函数的综合应用
第7讲 函数的综合应用
第7讲 函数的综合应用一. 课前热身1.函数|3||4|12-++-=x x x y 的图象关于 ( ) A x 轴对称 B 直线y=x 对称 C 原点对称 D y 轴对称2.设a ax x f 213)(-+=在()1,1-上存在0x ，使0)(0=x f ，则a 的范围是 ( )A 51`1<<-a B 51>a C 151-<>a a 或 D a<-1 3.在区间[]3,5.1上，函数()c bx x x f ++=2与函数()11-+=x x x g 同时取到相同的最小值，则函数()x f 在区间[]3,5.1上的最大值为 ( )A 8B 6C 5D 44.关于x 的方程x a x x =-+-|34|2有三个不相等的实数根，则实数a 的值是5.已知函数)(x f 满足:)()()(q f p f q p f ⋅=+,3)1(=f则()()()()()()()=+++++++)7(84)5()6(3)3(42)1(212222f f f f f f f f f f f f 二. 例题探究例1..已知函数()1log )(-=x a a x f （a>0且a ≠1）(1)证明：)(x f 的图象在y 轴一侧；(2) 设()()()212211,,,x x y x B y x A <是)(x f 图象上两点，证明：AB 的斜率大于0；(3)函数)2(x f y =与图象()x fy 1-=的交点坐标例2.如图，两铁路线垂直相交于站A ，若已知AB=100千米，甲火车从A 站出发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车以v 千米/小时的速度从B 站沿BA 方向行驶致A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（1）求甲，乙两车的最近距离（两车的车长忽略不计）（2）若甲，乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近所用时间为0t 小时，问v 为何值时0t 最大？例3.已知函数3421lg )(a x f x x ++= （1）若)(x f 在()1,-∞-∈x 时恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）当(]1,0∈a ，且0≠x 时，求证：)2()(2x f x f <例 4. 已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈ 的图象在2x =处的切线互相平行.(Ⅰ) 求t 的值；（Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围.巩固练习1.设函数()*)(N x x f ∈表示x 除以3的余数，对*,N y x ∈都有 ( )A ())(3x f x f =+B )()()(y f x f y x f +=+C )3()(3x f x f =D ()()()xy f y f x f = A C B2.已知函数)2lg()(b x f x -=（b 为常数），若[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则 （ ）A b ≤1B b<1C b 1≥D b=13.拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由[])15.0(06.1)(+⋅=m m f （元）决定，其中m>0,[]m 是大于或等于m 的最小整数，（如[]33=,[]48.3=），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 ( )A 3.71元B 3.97元C 4.24元D 4.77元4.已知27104)(234-+-=x x x x f ，则方程0)(=x f 在[]4,2上的根的个数是 ( )A 3B 2C 1D 05.函数[)+∞-∈-+=,1,)(x mx n x x f 是增函数的一个充分而不必要的条件是 ( ) A m<-1且n<3 B m>1且n>1 C m>1且n>-1 D m<-2且n<26.若函数()()()1,0log 3≠>-=a a ax x x f a 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21内单调递增，则a 的取值范围是 7.已知函数[)+∞∈++=,1,2)(2x xa x x x f （1） 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2） 若对任意[)+∞∈,1x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围.8.过点M(-1,0)的直线1l 与抛物线x y 42=交于21,P P 两点.记线段21P P 的中点为P ，过点P 和抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k,试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域，单调区间，同时说明在每单调区间上它是增函数还是减函数.9. 已知函数155)(2++=x x x ϕ)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ϕ的图象关于点)21,0(中心对称。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
高中数学总复习 函数性质的综合应用
D.－∞，－31∪(1，＋∞)
对于函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x， 令|x|－1>0，解得x>1或x<－1， 所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 又f(－x)＝lg(|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数， 当x>1时，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x， 则y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，
思维升华
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大 小等.
