3.1.2两直线平行与垂直的判定学案

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人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2；当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。

3.1.2直线的平行和垂直的判定优秀教案

3．1 直线的倾斜角和斜率【课题】：3.1.2 两条直线平行和垂直的判定【教学目标】：（1）知识与技能：掌握斜率存在的两条直线的平行和垂直的充要条件。

（2）过程与方法：能根据斜率的关系判断平面内两条直线的平行和垂直关系。

（3）情感态度与价值观：渗透解析几何的思想方法，同时，注意思考的严密性，表达的规范性，培养学生的探究、概括能力【教学重点】：两条直线的平行和垂直的充要条件。

【教学难点】：两条直线的平行和垂直的充要条件的理解和应用。

【教学突破点】：在研究两条直线的平行和垂直关系时离不开倾斜角这个环节，启发学生利用平面几何中平行线与同位角关系的结论以及倾斜角和斜率的关系，让学生参与到问题的研究中来，通过类比归纳和推理，由学生自己得出两条直线的平行和垂直的充要条件。

这里的关键是把初中平面几何中所学的两条直线平行的结论转化成坐标系中的语言，用倾斜角、斜率来刻画有关条件。

【教法、学法设计】：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．【课前准备】：课件21k=-21k=-y21k=-外，一个不存在）ABC 是直角三角形今天我学了什么？（学生自己回忆）21k =-一. 判断题:(判断下列各对直线平行还是垂直)1. 经过两点A(2, 3), B(-1,0) 的直线1l , 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线2l2. 经过两点A( 3,1), B(-2,0) 的直线1l , 与经过点M(1,-4)且斜率为-5的直线2l3. 1l 经过点P(3,3),Q(-5,3), 2l 平行于x 轴,但不经过P,Q 两点4. 1l 经过点M(-1,0), N(-5,-2), 2l 经过点 R(-4,3), S(0,5)5. 1l 经过点M(1,0), N(4,-5), 2l 经过点 R(-6,0), S(-1,3)6. 1l 的倾斜角为045, 2l 经过点 R(-2,-1), S(3,-6)二. 解答题7. 试确定m 的值,使过点A(m,1), B(-1,m)的直线与过点P(1,2), Q(-5,0)的直线(1)平行 (2)垂直 8 已知A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0)三点,求点D 的坐标, 使直线,//CD AB CB AD ^且答案:1. 平行2.垂直3.平行4.平行5.垂直6.垂直7.解: 直线AB 的斜率11AB m k m -=--, 直线PQ 的斜率2011(5)3PQ k -==--(1)若AB//PQ,则AB k =PQ k ,即11m m ---=13,解得:12m =(2)若AB PQ ^,则ABk PQ k =-1,即11m m ---·13=-1,解得:m=-28.解:设(,)D x y ，因为A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0) 则1,3,2,31CD AB CB AD y y k k k k x x +===-=-- 使直线,//CD AB CB AD ^且,只需1,CD AB CB AD k k k k ?-=即131,231yy x x +?-=---,解得:0,1x y == 所以点D(0,1)。

高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案新人教A版必修2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tg a1 = tg a2.即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1= k2，那么tg a1= tg a2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2⇔k1 = k2.注意：上面的等价是在两条直借助计算机，让学生通过度量，感知12,αα的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k 1 = k 2那么一定有l 1∥l 2；反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l 1⊥l 2，这时12a α≠，否则两直线平行.设21αα<（图）甲图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上方；乙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴下方；丙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+.因为l 1、l 2的斜率分别是k 1、k 2，即190α≠，所以20α≠.∴1211(90)tg tg tg ααα=+=-.即121k k =-或k 1k 2 = –1，反过来，如果121k k =-即k 1·k 2= –1不失一般性，设k 1＜0.k 2＞0，那么1221(90)tg tg tg ααα=-=+.可以推出a 1 = 90°+2α.l 1⊥l 2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=-注意：结论成立的条件，即如果k 1·k 2 = –1，那么一定有l 1⊥l 2；反之则不一定.借助计算机，让学生通过度量，感知k 1，k 2的关系，并使l 1(或l 2)转动起来，但仍保持l 1⊥l 2，观察k 1，k 2的关系，得到猜想，再加以验证，可使1α为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.应用举例借助计算机作图，使学通过备选例题例1 试确定M 的值，使过点A (m + 1，0)，B (–5，m )的直线与过点C (–4，3)，D (0，5)的直线平行.【解析】由题意得：由于AB ∥CD ，即k AB = k CD ，所以162m m =--，所以m = –2.例2 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.【解析】设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )因为AD ⊥CD ，AD ∥BC 所以k AD ·k CD = –1，且k AD =k BC12,103120,031y y x x y x --⎧=-⎪⎪--⎨--⎪⎪--⎩所以， 02(),.13x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得舍去所以第四个顶点D 的坐标为(2，3).例3 已知定点A (–1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.【解析】以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C .则AC ⊥BC ，设C (x ，0) 则32,14AC BC k k x x --==+- 所以32114x x --⋅=-+- 所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)。

