甘肃省宁县第五中学八年级数学下册18平行四边形复习教案2(新版)新人教版【精品教案】

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八年级数学下册 18 平行四边形复习(一)教案 (新版)新人教版

第18章平行四边形复习一、复习目标1、经历平行四边形基本性质，常见判定方法的复习交流过程，使学生学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础．2、让学生理解平面几何观念的基本途径是多种多样的，感知和体验几何图形的现实意义，体验二维空间相互转换关系．3、通过对正方形的探索学习，体会它的内在美和应用美.二、课时安排1课时三、复习重难点重点：平行四边形的性质以及判定．难点：定理的综合应用．四、教学过程(一)知识梳理1、平行四边形定义：2、平行四边形的性质：3、平行四边形的判定：4、三角形的中位线概念：5、三角形的中位线三角形的第三边，且等于第三边的 .6、一个三角形有中位线。

(二)题型、技巧归纳考点一平行四边形的定义例1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。

考点二平行四边形的性质例2．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为多少？考点三平行四边形的判定例3、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点四三角形中位线例4．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为。

（三）典例精讲1.如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm2.如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm3.如图,在平行四边形ABCD中,AD=5cm,AB⊥BD,点O是两条对角线的交点,OD=2 cm,则AB=＿＿＿＿＿＿cm.4.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为＿＿＿＿＿＿.5.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是＿＿＿＿＿＿.6.已知,如图,O为▱ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB,CD交于点M,N,点E,F 在直线MN上,且OE=OF.(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证:∠MAE=∠NCF.（四）归纳小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．在平行四边形的综合应用时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D= , ∠BCD=______．2.平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A．大于2， B．小于14C．大于2且小于14 D．大于2或小于123、如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=8，∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。

八年级数学下册第18章平行四边形第2课时平行四边形的性质2教学案新人教版

第2课时——平行四边形的性质（2）一．教学目标：理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．二．教学重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．教学重点：培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。

三．教学过程（一）、复习导入平行四边形的定义：的四边形叫做平行四边形。

平行四边形对边平行且；平行四边形对角。

（二）讲授新课通过观察或者度量填写下列空格1.平行四边形的性质3：对角线的性质已知：如图，▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O求证：OA=OC ，OB=OD即平行四边形的对角线互相平分。

用几何语言∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO= =12 ， BO= =12 ， 2．例题：在ABCD 中，AB=10，AD=8，AC ⊥BC ，求BC ，CD ，AC ，OA 的长以及ABCD 的面积。

（三）课堂练习 1、如图，已知AB=5㎝，AD=8㎝，AC=6㎝， BD=12㎝，则AO= = ㎝，BO= = ㎝，△AOB 的周长是㎝O A D D B A2.平行四边形的对角线把平行四边形分成了对全等的三角形。

3.在 ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，指出图形中相等的线段。

4．如图，在ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为20，AB=8，那么对角线AC 与BD 的和是多少？解：∵△AOB 的周长为20（已知）∴ ＋＋AB=20，∵AB=8∴AO ＋BO= ∵在ABCD 中，∴AO = =12 ，，BO= = 12 ，（平行四边形对角线）∴AC ＋BD = 2 +2 =2( )=答：对角线AC 和BD 的和是。

第1题第3题第4题（四）课堂小结这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业（六）反思OA D八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．5，6，11 B．3，4，8 C．5，6，10 D．6，6，13【答案】C【分析】根据三角形的两边和大于第三边解答.【详解】A、5+6=11，故不能构成三角形；B、3+4<8，故不能构成三角形；C、5+6>10，故能构成三角形；D、6+6<13，故不能构成三角形；故选：C.【点睛】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A．352294x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．354494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.3．如图，中，，点在边上，且，则的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．72°【答案】D【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC 与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠C的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，可得，解得：x＝36°，则，故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，AE、EF 为折痕，点C 落在AD 边上的G 处，并且点B 落在EG 边的H 处，若AB=，∠BAE=30°，则BC 边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】利用三角函数求出直角三角形各边长度，再证明△AEC1和△CC1E是等边三角形，即可求出BC长度。

