2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期拓展资源 折纸问题中的数学
北师大版九年级上册数学 拓展资源：折纸问题中的数学
折纸问题中的数学通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代(在图案内不断地重复图案 )等几何性质。
折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。
例如，一张正方形 (二维物体 )的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。
然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。
在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。
在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：（ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图 2.2-15所示 )。
（ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形(如图 2.2-16所示 )。
（ 3）找出正方形一条边的中点 (如图 2.2-17所示 )。
（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形 (如图 2.2-19所示 ) 。
（ 6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线 (如图 2.2-20所示 ) 。
（ 7）折出四面体 (按图 2.2-21所示的方法 ) 。
（ 8）折出正方体 (按图 2.2-22所示的方法 ) 。
不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。
（ 9）折出黄金分割比图 2.2-24所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法：将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
数学北师大版九年级上册矩形性质的应用——折叠问题
角的性质： 矩形的四个角都是直角. 对角线的性质： 矩形的对角线相等，且互相平分.
矩形性质的重要应用 —— 折叠问题
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
D F A
C
A'
E
B
B'
D
F
A
若矩形ABCD中，AD=5，AB=3. （1）如图2， BA’= （2）如图3， BA’= 3 5 。 。
• 【解答】解：（1）同意．如图，设AD与EF交 于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以 ∠BAD=∠CAD． • 又由折叠知，∠AGE=∠DGE， ∠AGE+∠DGE=180°，所以 ∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以 AE=AF， • 即△AEF为等腰三角形． • （2）由折叠知，四边形ABFE是正方形， ∠AEB=45°，所以∠BED=135度． • 又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5 度．从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
C A' E B
图1
D FB'ACD FA'
图2
B (E)
A
(A') C B'
E
B
图3
折叠问题
本质：轴对称（全等性，对称性） 关键：根据折叠实现等量转化 （1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。
（3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
角度的计算
• 1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点 ，将△ABE 沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF 交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( C ) B．35° C．20° D．15° • A．40°
北师大版九年级数学上册第一章专题四模型拓展——折叠模型课件
于点H. 结论：①PH＝BH；
②△PEH≌△BCH.
图SZ1－4－2
针对训练 1. 如图SZ1－4－3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， 如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的 面积是 10 .
图SZ1－4－3
模型解读 类型二（折法2） 如图SZ1－4－4，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC 上，沿EF将四边形ABFE折叠至四边形A'B'FE后，点B' 落在AD上. 结论：连接BE， 四边形EBFB'为菱形.
·上册·
第一章 特殊平行四边形
专题四 模型拓展——折叠模型
目录
01 模型解读 02 针对训练
与折叠有关的计算常用性质： （1）折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折 叠后的部分是全等图形（如图SZ1－4－1）：
图SZ1－4－1 ①线段相等：C'D＝ CD ，BC＝ BC' ；
②角度相等：∠1＝ ∠2 ，∠3＝ ∠4 ； ③全等关系：△BC'D≌ △BCD .
图SZ1－4－7
图SZ1－4－7
设EC＝x，则BE＝8－x. 在Rt△BEF中，由勾股定理，得 BE2＝EF2＋BF2， 即（8－x）2＝x2＋42.
图SZ1－4－7
图SZ1－4－4
针对训练 图SZ1－4－5
模型解读 类型三（折法3） 如 图 SZ1 － 4 － 6 ， 点 P 在 AD 上 ， 将 △ ABP 沿 BP 折 叠 至 △EBP，点A落在CD边的点E处. 结ห้องสมุดไป่ตู้：①一线三垂直；②△PDE∽△ECB （第四章将学到）.
图SZ1－4－6
针对训练 3. 如图SZ1－4－7，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD ＝8，点E在BC边上，将△DCE沿DE折叠，使点C恰好 落在对角线BD上的点F处，求DE的长.
北师大版九年级上册数学1.1拓展资源：三角形纸片剪折菱形
利用三角形纸片剪折菱形
已知一张三角形纸片，怎样利用这张三角形纸片剪折成菱形纸片?