3.1.2两条直线平行与垂直的判定_教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线与直线的位置关系．(2)掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系12(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)．【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k1＝k 2， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1， ∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________.【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2，∴l 2的斜率也不存在．∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x ＝2.【答案】 212(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)；(2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________．【解析】由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1，∴k 2＝－ 3.【答案】－ 3已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形．1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况．3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【解】四边形ABCD 是平行四边形．证明如下：如图所示，AB 边所在直线的斜率k AB ＝－1－02－0＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝3－22－4＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2－(－1)4－2＝32，DA 边所在直线的斜率k DA ＝3－02－0＝32.所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，由题意知AB ∥CD ，BC ∥DA .故四边形ABCD 是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值；(2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值【规范解答】设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3. 2分(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3.又k 1＝2－aa －4，则2－aa －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6. 4分经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意. 8分②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4.所以，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. 12分1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．4．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．5．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．6．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．已知直线l 1∥l 2，直线l 1的斜率k 1＝2，则直线l 2的斜率k 2＝( )A ．不存在 B.12 C ．2 D ．－12【解析】 ∵l 1∥l 2且k 1＝2，∴k 2＝2.【答案】 C2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．无法确定【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12， ∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】－1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R (－2，32)，S (0，52)，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？【解】 (1)∵k MN ＝0－(－6)－3－(－15)＝12，k RS ＝52－320－(－2)＝12，∴l 1∥l 2. (2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－(－1)3－(－2)＝－1， ∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )A ．0B ．－6C ．6D ．3【解析】直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x 3＝－1，∴x ＝6.【答案】 C3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( )A ．α1－α2＝90°B ．α2－α1＝90°C ．|α1－α2|＝90°D ．α1＋α2＝180°【解析】如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°.【答案】 C4．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．以上都不正确【解析】过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝3－60－3＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直．故选A.【答案】 A5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．【解析】 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .【答案】 ①④7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．【解析】由题意知，直线MN 的斜率存在，∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.【答案】 1458．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC .∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎨⎧ 3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3， y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)．【答案】 (3，－6)三、解答题图3－1－59．如图3－1－5，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)．(1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3.(2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ，QR 边所在直线的斜率k QR ＝(t ＋2)－2(1－2t )－(－2t )＝t ，OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t .PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝(2＋t )－t (1－2t )－1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形．又k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR .∴四边形OPQR 是矩形．11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边．(1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)，(2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝y x －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝185， y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或(185，95)．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路探究】分别计算直线AB 和CD 的斜率；注意斜率不存在的情形．【自主解答】 ∵A ，B 两点纵坐标不等，∴AB 与x 轴不平行．∵AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，－m ≠3，m ≠－3.①当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.而m ＝－1时C ，D 纵坐标均为－1，∴CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意； ②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1，解得m ＝1.综上m 的值为1或－1.1．本题以A ，B 两点的纵坐标不相等为切入点，按直线AB 是否与x 轴垂直为标准分类讨论，从而做到不重不漏．2．在点的坐标用参数表示的题目中，由于参数的取值可能导致直线的斜率不存在，或使斜率为0，故求解时，常采用分类讨论的思想求解．已知三点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)，若AB ⊥BC ，求m 的值．【解】设直线AB ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 2＝m 2－m －1－13－1＝m 2－m －22.①当m －2＝0，即m ＝2时，k 1不存在，此时，k 2＝0，则AB ⊥BC ；②当m －2≠0，即m ≠2时，k 1＝1m －2.由k 1k 2＝m 2－m －22·1m －2＝－1，解得m ＝－3.综上，若AB ⊥BC ，则m ＝2或m ＝－3。

人教版高中数学必修二教案：3.1.2+两条直线平行与垂直的判定

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。

2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力。

3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。

难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。

关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题。

三、教学过程（一）两条直线平行的条件思考：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当l 1 // l 2时，k 1与k 2满足什么关系？探究：21212121tan tan //k k l l =⇔=⇔=⇔αααα。