八年级数学下册18.2 特殊的平行四边形学案(新版)新人教版

八年级数学下册18.2 特殊的平行四边形学案（新版）新人教版18、2 特殊的平行四边形一、学习目标1、明白矩形，菱形，正方形是特殊的平行四边形；并掌握它们的性质和判定。

2、在自主学习过程中，渗透类比及观察的方法，用运动的思想发现矩形的性质。

培养学生的观察力和探究能力和逻辑思维能力。

3、激发学生的学习兴趣和由量变到质变的观点。

二、学习重难点矩形，菱形，正方形的性质和判断。

三、学习过程第一课时矩形的性质（一）构建新知1、对边相等的四边形是____________四边形。

2、阅读教材52～53页（1）命题：①矩形是平行四边形；②平行四边形是矩形。

其中真命题是__假命题是____。

（2）矩形除了具有平行四边形的性质外，还有①________________________；②____________________________。

（3）直角三角形斜边上的中线等于_______的一半。

（4）学习例1（二）合作学习1、教材53页练习（三）课堂检查1、平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－2，－1)，C(1，－1)，若四边形ABCD是矩形，那么点D的坐标是。

2、矩形的周长为34，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的和为43，则对角线长为。

3、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A、对边相等B、对角相等C、对角互补D、对角线平分4、如图1，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点、若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为( )。

A、8B、6C、4D、35、选做题（1）如图2，四边形ABCD为矩形纸片、把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF、若CD ＝6，则AF等于（）A、B、C、D、（2）如图3，已知△ABC的周长是16，F，G分别是AB和AC 边的中点，并以AB，AC为斜边做Rt△AEB和Rt△ADC。

求：EF＋FG＋DG的值。

八年级数学下册18平行四边形复习一教案新版新人教版

(二)题型、技巧归纳考点一平行四边形的定义例1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计

4.培养学生运用平行四边形的相关知识解决实际问题，如计算面积、周长、角度等。
（二）过程与方法
1.通过复习课的教学，引导学生自主探究、合作交流，提高学生的几何逻辑思维能力。
2.利用实际问题，激发学生的兴趣，培养学生的几何直观和空间想象能力。
3.设计具有层次性的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步提高解题能力和技巧。
（2）从生活中寻找一个实例，运用平行四边形的性质和判定方法进行分析，并简要说明。
2.选做题：
（1）探究题目：矩形、菱形、正方形各自具有哪些独特的性质？它们之间的关系是什么？
（2）拓展题目：运用平行四边形的性质，解决以下问题：一个平行四边形的对角线互相垂直，求证该平行四边形是菱形。
3.小组合作任务：
以小组为单位，设计一道关于平行四边形的实际问题，要求包含平行四边形性质和判定方法的应用。小组成员共同讨论，解决问题，并在课堂上进行展示。
7.总结提炼，形成知识体系
在复习课结束时，引导学生总结平行四边形的知识点，形成完整的知识体系，提高学生的归纳、总结能力。
8.拓展延伸，激发兴趣
设计一些拓展性问题和实际应用题，激发学生的学习兴趣，提高学生的创新思维和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：利用多媒体展示一组生活中常见的平行四边形实物图片，如建筑物的立面、操场上的跑道等，引导学生观察并说出这些图形的共同特征。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握平行四边形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等，并能运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生运用平行四边形的判定方法，如两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，识别和构造平行四边形。

