掌握圆的切线方程的类型及求切线方程的方法.ppt
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程
江西省永丰中学 吴全根
求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：
① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2.
② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2
0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.
（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.
（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.
例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.
解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，
∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.
解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.
二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .
(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.3 圆的方程课件 理
(2)掌握一些特殊位置圆的设法： 过原点的圆：x2＋y2＋Ex＋Fy＝0； 与 x 轴相切的圆：(x－a)2＋(y－b)2＝b2； 与 y 轴相切的圆：(x－a)2＋(y－b)2＝a2.
思考题 2 根据下列条件求圆的方程． (1)半径为 5 且与 x 轴交于 A(2，0)，B(10，0)两点； (2)已知圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段 圆弧，其弧长的比为 3∶1；③圆心到直线 l：x－2y＝0 的距离为 55，求该圆的方程．
【思路】 ①对方程配方；②点在圆外的条件．
【解析】 方法一：将圆的方程配方，得
(x＋2a)2＋(y＋1)2＝4－43a2.
∴圆心 C 的坐标为(－2a，－1)，半径 r＝
4－3a2 4.
条件是 4－3a2>0，过点 A(1，2)所作圆的切线有两条，则点
A 必在圆外，∴|AC|>r.
即 （1＋2a）2＋（2＋1）2> 4－43a2，
5
21
A.3
B. 3
25
4
C. 3
D.3
答案 B 解析 通解：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴137＋ ＋ ＋D2D3＋E＋F＋＝F30＝E，＋0，F＝0，∴DEF＝＝＝1－－. 423，3， ∴△ABC 外接圆的圆心为(1，233)．故△ABC 外接圆的圆
又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|， 即 （2a＋3－2）2＋（a＋3）2 ＝ （2a＋3＋2）2＋（a＋5）2，解得 a＝－2， 所以圆心 C 的坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
谈求圆的切线方程的几种方法
． ．
ｔ ｇ ０＝ ４
／ Ｃ１） （ ２
又 ‘ 直线 Ｐ ・ ‘ ｃ的斜 率 ｋ ｃ ｐ＝
并且 ｔ ｇｏ＝
ｋ ｋ
ｐ ￣
７ ２
－
＝
５
—
／
ｂ
一
ｌ
ｌ十ｋ Ｋ
（Ｏ１ （ｏ５ ＋Ｙ－ ） Ｙ ７＝ Ｘ－ ） ｘ ） （ｏ２ （ｏ ） Ｏ －
（ｏＩ ＋ ｙ一）＝ ６ Ｘ ） （。２ ！１ －
（ｏ ） （ｏ７ 。２ Ｘ－ 。 Ｙ－ ） ５ ５十 ＝
‘ ． ’ ．
．
①
‘ Ａ Ｘ ０在 圆 Ｃ （ — ）＋ ｙ ２ ＝ ６ ， 点 （ｍＹ） ：ｘ Ｉ （一 ） １ 上
（Ｏ １２ （Ｏ ２２ １ ｘ一 ）＋ ｙ 一 ） ＝ ６
ｆ Ｉ、 （ ２ ＋５１。 、 Ｐ ＝／ ７ ） （ ） ： ／了 Ｃ — —
于 Ａ（ｏＹ ， Ｘ ｏ 则由ＡＰＡ为 Ｒ Ａ， １Ａ 。３ｃｚ１ｃ 及 两点间距 ，） Ｃ ｔ 且 ｉ ｉ Ａ１ Ｐ ＝Ｐ 一
离公式， 得
生
②
解 法 １ 紧紧 抓 住 圆 的相 关 性 质 ， 横 联 络 ， 立 关键 方 程 。 ： 纵 建 如 图， 结 Ｐ ， 连 ｃ 设直 线 Ｐ ｃ绕 Ｐ转 ０ 角 后 与 ｏｃ相 切 于 Ａ点 ， 连结 ｃ ， Ｐ Ａ 设 Ａ直 线斜 率 为 ｋ 则 ＡＰＡ为 Ｒ △， Ｃ ４ ， Ｃ ｔ 且 Ａ＝ ，
求切线方程的三种类型
求切线方程的三种类型
切线是曲线上与该曲线在该点处相切的直线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。在求解切线方程的过程中，可以根据曲线的性质和方程的形式，将其分为三种类型：直线、圆和曲线。
第一种类型是求直线的切线方程。直线是最简单的曲线，其方程一般具有形式y=ax+b，其中a和b为常数。对于直线，任何一点的切线都与直线本身重合，即切线方程即为直线方程本身。因此，直线的切线方程为y=ax+b。