结论：两条不重合的直线2121//k k l l =⇔（斜率存在）。

应用举例：例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。

分析：作出图像如下，猜想BA // PQ ：由斜率公式可得：21==PQ BA k k ，所以直线BA // PQ 。

例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)， C (4，2)，D (2，3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。

分析：在直角坐标系作出图形如下，猜想四边形ABCD 为平行四边形：21-==CD BA k k ，所以AB // CD ； 23==AD BC k k ，所以BC // AD ；所以四边形ABCD 为平行四边形。

追问：四边形ABCD 是否为矩形？如何判断直线AB 与BC 垂直？（向量的数量积）由此，欲判断ABCD 为平行四边形，可以由DC AB =得到。

2021-2022学年高中数学必修2学案：3.1.2两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标核心素养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科素养．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？[提示]不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13 B [k AB ＝3－03－2＝3，∵l ∥AB ，∴k l ＝3.]2．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合D ．非以上情况B [∵k 1·k 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴l 1⊥l 2.]3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．0 [∵kl 2＝2－10－1＝－1，l 1∥l 2，∴kl 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0.]4．若直线l 1的斜率kl 1＝m ，且l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为________．－1m 或不存在 [若m ＝0时，直线l 2的斜率不存在．若m ≠0时，直线l 2的斜率为－1m .]两直线平行关系的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5).[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l2平行或重合，又k BC＝5－（－3）－3－3＝－43≠－45，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝－1－1－2－0＝1，k2＝3－42－3＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，k FG＝4－（－1）3－（－2）＝1，故直线l1与直线l2重合．(3)由题意知，k1＝tan 60°＝3，k2＝－23－3－2－1＝3，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知l1经过点A(－3，3)，B(－8，6)，l2经过点M⎝⎛⎭⎪⎫－212，6，N⎝⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l1∥l2.[证明]直线l1的斜率为k1＝6－3－8－（－3）＝－35，直线l2的斜率为k2＝6－（－3）－212－92＝－35，因为k1＝k2，且k AN＝3－（－3）－3－92＝－45，所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.两直线垂直关系的判定【例2】判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40). [解] (1)k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直． (2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. (3)由A ，B 的横坐标相等得 l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1，2)，直线l 2经过点C (1，2)，D (－2，a ＋2).若l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－43，不符合题意；②当a＝0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1＝－12不符合题意；③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝2－a a－4.由k1·k2＝－1，得－a3·2－aa－4＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC 的形状吗？[提示]如图，AB边所在的直线的斜率k AB＝－12，BC边所在直线的斜率k BC＝2.由k AB·k BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？[提示]以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0).【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A 为直角顶点的直角三角形，求m的值．[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7.1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，则1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.,利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状1．两条不重合的直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行斜率均存在积为－1垂直1．下列说法正确的是()A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．] 2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C ．重合D ．以上都不正确A [k 1＝3－60－3＝－3＋2，k 2＝0－22－6＝－12－3，∵k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．选A.]3．若经过点M (m ，3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．145 [由题意知，直线MN 的斜率存在，因为MN ⊥l ，所以k MN ＝m －32－m＝14，解得m ＝145.]4．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． [解] (1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1.(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3，则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1.。

§3.1.2两条直线平行于垂直的判定学案

【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件； 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．【学法指导】通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.一．知识导学1．两条直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔ .(2)如果直线l 1、l 2的斜率都不存在，并且l 1与l 2不重合，那么它们都与垂直，故l 1 l 2.2．两条直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l 1、l 2的斜率都存在，并且分别为k 1、k 2，那么l 1⊥l 2⇔ .(2)如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l 1与l 2的位置关系是．二．探究与发现【问题情境】为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．【探究点一】两条直线平行的判定问题1 如图，设对于两条不重合的直线l 1与l 2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k 1、k 2，若l 1∥l 2，α1与α2之间有什么关系？k 1与k 2之间有什么关系？问题2 对于两条不重合的直线l 1与l 2，若k 1＝k 2，是否一定有l 1∥l 2？为什么？2015-2016学年高一年级数学导学案13班级姓名学号 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定例1．已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－1,2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．跟踪训练1 试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．例2．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．跟踪训练2 求证：顺次连接A (2，－3)，B (5，－72)，C (2,3)，D (－4,4)四点所得的四边形是梯形．【探究点二】两条直线垂直的判定问题1 如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k 1、k 2，且α1<α2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？问题2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？问题3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？问题4对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？例3．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．跟踪训练3已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系。

§3.1 .2两条直线平行与垂直的判定(学案)