跟踪训练3 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，
有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称
思维升华
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶 性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内， 或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件：①f(x)的周期为 2，②f(x
－2)为奇函数，③当 x∈[0,1)时，fxx11－ －fx2x2>0(x1≠x2)恒成立.则 f －125，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单 调递减，则函数f(x) A.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减
√B.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增
C.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增
高中数学函数与方程的综合应用
高中数学函数与方程的综合应用函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过具体的案例，介绍数学函数与方程在实际问题中的综合应用。
一、投资问题假设小明在银行存储了一笔10000元的本金，并根据银行的利率1.5%进行定期存款，期限为5年。
我们可以通过函数来表示存款金额的变化。
设函数P(t)表示t年后小明的存款金额，其中t为时间（单位：年）。
根据复利计算公式，我们可以得到函数的表达式：P(t) = 10000 × (1 + 0.015)^t通过计算，我们可以得出小明存款的具体金额。
此外，如果我们希望知道小明存款超过15000元的时间，可以使用方程进行求解。
10000 × (1 + 0.015)^t > 15000通过解这个方程，我们可以求得小明存款超过15000元的时间。
二、图像运动问题假设有一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，我们希望通过函数来描述汽车的位置与时间的关系。
设函数d(t)表示t小时后汽车的行驶距离，其中t为时间（单位：小时）。
由于汽车以匀速60公里/小时行驶，我们可以得到函数的表达式：d(t) = 60t通过计算，我们可以得到任意时间时汽车的行驶距离。
此外，如果我们希望知道汽车行驶了多长时间才能达到100公里的距离，可以使用方程进行求解。
60t = 100通过解这个方程，我们可以求得汽车行驶达到100公里的时间。
三、生长问题假设一朵花每天的生长速度是2厘米，并且从初始状态开始生长。
我们可以通过函数来描述花的高度与时间的关系。
设函数h(t)表示t天后花的高度，其中t为时间（单位：天）。
由于花每天生长2厘米，我们可以得到函数的表达式：h(t) = 2t通过计算，我们可以得到任意时间时花的高度。
此外，如果我们希望知道花的高度达到10厘米需要多长时间，可以使用方程进行求解。
2t = 10通过解这个方程，我们可以求得花的高度达到10厘米所需的时间。
第8讲函数的综合应用
思路分析
因为“最大年需求量为 5 百台”，所以当年产量 不超过 5 百台时， 销售收入遵循销售收入函数 R ( m) ； 而当年产量超过 5 百台时，只能销售 5 百台，故这 是一个分段函数的问题. 这是最容易产生思维误点之处， 就是漏考虑 “最 大年需求量为 5 百台”这一条件！
思路分析
在这个问题中，调出地是 2 个——甲地、乙地，调至地也 是 2 个——A 地、B 地，是一个 2×2 的问题，要想搞清楚它们 之间的关系，必须借助于图表.
甲地
乙地
A地
B地
10－x
2+x
x
6－ x
思路上容易进入一个误区：设出多个变量，然 后根据条件列出方程组， 以主变量 x 表示其它变量， 这是一个思维简单，而书写较烦的过程．
回顾反思
此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数 函数模型 y N (1 p) （其中 N 是基础数， p 为增长
x
率，x 为时间）和幂函数模型 y a(1 x)n（其中 a 为 基础数， x 为增长率， n 为时间）的形式.解题时， 往往用到对数运算，故而要注意条件的应用.
破解难点：建模的探索
求解过程
问题⑶ 求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
⑶由一次函数 y 200( x 43) 的单调性知，当
x 0 时，总运费最低， ymin 8600 元，即从
甲地调 10 台给 A 地、调 2 台给 B 地，从乙 地调 6 台给 B 地的调运方案的总运费最低， 最低运费为 8600 元.
经典例题5
（1）药物从释放开始，每立方米空气中的含 药量 y( 毫克 ) 与时间 x ( 小时 ) 之间的函数关系式 为 ； （2）据测定：当空气中的每立方米空气中的 含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室， 那么从药物释放开始，至少需要经过 学生才能回到教室. 小时后，
高考数学一轮复习函数性质的综合应用-教学课件
时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值
为
.
