AB 2
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
31.5 （精确到0.1°）；（精确到0.1°）.
（3）若 sin α =0.5225，则 α ≈ （4）若 sin α =0.8090，则 α ≈
54.0
Байду номын сангаас
例2
计算： sin230°- 2 sin45°+sin260°
解
sin230°- 2 sin45°+sin260°
2 3 1 2 2 2 2
（3）sin 8054' = 0.9874.
2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）：（1）sin α =0.8071；（2）sin α =0.8660.
解: （1）α 53.8°;
（2）α 60.0° .
3. 计算：（1） sin260°+sin245°；（2） 1-2sin30°sin60°.
本章内容第4章
锐角三角函数
城关中学
彭中华制作
本课内容本节内容 4.1
正弦和余弦
动脑筋
如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.
于是 ∠B=45°. 从而 AC=BC．
根据勾股定理，得
AB =AC +BC =BC +BC =2BC .

【最新】湘教版九年级数学上册教学计划(及进度表)

湘教版九年级数学上册教学计划（及进度表）一、指导思想：为全面推进素质教育，培养新世纪需要的高素质人才，教育部制定了全日制义务教育各科课程新标准。

以新的教育理念，优化课堂教学结构。

在教学设计过程中，突出教师活动和学生活动，体现“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学基础理念。

培养学生的创新精神和综合实践能力。

二、学情分析：经过两年的数学学习，九年级学生已经具备了一定的数学基础知识和基本技能。

但部分学生在学习数学的过程中，存在着缺乏主动性、逻辑思维能力较弱等问题。

同时，随着数学知识难度的增加，学生之间的差距可能会进一步加大。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。

三、教材分析：湘教版九年级上册数学教材包括“反比例函数”、“一元二次方程”、“图形的相似”、“锐角三角函数”和“用样本推断总体”等内容。

这些内容既是对初中数学知识的总结和深化，也是为高中数学学习打下基础。

教材注重知识的系统性和连贯性，通过实际问题引入数学概念，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四、教学重点难点：重点：1、反比例函数的图像和性质。

2、圆形的基本性质和相关定理。

3、相似三角形的性质和判定定理。

4、锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值。

难点：1、运用反比例函数解决实际问题。

2、圆的综合问题。

3、相似三角形的应用。

4、锐角三角函数的应用。

五、教学目标:（一）、知识与技能目标：1、掌握反比例函数的图像和性质，能够运用反比例函数解决实际问题。

2、理解简单事件概率的概念，会计算简单事件的概率。

3、掌握圆的基本性质和相关定理，能够进行圆的有关计算和证明。

4、理解相似三角形的性质和判定定理，能够运用相似三角形解决实际问题。

5、掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，能够运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

（二）、过程与方法目标：1、通过观察、实验、猜想、证明等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第3课时余弦练习

