北师大版数学九下50年的变化

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北师大版初中数学九年级下册知识讲解(教学资料)：第6讲二次函数y=a(x-h)^2+ k(a≠0)的图像与性质(提高)

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x ≥1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3．故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标；（3）当x 取何值时，y ＜0．【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）；（2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1；（2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向，对称轴是，顶点是．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为；最小值为．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）．故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）．【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１；直线x=5或直线x=1；或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】，；【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50；当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=，，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0．解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1，当y=0时，﹣x 2+1=0．解得x 1=﹣1，x 2=1，即B （﹣1，0），C （1，0）；（2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ，根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ．在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2．所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2．即所求关系式为S=-x 2+x+2．（2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+．当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。

北师大新版数学教材主要变化详解

新版教材培训一、教材整体结构新版教材由“学生用书”和相应的“教师教学用书”两种读本构成，分别供学生、教师使用。

新版教材共计6册，分别是七年级上册、七年级下册、八年级上册、八年级下册、九年级上册、九年级下册。

每册分为若干“章”，每章内容包括若干“节”，每节通常由几个“课时”构成。

新版教材目录七年级上册第一章丰富的图形世界第二章有理数及其运算第三章整式及其加减第四章基本平面图形第五章一元一次方程第六章数据的收集与整理综合与实践△探寻神奇的幻方△关注人口老龄化△制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子总复习七年级下册第一章整式的乘除第二章相交线与平行线第三章变量之间的关系第四章三角形第五章生活中的轴对称第六章概率初步综合与实践△设计自己的运算程序△七巧板总复习八年级上册第一章勾股定理第二章实数第三章位置与坐标第四章一次函数第五章二元一次方程组第六章数据的分析第七章平行线的证明综合与实践△计算器运用与功能探索△哪一款手机资费套餐更合适△哪个城市夏天更热总复习八年级下册第一章三角形的证明第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转第四章因式分解第五章分式与分式方程第六章平行四边形综合与实践△生活中的“一次模型”△平面图形的镶嵌总复习九年级上册第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数综合与实践△猜想、证明与拓广△制作视力表△池塘里有多少鱼总复习九年级下册第一章直角三角形的边角关系第二章二次函数第三章圆综合与实践△统计活动——视力的变化△哪种方式更合算△设计遮阳篷总复习二、教材内容安排新版教材整体仍然采用代数、几何、统计与概率“混编”的结构。

从具体的课程领域看，除八下外，每册教材均包括“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域的内容；八下则由“数与代数”、“图形与几何”、“综合与实践”三个领域的内容组成。

但在排列具体内容时，并不是简单地将同领域的内容置于相邻位置。

北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

北师大版九年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°B C a b c45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c =，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+63；Ca bc(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB==得BC＝3a，∴22(5)(3)4AC a a a=-=，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BD a a a=+=，∴10 sadA5BDAD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A．12B．34C3D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD 的值为( )A．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sin cos022A B⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112y x=-，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin60=°，3cos30=°，3tan30=°．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯=8. 【答案】A ；【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B = 即2sin A =3cos B =．又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC +=，∴5sin 525CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为223122-=，∴ 最小角A 的正切值为12tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227AD AC CD k=+=．∴227sin77AC kCDAAD k∠===，321cos77CD kCDAAD k∠===．223tan33AC kCDACD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣231-19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BE AE AB--=∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21 tan63EFEDFDF∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233 sin42BCBDCBD∠===，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3=BAE＝30°，∴33tan303BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是33北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =．【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°．由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•c osC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△A BC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•A D=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则tan B＝( )．A．43B．34C．35D．452．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )． A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12 B ．22C ．32D ．1第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．2003mB ．20033m C ．1003m D ．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE 的值是．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为3即AB:BC＝3，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（2015•资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图，sin A＝45BCAB=，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝223AC AB BC x=-=，∴33 tan44AC xBBC x===．2.【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题 9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4，∴tan∠DB E===2．故答案为：2．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt△ABC中，∵13ABBC=，AB＝2，∴23BC=．在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．∴23(2) tan tan30DF xAF xDAF-===-∠°∵AF＝BE＝BC+CE．∴33(2)233x x-=+，解得6x=．答：树DE的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B3C2D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米B．253米C．10033米D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15°B．20°C．30°D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42m D．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，5 11CD AB =，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+c osα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ， ∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝23 (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。