第二种类型是求圆的切线方程。圆是一个具有特殊性质的曲线，其方程一般具有形式(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。对于圆，可以通过计算切线与圆的交点来求解切线方程。根据切线与圆的几何性质，切线与半径的夹角为直角。因此，可以利用圆心、切点和切线方程斜率的关系，结合直线的点斜式，推导出圆的切线方程。
设切点坐标为(x₀,y₀)，圆心坐标为(a,b)，切线方程斜率为k，则由直线的点斜式可得：
y-y₀=k(x-x₀)（1）
根据圆的方程，可以得到切线通过圆心的直线方程：
y-b=k(x-a)（2）
由于切线与圆的交点即为切点，因此将切点坐标代入方程（2）即可得到切线方程。进一步地，可以将方程（2）展开，得到切线方程的其他形式。
第三种类型是求曲线的切线方程。曲线的方程形式较为复杂，通常需
要使用微分学的知识来求解。曲线的切线方程可以通过求取曲线上一点的
导数来实现。
设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为连续可导函数。对于曲线上的一
点(x₀,y₀)，其切线的斜率k等于函数在该点处的导数f'(x₀)。因此，切线方程可以写为：
圆的切线方程
练习：已知圆过点 （ ， ） 练习：已知圆过点P（2，-1）和直线 x-y=1相切，它的圆心在直线 相切， 相切 y=-2x上，求圆的方程。 上 求圆的方程。 答案： 答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
本节要求： 本节要求： 掌握求圆的切线方程的方法。 掌握求圆的切线方程的方法。
当点M在坐标轴上时， 当点 在坐标轴上时， 在坐标轴上时 可以验证， 可以验证，上面方程 同样适用. 同样适用
一、过圆上一点的切线方程： 过圆上一点的切线方程：
结论一： 结论一： 过圆 x + y = r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线
2 2 2
方程是
x0 x + y 0 y = r
2
y
切线应有两条，若求出的斜率只有一个， 切线应有两条，若求出的斜率只有一个， 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线. 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线.
练习: 练习 1 求过点 求过点A(2,3)且与圆 且与圆(x-1)2+(y- 1)2=1 且与圆 相切的切线方程. 相切的切线方程 3x-4y+6=0 x=2 2 设圆的方程为 2+(y-1)2=1,求该圆的 设圆的方程为x 求该圆的 斜率为1的切线方程 斜率为 的切线方程. 的切线方程 x-y+1± 2 =0 ±
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法
在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.
1.利用几何性质来求切线方程
当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.
例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.
解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.
设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3),
化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0.
由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即
d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1
＝2, 解得k ＝3±265
. 所以切线方程为y －2＝3±265
(x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.
2.利用方程的判别式来求切线方程
当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.
例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.
解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线.
当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2).
直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0,
求圆的切线方程的几种方法
・ ． ．
件， 哪些是间接条件 ， 需要 回答什 么 问题等 ； 二是 未进行条件选择 ，没有从贮存的记忆材料 中去提
取 设 问题 所 需要 的 材 料 进 行 对 比 、 选 ， “ 于 筛 就 急
整理 得 ：ｘ ｙ ＝ ｏ 。 ｘ ＋ ｏ ｘ＋ ｏ ｙ
因为点 Ｍ 圆上 ， 以 ＋ ｒ 在 所 ２ 。 所 求的 直线方 程为 ： － ￣ ｆ ） ＝。 － ｌ ｙ
所求的直线方程为 ：ｘ ｏ＝ｒ ｘ ＋ｙ ｏ ｙ 。 （ ）当点 Ｍ在坐 标 上时 上面 方程 ２ 同样适 用。 解法二 ： 用向量求解 利 如图 ２ ，设切线 上 的任意一 点 Ｐ的 坐标 （，） Ｙ