第3课时余弦知|识|目|标1．结合正弦的定义，探究锐角的余弦的定义，并能在直角三角形中计算一个锐角的余弦值．2．通过对锐角的余弦值的分析，理解30°，45°，60°角的余弦值，并能进行有关的计算．3．通过对正弦与余弦的函数值进行比较、分析，归纳出互余两角的正弦与余弦之间的关系．4．通过回顾用计算器计算锐角的正弦值，掌握用计算器求锐角的余弦值及已知锐角的余弦值求它的对应锐角．目标一会求锐角的余弦值例1 教材补充例题如图4－1－4所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.求cos A ，cos B 的值．图4－1－4【归纳总结】锐角的余弦的含义(1)锐角A 的余弦的定义：cos A ＝∠A 的邻边斜边；(2)求一个锐角的余弦时，先要在直角三角形中求出这个角的邻边、直角三角形的斜边；(3)锐角A的余弦的取值范围是0<cos A<1；(4)锐角的余弦值与角度的变化关系：角度越大，锐角的余弦值越小．目标二用特殊角的余弦值进行计算例2 教材例4针对训练计算：2cos45°－3cos30°·cos60°.例3 教材补充例题在△ABC中，已知|cos A－32|＋cos B－12＝0，试求cosC2的值．【归纳总结】运用特殊角的余弦值进行计算1．与特殊锐角的余弦有关的运算，先把特殊角的余弦用余弦值代替，然后转化成具体的实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法．2．锐角余弦值的变化规律：锐角α的余弦值随着角度的增大而减小．3．同一锐角的正弦与余弦的关系：sin2A＋cos2A＝1.目标三理解互余两角的正、余弦之间的关系例4 教材补充例题已知α＋β＝90°，若sinα＝0.4321，则cosβ＝________．[全品导学号：90912112]【归纳总结】互余两角的正、余弦之间的关系一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦．用几何语言表述：若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ，cosα＝sinβ或在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝cos B，cos A＝sin B.目标四用计算器求锐角的余弦值例5 教材补充例题用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001)：(1)70°；(2)55°；(3)74°28′.[全品导学号：90912113]例6 教材补充例题如图4－1－5，在等腰三角形零件ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm.求∠B的度数(精确到1°)．[全品导学号：90912114]图4－1－5【归纳总结】利用计算器计算锐角的余弦值或已知锐角的余弦值求它的对应锐角1．用计算器求任意锐角的余弦值有两种方法：(1)直接按顺序按键：cos→度→DMS→分→DMS→秒→DMS→＝；(2)先将含有“度、分、秒”的角度转换为以“度”为单位，再按键cos→度→＝. 2．已知一个锐角的余弦值，用计算器求它的对应锐角的方法：2ndF→cos→余弦值→＝.3．不同型号的计算器按键方法可能不同．知识点一余弦的定义1．在直角三角形中，我们把锐角α的______与______的比叫作角α的余弦，记作cos α，即cosα＝__________．2．若α是锐角，则0＜cosα＜1.知识点二互余两角的正、余弦之间的关系1．若α是锐角，则sinα＝cos(__________)，cosα＝sin(__________)．2．若α，β为锐角，且sinα＝cosβ，则α＋β＝__________．知识点三特殊角的正弦、余弦值1．30°，45°，60°角的正弦、余弦值：2.锐角α的余弦值的变化规律：锐角α越大，余弦值cosα越____．知识点四用计算器求锐角的余弦值先按键“cos”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得结果．知识点五用计算器由余弦值求角度按键顺序为“2ndF，cos，数值，＝”或“SHIFT，cos，数值，＝”．1．一个锐角的正弦与余弦有什么不同？2．在△ABC 中，BC ＝3，AB ＝5，求cos B 的值．解：在△ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，∴cos B ＝BC AB ＝35.上述解答是否正确，若不正确，请说明错误原因．详解详析【目标突破】例1 解：由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5， ∴cos A ＝AC AB ＝45，cos B ＝BC AB ＝35.例2 解：原式＝2×22－3×32×12＝1－34＝14. 例3 解：根据非负数的性质，可得|cos A －32|≥0，cos B －12≥0，又|cos A －32|＋cos B －12＝0，∴|cos A －32|＝0，cos B －12＝0，即cos A ＝32，cos B ＝12， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－30°－60°＝90°，∴cos C 2＝cos 45°＝22.例4 [答案] 0.4321[解析] cos β＝cos (90°－α)＝sin α. 例5 解：(1)cos 70°≈0.3420. (2)cos 55°≈0.5736. (3)cos 74°28′≈0.2678.例6 解：过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝12BC.∵BC ＝16 cm ，∴BD ＝8 cm .在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝810＝0.8，∴锐角∠B≈37°.备选题型比较正、余弦值的大小例比较sin 29°与cos 45°的大小．解：方法1：用计算器求出sin 29°与cos 45°的值后比较它们的大小，sin 29°≈0.4848，cos 45°≈0.7071，∴sin 29°<cos 45°.方法2：cos 45°＝cos (90°－45°)＝sin 45°， ∵29°＜45°，∴sin 29°＜sin 45°， ∴sin 29°＜cos 45°.[归纳总结] 方法一：先利用计算器计算出正、余弦的值，再进行比较；方法二：利用sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)，把三角函数转化为同为正弦或同为余弦，利用锐角α的正弦值随着角度α的增大而增大，锐角α的余弦值随着角度α的增大而减小进行比较．【总结反思】[小结] 知识点一 1.邻边斜边角α的邻边斜边知识点二 1.90°－α 90°－α 2.90° 知识点三 1.32 22 122.小 [反思]1．解：它们都是直角边与斜边的比，正弦是以锐角所对的直角边作为比的前项，余弦是以锐角的邻边作为比的前项，即锐角的正弦＝锐角的对边斜边，锐角的余弦＝锐角的邻边斜边.2．解：不正确．错误原因是题中没有明确指出AB 是斜边，无法确定△ABC 是直角三角形，所以不能直接求解．。

湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案

湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案 4.1 正弦和余弦第1课时正弦1.理解并掌握锐角正弦的定义.2.在直角三角形中求锐角的正弦值.（重点）一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A ）与水面（BC ）的高度（AB ）.斜坡与水面所成的角（∠C ）可以用量角器测出来，水管的长度（AC ）也能直接量得.你能求出它的高度（AB ）吗？二、合作探究探究点一：锐角的正弦的概念在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin B ＝（） A.AC AB B.AB BC C.AB AC D.BC AB解析：由正弦的概念可得sin B ＝ACAB，故选A.方法总结：正确理解锐角的正弦的概念，在实际解题的过程中可以借助简单的图形帮助解题.探究点二：已知直角三角形的边求锐角的正弦值在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sin A ＝Ｗ.解析：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴斜边AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴sin A＝BC AC ＝45，故填45. 方法总结：在直角三角形中，sin α＝角α的对边斜边，在解题时运用勾股定理求出斜边，即可完成解答.探究点三：构造直角三角形求锐角的正弦值如图所示，P 为∠α的边OM 上的一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin α的值是（）A.35B.45C.34D.43解析：过P 作P A ⊥x 轴，垂足为A ，则OA ＝3，P A ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝5，∴sin α＝P A OP ＝45，故选B. 方法总结：解此类题时，首先要根据已知条件构造出合适的直角三角形，然后利用正弦的定义求锐角的正弦.三、板书设计锐角的正弦⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧概念：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦. 记作sin α，sin α＝∠α的对边斜边性质：α确定的情况下，sin α为定值，与△ABC的大小无关基本题型⎩⎪⎨⎪⎧已知各条件在直角三角形中求正弦构造直角三角形求锐角的正弦值教学过程中，通过联系生活实例来引入新的知识，鼓励学生积极参与讨论，尝试发现生活中同类型的问题，在激发学习兴趣的同时快速切入主题.在合作探究环节用基础的练习帮助学生巩固基本概念，为下面的学习打下基础.4.1 正弦和余弦第1课时正弦教学目标： 1、知识与技能：（1）使学生理解锐角正弦的定义。

第4章第3节第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

∴sin 2α＝－79．故选 A．]
第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1
2
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝
．
1 2
[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2．降幂公式 sin2α＝1－c2os 2α； cos2α＝1＋c2os 2α； sin αcos α＝12sin 2α．
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
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第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
2．(2021·烟台高三期末)已知角 α，β 的顶点为坐标原点，始边与
x 轴的非负半轴重合，若角 α 的终边经过点(2,1)，cos(α＋β)＝45，且
β∈0，π2，则 sin β＝
．
(1)sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ；
(2)cos(α±β)＝ cos αcos β∓sin αsin β ；
(3)tan(α±β)＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β
．
第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
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第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

九年级数学上册《正弦和余弦》教案、教学设计

-设计意图：培养学生从具体实例中抽象出数学概念的能力。
3.计算方法：
-结合计算器，让学生动手计算具体角度的正弦和余弦值，总结数值变化规律，并引导学生运用这些规律解决实际问题。
-设计意图：提高学生的实际操作能力，培养学生的计算技巧。
4.图像教学：
-引导学生绘制正弦和余弦的图像，观察图像特点，发现图像与数值之间的联系。
3.提出问题：教师提出与正弦和余弦相关的问题，如：“正弦和余弦的定义是什么？”“它们在直角三角形中如何应用？”激发学生的求知欲通过直观演示和实际例子，引导学生理解正弦和余弦的定义，并强调其本质含义。
2.正弦和余弦的计算方法：教师结合计算器，讲解如何计算具体角度的正弦和余弦值，以及数值变化规律。
-设计意图：帮助学生梳理知识结构，提高学生的概括能力。
7.课后作业：
-设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，同时注重培养学生的拓展思维。
-设计意图：巩固课堂所学，提高学生的自主学习能力。
8.教学评价：
-采用课堂提问、课后作业和阶段测试等多种方式，全面评价学生的学习情况，关注学生的个体差异，给予针对性的指导。
（四）课堂练习
1.教师设计具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
-计算具体角度的正弦和余弦值；
-利用正弦和余弦解决实际问题；
-分析正弦和余弦图像的特点。
3.教师对学生的练习情况进行反馈，及时解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的正弦和余弦的定义、计算方法、数值变化规律、图像特点及其应用。
1.概念理解：对于正弦和余弦的定义，部分学生可能难以理解其本质含义，需要通过具体实例和直观演示来帮助学生加深理解。