北师大版九年级下册数学《刹车距离与二次函数》二次函数说课教学课件复习

❖ 2．能说出y＝ax2和y＝ax2＋c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．
❖ 教学难点
❖ 能作出函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，并总结其性质，还能和y＝x2作比较．
❖ 教具准备
❖ 多媒体课件、坐标纸、简单的画图工具
学情分析
①学生已掌握二次函数y=x2图象的画法，以及它们图象的性质。
②学生小组活动探究能力已经具备，对进一步研究二次函数y=ax2和y=ax2+c具有很好的基础
③九年级学生两极分化比较严重，加强分层教学尤为重要。
教法学法分析
1` 教法
对于本节课的教法，由于学生已经掌握了y=x2的图像特征，因此，我将采用类比教学法，让学生通过对比进行探讨y=ax2和y=ax2+c的图像特征，主要以让学生动手去探讨，对重难点进行适时点拨。
2、学法
本节课主要以学生小组探究活动的形式，采用小组竞赛的方式，由小组长组织本小组的成员，积极参与探究，并总结，让每一位学生积极参与课堂教学，培养每一位学生主动性和积极性，使学生乐于学习和探究知识的过程。
晴天时：s=
1 100
v2
雨天时：s= 1
50
v2
小组合作探究
比较函数s
1 100
v与2
s
1 50
v2的图象
驶向胜利的彼岸
在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想, 在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?)．
1.s 1 v2. 2.s 1 v2.
完成下表：
100
50
v
s 1 v2 100
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

北师大版九年级下册
第二章二次函数
2.1 二次函数
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次
函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数
的取值范围；
导入新课
温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y
S=6a2
S x 2 30 x
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可
以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则
称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知
解得 m=3.
m 3 0,
注意第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
练一练
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将
本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共
得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示
许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你
再列举一例：_____．

北师大版九年级下册数学《二次函数的应用》二次函数教学说课复习课件

最大利润问题
探究活动
解：设少年宫人数为x人,营业额为y元,则营业额 = 人数 x 票价 y=x[800-10(x-20)] =x[800-10x+200] =800x-10x2+200x =-10(x-50)2+25000答：当少年宫的人数为 50人时，少年宫可以获得最大的营业额。
导入新课
讲授新课
典例精析
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（，）, ∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
最大利润问题
问题分析
总利润=每件商品利润×销售数量每件商品利润=售价-进价
【解析】 (1) 设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。上涨后每件利润：(50+x-40)=(x+10)元，销售量为(210-10x)件商品（2) 根据题意可知y=(50+x-40)(210-10x)=(10+x)(210-10x) =-10(x-5.5)2+2402.5, 当x=5.5时，y有最大值, ymax = 2402.5（3) 设y=2200,解得x的值。然后分情况讨论解决
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
讲授新课
解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)
设二次函数解析式为
讲授新课
知识要点
解决拱桥问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.

北师大版二年级数学下册《十年的变化》教案

北师大版二年级数学下册《十年的变化》教案一、教学目标1.了解十位数和个位数的概念2.掌握十位数和个位数的读写方法3.能够根据题目要求，进行十位数和个位数的加减法计算4.能够灵活运用所学知识，解决实际问题二、教学重点1.十位数和个位数的概念和读写方法2.十位数和个位数的加减法运算三、教学难点1.根据题目要求，进行十位数和个位数的加减法计算2.灵活运用所学知识，解决实际问题四、教学准备1.教师：课件、黑板、彩色粉笔、纸张、笔记本电脑2.学生：课本、笔、橡皮、计算器、练习纸五、教学方法1.板书法2.讲授法3.示范法4.练习法六、教学内容与步骤第一步：引入1.基础复习：复习个位数和十位数的概念及读写方法2.出示十个数码卡片，让学生分别说出每个数的十位数和个位数，加深学生对十位数和个位数的理解第二步：活动环节1.出示一张图片，让学生观察图片上的金砖数量并通过计算回答问题，例如：“这张图片上有多少个金砖？”、“这么多金砖一共有多少块？”、“如果我再加入10块金砖，一共有多少块金砖？”等2.通过活动引导学生了解“个位数+十位数”等数学计算方法第三步：讲解计算方法1.先进行“个位数+个位数”和“十位数+个位数”的计算，提高学生对十位数和个位数加法的理解2.再介绍“十位数+十位数”的计算方法，通过例题让学生掌握该方法第四步：练习巩固1.出示练习题，提供足够时间，让学生通过计算解答问题2.巩固学生对十位数和个位数的运算，让学生通过解决形式多样的练习题来提高解决问题的能力和方法第五步：作业布置1.结束当天的课程，布置课后练习题2.要求学生完成后将答案标注在练习题上，并将练习题带回家进行再次练习七、教学反思本次课通过引入活动，让学生在实际生活中体验到了十位数和个位数的运用，提高了学生对十位数和个位数加法运算的理解和掌握程度。