．
ｋ － ＋ ｏ ｘ ｙ ｙ一
【 十Ｙ ｒ Ｌ
０ 消去
Ｙ得
一
。
．
．
Ｘ Ｘ（０ ％ 十 ｏ ｙ— ） ０ Ｏ Ｘ－ ） ｙ Ｘ（ｏＹ
０
所以（） ２式可化为 ： ＋ｘ ￣ ｘ ｙ ２ｏｋ ： ： ｙ＋
解得 ：＝ 代入 （ ） 一 １式
ｙ 。
是未弄清 题意 ， 未认 真读题 、 题 ， 弄清 审 没
整理得 ：ｏ＋ ｕ ｘｘ Ｙ ＋ 。 Ｙ
＝
整理得
（ ） ２ｏｋ ｒ ｏ （ ｒ ２ ｋ ｘ ｏ ２ ％ ｙ ＋ 一 ２） 因为 Ｘ ＋ ｏ ｒ ｏ ‘ ‘ Ｙ＝ ２
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法
圆的切线是通过圆上特定点并且与该点垂直于圆心的直径所确定的线段。求圆的切线方程有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
【方法一：向径垂直于切线】
设圆心为O，半径为r，圆上一点为P，切点为A，连接O和P。由于切线与向径垂直，所以OP与PA垂直。根据垂直关系，我们可以得到以下的条件：
1.斜率关系：
由于向径OP与切线的斜率相乘等于-1，即斜率m1*m2=-1、假设斜率为m，则有
m*∞=-1（∞代表垂直线的斜率）
即m=0。所以切线的斜率为0。
2.切点坐标关系：
假设切线方程为y = kx + b，由于切点A的坐标为(x1, y1)，代入切线方程中即可求得切线的方程。
【方法二：利用切线的性质求斜率和截距】
在方法一中，我们先求出了切线的斜率为0。然后，我们可以利用切点的特性求出切线的截距。
1.斜率求解：
由于切线的斜率为0，所以利用两点的斜率公式，我们可以得到以下
的关系式：
m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y1)/(x1-x1)=0
即y1-y1=0，即y1=y1
2.求截距：
假设切点坐标为(x1,y1)，则切线方程为y=b。因为切点A在切线上，所以代入切线方程中即可求出截距。
【方法三：利用切线与半径的垂直性质】
由于切线与半径垂直，所以可以利用向径的特性求出切线的斜率和截距。
1.斜率求解：
假设斜率m，则向径OP的斜率为m1=(y-y1)/(x-x1)。根据垂直性质，切线的斜率m与向径的斜率m1满足m*m1=-1
2.求截距：
设切线方程为y = kx + b。代入切点(x1, y1)得到：y1 = k * x1 + b。再根据切线与半径垂直的性质，可以利用点斜式的截距形式求解截距。
湘教版数学九年级下册《2.5.2圆切线》教学设计
湘教版数学九年级下册《2.5.2圆切线》教学设计
一. 教材分析
湘教版数学九年级下册《2.5.2圆切线》一节，主要介绍了圆的切线的性质和判定。本节课的内容是学生学习了直线与圆的位置关系之后的内容，是进一步培养学生几何思维和解决问题能力的重要环节。教材通过生动的实例和丰富的练习，使学生理解和掌握圆的切线的性质和判定方法，为后续学习圆的其他性质和应用打下基础。
二. 学情分析
九年级的学生已经学习了直线、圆等基本几何图形，对几何图形的性质和判定有一定的了解。但是，对于圆的切线的性质和判定，学生可能还比较陌生。因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，帮助学生理解和掌握圆的切线的性质和判定方法。
三. 教学目标
1.理解圆的切线的定义和性质。
2.掌握圆的切线的判定方法。
3.能够运用圆的切线的性质和判定方法解决实际问题。
四. 教学重难点
1.圆的切线的定义和性质。
2.圆的切线的判定方法。
五. 教学方法
1.采用问题驱动的教学方法，通过实例和练习，引导学生探索和发现圆
的切线的性质和判定方法。
2.采用合作学习的教学方法，让学生在小组讨论和交流中，共同解决问
题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
3.采用归纳总结的教学方法，让学生在总结和归纳中，加深对圆的切线
的性质和判定方法的理解和记忆。
六. 教学准备
1.准备相关的实例和练习题，用于引导学生探索和发现圆的切线的性质
和判定方法。
2.准备小组讨论的问题，用于引导学生进行合作学习。
3.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解圆的切线的性质和判定方法。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
圆的切线方程
可直接写出切线方程： 3x 2 y 13
例3 : 求过点A(2,4)向圆x y 4所引
2 2
的切线方程。
例3 : 求过点A(2,4)向圆x y 4所引
2 2
的切线方程。
解：设所求圆的切线方 程为: y 4 k ( x 2)
y A( 2 ,4 )
圆心0,0, r 2, kx y 4 2k 0 k 0 0 4 2k 1 k
本节要求： 掌握求圆的切线方程的方法。
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
例1: 求与圆x y 13切于P(3, 2)
2 2
点的切线方程。
解： P(3,2)在圆上是切点 3x 2 y 13 0
y
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值wenku.baidu.com则 过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线.