(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减
函数,若 f(a)≥f(2),3;1=2-x 得 x= 1 . 2
由图象可以看出,
当 x= 1 时,f(x)取到最小值 3 .
2
2
答案:(1) 1 +2 1 + 1 (2)1 (3) 3
a a2
2
反思归纳 (1)求函数值域与最值的常用方法:
①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低 点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方 法求解. ④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用 相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,
2
4
4
(D) 1 2
(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若
实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2
取值范围是( )
(A)[1,2] (B)(0, 1 ](C)[ 1 ,2](D)(0,2]
3.函数 f(x)= 1 的最大值是( D )
1 x 1 x
(A) 4 5
高一数学习题函数的综合运用
高一数学习题函数的综合运用在高一的数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。
函数的综合运用则是展示学生对函数知识的掌握程度和应用能力的重要环节。
本文将通过几道具体的数学习题，展示高一学生如何运用函数进行综合问题求解。
1. 题目一：小明正在规划一个植物园，园中有两片草地A和B，其中草地A的面积是草地B的两倍。
小明想在这两片草地上分别种植玫瑰花和向日葵，使得两种花的总数量相等。
已知玫瑰花每平方米需要5株，向日葵每平方米需要3株。
请问小明应该在草地A和草地B分别种植多少面积的玫瑰花和向日葵，才能满足总数量相等的要求？解析：设草地A的面积为x平方米，则草地B的面积为2x平方米。
根据题意，可得到以下两个等式：5x = 3 * 2x接下来，我们解方程组：5x = 6x6x - 5x = 0x = 0根据解出的x值，我们可以得知草地A的面积为0平方米，草地B 的面积为0平方米。
因此，无法满足总数量相等的要求。
2. 题目二：某超市在一次特价促销中，将原价为100元的商品打折出售。
打折后的价格与原价之间的关系如下：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折；当购买数量超过5件时，每件商品打7折。
若小明购买了x件商品，问他所购商品的总金额f(x)与x的函数关系是什么？解析：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折，即折扣后价格为100 * 0.8 = 80元。
当购买数量超过5件时，每件商品打7折，即折扣后价格为100 * 0.7 = 70元。
根据以上分析，可以列出下面的函数关系式：f(x) ={80x, 当 x <= 5,70x, 当 x > 5}通过这个函数关系式，我们可以计算出小明购买任意数量的商品后的总金额。
3. 题目三：某公司的年度利润（单位：亿元）与销售额（单位：亿元）之间的关系如下：当销售额不超过10亿元时，利润为销售额的5%；当销售额超过10亿元但不超过50亿元时，利润为销售额的8%；当销售额超过50亿元时，利润为销售额的10%。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)， 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 －30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)
2
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言在高中数学课堂上，函数与方程的综合应用是一个重要的教学内容。
通过探究函数与方程在现实生活中的应用，学生不仅能够更好地理解抽象概念，还能培养他们的问题解决能力和创新思维。
本文将围绕函数与方程的综合应用，从数学模型、最优化、几何等多个角度进行探讨。
二、数学模型：了解函数与方程应用的基础数学模型是建立在函数与方程基础上的工具，帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济领域中，股票价格变动可以使用函数来进行建模。
通过分析历史数据和市场趋势，确定适当的函数表达式，并利用这个模型来预测未来走势。
而在物理领域中，抛物线运动也是一个常见的研究对象。
通过观察抛出物体的轨迹并进行数据统计，可以得到它与时间、初速度、重力等因素之间的关系，并建立相应的方程。
三、最优化问题：找到最佳解在实际生活中，我们往往需要从各种选择中找到最佳解决方案。