在讲解计算方法和练习巩固环节，通过提供形式多样的题目进行辅导，让学生对题目整体体会更为清晰，能够更准确地选择计算方法和答案。

二次函数的图象与性质北师大版九年级数学下册

射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．

北师大版初中数学教材目录

北师大版初中数学教材目录北师版初中数学教材总目录七年级上学期第一章丰富的图形世界1.1生活中的立体图形1.2展开与折叠1.3截一个几何体1.4从不同方向看1.5生活中的平面图形第二章有理数及其运算2.1数怎么不够用了2.2数轴2.3绝对值2.4有理数的加法2.5有理数的减法2.6有理数的加减混合运算2.7水位的变化2.8有理数的乘法2.9有理数的除法2.10有理数的乘方2.11有理数的混合运算2.12计算器的使用第三章字母表示数3.1字母能表示什么3.2代数式3.3代数式求值3.4合并同类项3.5去括号3.6探索规律第四章平面图形及其位置关系4.1线段、射线、直线4.2比较线段的长短4.3角的度量与表示4.4角的比较4.5平行4.6垂直4.7有趣的七巧板第五章一元一次方程5.1你今年几岁了5.2解方程5.3日历中的方程5.4我变胖了5.5打折销售5.6“希望工程”义演5.7能追上小明吗5.8教育储蓄第六章生活中的数据6.1 认识100万6.2科学记数法6.3扇形统计图6.4你有信心吗6.5统计图的选择第七章可能性7.1一定摸到红球吗7.2转盘游戏7.3谁转出的“四位数”大课题学习★制作一个尽可能大的无盖长方体七年级下学期第一章整式的运算1.1整式1.2整式的加减1.3同底数幂的乘法1.4幂的乘方与积的乘方1.5同底数幂的除法1.6整式的乘法1.7平方差公式1.8完全平方公式1.9整式的除法第二章平行线与相交线2.1余角与补角2.2探索直线平行的条件2.3平行线的特征2.4用尺规做线段和角第三章生活中的数据3.1认识百万分之一3.2近似数和有效数3.3世界新生儿图第四章概率4.1游戏公平吗4.2摸到红球的概率4.3停留在黑砖的概率课题学习★制作“人口图”第五章三角形5.1认识三角形5.2图形的全等5.3全等三角形5.4探索全等三角形条件5.5作三角形5.6利用三角形全等测量距离5.7探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系6.1小车下滑的时间6.2变化中的三角形6.3温度的变化6.4速度的变化第七章生活中的轴对称7.1轴对称现象7.2简单的轴对称图形7.3探索轴对称的性质7.4利用轴对称设计图案7.5镜子改变了什么7.6镶边与剪纸八年级上学期第一章勾股定理1.1探索勾股定理1.2能得到直角三角形吗1.3蚂蚁怎样走最近第二章实数2.1数怎么又不够用了2.2平方根2.3立方根2.4公园有多宽2.5用计算器开方2.6实数第三章图形的平移与旋转3.1生活中的平移3.2简单的平移作图3.3生活中的旋转3.4简单的旋转作图3. 5它是怎样变过来的3.6简单的图案设计第四章四边形性质探索4.1平行四边形的性质4.2平行四边形的判别4.3菱形4.4矩形、正方形4.5梯形4.6探索多边形的内角与外角和4.7中心对称图形课题学习★制作平面图性的镶嵌第五章位置的确定5.1确定位置5.2平面直角坐标系5.3变化的鱼第六章一次函数6.1函数6.2一次函数6.3一次函数的图象6.4确定一次函数表达式6.5一次函数图象的应用第七章二元一次方程组7.1谁的包裹多7.2解二元一次方程组7.3鸡图同笼7.4增收节支7.5里程碑上的数7.6二元一次方程与一次函数第八章数据的代表8.1平均数8.2中位数与众数8.3利用计算器求平均数八年级下学期第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1不等关系1.2不等式的基本性质1.3不等式的解集1.4一元一次不等式1.5一元一次不等式与一次函数1.6一元一次不等式组第二章分解因式2.1分解因式2.2提公因式法2.3运用公式法第三章分式3.1分式3.2分式的乘除法3.3分式的加减3.4分式方程第四章相似图形4.1线段的比4.2黄金分割4.3形状相同的图形4.4相似多边形4.5相似三角形4.6探索三角形相似的条件4.7测量旗杆的高度4.8相似多边形的性质4.9图形的放大与缩小课题学习★制作视力表第五章数据的收集与处理5.1每天干家务活的时间5.2数据的收集5.3频数与频率5.4数据的波动课题学习★吸烟的危害第六章证明（一）6.1你能肯定吗6.2定义与命题6.3为什么它们平行6.4三角形内角和定理的证明6.6关注三角形的外角九年级上学期第一章证明（二）1.1你能证明它们吗1.2直角三角形1.3线段的垂直平分线1.4角平分线第二章一元二次方程2.1花边有多宽2.2配方法2.3公式法2.4分解因式法2.5为什么是0.168第三章证明（三）3.1平行四边形3.2特殊平行四边形第四章视图与投影4.1视图4.2太阳光与影子4.3灯光与影子第五章反比例函数5.1反比例函数5.2反比例函数的图象与性质5.3反比例函数的应用课题学习★猜想、证明与拓广第六章频率与概率6.1频率与概率6.2投针试验6.3生日相同的概率6.4池塘有多少条鱼九年级下学期第一章直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起1.230o,45o,60o角的三角函数值1.3三角函数的有关计算1.4船有触角的危险吗1.5测量物体的高度第二章二次函数2.1二次函数所描述的关系2.2结识抛物线2.3刹车距离与二次函数2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象2.5用三种方式表示二次函数2.6何时获得最大利润2.7最大面积是多少2.8二次函数与一元二次方程课题学习★拱桥设计第三章圆3.1车轮为什么做成圆型3.2圆的对称性3.3圆周角和圆心角的关系3.4确定圆的条件3.5直线和圆的位置关系3.6圆和圆的位置关系3.7弧长及扇形的面积3. 8圆锥的侧面积课题学习★设计遮阳篷第四章统计与概率4.1 50年的变化4.2哪种方式更合算4.3游戏公平吗。