八年级数学下册 18 平行四边形复习教案2 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学教案

情感态度价值观
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力
教材分析
重难点
重点：理解和掌握几种常见特殊四边形的性质、判定．.
难点：发展合情推理和初步的演绎推理能力．
教学设想
教法
三主互位导学法
学法
小组合作学习法
教具
幻灯片
课堂设计
目标展示
经历平行四边形基本性质，常见判定方法的复习交流过程，学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础
A．3 B．6 C．12D．24
精讲点拨
如图，是四边形的对角线上两点，．求证：（1）．
（2）四边形是平行四边形．
当堂检测
1、□ABCD中, AB：BC=1：2，周长为24cm,则AB=_____cm,
2、如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，
CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形；
预习检测
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
质疑探究
1.如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2.如图，□ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．平Fra bibliotek四边形课题
平行四边形复习课
授课时间
课型
复习
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
教学目标
知识与技能
经历平行四边形基本性质，常见判定方法的复习交流过程，使学生学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础．

八年级数学下册 18 平行四边形复习学案2(新版)新人教版

八年级数学下册 18 平行四边形复习学案2（新版）新人教版1、矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50的角、对角线与各边组成的角是多少度？2、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD、⑴ 试判断四边形OCED的形状，并说明理由；⑵ 若AB＝3，BC＝4，求四边形ADEC的面积、3、如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E、求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形、4、如图，在△AB C中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O、BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND、）教师二次备课备课教师：5、如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B＝90，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A出发，以的速度向点D运动；点Q从C 点同时出发，以的速度向B运动、其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止、从运动开始，设经过多少时间为秒、⑴当为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？⑵当为何值时，四边形PQCD成为成为等腰梯形？6、求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和、课后作业14－－复习课2 （课时14）一、选择题：1、四个角都相等的四边形是（ A ）A、矩形B、菱形C、正方形D、直角梯形2、如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是（ B ）A、平行四边形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、若菱形的周长为，高为，则菱形两邻角的度数比为（ C ）A、3:1B、4:1C、5:1D、6:14、若平行四边形两个内角的度数比为1:2，则其中较小的内角是（ B ）A、B、C、D、5、菱形具有而平行四边形不一定具有的是（ C ）A、对角线互相平分B、对角线相等C、对角线互相垂直D、对边相等6、矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ C ）A、对角线互相平分B、对角相等C、对角线相等D、对边相等7、在矩形ABCD中，AB＝8，AC＝14，对角线AC与BD相交于点O，则△AOB的周长等于（ C ）A、18B、20C、22D、24二、填空题8、□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝20，AB ＝6，则△COD的周长为16 、9、菱形ABCD中，AB＝AC＝2，则∠B＝60 ，、10、菱形ABCD中，AC与BD相交于O，AC＝6，BD＝8，则菱形的周长为20 ；菱形的面积为24 、11、菱形ABCD中，AC是它的一条对角线，若∠BAC＝25，则∠BAD＝50 、12、矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝50，则∠ACB＝25 、13、菱形ABCD中，∠B＝30，AB＝4，则、14、边长为的正方形的对角线长为2 ，面积为2 、15、如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点C/处，折痕为EF，若∠ABE＝20，那么∠EFC/的度数为度。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习教案