函数与方程的综合应用帮助我们解决这类最优化问题。
例如，在投资领域，我们需要找到最佳的投资方案，以获得最大的收益。
通过建立代表不同投资方式的函数模型，并结合约束条件，可以利用数学方法求解最优解。
此外，最优化问题也广泛应用于工程和管理领域。
例如，某公司生产一种产品需要使用两种原材料A和B，并且每种原材料有一定的成本和限量。
通过建立成本模型和约束条件，并设置目标函数为最小化成本或最大化产量，可以运用函数与方程来求解最佳使用原材料的比例。
四、几何问题：探索空间关系函数与方程的综合应用也能帮助我们研究几何问题中的空间关系。
例如，在三角形中，我们常常需要寻找各边、角度之间的关系，以及各顶点坐标之间的联系。
通过利用函数与方程建立模型，并运用几何知识进行推导证明，可以揭示出许多隐藏在图形中的规律。
另一个常见的几何问题是研究曲线与曲面之间的关系。
例如，在计算机图像处理中，我们经常会遇到需要对曲线进行平滑处理的情况。
通过建立函数模型，并运用方程求解曲线上各点的导数和曲率，可以为平滑处理算法提供数学支持。
函数的综合应用
函数的综合应用一．函数综合问题1．函数内容本身的相互综合，包括概念、性质、图象及几种基本初等函数的综合问题 2．函数与方程、不等式的综合问题 3．函数与数列、三角的综合问题 4．函数与几何的综合问题5．函数在实际应用（上一节）的综合问题二、举例剖析 函数的性质综合例1．已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。
解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f892)89(log )89log ()98(log )18log 4()18log ()18(log 89log 22222212-=-=-=-==-=-=f f f f f f例2．已知定义在R 上的函数 满足： （1）求证： ,且当x<0时,（2）求证在R 上是减函数函数与几何例3．若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点)3,0(A 和)1,3(-B ，则不等式21)1(<-+x f 的解集 （-1，2） 。
函数与方程、不等式函数与数列例4．设函数)(1log 2*∈=N n xy n（1）n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…a n , …，求证：a 1+a 2+a 3+a n <1;（2）对于每一个n 值,设A n ,B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点,求证:n 取任意一个正整数时,以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.)(x f ,1)(0,0),()()(<<>•=+x f x n f m f n m f 时且)(x f )(x f解：(1)原函数化为n n n a a x x n y y x n y 21,)21(,log 11,log 12==⎪⎩⎪⎨⎧-==-=即得则1211211)211(21321<-=--=++++∴n n an a a a (2) 以A n,B n 为曲线上的点且与x 轴距离为1,则n n n n n n n n n n B A B A 2122)22(),1,2(),1,2(22+=+-=---,又A n,B n 的中点C 到y 轴的距离为n n n n B A 21222=+-,所以,以C 为圆心,以n n B A 为直线的圆与y 轴相切,故定直线为x=0,且切点为(0,0). 三.小结1．函数的概念、性质及几种基本初等函数的综合问题。
立体几何与函数综合应用
立体几何与函数综合应用立体几何与函数的综合应用是数学领域中的一个重要研究方向。
通过深入研究立体几何和函数的理论，我们可以运用数学思维和方法，将它们应用于实际问题的解决上。
本文将介绍立体几何与函数综合应用的基本概念、原理和具体案例。
一、曲线旋转体的体积计算我们先来探讨曲线旋转体的体积计算问题。
当我们有一个平面曲线，将这个曲线绕某条轴旋转一周后，形成一个立体图形。
如何求解这个图形的体积呢？这里我们运用函数的综合应用。
首先，我们需要将曲线表示成函数的形式。
假设给定的曲线为y=f(x)，将其绕 x 轴旋转一周后，得到的旋转体的体积可以表示为：V = π∫[a,b] f(x)² dx其中 a、b 分别为曲线在 x 轴上的两个交点。
举个例子，假设有一个曲线y=x²在x=0 和x=1 两个交点上。
那么，将这个曲线绕 x 轴旋转一周后所得的旋转体的体积可以通过如下计算得到：V = π∫[0,1] x^4 dx = π/5通过这样的计算，我们可以得到曲线旋转体的体积。
二、立体几何与函数的求交问题在实际生活中，我们经常会遇到立体几何与函数的求交问题。
比如，给定一个立方体和一个平面方程，我们需要确定这个平面与立方体的交点。
这时，我们可以借助函数的综合应用来解决。
假设给定的立方体的顶点坐标为 (x,y,z)，平面方程为Ax+By+Cz+D=0。