3.4圆周角和圆心角的关系教学设计2023-2024学年数学北师大版九年级下册

2.拓展建议：
-鼓励学生在课后进行自主探究，尝试运用圆周角和圆心角的关系解决更复杂的问题。
-建议学生尝试设计一些有趣的几何图形，如正多边形和圆的组合，观察圆周角和圆心角在这些图形中的变化规律。
-引导学生关注生活中的圆形设计，如城市规划中的圆形广场、交通标志等，分析其中圆周角和圆心角的应用。
-鼓励学生进行小组合作，共同研究圆周角和圆心角在其他学科领域的应用，如物理中的圆周运动、天文学中的行星轨迹等。
解答：
连接OC，OA，OB。
由于O是弦AB的中点，根据圆的性质，OC垂直于AB。
在ΔOAC和ΔOBC中，OA=OB（半径相等），OC=OC（公共边），∠OAC=∠OBC（直角相等），所以ΔOAC≌ΔOBC（HL）。
因此，∠AOC=∠BOC，所以∠ACB=2∠AOC。
题型二：应用圆周角定理
题目：在圆中，弦AB和弦CD相交于点E，且∠AEC=80°，求∠BED的度数。
3.巩固练习（10分钟）
-设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。题目包括基础题、综合题和应用题，涵盖圆周角和圆心角的知识点。
-学生完成练习题后，教师选取部分答案进行展示和讲解，强调解题过程中的注意事项和易错点。
-组织学生进行小组讨论，共同分析题目，培养合作精神和问题解决能力。
4.课堂提问（5分钟）
2.讲授新课（20分钟）
-教师通过讲解和动态演示，介绍圆周角定理及其推论，解释圆周角等于其所对圆心角的一半。
-引导学生通过实际作图，观察圆内接四边形的对角互补现象，加深对圆周角推论的理解。
-讲解圆心角、弧、弦的关系，强调圆心角相等时，其所对的弧和弦也相等。
-结合实际例子，说明圆周角和圆心角在生活中的应用，激发学生学习兴趣。
教学资源拓展

