人教版高中数学选修1-1知识点汇总

线 l : x a2 的距离的比是常数 c a c 0 ，则 M 的轨迹是一个椭圆。
c
a
注：①常数为离心率，定直线为椭圆的准线 ② F l
焦半径：设 P x0 , y0 .
当焦点在 x 轴上时， PF1 左= a ex0 ， PF2 右 a ex0 . 当焦点在 x 轴上时， PF1 下= a ey0 ， PF2 上 a ey0 .
BÜA AB
p q且q p
p 是 q 的既不充分 也不必要条件
A B且B A
1.3 简单的逻辑联结构
1.3.1 且(and) 3. p 且 q 定义：一般地，用关联词“且”把命题 p 和命题 q 连接起来，就得到一个
新命题，记作 p q ，读作“ p 且 q ”.与集合 A B x x A 且 x B 相关。
2.2.2
双曲线的简单几何性质(设双曲线的标准方程为
x a
2 2
y2 b2
1
a 0,
b 0)
4.范围：双曲线在不等式 x a 与 x a 所表示的区域内，而在 a x a 之间没
有图像。
5.对称轴：双曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形。
6.顶点：双曲线和它的对称轴有两个焦点，他们叫做双曲线
2.表述形式：对 M 中任意一个 x ，有 p x 成立。符号简记为 x M ， p x .
1.4.2 存在量词 3.定义：短语“存在一个”“至有少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ” 表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。
4.表述形式：存在 M 中的一个 x0 ，是 p x0 成立。符号简记为 x0 M ， p x0 .
其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。如果原命题为
“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若 p ，则 q ”.
5.互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一
个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。如果原
6. p 或 q 的真假：当 p ， q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题； 当 p ， q 两个命题都是假命题时， p q 是假命题。简记为：一真则真，同假则
假。
1.3.3 非(not) 7. p 非 q 定义：一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 p ，
命题为“若 p ，则 q ”，则它的逆否命题为“若 q ，则 p ”.
6.以上总结概括：
原命题
若 p ，则 q
逆命题
若 q ，则 p
否命题
若 p ，则 q
逆否命题
若 q ，则 p
1.1.3 四种命题间的相互关系 7.四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种 命题之间的相互关系：
0
两个焦点分别为
F1 0, c ， F2 0, c .
③当焦点不确定可设为： mx2 ny2 1 m 0, n 0, m n
2.1.2
椭圆的简单几何性质(设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
a b 0)
4.范围：由图可知，椭圆上点 A1A2 为长轴，横坐标的范围是
a x a ( a 为长半轴长)。 B1B2 为短轴，纵坐标的范围是
11.直线与椭圆的位置关系
位置关系的判定：联立
x a
2 2
y2 b2
1a b
0
消去 x 或消去 y 解方程。
Ax By C 0
①当直线与椭圆有两个焦点时，直线与椭圆相交，即 0 ；②当直线与椭圆有
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一个焦点时，直线与椭圆相切，即 0 ；③当直线与椭圆无焦点时，直线与椭
4. p 且 q 的真假：当 p ， q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p ， q 两个命题中 有一个命题是假命题时， p q 是假命题。简记为：一假则假，同真则真。
1.3.2 或(or) 5. p 或 q 定义：一般地，用关联词“或”把命题 p 和命题 q 连接起来，就得到一个
新命题，记作 p q ，读作“ p 或 q ”.与集合 A B x x A 或 x B 相关。
轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用集合语言表示： P M PF1 PF2 2a, 2a F1F2
2.椭圆的满足条件：①当 MF1 MF2 2a F1F2 时， M 的轨迹为椭圆；
②当 MF1 MF2 2a F1F2 时， M 的轨迹为 F1 ， F2 为端点的线段；
a2 c2
越小，因此椭圆越扁；反之，当 e 越接近 0 时， c 接近于 0，从而 b 越接近于 a ，
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这时椭圆就越接近圆。
当且仅当 a b 时，c 0 ，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 x2 y2 a2
椭圆补充内容
8.离心率公式推导：
P 在 y 轴上： e c a
以得出 q .这时，我们就说，由 p 可推出 q ，记作 p q ，并且说 p 是 q 的充分条
件， q 是 p 的必要条件。如果“若 p ，则 q 为假命题”，那么由 p 推不出 q ，此时
我们就说 p 不是 q 的充分条件， q 不是 p 的必要条件。
1.2.2 充要条件 2.一般地，如果既有 p q ，又有 q p ，就记作 p q .此时，我们说， p 是 q
近线。当在 x 轴上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式
y b x ；当在 y 轴上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式 y a x .
a
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b
(2)等轴双曲线：如果 a b ，那么双曲线的方程为 x2 y2 a2 ，它的实轴与虚轴
的长都等于 2a ，它的一般形式： x2 y2 0 ( 0 ，在 x 轴； 0 ，在 y
焦点在
x
轴上： kOP
kAB
a2 b2
；焦点在
y
轴上：
kOP
kAB
b2 a2
.