人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习教案【思维导图】【教学目标】知识与技能目标1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.过程与方法目标1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.情感、态度与价值观目标引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【教学重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【教学难点】平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.【知识梳理夯实知识基础】专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.例1已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).〔解析〕(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D 在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF－BF=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE －CE=DF－DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE＋DG=CE,从而可得AB=AC=EC＋AE=DE ＋DG＋DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF.∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠FDB=∠B,∴DF=FB,∴DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF－DE.(3)AB=DE＋DG＋DF.[解题策略]本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【跟踪练习1】△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.〔解析〕(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.(3)成立.证明如下:∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例2如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD 的面积.〔解析〕(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,∴四边形EFGH是矩形.解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4(cm)∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).[解题策略]本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【跟踪练习2】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.〔解析〕作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.[规律方法]在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.例3 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.〔解析〕(1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.理由如下:∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边,∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,从而可知∠EFD=∠BCD.[规律方法](1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【跟踪练习3】如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC 于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.〔解析〕(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥AE,∵EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形,∵DE是∠ADC的平分线,∴∠1=∠2,∵DF∥AE,∴∠2=∠AED,∴∠AED=∠1.∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.解:(2)∵∠BAD=60°,∴△AED为等边三角形.∴DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,∴OA==,∴AF=5.=DE·AF=×5×5=.∴S菱形AEFD[解题策略]此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质及其应用【专题分析】涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例4如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.〔解析〕本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【跟踪练习4】在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图(2),若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.〔解析〕对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,∵点E是点B关于直线PA的对称点,∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.∵∠PAB=20°,∴∠PAE=20°,∠BAE=40°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°,∴∠ADF=∠AED=(180°-∠EAD)=25°.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∴∠AEF=∠ADF,∴∠ABF=∠ADF,∵∠AGB=∠DGF,∴∠DFG=∠BAG=90°.在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,∴2AB2=BD2.在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=2AB2.专题五三角形的中位线定理【专题分析】单独考查三角形中位线知识的题目多以选择题和填空题的形式出现,与平行四边形、三角形等知识综合的题目多以解答题的形式出现.例5如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?〔解析〕(1)由三角形中位线定理,得DE∥BC.又EF∥AB,故得结论.(2)四边形DBFE是平行四边形,则只要有一组邻边相等即可,故可选择条件AB=BC.证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.解:(2)本题答案不唯一.当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:∵D是AB的中点,∴BD=AB.由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.∵AB=BC,∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.【跟踪练习5】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证BN=DN;(2)求△ABC的周长.