北师大新版数学教材主要变化

新版教材培训一、教材整体结构新版教材由“学生用书”和相应的“教师教学用书”两种读本构成，分别供学生、教师使用。

新版教材共计6册，分别是七年级上册、七年级下册、八年级上册、八年级下册、九年级上册、九年级下册。

每册分为若干“章”，每章内容包括若干“节”，每节通常由几个“课时”构成。

但在排列具体内容时，并不是简单地将同领域的内容置于相邻位置。

北师大版二年数学下册《第五单元十年的变化》说课稿

北师大版二年数学下册《第五单元十年的变化》说课稿一. 教材分析《第五单元十年的变化》是北师大版二年级数学下册的教学内容。

本节课主要让学生通过观察、操作、交流等活动，感受时间的变化，掌握十年时间的长短，以及通过具体实例理解“十”作为一个计数单位的意义。

教材内容紧密联系学生的生活实际，富有时代感，既能激发学生的学习兴趣，又能培养学生的数感。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的时间观念，对“年”、“月”、“日”等时间单位有所了解。

但十年作为一个较长的时间段，对学生来说还是一个新的概念。

在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过实际操作，感受十年时间的长短，理解“十”作为一个计数单位的意义。

三. 说教学目标1.让学生通过观察、操作、交流等活动，感受时间的变化，掌握十年时间的长短。

2.让学生通过具体实例，理解“十”作为一个计数单位的意义。

3.培养学生的数感，提高学生的观察、操作和表达能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生通过观察、操作、交流等活动，感受时间的变化，掌握十年时间的长短；理解“十”作为一个计数单位的意义。

2.教学难点：让学生通过具体实例，理解“十”作为一个计数单位的意义。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、游戏教学法、小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、卡片等辅助教学，帮助学生形象直观地理解教学内容。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示我国近十年来的变化，让学生感受时间的变化，引出本节课的主题——十年的变化。