我们可以将立方体的每个面分别表示为函数的形式，然后通过求解函数的交点，来确定平面与立方体的交点。
举个例子，假设有一个立方体的顶点坐标为 (0,0,0)，边长为 1。
平面方程为 x+y+z=1。
我们可以将立方体的六个面分别表示为以下六个方程：x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1然后，将这六个方程与平面方程联立，求解它们的交点，即可确定平面与立方体的交点。
通过这样的方法，我们可以解决立体几何与函数的求交问题，帮助我们更好地理解和应用数学。
三、函数综合应用于立体几何的优化问题函数的综合应用也可以用于解决立体几何中的优化问题。
函数的综合应用
函数的综合应用在数学中，函数是连接自变量和因变量的一种关系。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将探讨函数的综合应用，包括优化问题、模型建立以及实际应用。
一、函数的优化问题函数的优化是指找到函数取得最大值或最小值的过程。
这在很多实际问题中是非常有用的。
例如，假设我们要将一块矩形土地分为两个相等的部分，以便最大限度地减少围墙的长度。
我们可以使用函数来建模这个问题。
首先，我们需要定义一个函数来表示围墙的长度。
假设土地的长度为L，宽度为W，则围墙的长度为2L + 2W。
我们可以定义函数f(x) =2x + 2(L - x)，其中x表示土地的一部分的长度。
通过对函数进行求导，我们可以找到函数的最小值点，即土地长度的一半。
这意味着，我们应该将土地平均分成长度为L/2的两部分，以最小化围墙的长度。
二、函数模型的建立函数的建模是将实际问题转化为数学表达式或方程组的过程。
通过建立模型，我们可以更好地理解问题，并找到解决方案。
例如，假设我们要建立一个模型来优化电子产品的价格和销量之间的关系。
首先，我们需要确定价格和销量之间的函数关系。
假设P表示产品的价格，Q表示销量，则P和Q之间存在一种负相关的关系。
我们可以假设这个关系为P = f(Q)，其中f(Q)是一个关于销量的函数。
通过数据分析和拟合曲线，我们可以找到使得P最大化或最小化的函数关系。
三、函数的实际应用函数的实际应用非常广泛，可以涵盖各个领域。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述物体的运动轨迹；在经济学中，我们可以使用函数来分析产量与成本之间的关系；在生物学中，我们可以使用函数来研究生物体的生长模式等。
总结函数的综合应用在数学和其他领域中都有着重要的地位。
通过函数的优化问题、模型的建立以及实际应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
无论是求函数的最值，还是建立数学模型，函数的应用都可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
因此，对于函数的综合应用，我们应当持续学习和深入研究，以便更好地应用于实践中。
第04课函数性质的综合应用(课件)
【反思】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变
量转化到已知解析式的定义域内求解．
一、【考点逐点突破】
【考点 5】函数的周期性与偶函数之性质判断 【典例】(多选)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于 f(x)的判断正确的 是( ) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)在[2,4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线 x＝2 对称
【解析】因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以 f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2) ＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，所以 f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4. 【反思】由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可 利用奇偶性、对称性画草图，利用图象判断周期性．
故 f(8)＝0.故 f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在 f(x＋8)＋f(x)＝0 中，令 x＝－3，得 f(5)＋f(－3)＝0，得 f(5)＝－
f(－3)＝f(3)＝5，则 f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以 f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选 B.