九年级数学上册,正余弦练习题

C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；
再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
所以cosα= ．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
5．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）
A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°
18．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．
评卷人
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得分
三．解答题（共5小题）
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，求∠B的正弦、余弦值和正切值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
6．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（）
A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1
7．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
A． B． C． D．
8．当锐角α＞30°时，则cosα的值是（）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，

《余弦函数》PPT课件

∴ sin 57°＞ cos 57°
知4－练
1.《XXXXX》P90T12 2.《XXXXX》P90T13
余弦
a
cos
A=
∠
A 的邻边斜边
=
b c
c 斜边
正弦和余弦
b 邻边
运用计算器求余弦值
同角(余角)三角函数间的关系
正弦、余弦函数的增减性
1. 如果30°＜ ∠A ＜45°，那么 sin A 的范围是( B )
1 2
= 0，cos B-
1 2
=0，即sin A=
1 ，cos
2
B=
1 ，再根据特殊角的正 ( 余 )
2
弦值，求得∠ A=30°，∠ B=60°，最后利用三角形内
角和定理，求得∠C = 180°－30°－60°＝90° .
总结
知2－讲
已知特殊角的正(余) 弦值求特殊角的度数时，要注意两点：
一是要求的角是锐角；二是不要混淆正弦值与余弦值.
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形
中，角 α 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角
形的大小无关.
归纳
知1－讲
如图，在直角三角形中，我们把锐角 α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦 ( cosine )，记作 cos α，即
cos
α
角α的邻边斜边
.
斜边
α
邻边
知1－讲
第四章锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时余弦函数
1 课堂讲解余弦函数的定义
锐角 ( 含特殊角 ) 的余弦值及相关计算同角 ( 余角 ) 三角函数间的关系正弦、余弦函数的增减性

数学练习(新教材人教A版强基版)第四章三角函数与解三角形43两角和与差的正弦余弦和正切公式

1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于( )A ．cos 12°B ．－cos 12°C ．－12 D.122．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－3π4等于( ) A ．±13 B.13 C ．－13 D ．－2233．(2023·肇庆模拟)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.210 B.7210 C ．－210 D ．－72104．(2023·西安模拟)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin α，则sin αcos α等于( ) A ．－34 B.34 C ．－237 D.2375．(2023·扬州质检)已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π36．(2023·威海模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12等于( ) A.31010 B.1010 C ．－1010 D ．－310107．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.8．(2022·上海模拟)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α＋β＝______. 9．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)；③3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<π2，________，cos(α＋β)＝－55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫α－π4； (2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．若sin θ－3cos θ＝223，则cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A ．－23 B.23 C.23 D ．－2312．(多选)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是( )A ．cos(β－α)＝32 B ．cos(β－α)＝12 C ．β－α＝π6 D ．β－α＝－π313．(2023·武汉质检)设sin ⎝⎛⎭⎫α－π7＝2cos α·sin π7，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π7cos ⎝⎛⎭⎫α－5π14的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 14．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 C ．f (x )＝sin x 2＋cos x 2的最大值为2D ．sin 50°(1＋3tan 10°)＝115．(2023·抚州模拟)已知15sin θtan θ＋16＝0，θ∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 16．在平面直角坐标系Oxy 中，先将线段OP 绕原点O 按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP 的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP 1，我们把这个过程称为对点P 进行一次T (θ，ρ)变换得到点P 1，例如对点(1,0)进行一次T ⎝⎛⎭⎫π2，3变换得到点(0,3)．若对点A (1,0)进行一次T ⎝⎛⎭⎫2π3，2变换得到点A 1，则A 1的坐标为________；若对点B ⎝⎛⎭⎫45，35进行一次T (θ，ρ)变换得到点B 1(－3，－4)，对点B 1再进行一次T (θ，ρ)变换得到点B 2，则B 2的坐标为________．。

九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦第3课时余弦练习湘教版(2021年整理)[1]

2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦第3课时余弦同步练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦第3课时余弦同步练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第4章锐角三角形函数4.1 正弦和余弦第3课时余弦知识点 1 余弦的定义1．如图4－1－8，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos A的值是（)A.错误!B.错误! C。

错误! D。

错误!图4－1－8图4－1－92．如图4－1－9，点A为∠α的边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值,错误的是（）A.错误!B.错误! C。