2.探究活动：让学生观察、交流，探讨十年时间的长短，以及“十”作为一个计数单位的意义。

3.小组合作：学生分组进行合作，通过实际操作，感受十年时间的变化，进一步理解“十”作为一个计数单位的意义。

4.总结提升：教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固所学知识。

5.课堂练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的应用能力。

十年的变化-北师大版二年级数学下册教案

十年的变化-北师大版二年级数学下册教案引言十年前，数学教材、教学大纲和教学方法都与现在截然不同。

本文围绕着北师大版二年级数学下册教案，回顾十年的变化，探讨数学教学的新思路。

教学大纲和教材教学大纲和教材在这十年间有了很大的改变。

按照新版教学大纲，数学教育应该培养学生的信息技术能力、创造性思维和问题解决能力。

而在旧版教学大纲中，主要关注的是学生的算术运算和计算技能。

新版北师大版二年级数学下册教材也将学生的兴趣和实践活动贯穿了整个教材。

教学方法随着教育观念的变化，教师们也在尝试更加灵活多变的教学方式。

传统的讲解式教学逐渐被视为老旧和效果不佳的教学方式。

相应的，探究式教学逐渐成为一种受欢迎的学习方法。

这种方法使学生成为学习的主人，激发了学生的兴趣、动手能力和自主学习能力。

在北师大版二年级数学下册教学中，探究式学习成为主要的教学方法，通过实践活动和小组合作学习，让学生更加主动地参与数学学习。

教学设计教学设计包括教学目标、教学内容、教学方法和评估方式，都与教学大纲和教材密切相关。

随着教育的发展，教学设计也发生了很大的变化。

十年前，教学设计的重点放在了教材内容的讲解和学生的计算能力上，而现在，更加注重学生的探究和实践能力的培养。

北师大版二年级数学下册的教学设计也有了很大的变化。

举个例子，教学目标从传统的单一的“学习五角星的性质和特点”变为了“通过探究五角星的性质和特点，培养学生的探究能力和解决实际问题的能力”。

总结十年的变化给了我们更多的教育理念和教学方法。

北师大版二年级数学下册教案的变化，使得我们更加看到了数学教育中的新思路。

除了真正的掌握算术知识外，学生还需具备解决问题的能力和信息技术能力。

传统的讲授方式逐渐被探究式学习所取代，这种方法激发了学生的主动性和自主性。

而教学设计的变化，让我们更加注重学生的探究和实践能力的培养。

参考文献无。

北师大版七年级下册数学《用图象表示的变量关系》变量之间的关系说课教学课件复习巩固

课堂检测
探索推广题
如果OA、BA分别表示甲、乙两名学生
运动的路程s和时间t的关系，根据图象
判断快者的速度比慢者的速度每秒快
（C ）
A、2.5m
B、2m C、1.5m
D、1m
s (m)
64
A
B
12
0
t(s )
8
解析：由图象可知在8s时间内，学生甲的路程为64m，学生乙
的路程为（64-12）=52m，所以V甲=64/8=8（m/s）
课堂检测
基础巩固题
3．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总
结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的图象刻画了“龟兔
再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1
表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．下列说法
错误的是（ B ）
A．“龟兔再次赛跑”
的路程为1000米
B．兔子和乌龟同时从起点出发
哪队先到达终点？
例3
解：由纵坐标看出，这次龙舟
赛的全程是1000米；由横坐标
看出，乙队先到达终点；
探究新知
(2)求乙与甲相遇时乙的速度．
解：由图象看出，相遇是在乙加速
后，加速后的路程是1000－400＝
600(米)，加速后用的时间是3.8－
2.2＝1.6(分钟)，乙与甲相遇时乙
的速度600÷1.6＝375(米/分钟)．
V乙=52/8=6.5（m/s）故V甲- V乙=1.5（m/s）
北师大版数学七年级下册
第三章变量之间的关系
用图象表示的变量关系
课件
学习目标
1、结合具体情境，能理解图象上的点所表示的意义。
2、能从图象中获取变量之间关系的信息，并对未来的

中学九年级数学 4.1.2 50年的变化教案北师大版

4.1.2 50年的变化教案教学目标：1．能运用加权平均数估算所给年份的人均纯收入．2．能根据不同问题选择适当的统计图描述数据．教学重点与难点：重点：（1）继续呈现我国50年变化的有关信息，从中读取信息，会用适当的统计图来表示；（2）能根据读取的信息和图表，进行数据的处理，研究有关统计度量；（3）回顾加权平均数的算法，并能用加权平均数进行适当的估算。

难点：在分析图表、统计图中，培养学生的探究意识和组织能力。

教法及学法指导：本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合。

注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情境激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想为了体现教师为主导，学生为主体，知识为主线，育人为主旨的教学原则，把课堂交给学生，让学生自己去探索，去发现、验证知识.本节课采用以探究式教学法为主线，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合多媒体直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法. 注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想．课前准备：教师制作多媒体课件。

教学过程：一、知识链接、引入新课师：出示近50年我国农村家庭生活水平不断提高的几幅图片设计意图：（1）承上启下。

上节课我们对我国50年以来交通的变化有所了解，并用统计知识对它进行了分析。

这节课转向研究我国50年以来农村家庭人均收入情况。

（2）通过引导学生观察图片，体现近50年来农村家庭生活水平不断提高，使学生体验农村家庭人均纯收入不断提高，从而引出：有必要估算各个时期我国农村家庭人均纯收入的平均值和如何进行估算的问题。