一、【考点逐点突破】
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。
函数的综合应用
解析：－2a＋b＝0，∴b＝ 2a. ∵a＞0，b＝ 2a，∴b＞ a＞ 0， 故 C 不正确； ∵抛物线 y＝ax2＋ bx 开口向上，对称轴在 y 轴左侧，∴a ＞ 0，b＞ 0. ∴k＞ 0. ∴2a＋ k＞ 2a，即 2a＋k＞ b，故 A 不正确； 若 a＝b＋k，则 a＝2a＋k，k＝－a＜ 0，这与 k＞0 相矛盾， 故 B 不正确；
BD 1 解： (1)∵ tan∠ BOD＝ ＝ ，∴ OD＝2BD， OD 2 即 m＝－2n.∴点 B 的坐标为 (4，－ 2)． 8 反比例函数的解析式为 y2＝－ . x
(2)由图象可知当 x<4 时， y2<－2 或 y2>0.
14． (12 分 )(2013· 十堰 )如图，已知正比例函数 y＝2x 和反 比例函数的图象交于点 A(m，－2)． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象， 直接写出正比例函数值大于反比例函数值时， 自变量 x 的取值范围； (3)若双曲线上的点 C(2， n) 沿 OA 方向平移 5个单位长度 得到点 B，判断四边形 OABC 的形状，并证明你的结论．
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
温馨提示： 此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思 想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针 对性地分析，求解 .
C )
B． AD＝4
A．当 t＝4 秒时， S＝4 3, C．当 4≤ t≤ 8 时， S＝ 2 3t
D．当 t＝9 时，BP 平分梯形 ABCD 的面积
3.2函数性质的综合应用课件高三数学一轮复习
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)
是奇函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=f(x-16)
B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0)
D.f(2 023)=f(1)
【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x). 因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x), 即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8, 则f(x)=f(x-16)成立,故A正确; 令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0, 则f(19)=f(3)=0,故B正确; f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确; f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误.
谢谢观赏！！
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为 4 . 【解析】因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4, 所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0, 所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
中考重点函数方程的综合应用
中考重点函数方程的综合应用函数方程是中考数学中的一个重点内容，也是综合应用题中常见的类型之一。
在解决函数方程问题时，我们需要灵活运用函数的性质和方程的特点，合理选择解题方法，以达到快速解题的目的。
本文将从几个常见的函数方程类型出发，介绍其综合应用题的解题思路和方法。
一、线性函数方程的综合应用线性函数方程是函数方程中最简单的一种类型，其一般形式为f(x)= ax + b。
我们通过解决线性函数方程的综合应用题，可以巩固和应用函数的性质，提高对函数方程的理解和灵活运用能力。
例题1：一种合成肥料的使用规定，每次使用100千克。
某种植物需要总量为540千克的这种合成肥料。
用y表示这种合成肥料的总费用(单位：元)，用x表示合成肥料的使用次数，则y = 3x + 40。
求出合成肥料的总费用与使用次数的关系，并计算使用6次合成肥料的总费用。
解析：根据题意可知，每使用一次合成肥料，费用就会增加3元。
因此，y与x的关系是线性的，可以表示为y = 3x + 40。
要求使用6次合成肥料的总费用，只需将x取6代入方程中计算即可：y = 3 * 6 + 40 = 58。
因此，使用6次合成肥料的总费用为58元。
例题2：小明在学校门口开了一家餐馆。
餐馆的菜单上写着，每份火锅需要150克鱼肉和250克蔬菜。
已知小明购买了a份鱼肉和b份蔬菜，每份鱼肉的价格为5元，每份蔬菜的价格为3元。
用x表示鱼肉的总费用(单位：元)，用y表示蔬菜的总费用(单位：元)，求出鱼肉和蔬菜的总费用与购买份数的关系，并计算购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用。
解析：已知每份鱼肉的价格为5元，每份蔬菜的价格为3元，通过计算可知，购买a份鱼肉的总费用为x = 5a元，购买b份蔬菜的总费用为y = 3b元。
