八年级下册(2013年11月第1版)_第四章 因式分解 (1)
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北师大版八年级下册 第四章 因式分解 第一节 因式分解 课件 (共18张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法
北师大版八年级数学下册【教学课件】 第四章 4.1 因式分解 (共11张PPT)
北京师范大学出版社 八年级 | 下册
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ 2、计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100·(-1)=-2100
）
±140
3、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
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y 2.
(x2+2xy+y2)
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
解:原式 =
=
(x+y)2
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法
（3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
（1）、提公因式法：
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如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c） 例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
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分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去
2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式
北师大版八年级数学下册 4.1 因式分解 课件
合作探究
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．
因为 1 不是整式，所以a2＋1＝a(a＋ 1 )不是因式分解，
北师大版数学八年级下册
第四章 因式分解
4.1 因式分解
学习目标
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的 概念。
2．认识因式分解与整式乘法的相互关系— —互逆关系（即相反变形）。
复习导入
口答： x x 1 __x_2___x__ x 1 x 1 __x_2___1__ 2x 3x 7 _6__x_2 ___1_4_x__
6．分解因式 x2＋ax＋b 时，甲看错了 a 的值，分解的结果是 (x＋6)(x－1)，乙看错了 b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)， 求 a，b 的值．
解：由已知得，甲没有看错 b 的值，乙没有看错 a 的值． ∵(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，∴b＝－6， ∵(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，∴a＝－1.
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积的形式．
2 (中考·海南)下列式子从左到右的变形是因式分解 的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
反过来 x2 x __x__x___1___ x2 1 __x___1___x___1__
合作探究
知识点 1 因式分解的定义
数学八年级下册第四章因式分解
属于因式分解的是 (
)
A.x2+2x+1=x(x+2)+1
D
B.(x-1)(x+3)=x2+2x-3 C.x2+4=(x+2)2
D.- x2+y2
1 4
＝（ 1 x y）（y 1 x）
2
2
2.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则 a+b的值为_______.
-3
知识点一 因式分解的概念(P92做一做拓展) 【典例1】(2019·江阴市期中)下列各式中从左到右的 变形,是因式分解的是 ( D ) A.(a+2)(a-2)=a2-4 B.x2+x-1=(x-1)(x+2)+1
)
A.多项式mx2-mx+2中各项的公因式D是m
B.多项式7a3+14b各项没有公因式
C. x2+y2和x+y的公因式是x+y
D.多项式10x2y3-5y3+15xy2中各项的公因式是5y2
【我要做学霸】 确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:①定 系数,即确定各项系数的___最__大__公__约__数____;②定字母, 即确定各项的___相__同__字__母____因式(或相同多项式因式); ③定指数,即确定各项___相__同__字__母____因式(或相同多项 式因式)的指数的最___低____次幂.
2.因式分解中的完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2. 公式特征: 公式左边:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项_同__号__,且 这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是_这__两__ _数__或__两__式__乘__积__的2倍.
北师大版八年级下册数学第四章_因式分解第1节《因式分解》课件(使用)
(2)m(a+b+c)= ma+mb+mc; ma+mb+mc=( m )(a+b+c ) (3) (m+4)(m-4)= m2-16 ; (4) ( y-3)2= y2-6y+9 . (5)a(a+1)(a-1)= a3-a . m2-16 =( m+4 )( m-4 ) y2-6y+9 =( y-3 )2 a3-a =( a )( a+1 )( a-1 )
随堂练习
把左右两边对应的式子连起 来，并说明哪些变形是因式 分解，哪些是整式乘法。
x2-y2 (3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2
y (x - y ) 9-25x2
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
随堂练习
拓展应用
假如用一根比地球赤道长 10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间 隙能有多大(赤道看成圆形， 设地球的半径为r，铁丝围成 圆形的半径为R)?
4.1 因式分解
新营中学 岳文斌
做一做
数学中的游戏 游戏规则： 1.大家说出一个大于1的正整数. 2.写出它的立方减它本身的式子. 3 如： 5 5 3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整 数整除.
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
小明是这样想的: 993 99 99 992 99 1
2. 分解因式在实际问题中的应用.