二、合作交流，尝试发现师：呈现50年变化的有关信息，建立“讨论交流”的平台师：为了了解我国农村居民的收人情况，有关部门对全国农村家庭进行了抽样调查．下表反映了1985年、1990年、1995年、1999年我国农村家庭人均纯收入的分布情况(数据来源：http：／／WWW．stats．gov．cn)3.18生：1985年，我国农村人均纯收入在哪个范围内的家庭最多?你是怎么看出来的．生：1985年，我国农村人均纯收入在200～300元间的家庭最多．可以通过表格中每组户数占调查总户数的百分比看出，200～300元的户数占调查总户数的百分比最大为25．64%．生：那么1990年，1995年，1999年我国农村人均纯收入在哪个范围内的家庭最多?你是怎么看出来的?生：1990年我国农村人均纯收入在600～800元间的家庭户数最多，占总调查总户数的20．80％；1995年我国农村人均纯收入在1000～1200元间的家庭最多，占总调查户数的11．83%；1999年我国农村人均纯收入在2000～2500元间的家庭最多，占总调查户数的百分比为15．18%，它们都是从每组户数占调查总户数的百分比看出来的．生：从表格中读这些数据比较麻烦，如果换比较直观、清晰的、适当的统计图表示1985年我国农村家庭的人均纯收入状况，你准备选择哪种统计图．生：扇形统计图或条形统计图．师：很好!同学们提出了很有价值的问题，下面就请同学们以同桌为一组用适当的统计图表示1985年我国农村家庭的人均纯收入状况．(教学时，可先鼓励学生回顾扇形统计图和条形统计图的步骤，然后根据表格中的数据绘制统计图)生：第一小组根据上表绘制了1985年我国农村家庭人均纯收入状况的条形统计图，如下图：1985年我国农村家庭人均纯收入抽样调查统计图生：第二小组绘制的扇形统计图如下：1985年我国农村家庭人均纯收入抽样调查统计图师：根据上面的统计表或统计图粗略估算1985年我国农村居民的人均纯收入，你是如何估计的?请你与同伴进行交流．(学生的估算方法多种多样，不管学生如何估算，只要有道理就应给予鼓励) 生：从表格中，我们观察到1985年多数家庭人均纯收入在200～400元间，因此估计1985，年我国农村居民的人均纯收入大约为300元生：我们从条形统计图观察到1985年多数家庭人均纯收入落在200～500元间，因1此估计1985年我国农村居民的人均纯收入大约在350元.生：从扇形统计图观察到1985年多数家庭人均纯收入落在200～600元间，因此，估计1985年我国农村居民的人均纯收入大约为400元．师：我在巡视时，看见小明同学是这样估算的：小明认为调查的家庭数较多，可以忽略家庭人口数对总体人均纯收入的影响，不妨假设调查了几户家庭，而且每户家庭的人口数相同(设为A人)，并将人均纯收入100元以下的都看成50元，100～200元的都看成150元，依此类推，而将人均纯收入2000元以上的都看成2250元，这样几户家庭的总人数大约为nk人，n户家庭的总收人大约为50×0．95%nk+150× 11．20%nk+250×25．64%nk+350 × 24．10%nk+450 ×15．94%nk+550 × 9．13%nk+700×7．99％nk+900×2．85％nk+1250×1．76％nk+1750×0．29%nk+2250×0．15%nk＝399．70nk(元)．因此，1985年我国农村居民的人均纯收入大约为＝nk nk70.399399．70(元)．你同意小明的做法吗?试用小明的方法估计其他年份我国农村居民的人均纯收入(将5000元以上统一看成5500元)．(以小组为单位，借助计算器来完成)生：我认为小明的做法很好，同样，我们用此法可计算1990年我国农村居民的人均纯收入，同样设调查了n户家庭，而且每户家庭的人口数相同(设为女人)．n户家庭1990年总收人大约为50×0．30%nk+150×1．78%nk+250×6．56%nk+350× 12．04%nk+450×14.37%dnA+550 × 13．94%nk+700 ×20．80%nkA+900 × 12．49%nk+1250 ×12．25％nk+1750×3．48％nk+2250×1．99%nk＝719．5nk(元)．因此，1990年我国农村居民的人均纯收入大约为nk nk5.719=719．5(元)．生：我们用同样的方法算出1995年我国农村居民的人均纯收入大约为1644．4元．生：用同样的方法算出1999年我国农村居民的人均纯收入大约为2282元．我们会发现用小明的方法估算的结果与实际统计的结果比较相近．师：由小明计算的式子你能联想到什么?你在哪里用到过类似的式子．生：由小明计算的式子可以联想到以前所学过的加权平均数的计算公式．师：什么是加权平均数呢?生：实际问题中，一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，这样计算出来的平均数就叫做加权平均数，例如小明估计1985年俄国农村居民的人均纯收入就是一个加权平均数．师：你还在哪里遇到过加权平均数呢?生：我们曾测过灯炮使用寿命的问题，在八年级上册习题8．1．师：我们一同回忆一下：某灯泡厂为了测定本厂生产灯泡的使用寿命(单位：时)，从中抽取了400只灯泡，测得它们的使用寿命如下：为了计算方便，使用寿命介于500～600小时之间的灯泡的使用寿命均近似地看做550小时……使用寿命介与1000—1100小时之间的灯泡的使用寿命均近似地看作1050小时．这400只灯泡的平均使用寿命约为多少?师生共析：这400只灯泡的平均使用寿命约为1050950850750792124105076950928501087506507955021+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈86．35(时)．我们用的就是加权平均数的计算公式，今天我们研究我国50年的变化又一次遇到加权平均数，也就是说加权平均数在我们生活中的应用很广泛，我们把它叫做数据的代表之一．数据的代表，你还学过哪些?生：众数、中位数．师：很好!我们来认真完成“做一做”，相信你会有更大的收获．设计意图:本环节主要设计四个问题：（1）1985年、1990年、1995年我国农村人均纯收入在哪个范围内的家庭最多？你是怎样看出来的？（2）请你用适当的统计图表表示1985年我国农村家庭人均纯收入的情况。