要求购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用，只需将a取2，b取3代入方程中计算即可：x = 5 * 2 = 10，y = 3 * 3 = 9。
因此，购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用为10 + 9 = 19元。
函数的极限与连续性的综合应用
函数的极限与连续性的综合应用函数的极限与连续性是微积分学中的重要概念，它们在解决各类实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个方面介绍函数的极限与连续性的综合应用，涵盖数理经济学、物理学和工程学等领域。
1. 函数的极限与最优化问题在数理经济学中，函数的极限与连续性经常用于解决最优化问题。
例如，假设有一个生产函数表示某种商品的生产成本和产量之间的关系。
通过求解生产函数的极限，可以确定生产成本在何时达到最小值，从而实现成本最小化的目标。
2. 函数的极限与物理学问题在物理学中，函数的极限与连续性也有广泛的应用。
例如，考虑一个速度随时间变化的物体。
通过求解速度函数的极限，可以确定物体在何时达到最大速度或最大加速度，从而帮助研究物体的运动状态。
3. 函数的连续性与工程问题在工程学中，函数的连续性是设计和优化工程系统的重要条件。
例如，在建筑结构设计中，通过考虑结构受力点的连续性，可以确保结构的稳定性和安全性。
在电路设计中，连续性条件可以保证电流的平稳传输，避免出现电路中断或电压过高的问题。
4. 函数的极限与连续性与数据分析在数据分析领域，函数的极限与连续性可以帮助研究样本数据的趋势和规律。
例如，通过对某种物质在不同温度下的溶解度进行实验，并建立溶解度随温度变化的函数模型，可以通过对函数的极限和连续性的分析，预测该物质在其他温度下的溶解度。
综上所述，函数的极限与连续性在实际问题的求解中起到了重要的作用。
无论是在数理经济学、物理学、工程学还是数据分析等领域，运用函数的极限与连续性的原理和方法，可以更好地理解和解决各类问题。
因此，深入学习和理解函数的极限与连续性是提高解决实际问题能力的关键一步。
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即 x2 bx c (x x1)(x x2 ) x,
所以 t2 bt c x1 (t x1)(t x2 ) t x1 (t x1)(t 1 x2 ),
x2 1 x1 1 t, t 1 x2 0,
又0 t x1,t x1 0,
例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线
x=1对称，对任意x1、x2∈［0,
1 2
］,都有
f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f( 1 )、f( 1 );
2
4
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记an=f(2n+
1 2n
),求
lim (ln
n
an
).
1
三、怎样学好函数
(三)把握数形结合的特征和方法 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧
密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形 结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定 理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要 熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换. (四)认识函数思想的实质，强化应用意识
例3.设平面内两向量a与b互相垂直，且 a =2，b =1，又
k与t是两个不同时为0的实数. （1）若x=a (t2 3)b与y ka+tb垂直，求k关于
t的函数关系式k f (t)； （2）试确定k f (t)的单调区间.
例4.已知函数f
(x)
x
sin
x，若x1、x2
[-
2
,
2
]，
且f (x1) f (x2 )，则下列结论中必成立的是（ ）
且2是它的一个周期.
(3)解：由(1)知f (x)≥0, x ∈［0,1］
f (1) f (n 1 ) f [ 1 (n 1) 1 ]
2
2n 2n
2n
1
1
f ( ) f [(n 1) ]
2n
2n
f ( 1 ) f (
(
1
)]n
1
a2
2n 2n
2n
2n
又∵f (x)的一个周期是 2
(1)解：因为对x1,x2∈［0, 2 ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
f (x) f ( x x) [ f ( x)]2 0
22
2
f (1) f (1 1) [ f (1)]2 a
22
2
f
(1)
1
a2
2
f
(1)
f
(1
1)
[f
( 1 )]2
1
a2
2 44
4
f
(
1
)
(Ⅱ)若 f (x)在上 x (, x1), (x2, )单调递增且在
x (x1, x2 ) 上单调递减,又满足 x2 x1 1 ， 求证：b2 2(b 2c)
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若 t x1 ，试比较:
t 2 bt c 与x1的大小，并加以证明．
解： (Ⅰ) f ' (x) x2 (b 1)x c
(2b)2 4 3a (3b) 4b2 36ab 4ab(b 9)
而
6
b a
3
0
a
故不存在点 M (x0 , y0 ) ，使得 f (x) 在点M的切线斜
率为3b. .