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线。两个定点 F1 ， F2 叫做双曲线的焦点，两焦 点的距离 F1F2 叫做双曲线的焦距。用符号表示： PF1 PF2 2a F1F2 2c . 2.双曲线的轨迹：①当 0 2a F1F2 时，F1 ，F2 的轨迹为双曲线；②当 2a F1F2 时，动点的轨迹以 F1 或 F2 为端点的射线；③当 2a F1F2 ，则动点轨迹不存在。 3. 双 曲 线 的 标 准 方 程 ： ① 焦 点 在 x 轴 上 ：
③当 MF1 MF2 2a F1F2 时， M 的轨迹不存在。
3.椭圆的标准方程：①焦点在 x
轴上：x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
我们把这样的方程叫做椭圆的标准方程，两个焦点分别是
F1 c, 0 ， F2 c, 0 ，这里 b2 a2 c2 .
②焦点在
y
轴上：
y2 a2
x2 b2
1
a b
x2 a2
y2 b2
1a 0,
b 0 .我们把这样的方程叫做双曲线的标
准方程，两个焦点分别是 F1 c, 0 ，F2 c, 0 的双曲线，这里
c2 a2 b2 .
②焦点在
y
轴上：
y2 a2
x2 b2
1a 0,
b 0 .两个焦点分别为
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F1 0, c ， F2 0, c . ③当焦点不确定可设为： mx2 ny2 1 m 0, n 0, m n
的充分必要条件，简称充要条件。
1.2 内容总结
条件 p 与结论 q 的关系
结论
用集合表示 p：A，q：B
pq
p 是 q 的充分条件
A B
q p
p 是 q 的必要条件
B A
pq且q p
p 是 q 的充分不必要条件
AÜB
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p q且q p pq
p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件
轴)；渐近线方程为 y x ；离心率： e 2
1
b2 a2
cos OF2B
P 不在
y
轴上： e
sin sin sin
cos cos
2
2
9.交点三角形面积公式：
S PF1F2
b2 sin 1 cos
b 2 tan 2
C
yP
1 2
PF1
PF2 sin
周长公式： C 2a c
10.椭圆的第二定义：平面内，若动点 M (x, y) 与定点 F c, 0 的距离和它到定直
b y b ( b 为短半轴长)。
5.对称轴：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
6.顶点：椭圆与它的对称轴有四个焦点，这四个交点叫做椭
圆的顶点。线段 A1A2 的长等于 2a ，线段 B1B2 的长等于 2b .
7.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率， a
常用 e 表示，即 e c ，离心率的范围：0 e 1. e 越接近于 a ，从而 b a
8.四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
1.2 充要条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.充要条件与必要条件：一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可
读作
“非 p ”或“ p 的否定”.与集合 ðU A x x U 且 x A
8. p 非 q 的真假：若 p 是真命题，p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真
命题。简记为：与 p 真假性相反。
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1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.定义：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ” 表示。含有全程量词的命题，叫做全称命题。
人教版高中数学必修 1-1 知识点
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题 1.命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 2.命题的构成：在数学中，命题通常写成“若 p ，则 q ”的形式。其中 p 叫做命题 的条件， q 叫做命题的结论。 1.1.2 四种命题 3.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做 原命题，另一个叫做原命题的逆命题。如果原命题为“若 p ，则 q ”，则它的逆命 题为“若 q ，则 p ”. 4.互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个 命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把
的顶点。
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长度等于 2a ， a 叫做双曲线的实半轴长；线
段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长度等于 2b ， b 叫做双曲线的半虚轴长。
7.(1)渐近线的意义：双曲线
x2 a2
y2 b2
1的各支向外延伸时，
与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐
圆相离，即 0 .
12.弦长公式
设直线 y kx b 与椭圆相交于 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点，则弦长公式为： AB x1 x2 1 k 2 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
AB y1 y2
1
1 k2
1
1 k2
y1 y2 2 4y1y2
13.中点弦长公式( P 点在弦 AB 的中点)
特称命题 p ： x0 M ， p x0 ，它的否定 p ： x M ， p x .
特称命题的否定是全称命题。 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的点的
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1.4.3 含有一个量词的命题的否定 5.全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全程命题的否定，有下面的结 论：
全称命题 p ： x M ， p x ，它的否定 p ： x0 M ， p x0 .
全称命题的否定是特称命题。 6.特定命题的否定：一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结 论：