§3.1 .2两条直线平行与垂直的判定(学案)【学习目标】学习目标：（1）两条直线平行与垂直的判定方法（2）利用直线的平行与垂直解决有关问题学习重点、难点：两条直线的平行与垂直的判定方法【知识回顾】1、直线的倾斜角的定义和倾斜角α范围：定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，与之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.直线的倾斜角α范围是： . 2、直线的斜率的求法：(1) 已知直线的倾斜角α： .(2) 已知直线上两点坐标),(11y x A 、),(22y x B 21x x ≠且： . 3、若两条直线12,l l 的斜率都不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；4、若1l 的斜率为0，直线2l 斜率不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；约定：若没有特别说明，说“两条直线12,l l ”时，一般是指两条不重合的直线【自主学习要求】 1、研读教材8786P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线平行？（2）对教材中利用代数方法研究直线平行的结论：2121//k k l l =⇔ ，你有何补充? 2、研读教材8988P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线垂直？（2）对教材中利用代数方法研究直线垂直的结论：12121-=⋅⇔⊥k k l l ，你有何补充? （3）总结一下几何、代数两种方法是如何研究两直线平行的【自主学习、合作交流】自主学习指导及探究内容：（阅读教材86—89页，完成下列问题）知识探究（一）：两条直线平行的判定- 2 -思考1、（如图1）若两条不重合直线1l 与2l 的倾斜角1α这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考2、设两条不重合直线1l 与2l 的斜率分别为1k、2k 则这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考3、平面内有A 、B 、C 三点，若K AB =K AC 能得到A 、B 、C 三点共线吗？提炼总结:知识探究（二）：两条直线垂直的判定思考1、（如图2）设直线1l 与2l 的倾斜角分别为1α与2α,且（1α， 902≠α），若1l ⊥2l ，则1α与2α之间有什么关系？思考2、已知ααtan 1)90tan(0-=+,据此，你能得出1l 与2l 的斜率21,k k 之间的关系吗？反之成立吗？提炼总结:应用1例1、已知A （2，3），B （-4，0），P （-3，1），Q （-1，2），试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论变式1、已知A (-6,0), B (3,6), P (0,3), Q (6,-6), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系？应用2例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，-1）， C （4，2）， D （2，3），试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明变式2、已知A (5,-1), B (1,1), C(2,3)三点, 试判断△ABC 的形状【反馈练习】1．下列说法正确的是（）A ．若12l l ⊥，则121-=⋅k k ；B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥；D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2．点(1,2)M 在直线l 上的射影是(1,4)H -，则直线l 的斜率是（） A ．-1 B ．1 C ．1或-1 D ．不存在 3．过点(1,2)A 和(3,2)B -的直线与直线0y =的位置关系是（） A ．相交不垂直 B ．平行 C ．垂直 D ．重合 4．直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α且12l l ⊥，则（）A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．1290αα-=︒D ．1290αα+=︒ 5．判断下列各对直线平行还是垂直：- 4 -①经过两点A （2,3），B （-1,0）的直线l 1，与经过点P （1,0）且斜率为1的直线l 2；②经过两点C （3,1），D （-2,0）的直线l 3，与经过点M （1,-4）且斜率为-5的直线l 4；6．试确定m 的值，使过点(2,3)A m 和(1,)B m -的直线与过点(2,3)P 和(1,4)Q -的直线：（1）平行；（2）垂直．7．已知点(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使得直线CD AB ⊥，且//CB AD ．【思维拓展】1．已知△ABC 的顶点坐标分别为m)C(2,B(1,1),A(5,-1),，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．2．已知点(1,2)M -和(4,3)N ，点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角，求点P 的坐标．。

3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案篇一：3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案数学学科高一年级教学案no.篇二：3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案张喜林制[3.1.2两条直线平行与垂直的判定【教学目标】（1）掌握直线与直线的位置关系。

（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。

【教学重点难点】教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。

【教学过程】一、引入：问题1：平面内两条直线的位置关系问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系二、新课问题探究1：（1）、如何判定两条不重合直线的平行？（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？总结归纳直线与直线平行的判定方法例题1（课本87页的例题3）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行。

（1）l1经过点a（-1，-2）,B(2,1),l2经过点m（3，4），n（-1，-1）答案：不平行（2）l1经过点a（0，1）,B(1,0),l2经过点m（-1，3），n（2，0）答案：平行例题2（课本87页的例题4）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直。