错误! D。

错误!3．2017·哈尔滨在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cos B的值为( ）A。

错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!图4－1－104．2016·南通如图4－1－10，Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝________．5．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，求cos A，cos B的值．知识点 2 互余两角的正弦与余弦的关系图4－1－116．如图4－1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝________，cos B＝________，所以sin A＝cos________．由此可知，若α为锐角，则有sinα＝cos________．7．已知α为锐角， cosα＝sin50°，则α等于（)A．20° B．30° C．40° D．50°8．如果α为锐角，且sinα＝错误!,那么cos（90°－α)＝________.知识点 3 特殊角的余弦值9．2016·郴州月考计算2cos45°的结果为( ）A.错误! B．1 C。

秋九年级数学上册 4.1 正弦和余弦第3课时余弦练习 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中九年级上

第3课时余弦基础题知识点1 余弦公式：cos α＝角α的邻边斜边. 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cosA 的值是( )A.1213 B.1312 C.512 D.5132．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么cosA 的值等于( )A.34B.43C.35D.453．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，cosB ＝45，则BC ＝________． 4．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P(3，4)，则cos α＝________．5．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cosA 和cosB 的值．知识点2 特殊角的余弦值6．计算：cos30°＝________，cos45°＝________，cos60°＝________．7．计算：12cos60°－2sin45°＝( )A.1－22 B ．－34 C.3－44 D.1－4248．计算：(1)2cos 230°－sin45°cos60°；(2)3cos30°－2cos45°－cos60°；(3)2cos 245°＋cos 260°－3cos 230°.知识点3 正弦、余弦之间的关系公式：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，sin 2α＋cos 2α＝1. 9．如果α是锐角，且sin α＝45，那么cos(90°－α)＝( ) A.45 B.34 C.35 D.1510．对于锐角∠A，∠B ，如果sinA ＝cosB ，那么∠A 与∠B 的关系一定满足( )A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＋∠B＝45°C ．∠A ＋∠B＝60°D ．∠A ＋∠B＝90°知识点4 用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求锐角11．填空(精确到0.000 1)：(1)cos42°≈________；(2)cos80°25′≈________；(3)cos49°18′≈________．12．°)：(1)若cos α＝0.324 5，则α≈________；(2)若cos α＝0.843 4，则α≈________；(3)若cos α＝0.585 8，则α≈________．中档题13．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝35，则cosB 的值是( ) A.45 B.35C.34D.4314．如果△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形15．(某某中考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cosA ＝________．16．(某某中考)△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，则BC 的长为________． 17．(某某中考)△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，若sinA ＝32，cosB ＝12，则∠C＝________． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝5，CD ⊥AB 于D ，AC ＝12，试求：(1)sinA 的值；(2)cos ∠ACD 的值；(3)CD的值．19．如图，在△ABC中，已知AC＝6，∠C＝75°，∠B＝45°，求△ABC的面积．综合题20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝513，BC＝26.(1)求cos∠DAC的值；(2)求线段AD的长．参考答案基础题1．A 2.D 3.84.355.∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.∴cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.6.3222127.B 8.(1)原式＝2×(32)2－22×12＝2×34－24＝22. (2)原式＝3×32－2×22－12＝32－1－12＝0. (3)原式＝2×(22)2＋(12)2－3×(32)2＝1＋14－94＝－1. 9.A 10.D 11.(1)0.743 1(2)0.166 5(3)0.652 112.(1)71.1°°°中档题 13．B 14.C 15.25516.2717.60° 18.(1)由BC ＝5，AC ＝12，得AB ＝13，sinA ＝513.(2)cos ∠ACD ＝sinA ＝513. (3)∵sinA ＝CD AC， ∴CD ＝AC·sinA＝12×513＝6013.或由面积公式，得13CD ＝5×12，得CD ＝6013. 19.过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵∠C ＝75°，∠B ＝45°，∴∠A ＝60°.在Rt △ACD 中，AD ＝AC·cos60°＝3，CD ＝AC·sin60°＝3 3.又∵∠BCD ＝45°，∴CD ＝BD ＝3 3.∴S △ABC ＝(33＋3)×33÷2＝272＋932. 综合题20．(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cosB ＝AB BC ＝513. ∵BC ＝26，∴AB ＝10.∴AC ＝BC 2－AB 2＝262－102＝24.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝1213. (2)过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，又∵AD ＝DC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12.∵在Rt △ADE 中，cos ∠DAE ＝AE AD ＝1213， ∴AD ＝13.。