A
C
B
折纸的步骤以下
1.左右对折使得极点 C 落在 AB 边上，即 AC 边与 AB 边重叠，获得折痕 AF ，
A
以下列图 :
c'
C
F
B
2.翻开步骤 1 折叠后的纸片后在上下对折 ,使得极点 A 与点 F 重合，获得折痕
DE，以下列图 :A
D
O E
C
F
B
3.过点 D、F 折叠得折痕 DF，过点 E、F 折叠的折痕 E、F，四边形 ADFE 就是一
个菱形；
A
D
O E
C
F
B
4.你能说明经过上边的操作，四边形ADFE 为何是菱形吗？
证明：
由上下对折可知 :OA=OF，由左右对折 OD=OE
∴四边形 ADFE是平行四边形（对角线相互均分的四边形是平行四边形）由上下也对折可知 :DA=DF
∴四边形 ADFE是菱形（邻边相等的平行四边边形是菱形）
关于此问题的证明，你还可以想到哪些思路?。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：纸张的大小(2)
纸张的大小
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依
次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，
GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN
长与宽的比改变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
事实上，这些矩形都是相似四边形，它们长与宽的比始终保持不变，有趣的是，印刷业经常提及的对开、4开、8开、16开……的纸正是按照上面的方式，将一整张平板纸依次不断对折所得到的，只不过厂家通常将一整张平板纸的尺寸近似取出787×1092mm（即长1092mm、宽787mm），有时也用850mm×1156mm, 890mm×1240mm等规格。
纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸
来使用。
目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，
并将尺寸冠以编号例如A4、B5等等。
在不同年代，全
球各地也有当地通用的纸张尺寸。
在书籍、卡片、信封
以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了
生活便利性。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(3)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：与矩形相关的折叠问题
与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
下面从几个不同的层面展示一下。
例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。
因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。
下面的这个题目就是用这个思路解决的。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(3)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(2)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(3)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(2)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 1.1拓展资源：三角形纸片剪折菱形
利用三角形纸片剪折菱形
已知一张三角形纸片，如何利用这张三角形纸片剪折成菱形纸片?
折纸的步骤如下
1. 左右对折使得顶点C 落在AB 边上，即AC 边与AB 边重叠，得到折痕AF ，如下图:
2. 打开步骤1折叠后的纸片后在上下对折,使得顶点A 与点F 重合，得到折痕DE ，如下图:
3. 过点D 、F 折叠得折痕DF ，过点E 、F 折叠的折痕E 、F ，四边形ADFE 就是一个菱形；
4.你能说明通过上面的操作，四边形ADFE为什么是菱形吗？
证明：
由上下对折可知:OA=OF，由左右对折OD=OE
∴四边形ADFE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）由上下也对折可知:DA=DF
∴四边形ADFE是菱形（邻边相等的平行四边边形是菱形）
对于此问题的证明，你还能想到哪些思路?。
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折纸问题中的数学
通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代(在图案内不断地重复图案 )等几何性质。
折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。
例如，一张正方形 (二维物体 )的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。
然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。
在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。
在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：
（ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图 2.2-15所示 )。
（ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形(如图 2.2-16所示 )。
（ 3）找出正方形一条边的中点 (如图 2.2-17所示 )。
（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形 (如图 2.2-19所示 ) 。
（ 6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线 (如图 2.2-20所示 ) 。
（ 7）折出四面体 (按图 2.2-21所示的方法 ) 。
（ 8）折出正方体 (按图 2.2-22所示的方法 ) 。
不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。
（ 9）折出黄金分割比
图 2.2-24所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法：将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。
此时，左上角的90°角就分成了三个30°角。
利用图 2.2-24中的60°角，借助于顶角为60°的等腰三角形是正三角形，通过连续折叠四个正三角形，还可以做出正四面体。
其实，我们还可以像图 2.2-25这样以正方形的角或中心为顶点，折出60°或30°角。
即，在正方形纸片 ABFE中，先将对边 AE、 BF重合，折出折痕 DG；如图 2.2-25所示，过顶点 A，将边 AB向上对折，使得 B点刚好落在折痕 DG 上，记为 O点。
此时，∠ BAO、∠ EAO依次是60°角、30°角。
（ 11）将长方形纸片折成三等份大多数人将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：
先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的三分之一；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。
当然，这种折法蕴涵着朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地更趋近三等份。
另外一种完全不同的折法是：
如图 2.2-26所示，先将整张纸片 ABCD的一条边 BC对折（使点 B、 C重合），找到其中点 E点；再折出整张纸片的对角线 AC，以及 E点与 D点的连线 ED，两条折痕相交于点 X；最后，过交点 X折叠纸片，使 DG重叠在 AG上、CE重叠在 BE上。
此时，则 DG即为 AG的三分之一。
利用边 BC与 AD平行以及 E点是中点可知⊿ CXE∽⊿ AXD，进而， AG：GD=AG： PC=AX： CX=AD： CE=CB： CE=2。
显然，相似三角形的性质是这种折法的核心。