（1）l1经过点a（-1，-2）,B(1,2),l2经过点m（-2，-1），n（2，1）答案：不垂直（2）l1经过点a（3，4）,B(3,100),l2经过点m（-10，40），n（10，40）答案：垂直问题探究2（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？总结直线与直线垂直的判定方法：1/4篇三：高中数学(3.1.2两条直线平行与垂直的判定)示范教案新人教a 版必修23.1.2两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路 2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l1∥l2?k1=k2.⑥l1⊥l2?k1k2=-1.应用示例例1已知a（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线Ba与PＱ的位置关系，并证明你的结论.解:直线Ba的斜率kBa=3?0=0.5,2?(?4)直线PQ的斜率kPQ=2?1=0.5,?1?(?3)因为kBa=kPQ.所以直线Ba∥PQ.变式训练1,m)三点共线，则m的值为()211a.B.-c.-2d.2221?2?3m?2分析：kaB=kBc,,m=.?123?2?32若a(-2,3),B(3,-2),c(答案：a例2已知四边形aBcd的四个顶点分别为a（0，0），B（2，-1），c(4,2),d(2,3),试判断四边形aBcd的形状，并给出证明.解：aB边所在直线的斜率kaB=-1,21,23Bc边所在直线的斜率kBc=,23da边所在直线的斜率kda=.2cd边所在直线的斜率kcd=-因为kaB=kcd,kBc=kda,所以aB∥cd,Bc∥da.因此四边形aBcd是平行四边形.变式训练直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l2⊥x轴；（3）a=_____________时，l1∥l2；（4）a=_____________时，l1、l2重合；（5）a=_____________时，l1⊥l2.答案：（1）3（2）2（3）3（4）-1（5）1.5知能训练习题3.1a组6、7.拓展提升。

3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案导学案

《两条直线平行与垂直的判定》【教学目标】 1．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直．2．通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．【教学重点、难点】重点：两条直线平行和垂直的条件．难点：启发学生把研究两条直线的平行或垂直转化为研究两条直线的斜率的关系．【教学环节】~一、复习回顾如图，直线AB 在平面直角坐标系中：（1）直线AB 的倾斜角为（填∠1或∠2）；（2）若∠1=60°，则直线AB 的斜率为；（3）若A(1，0),B(0，1),则直线AB 斜率为；二、新课引入}以身高测量仪器为例，请同学们分析其中蕴藏的直线间的平行与垂直关系等数学问题。

除了初中学习的用几何方法去判断两条直线的位置关系外，这节课将它引入平面直角坐标系，学习如何运用代数方法（斜率法）去判断两条直线的位置关系。

三、新课探知提出问题：若 21//l l ，则倾斜角 21,αα 有什么关系若21αα= 则21tan ,tan αα有什么关系若21tan tan αα=，则21,k k有什么关系（此过程可逆吗）用类似的方法分析：若21l l ⊥，则21,k k 有什么关系（此过程可逆吗）四、(五、例题精讲已知A(1，3),B(2，1),C(4，2),D(3，4):(1)试判断直线AB与CD、直线AD与BC的位置关系；(2)试判断直线AB与BC、直线AD与AB的位置关系；(3)试判断由A、B、C、D四点组成四边形是不是矩形。

六、:七、对点练习1.试确定m的值，使过点A（m,1），B（-1，m）的直线与过点P(1,2），Q（-5,0）的直线（不重合）（1）平行（2）垂直2.已知A(0，1),B(1，4),C(2,7），试判断直线AB与AC的位置关系及A、B、C三点的位置关系。

,八、课堂总结1.在平面直角坐标系中，如何通过斜率的关系判断两条直线平行2.在平面直角坐标系中，如何通过斜率的关系判断两条直线垂直九、课后作业教材389T P。

3.1.2两直线平行与垂直的判定(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

3.1.2两直线平行与垂直的判定学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.知道两条直线平行或垂直的判断条件．2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．【学习重难点】重点：两条直线平行和垂直的条件难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直3．下列各组点中，在同一直线上的是( )A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)C．(0，5)，(2，1)，(－1，7)D．(0，1)，(3，4)，(－1，－1)4．经过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则m＝________.【合作探究】(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．P．和一个倾斜角α．．．.们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例1、已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)例3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)【巩固练习】教材P89练习1、2题【当堂检测】1．下列说法中正确的是( )A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．13．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32 C.23 D.324．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形5． l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M(1，3)，N(－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．6．已知直线l 1经过点A(0，－1)和点B(－4a，1)，直线l 2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．【拓展延伸】已知A(－m －3，2)，B(－2m －4，4)，C(－m ，m)，D(3，3m ＋2)，若直线AB⊥CD，求m 的值．【课堂小结】(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.【课外作业】习题3.1第3、6题【教学反思】。