（3）设 A(,0),C( ,0)，依题意可令:
f (x) a(x )(x 2)(x )
a[x3 (2 )x2 (2 2 )x 2 ]
1
f (2n 1 ) f ( 1 ) an a 2n
2n 2n
lim
n
(ln
an
)
lim
n
(
1 2n
ln
a)
0.
命题意图：本题主要考查函数概念，图象,函数的奇 偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力 和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住 条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.
(2)解:任取实数x1、x2∈［-9,9］且x1＜x2, 这时，x2-x1>0, f (x1)-f (x2)=f［(x1-x2)+x2］- f(x2) =f (x1-x2)+f (x2)-f (x2)= - f (x2-x1) 因为x>0时f (x)＜0,∴f (x1)－f (x2)>0
∴f (x)在［-9，9］上是减函数 故f (x)的最大值为f (-9),最小值为f (9). 而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=-12 , f (-9)=-f (9)=12. ∴f (x)在区间［-9，9］上的最大值为12， 最小值为-12.
错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为:
f (x) f ( x x) f ( x) f ( x) 22 2 2
是解决问题的关键.
●锦囊妙计 在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好
各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法 逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、 分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的 求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面 掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已 知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.
三、怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地 理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学 知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认 识函数思想的实质，强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的 概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、 方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中 心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及 其性质这条主线.
三、怎样学好函数 (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上 去加以考虑.高考试题涉及5个方面：
(1)原始意义上的函数问题； (2)方程、不等式作为函数性质解决； (3)数列作为特殊的函数成为高考热点； (4)辅助函数法； (5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
x13
(4x13
x23
2(
x1
2
x2
)3
4x23 x13 x23 3x12
x2
3x1x22
)
3 4
( x12
x22 )(x1
x2 )
3 4
( x1
x2 )(x1
x2 )2 ,
又
x1、x2 (0, m)
3 4
( x1
x2
)(x1
x2
)2
0
x13
x23
2(
x1
2
x2
)3
即2x13
2x23
2
2(
x1
2
x2
)3
同理(m
x1 )3
(m
x2
)3
2( m
x1
2
m
x2
)3
1)
x
c
0
的两根，则
b2 2(b 2c) b2 2b 4c
[1 (x1 x2 )]2 2[1 (x1 x2 )] 4x1x2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 (x2 x1)2 1.
x2 x1 1
(x2 x1)2 1 0,b2 2(b 2c)
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知:
(1)证明：令x=y=0,得f(0)=0
令y=-x,得f (0)=f (x)+f (-x),
即f (-x)=-f (x)
∴f (x)是奇函数
例1.设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有 f (x+y)=f (x)+f (y),当x>0时f (x)<0且f(3)=-4. (1)求证：f (x)为奇函数； (2)在区间［-9，9］上，求f (x)的最值.
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出
数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问 题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤 其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实 质，强化应用意识.
例1.设函数f (x)的定义域为R，对任意实数x、y都有 f (x+y)=f (x)+f (y),当x>0时f (x)<0且f(3)=-4. (1)求证：f (x)为奇函数； (2)在区间［-9，9］上，求f(x)的最值.
(t x1)(t 1 x2 ) 0, 即t 2 bt c x1.
例6.已知f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)
是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点. 若点B的坐标为(2,0)，且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同 的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. （1）求c的值； （2）在f(x)函数的图象上是否存在一点M(x0,y0)，使 得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的 坐标；若不存在，请说明理由；
令 f (x) 0 得
3ax2
2bx
0, x1
0,
x2
2b 3a
因为f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，
所以
2b 3a 2b 3a
2, 4,
6 b 3 a
假设存在点 M (x0 , y0 ) ，使得 f (x) 在点M的切线斜
率为3b，则 f (x0 ) 3b