〔解析〕(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论.(2)先判定MN是△BDC的中位线,从而得出CD的长,由(1)可得AD=AB=10,从而计算周长.证明:(1)在△ABN和△ADN中,∴△ABN≌△ADN(ASA),∴BN=DN.解:(2)∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,又∵点M是BC中点,BN=DN,∴MN是△BDC的中位线,∴CD=2MN=6,故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.[解题策略]本题考查了三角形的中位线定理,一般出现高与角平分线重合的情况,都可以找到等腰三角形.专题六直角三角形斜边上的中线的性质【专题分析】这个知识点运用较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与其他知识综合考查.例6如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC 的中点,连接EF交CD于点M,连接CE,AM.(1)求证EF=AC.(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.〔解析〕(1)根据等腰三角形的“三线合一”及CD=CB,点E为BD的中点,可得△AEC是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由点F为AC的中点,可得结论;(2)当∠BAC=45°时,可得△AEC为等腰直角三角形,由线段垂直平分线的性质可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.证明:(1)∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD,∴∠AEC=90°.又∵F为AC的中点,∴EF=AC.解:(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°,∴AE=CE.又∵F为AC的中点,∴EF⊥AC,∴EF为AC的垂直平分线,∴AM=CM,∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.【跟踪练习6】如图所示,一根长为2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.〔解析〕(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据是在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP 时,△AOB的面积最大,再求解.解:(1)不变.理由如下:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,∵斜边AB不变,∴斜边上的中线OP不变.(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP时,即△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,理由如下:如图,设高为h,若h与OP不相等,则总有h<OP,∵AB长度不变,∴根据三角形的面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时,S△AOB= AB·h=×2a·a=a2.∴△AOB的最大面积为a2.[解题策略]此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,理解△AOB的面积在什么情况下最大是解决本题的关键.专题七折叠问题【专题分析】折叠问题,由于四边形中的每一个知识点都可以涉及,且经常与三角形全等,等腰三角形,等边三角形,直角三角形等知识综合,因此可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例7 对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',如图(1);第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图(2).(1)求证∠ABE=30°;(2)求证四边形BFB'E为菱形.〔解析〕(1)根据点M是AB的中点判断出A'是EF的中点,然后判断出BA'垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=BF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A'BE=∠A'BF,根据翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE,然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证;(2)根据翻折变换的性质可得BE=B'E,BF=B'F,然后得出BE=B'E=B'F=BF,再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.证明:(1)∵对折后AD与BC重合,折痕是MN,∴点M是AB的中点,从而可知A'是EF的中点,∵∠BA'E=∠A=90°,∴BA'垂直平分EF,∴BE=BF,∴∠A'BE=∠A'BF,由翻折的性质,得∠ABE=∠A'BE,∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF,∴∠ABE=×90°=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F,∵BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.[思维模式]解答折叠问题的一般思路:分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴,利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角,再进行相关的计算或证明.【跟踪练习7】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B 沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,求BE的长.解:(1)点B'落在AD上时,∠B'EC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,AD∥BC,由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',可知四边形ABEB'为正方形,∴BE=AB=3.(2)点B'落在AC上时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°﹒由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB'=3,BE=B'E,∴∠EB'C=90°﹒在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC==5,∴CB'=AC-AB'=5-3=2.设B'E=BE=x,则CE=4-x,在Rt△B'CE中,由勾股定理得x2+22=(4-x)2,解得x=,即BE=﹒[归纳总结]探索动态与存在性问题的综合题,首先利用存在性的不同情况进行分类讨论;再确定位置,画出相应的图形;利用几何图形的性质、勾股定理等解决问题,求出存在性的条件.专题八四边形中的动点问题以及图形变换问题【专题分析】动点问题,一般难度较大,综合性强,常常以选择题、填空题的形式出现,分值为3分,大都将四边形的问题转化成三角形的问题解决.例8如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?〔解析〕(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证得△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,故EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.证明:(1)在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF,∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.