5.3《十年的变化》(教学课件)二年级数学下册北师大版

达标练习
2.
（3）800元可以买哪两件家具？
一套桌椅一张床和一把椅子 ……
达标练习
3.用竖式计算。
487+58= 545 487
+ 1 5 18 545
337+584= 921
337 +5 18 1 4
921
达标练习
3.用竖式计算。
199+726= 945 119
+ 7 1 2 16 945
741+259=1000 759+241=1000
小试牛刀
2.在方框里填上合适的数。
（）+8+1=13
2+9=11
34 2 + 11 81 9
53 1
（）+1+1=6
4 88 + 11 2 1 6
6 14
8+6=14
（）+8+1=11
知识总结
三位数加法（连续进位）的笔算方法：相同数位对齐，从个位加起，哪一位
引导学生通过反思，养成认真、有条理的 03 计算习惯。通过情景对比，激发学生的环
保意识。
重点难点
重点难点
掌握三位数连续进位加法的计算方法并能正确计算。理解三位数连续进位加法的算理。
新知讲解
新课导入
说一说野生动物园十年来动物的种类有什么变化？
十年前，青山县野生动物园只有87种动物。经过改善野生动物的生存环境，现在这里增加了139种动物。
北师大版·第五单元
十年的变化
小学数学·二年级（下）
学习目标
借助直观模型数线和计数器，继续探索并掌握三位数连加的计算方法，经历与他人 01 交流计算方法的过程，理解多位数加法的计算道理，并掌握计算方法。

北师大版六年级上册数学《身高的变化》数据处理培优说课教学复习课件

05 课后作业完成练习册本课时的习题。
（2）班：（50×2+60×4+70×2+80×6+90×26+192）÷40
=3492÷40 =87.3分
通过求两个班的平均数可以看出甲班的学生比乙班的成绩高些。
2.按分数段整理数据，并制成条形统计图。
2 2 2 6 28 2 4 2 6 26
某次测试两个班数学成绩情况统计图
30
25
六（1）
笑笑想比较甲、乙两班10名同学的身高情况，看看有什么不同。可以怎样比较，与同伴交流下。
下面是两个班各10名同学的身高，按照你的方法比一比。（单位：cm）甲班：132 155 134 147 164 159 142 154 153 155 乙班：148 152 147 149 148 149 143 153 152 154
根据上面的数据，我分段制成了统计表。
130-139 140-149 150-159 160-169
甲班 2
2
5
1
乙班 0
0
6
4
我通过分段制成统计表，可以看出乙班的学生在150-159这段身高的人数多。
根据上面的数据，我求一求每个班的身高平均数。
甲班:
（132+155+134+147+164+159+143+154+153+155）÷10
1.李老师所教两个班中哪个班的数学成绩好一些？你是如何比较的？
根据以上的数据我制成了统计表观察下。
2
2
2
6 28
2
4
2
6
26
我求出两个班的平均分来看一看哪个班的高些？（1）班：（50×2+60×2+70×2+80×6+90×28+210）÷40 =（100+120+140+480+2520+210）÷40 =3570÷40 =89.25分

2024年北师大版小学数学二年级下册5.3《十年的变化》课件

579+274= 858（头）
579 + 2171 9
858 答：养牛858头。
求养牛多少头，用加法计算。
拓展提高
1.饲养场养猪579头，养的牛比猪多274头，养牛多少头？养的猪和牛一共有多少头？
579+858= 1437（头）
579 + 1 8151 8
14 37 答：养的猪和牛一共有1437头。
用竖式计算要注意什么？
列竖式时，相同数位要对齐。
从个位加起，哪一位上满十就向前一位进一。
计算时一定要记得加上进位的数。
课堂练习
做一做
1.画一画，填一填。
582+138= 720
+100
+30 +8
Байду номын сангаас
582
682 712 720
984+397= 1361
+300
+90 +7
964
1264 1354 1361
课堂练习
2.算一算。
754 ＋2 8 7
11
1041
做一做
584 ＋2 6 7
11
851
835
＋1
4 1
6 1
8
1303
课堂练习
3.你能帮帮小狗吗？
做一做
376 +229
+395 605
1000 +268
2022 +754 1268
拓展提高
1.饲养场养猪579头，养的牛比猪多274头，养牛多少头？养的猪和牛一共有多少头？
十年的变化
北师大版二年级下
你知道吗？