作业：
习题4.1 AB组：第4、5题 CD组：第2、3题 EF组：课本第93页做一做
(4) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 否
第4章因式分解(教案)2023-2024学年八年级下册数学(教案)(北师大版)
-重点二：提取公因式法。通过实例讲解，让学生熟练掌握提取公因式的方法，并能运用该方法进行因式分解。
-重点三：平方差公式与完全平方公式。使学生掌握平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²），并能应用于因式分解。
-重点四：交叉相乘法分解因式。让学生掌握交叉相乘法分解因式的步骤，并能够正确运用。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，部分学生显得比较被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我计划在接下来的教学中，针对他们的实际水平，设计一些更具挑战性和趣味性的任务，激发他们的学习兴趣。
另外，在课堂总结环节，我发现部分学生对于因式分解在实际问题中的应用仍然存在困惑。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，增加一些与生活实际相关的例子，让学生更加直观地感受到因式分解在实际生活中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。多项式x² + 3x + 2可以因式分解为(x + 1)(x + 2)，这个案例展示了因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-难点一：理解因式分解的概念，尤其是分解过程中保持等价关系的理解。
-难点二：正确识别多项式中的公因式，尤其是含有多个项的复杂多项式。
-难点三：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用，尤其是变式题目的处理。
-难点四：在交叉相乘法分解因式时，正确判断乘积的符号，避免常见错误。
-重点三：平方差公式与完全平方公式。使学生掌握平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²），并能应用于因式分解。
-重点四：交叉相乘法分解因式。让学生掌握交叉相乘法分解因式的步骤，并能够正确运用。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，部分学生显得比较被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我计划在接下来的教学中，针对他们的实际水平，设计一些更具挑战性和趣味性的任务，激发他们的学习兴趣。
另外，在课堂总结环节，我发现部分学生对于因式分解在实际问题中的应用仍然存在困惑。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，增加一些与生活实际相关的例子，让学生更加直观地感受到因式分解在实际生活中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。多项式x² + 3x + 2可以因式分解为(x + 1)(x + 2)，这个案例展示了因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-难点一：理解因式分解的概念，尤其是分解过程中保持等价关系的理解。
-难点二：正确识别多项式中的公因式，尤其是含有多个项的复杂多项式。
-难点三：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用，尤其是变式题目的处理。
-难点四：在交叉相乘法分解因式时，正确判断乘积的符号，避免常见错误。
2013版八年级数学下册第四章因式分解1因式分解教学课件(新版)北师大版
数式ma+mb+mc=_________.
【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)=－25.6(53.2+66.4
－19.6) =－2 560.
答案：－2 560
3．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则这 个多项式是_________. 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形，所 以-a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a. 答案：-a3+9a
=(1-2x)(1+2x) =(x-7)2
拓展延伸
1．x2-px+ab=(x+a)(x+b)，则p=( ) A.-a+b B.-a-b C.a-b D.a+b 【解析】选B.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab, 所以p=-(a+b)=-a-b.
2．如果m=-25.6,a=53.2,b=66.4,c=-19.6，则代
③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
【布置作业】
A类：课本94页习题本4.1第1.2题 B类：课本94页习题4.1第3.4题
C类：课本94页习题4.1第5题
(5) x2+2+1／x2 =(x+1／x)2 (6)m2-42=(m+4)(m-4) (7)2π R+ 2 π r= 2π (R+r)
2.把下列各式写成乘积的形式: (1)1-x2 (2)4a2+4a+1 (3)4x2-8x (4)2x2y-6xy2 (5)1-4x2 (6)x2-14x+49 =(1+x)(1-x) =(2a+1)2 =4x(x-2) =2xy(x-3y)
北师大版八年级下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解 课件(共19张PPT)
整式的积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式。
生成新知 形成概念 一般地，把一个多项式转化成几个整式
的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 温馨提示：
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
当堂达标
一、基础练习 1.选择: (1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 A ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x 1 2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ m ) (2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的 结果 ( C ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2
知识拓展 达标检测: 提炼升华
1. 19993-1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
2.若x2+mx-n因式分解后是(x-2)(x-5)，求m、n的
值.
3.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5 解： IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.2+32.4+38.4) =2.5×90 =225
分解因式与整式乘法有什么关系?