两条直线平行与垂直的判定学案（精选五篇）

两条直线平行与垂直的判定学案（精选五篇）第一篇：两条直线平行与垂直的判定学案《两条直线平行与垂直的判定》导学案学习目标：1.探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直.难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论.导入新课：1.倾斜角和斜率的概念.2.倾斜角的范围.3.已知直线上两点坐标，求直线的斜率.学习过程：一．自主学习（阅读教材P86----89）探究问题一：1.回想初中所学平面内两条直线的位置关系有哪些？2.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，当l1∥l2时，k1与k2有什么关系？例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.探究问题二：1.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,当l1 l2时，k1与k2有什么关系？2.两直线垂直的判定条件.例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.二.课堂检测1.判断下列各题中直线l1与l2的位置关系.(1)l1的斜率为1,l2经过点A(2,2)、B(3,3).(2)l1经过点A(0,2)、B(2,0),l2经过点M(2,3)、N(3,2).(3)l1的斜率为-5,l2经过点A(10,4)、B(20,6).(4)l1经过点A(4,3)、B(4,100),l2经过点M(-1,4)、N(1,4).2.已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是（）A、—8B、0C、2D、103.已知A(a,2)、B(3,b+1)且直线AB的倾斜角为90度，则a,b的值为_________________4.已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）,求点D坐标三.课堂小结：1.两直线平行与垂直的条件.2.在运用两直线平行与垂直的条件时应注意的问题.四.课堂反思:第二篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]3.1.2 两条直线平行与垂直的判定授课时间：第八周一、教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想第三篇：两直线平行与垂直的判定课题：两直线平行与垂直的判定一、学习目标：1.掌握用直线的斜率来判定两直线的平行。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定学案(人教A版必修2)