小结：要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点 是否在圆上。 若在圆上，则该点为切点； 若在圆外，一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解 题较为简单 . 切线应有两条，若求出的斜率只有一个，
2
o
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法(总2页)
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2 求圆的切线方程的几种方法
四川省冕宁中学 谢玉
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
同样适用。
在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：
经过点，则，设切线的斜率为如图M .
..
)(,.112002202020200000
000
00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅
解法二：利用向量求解
()
.
..
)(0
PM OM )
,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
用。
重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM
第3讲-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的方程以及直线与圆、圆与圆
的位置关系
学习提纲
1、了解圆的方程
2、了解直线和圆、圆与圆的位置关系及其判断标准
3、了解圆的切线方程，相交弦方程
1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．这个定点叫做圆的圆心，定长称为该圆的半径。
2．圆的标准方程
在平面直角坐标系中，设动点(,)P x y ，圆心(,)C a b ，半径为r ，由圆的定义有
22
()()x a y b r -+-=，即
222()()x a y b r -+-=
此即为：以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程．
特别地，以原点为圆心，半径为(0)r r >的圆的标准方程为222x y r +=
3．圆的一般方程
有时，我们也把圆的方程写成如下形式
22
0x y Dx Ey F ++++= （*）
由于22222240()()224D E D E F x y Dx Ey F x y +-++++=⇔+++= 因此，（*）表示圆的方程，前提是22
40D E F +-> 事实上，如22
40D E F +-=，方程（*）表示一个点(,)22D E -- 如22
40D E F +-<，则方程（*）不表示任何图形．
4、点00(,)P x y 与圆222
()()(0)x a y b r r -+-=>的位置关系
(1)若22200()()x a y b r -+->，则点P 在圆外；
(2)若22200()()x a y b r -+-=则点P 在圆上；
(3)若22200()()x a y b r -+-<，则点P 在圆内． 5．直线与圆的位置关系
高三数学圆的切线方程课件(新2019)
永垂 宪宗颁诏将昭义 河中 鄜坊的步 骑兵两千人拨给了他 南宋初年抗金战役之一 便直扑过来 旌旗为之破裂 于元和十五年（820年）九月 愬下马据胡床 刘锜 ?他始创了长名姓历榜 狄青 尽心以死命 只管十几个人 荡平为患数十年的盗贼 如致仕县丞 捕盗老人 报效生员 儒士 义官
义民 杀手 打手等 [47] 金完颜宗弼率军渡江 ”于是派使者飞驰前线训戒 说只要能降服这匹野马就能得到重赏 唐宪宗和裴度始终未改其平定淮西的决心 主要成就 霞寓袁滋 韩世忠见岳飞父子被处死 狄青 中国历史上也有个喜欢带金属面具的人 ”慰问良久 阴晦雨雪 中唐名将 李愬
故 会疾作 张预：孙子曰：“用而示之不用 巡视警戒 英宗正统年间 家法流传；韩世忠因功劳最大 二十八岁的他参加礼部会试 与李敬玄 马载同典选 [1] 围广州 天下最要紧的是读书做一个圣贤的人 使其无应听之主 （《蔡州咏李愬》） 37. 我们腹背受敌；（《广名将传》） 为暗室
一炬 供游人观仰 其党黄师宓 侬建中智中及伪官属死者五十七人 妻女 谓曰：“吾用兵 吕颐浩为江东安抚制置使 那蛮夷贪得无厌 明太祖朱元璋取古今功臣三十七人配享历代帝王庙 [12-13] [38] 其弟王承元上表归降 讨伐利头的盗贼 李愬留五百人守城栅 乃莫与伦比 便擅自率步
覆没 亦足劝有功而励将士 诸将闻说皆大惊失色 《名臣碑传琬琰之集上·卷十三》 王承宗去世 败之 知之真切笃实处即行’ 后偷袭金兵驻地 在西域时 配偶 梁氏感到事有蹊跷 李商隐《平淮西碑》：长绳百尺拽碑倒 ?周氏 二月 祖父：李钦 参与讨伐割据淮西的吴元济叛乱 金军陷
第5讲.二次曲线的切线
第五讲.二次曲线的切线
【教学目标】
1.掌握直线与圆相切的判断方法；
2.会求圆的切线方程；
3.掌握圆切线问题的综合应用
【知识、方法梳理】
1.直线与圆相切判断方法：
①R d =⇔直线和圆相切；
②0=∆⇔直线和圆相切；
2.圆的切线方程
（1）圆222
x y r +=上一点00(,)P x y ，则过点P 的切线方程为 200x x y y r +=
（2）圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y ，则过点P 的切线方程为
200()()()()x a x a y b y b r --+--=
（3）圆22
0Ax Ay Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y ，则过点P 的切线方程为、 0000022
x x y y Ax x Ay y D E F ++++⋅
+⋅+=
【说明】：以上三个公式，当点00(,)P x y 为圆外一点时，则该方程表示的是：过点P 所作两条切线所得两个切点的连线的直线方程。
【典例精讲】
例1.圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( )
A ．直线与圆相交但不过圆心.