恒等变形
和 差 化 积 是 分 解 积 化 和 差 是 乘 法
八年级数学下册第四章：因式分解(一)
(4m 8)(4m 2) 4(m 2) 2(2m 1) 8(m 2)(2m 1) 被 8 整除。
（2） (x y2 )(x y2 )(x2 y4 ) (x2 y4 )(x2 y4 ) x4 y8 xm yn m 4 ， n 8 。
跟踪训练二：计算下列题目。
。
参考答案：（1） (3m 3)2 36 (3m 3)2 62 [(3m 3) 6][(3m 3) 6] (3m 3 6)(3m 3 6)
(3m 9)(3m 3) 3(m 3) 3(m 1) 9(m 3)(m 1) 被 9 整除。
（2） (a2 b2 )(a2 b2 )(a4 b4 ) (a4 b4 )(a4 b4 ) a8b8 am bn m 8 ， n 8 。
参考答案：（1）16x2 81 42 x2 92 (4x)2 92 (4x 9)(4x 9) ；
（2） x4 1 (x2 )2 12 (x2 1)(x2 1) (x2 1)(x2 12 ) (x2 1)(x 1)(x 1) ；
（3） a6 16a2b4 a2 (a4 16b4 ) a2[(a2 )2 42 (b2 )2 ] a2[(a2 )2 (4b2 )2 ] a2 (a2 4b2 )(a2 4b2 )
（3） (4x2 9)(2x 3)(2x 3) (4x2 9)(4x2 9) 16x4 81 (2x)4 81 (2x)n 81 n 4 。
第二部分：完全平方公式
例题一：对下列代数式进行因式分解。
（1） 9x2 30x 25 ；（2） 36x2 60x 25 ；（3） 4x2 y4 12x2 y2 9x2 。
例题二：计算下列题目。
（1）对于任何整数 m ，多项式 (4m 5)2 9 都能（
）
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件
A．xy²－x²y＝x（y²－xy）；
B．9xyz－6 x²y²＝3xyz（3－2xy）
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
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第十三页，共十七页。
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ ） C
A．－2²ºº¹ B．－2²ºº²
解：99³-99
=99 ²×99 －99
=99 ×980 =98 ×99 ×100
所以， 99³-99能被100整除.
2021/12/11
第四页，共十七页。
合作探究
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？
解：99³-99 =98 ×99 ×100
=2×7×7×3×3×11×2×2×5×5
本节课学习了因式分解的意义， 即把一个(yī ɡè)多项式化成几个整式的积的形式；还知道 了整式乘法与分解因式的关系是互为逆（相反方向）的变形.
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第十五页，共十七页。
再见 (zàijiàn)
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第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 八年级下册。经历从分解因数到分解因式的类比过程.。问题1：99³-99能被100整除吗。所以(suǒyǐ)， 99³-
C．2x²－6x
D．－2x²－6x
3．若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1)，则m，n的值分别为( )
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
D
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第三页，共十七页。
合作探究
探究点一
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么(zěn me)想的？还能被哪些正整数整除？
北师大八年级数学下册第4章《1因式分解》课件4
n an bn
扩建后的面积：
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1)x2 x x（x+1） (2)x2 1 x（x-1）
像上面这样把一个多项式化成几个 整式积的形式，这样的式子变形叫做把 这个把这个多项式因式分解．
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
(二)、整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc
2、下列因式分解错误的是 ( )
A、x2 y2 (x y)(x y) B、x2 6x 9 (x 3)2 C、x2 xy x(x y) D、x2 y2 (x y)2
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形． • 2、因式分解的对象应是多项式． • 3、因式分解的结果一定是积的形式． • 4、结果中的每一个因式都必须是整式． • 5、要分解到再也不能分解为止．
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
扩建后的面积：
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1)x2 x x（x+1） (2)x2 1 x（x-1）
像上面这样把一个多项式化成几个 整式积的形式，这样的式子变形叫做把 这个把这个多项式因式分解．
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
(二)、整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc
2、下列因式分解错误的是 ( )
A、x2 y2 (x y)(x y) B、x2 6x 9 (x 3)2 C、x2 xy x(x y) D、x2 y2 (x y)2
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形． • 2、因式分解的对象应是多项式． • 3、因式分解的结果一定是积的形式． • 4、结果中的每一个因式都必须是整式． • 5、要分解到再也不能分解为止．
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件 北师大下册数学课件
(P93做一做拓展)。因式分解与整式乘法的联系(liánxì)与区别。★★3.(2019·梁子湖区期中)仔细阅读下面例题,解答
问题:
世纪金榜导学号。【素养培优】
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12/12/2021
第三十四页，共三十四页。
( C)
A.1
B.-1
C.-6
D.6
第二十一页，共三十四页。
★2.已知2x2+4x-b的一个因式(yīnshì)为x-1,求b值. 解:设另一个因式为2x+m,根据题意得:2x2+4x-b=
(x-1)(2x+m)=2x2+(m-2)x-m,
∴m-2=4,-m=-b,解得:m=b=6,则b值为6.
第二十二页，共三十四页。
是分解因式的是 ( B )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.x2+5x=x(x+5)
第十四页，共三十四页。
C.x2+5x+5=x(x+5)+5
D.a2+1=a （ a 1 ）
a
第十五页，共三十四页。
★2.983-98能被100整除(zhěngchú)吗?能被99整除吗?能被98整 除吗? 解:983-98=98(982-1)
第十二页，共三十四页。
【学霸提醒】 因式分解要注意以下几点 (1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式(zhěnɡ shì)的乘积的形式. (3)要分解到不能分解为止019·济宁嘉祥(jiā xiánɡ)一模)下列各式从左到右的变形中,
别:
第四页，共三十四页。
a(a+1)=___a_2_+_a___ (a+1)2=___a_2_+_2_a_+_1___
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