3．1.2 两条直线平行与垂直的判定【课标要求】1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．【核心扫描】1．利用斜率判定两直线是否平行或垂直．(重点)2．在含有字母的题目中，利用斜率判定两直线是否平行或垂直时，要注意直线的斜率是否存在．(易错点)新知导学1．两直线平行的判定(1)对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若直线l 1和l 2可能重合时，我们得到k 1＝k 2⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)若直线l 1和l 21∥l 2.温馨提示：(1)公式l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在，分别为k 1＝k 2；②l 1与l 2不重合．否则推导中α1＝α2⇒/ tan α1＝tan α2(此时tan α1，tan α2均无意义)．(2)当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得l 1∥l 2，这样两条不重合直线平行的判定的一般结论就是：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2或l 1，l 2斜率都不存在．2．两直线垂直的判定(1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.(2)0时，它们互相垂直．温馨提示 (1)两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零，否则由tan α2＝tan(90°＋α1)＝－1tan α1的式子就没有意义． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零．互动探究探究点1 若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示不一定，垂直于x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．探究点2 (1)如果两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于－1吗？(2)若两直线的斜率之积等于－1，这两条直线一定垂直吗？提示 (1)不一定；(2)一定.类型一两条直线的平行问题【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行：(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；(2)l 1经过点A (－3,2)、B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)、D (5，5)；(3)l 1经过点A (0,1)、B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)、D (2,0)．[思路探索] 依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1、l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．解 (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2. (2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.[规律方法] 利用斜率判定两直线平行要注意两点：①斜率是否存在；②两直线是否重合有时可借助图形加以判定．【活学活用1】 (1)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)，则l 1与l 2的关系是________．(2)经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与经过点P (2,0)且斜率为1的直线l 2平行，则x 的值为________．解析 (1)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(2)设直线l 1的斜率为k ，则k ＝3－x 3. ∵l 1∥l 2，∴k ＝1＝3－x 3，∴x ＝0. 答案 (1)平行或重合 (2)0类型二两条直线的垂直问题【例2】判断下列各题中的直线l 1，l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点P (－2，－1)，Q (2,1)；(2)l 1经过点A (3,4)，B (3,6)，l 2经过点P (－5,20)，Q (5，20)．[思路探索] 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或其中一个斜率为零另一个不存在进行判断，注意数形结合．解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，因为k 1·k 2＝1≠－1，所以l 1与l 2不垂直；(2)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率k 2＝20－205－(－5)＝0，所以l 1⊥l 2. [规律方法] 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条斜率不存在，另一条斜率为零，此时两直线也垂直，注意讨论的全面性．【活学活用2】 (1)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________．(2)已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析 (1)Δ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0，kl 1kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)设以A 、B 为直径的圆与x 轴的交点为P (x,0)，∵k PB ≠0，k P A ≠0，∴k P A ·k PB ＝－1，即0－3x ＋1·0－2x －4＝－1， ∴(x ＋1)(x －4)＝－6，而x 2－3x ＋2＝0.∴x ＝1或x ＝2，∴P 点坐标为(1,0)或(2,0)．答案 (1)垂直 (2)(1,0)或(2,0)类型三两条直线平行与垂直的综合应用【例3】已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状．[思路探索] 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．解由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．[规律方法] (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．【活学活用3】 △ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2. 方法技巧分类讨论思想在斜率及图形问题中的应用有关斜率的问题，首先应考虑斜率是否存在，若不能断定斜率一定存在，则要对斜率是否存在加以讨论；有关平面几何的形状问题，要考虑到图形的各种可能的情况，也需分情况讨论解决．【示例】已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求点D 的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．[思路分析] 在直角梯形ABCD 已确定A 、B 、C 三点且A 、B 、C 、D 按逆时针排列的条件下，应选一已知边如AB 按其作腰或底边两种可能进行分类讨论．解设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示，由于k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角边．(1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ∥BC ，∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝k BC ，∴y －3x＝0，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)． (2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AB ∥CD ，∵k AD ＝y －3x ，k CD ＝y x －3，k AB＝3， ∴y －3x ×3＝－1，y x －3＝3. 解得x ＝185，y ＝95，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫185，95. 所以，D 点坐标为(3,3)或⎝⎛⎭⎫185，95.[题后反思] 若ABCD 为直角梯形，则必有一边垂直于与它相邻的两边，且这一边与它相对的边不平行．因此可设出点D (x ，y )，将各边的斜率表示出来之后，建立斜率之间的关系即可.课堂达标1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )．A ．－3B ．3C ．－13 D.13解析因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3. 答案 B2．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( )．A ．0°B ．135°C ．90°D ．180°解析 ∵kl 1＝0且l 1⊥l 2∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°.答案 C3．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析 ∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a ＝4.答案 44．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析 k MN ＝m －32－m，由题意得k MN ·k ＝－1. 即m －32－m×(－4)＝－1，解得m ＝145. 答案 1455．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)、B (0，2－22)，C (4,2)，试判断△ABC 是否是直角三角形．解 AB 边所在直线的斜率k AB ＝(2－22)－(2＋22)0－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝(2－22)－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－(2＋22)4－2＝－ 2. ∵k CB ·k AC ＝－1，∴CB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形．课堂小结1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l 1、l 2存在斜率k 1，k 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k2(其中l1，l2不重合)；若l1、l2可能重合，则k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．利用斜率研究直线位置关系必须讨论斜率是否存在．3．利用斜率判定平面几何图形的形状，常先用图作出猜想，然后再证明.。

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案【人教版】高中数学必修

跟踪练习1：已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）求点D坐标
（二）判断两条直线的垂直关系
例3 .已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
例4.已知A(5,–1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.
跟踪练习2：直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(-1,y).若l1⊥l2，求x,y
三、课堂练习：课本89页练习1、2
四、探索研拓创新
1.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标.
2已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.
2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么，即
二、知识应用
（一）判断两条直线的平行关系
例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,–1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
3.若已知直线l1:ax+2y+6=0,直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0(a不为0)，试求a的值，使
（1）l1∥l2（2）l1⊥l2.
五、小结
（1）两条直线平行或Байду номын сангаас直的等价条件；
（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直
学习目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定导学案新人教A版必修2

第三章 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【学习目标】理解并掌握由直线斜率判断直线位置关系的方法。