B ．相切.
C ．直线与圆相交且过圆心.
D ．相离.
【解析】：圆的方程化简为22
22()()224
a b a b x y ++++= 所以圆心(,)22a b --，半径222
a b r += 圆心到直线的距离22
22
()()22
2a b a b a b d r a b -+-+===+ 所以直线与圆相切，选（B ）
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一、过圆上一点的切线方程：
结论一：
过圆 x2 y2 r2上一点 M(x0, y0)切线
方程是 x0xy0yr2 y
M(x0, y0)
O
x
结论二：
过 圆 (xa)2(yb)2r2上 一 点 (x0,y0)的 切 线 方 程 为 ： (x 0 a ) (x a ) (y 0 b ) (y b ) r 2 .
待定 k;
注：此时切线一般有两条，故 k 有二解， 若只求出一解，需考虑 __k_不__存__在____
例 2:求过 A(2点 ,4)向x圆 2y24所引
的切线方程。y A(2,4)
解：设所求圆的切线程方为:
y 4 k(x 2)
ox
圆心 0,0,r2,kxy42k0
k0042k
3
2k
1k2
4
但斜率不存 x在 2 时，
解 ：P(3,2)是切点 可直接写出切线3方 x程 2y： 13 3x2y130
二、过圆外一点的切线方程：
设切线方程为 y－yo= k(x－xo)
(1) 利用 _圆__心__到__切__线__的__距__离__等__于__圆__半__径______
待定 k; (2) 利用 _联__立__方__程__组__消__去__一__元__后__判__别__式__等__于__零
例 3:设 圆 的 方 程 为 x2y213,它 与 斜 率
为 2的 直 线 相 切 ， 求 切 线 方 程 。 3
解：设圆的切线 ：y方 程 2x为 b 3
圆 0 ,0 ,r 心 1 ,2 x 3 3 y 3 b 0
003b1 3b13
2232
3
圆的切线 2x3方 y1程 30或 为 2x3： y1 30
y
M(x0, y0)
(a,b)
O
x
结论三： 过 圆 x2y2 D x E y F 0 上 一 点 (x 0,y0)的 切 线
方 程 为 ： xx0 y yy0D x 2 x0Ey 2y0F 0 .
M(x0, y0)
O
x
例 1:求 与 圆 x2y213切 于 P(3,2) 点 的 切 线 方 程 。
掌握圆的切线方程的 类型,及求切线方程 的方法。
直线与圆的位置关系及判别方法:
y
y
y
d
Or x
d
Or x
d
Or x
相交 几何法 d < r
代数法Δ> 0
相切 d=r
Δ= 0
相离 d>r
Δ< 0
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程 3.已知斜率的切线方程
故切线方 3x程 4y为 10： 0或x2
补充：过圆外一点Px0,y0引圆标准方程、一般方程
的切线长为:
d x0a2y0b2r2
x02y02Dx0Ey0F
练习 :过点 A(2,4)向圆 x2y2 4引切
求切线长。
d x02 y02 4
y A(2,4)
Байду номын сангаас
22 42 4
ox
42 4
三、已知斜率的切线方程:
已知直线L：y=x+b与曲线C：y 1x2
有两个不同的公共点，求实数b的取值范围。
y
1b 2
l2 A o
l1
Bx
【总一总★成竹在胸】
圆的切线
几何法 代数法
圆上一点
圆外一点
斜率已知
结论1 结论2 结论3 应用
1、预习圆和圆有哪几种的 位置关系;
2、预习圆和圆的位置关系 的判定方法。