【学习重点】通过直线斜率，判断两条直线的位置关系【知识链接】直线的倾斜角为α，则此直线的斜率=k αtan .当α______时，k>0；当α______时，k=0；当α______时，k<0；当α______时，k 不存在【基础知识】21//l l 时，21k k 与满足什么关系？21k k =时，21l l 与位置关系如何？21l l 与垂直，则21k k 与满足什么关系？121-=k k 时，21l l 与位置关系如何？【例题讲解】例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.变式迁移1 若A( -2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21 C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.变式迁移2直线1l ：ax+3y+1=0，2l ：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为21,αα，21,k k （1）a=_____________时， 1α=150°；（2）a=_____________时，2l ⊥x 轴；（3）a=_____________时，21//l l ；（4）a=_____________时，21,l l 重合；（5）a=_____________时，21l l ⊥答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5例3．判断以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形的形状.k AB ＝－1－12－－1＝－23. k AC ＝4－11－－1＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．【达标检测】1．下列说法正确的有(A )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2.则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．过点A (1,2)和点B (－3,2)的直线与x 轴的位置关系是( B )A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对3．经过(m,3)与(2，m )两点的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值为(D )A ．－75 B.75C ．－145 D.1454．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．45．过点A (0，73)，B (7,0)的直线l 1与过点C (2,1)，D (3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( B )A ．－3B ．3C ．－6D ．66．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2过点A (1,2)，B (2，a )．若l 1∥l 2，则a 值为____5 ____；若l 1⊥l 2，则a 值为___53_____． 7．已知M (1，－3)，N (1,2)，P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )＝___23_____. 8．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为(－9,0) 时，AB ⊥CD .9．(12分)当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan135°＝－1. 解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3，则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34，或m ＝－1. 10．(13分)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．【问题与收获】。

【人教A版】：3.1.2两条直线平行与垂直的判定精品导学案

第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定学习目标1.掌握两条直线的位置关系;2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直;3.通过本节课的学习,体验用斜率研究直线的一般思路,并体会数形结合思想和化归转化思想.自主学习一、设计问题,创设情境问题1:倾斜角和斜率是描述直线的什么特征的?它们又有哪些联系和区别?问题2:平面内两条直线有哪些位置关系?你学习过这些位置关系的判定和性质吗?这些判定体现了用什么研究直线?问题3:能不能用数来研究两直线的位置关系呢?为什么?合作探究问题4:怎样用直线的斜率来研究两直线的位置关系呢?请同学们自己来探究一下如何用斜率来研究两直线平行.问题5:你能用研究两直线平行的判定的策略探究一下两直线垂直的判定吗?要用斜率研究两直线的垂直关系,应该先探究直线的什么特征具有的规律?请大家探究一下,两直线垂直时,它们的倾斜角应该具备的关系.课堂练习1.已知点A(0,0),B(2,4),C(6,2),D(4,-2).(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系;(2)试判断直线AB与直线AD的位置关系;(3)试判断四边形ABCD的形状;(4)设点E(3,1),判断点A,E,C是否共线.2. 已知平行四边形ABCD中,点A(0,0),B(2,4),D(4,-2),求顶点C的坐标.反思小结问题6:今后的学习中我们可以怎样判断直线的位置关系?具体运用时,注意什么问题?问题7:用斜率来判定两直线的平行与垂直,这体现了什么思想?问题8:通过这节课的学习,你还有哪些收获?课后作业课本89页,习题3.1A组6,7.;B组第1,2,3,4,5,6题.参考答案自主学习问题1:都是描述直线的倾斜程度,或者说直线的方向. 倾斜角是几何图形,而斜率是数.斜率k是倾斜角α(α≠90°)的正切值,即k=tanα.问题2:平行、相交(垂直). 这些判定是用同位角、内错角、同旁内角之间的关系以及90°的角等来研究直线的位置关系,总而言之是用角来研究两直线的位置关系的.问题3:能,因为斜率确定了直线的方向,而两直线的方向决定了两直线的位置关系.合作探究1.两直线平行的判定问题4:l1∥l2⇔α1=α2⇔k1=k2或直线l1和l2的斜率都不存在.2.两直线垂直的判定问题5:能,应先探究两直线垂直时,它们的倾斜角具有的规律.l1⊥l2⇔α2=α1+90°⇔k1k2=-1或两条直线中或一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在.课堂练习1.解:(1)因为k AB=2,k CD=2,所以直线AB和直线CD平行或共线,又k AC=≠2,所以直线AB和直线CD平行.(2)因为k AD=-,所以k AB k AD=-1,所以直线AB与直线AD垂直.(3)因为k BC=-,由(1)(2)可知,四边形ABCD是矩形.(4)因为k AE==k AC,且有公共点A,所以点A、E、C共线.2.解:设点C的坐标为(x,y),因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AD∥BC,所以k AB=k CD,k AD=k BC,故,且,解得x=6,y=2,所以顶点C的坐标为(6,2).反思小结问题6:用斜率来判定,运用时应考虑斜率是否存在,若不确定,应该分类讨论.问题7:数形结合思想.问题8:分析问题要考虑全面,解决问题时要始终带着目标.通过合作交流,可以使我们的眼界更宽,思维更灵活,效率更高!教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。