解:(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1)得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.[归纳总结]本题(2)问属于证明线段和差的问题,实质上是证明两条线段相等,注意运用平行四边形和特殊平行四边形的性质.在需要时,添加适当辅助线构造三角形,利用全等三角形的性质解决问题.【跟踪练习8】如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B停止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s,△DEF为等边三角形,则t的值为.〔解析〕连接BD,如图.由已知条件得到△ADB是等边三角形,再由经过t s,△DEF为等边三角形,可推导出△ADE与△BDF全等,根据全等三角形的对应边相等,可得AE=BF,列出方程即可求解.在菱形ABCD中,∠ADC=120°,AB=AD,∠DAB=180°-∠ADC=60°,∴△ADB是等边三角形,∴AD=DB,∠ADB=60°,∵△DEF为等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°,∴∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB,即∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中, ∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,解得t=.故填.[解题策略]本题是动点问题.以菱形为背景,菱形中有一个内角为120度,连接较短的一条对角线,就有2个等边三角形.两个动点经过运动,在菱形内部与菱形的一个顶点构成等边三角形,可以从全等三角形的探寻着手,构造出正确的方程再求解.专题九数形结合思想【专题分析】在四边形这一章中,数形结合思想应用广泛.一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,有时需要自己结合题意画图,使问题的解决更加直观,解题效率事半功倍.例9菱形ABCD中,若对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,则边长AB=cm.〔解析〕根据菱形的对角线互相垂直平分,求出对角线长的一半,然后利用勾股定理列式计算即可得解.如图,设AC,BD交于点O,∵菱形ABCD中,对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,∴AO=AC=4 cm,BO=BD=3 cm.∵菱形的对角线互相垂直,∴在Rt△AOB中,AB===5(cm).故填5.[归纳总结]本题考查了菱形的性质和勾股定理,需要自己画图,让问题迎刃而解.【跟踪练习9】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC边的A'处,折痕所在直线同时经过边AB,AD(包括端点),设BA'=x,则x的取值范围是.〔解析〕本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,难点在于判断出BA'的最小值与最大值时的情况,作出图形更形象直观.作出图形,根据矩形的对边相等可得BC=AD,CD=AB,当折痕经过点D时,根据翻折的性质可得A'D=AD,利用勾股定理列式求出A'C,再求出BA';当折痕经过点B时,根据翻折的性质可得BA'=AB,此两种情况为BA'的最小值与最大值的情况,然后写出x的取值范围即可.∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,∴BC=AD=17,CD=AB=8.①当折痕经过点D时,如图(1).由翻折的性质得A'D=AD=17,在Rt△A'CD中,A'C===15.∴BA'=BC-A'C=17-15=2.②当折痕经过点B时,如图(2).由翻折的性质得BA'=AB=8.∴x的取值范围是2≤x≤8.故填2≤x≤8.[归纳总结]一般是先根据折叠得出对应的图形全等,对应的线段相等,对应的角相等,再根据勾股定理及直角三角形的相关知识计算线段的长度,问题便迎刃而解.专题十方程思想【专题分析】在本章中,方程思想应用广泛.一般以选择题、填空题的形式出现,每个小题3分,一般是四边形的知识与勾股定理结合起来考查.例10如图,矩形ABCD 中,AB =8,点E 是AD 上的一点,AE =4,BE 的垂直平分线HF 交BC 的延长线于点F ,连接EF 交CD 于点G ,若G 是CD 的中点,则BC 的长是 . 〔解析〕本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质,解题的关键是通过勾股定理列出方程再求解.∵G 是CD 的中点,∴DG =CG =4.在△DGE 与△CGF 中, ∴△DGE ≌△CGF.∴CF =DE ,FG =EG.令BC =AD =x ,则CF =DE =x -4,∴BF =2x -4.在Rt △DGE 中,根据勾股定理可得EG ==.∵HF 垂直平分BE ,∴EF =BF ,∴(2x -4)2=4[(x -4)2+42],解得x =7.故填7.【跟踪练习10】如图，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重为334cm 2，则这个旋转角度为_________叠部分的面积度．〔解析〕设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ；由于A′B=BC ，易证得△A′BE ≌△CBE ，因此两者的面积相等，即可根据△CBE 的面积求得CE 的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE 、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．解：设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ．∵A′B=BC ，BE=BE ，∴Rt △A′BE ≌Rt △CBE ．（HL ）∴∠A′BE=∠EBC ，且S △BA′E =S △BCE =332．在Rt △BCE 中，BC=2，则：S △BCE =21×2×CE=332，∴CE=332． ∴tan ∠EBC=BC EC =33，即∠EBC=30°． ∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°－∠A′BC=30°．故旋转的角度为30°．[点评]此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．【跟踪练习11】如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB ,点G ,H 分别在AD ,BC 上,连接BG ,DH ,且BG ∥DH ,当AG= AB 时,四边形BHDG 为菱形.〔解析〕根据四边形BHDG 为菱形可以得到四条边都相等,设其边长为x ,利用勾股定理列方程求解即可得到答案.在矩形ABCD 中,AD =3AB ,不妨设AB =1,则AD =3,∵四边形BHDG 为菱形,∴BG =GD ,不妨设BG =GD =x ,则AG =3-x ,在Rt △ABG 中,12+(3-x )2＝x 2,解得x =35,∴AG ＝AD －GD ＝3AB －35AB ＝34AB .专题十一分类讨论思想【专题分析】分类讨论思想的应用广泛,应用时,常常运用数形结合法,先画出所有几何图形,再分类讨论,解决问题.可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例11如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A ,C 的坐标分别为A (10,0),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 为线段BC 上的点.小明同学写出了一个以OD 为腰的等腰三角形ODP 的顶点P 的坐标(3,4),请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标: .〔解析〕根据点A ,C 的坐标求出OA ,OC 的长,再根据线段中点的定义求出OD =5,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,由已知点P (3,4)判断出OP =OD ,再根据PD =OD 利用勾股定理求得DE 的长,然后分点E 在点D 的左边与右边两种情况求出OE ,然后写出点P 的坐标即可.∵A (10,0),C (0,4),∴OA =10,OC =4.∵点D 是OA 的中点,∴OD =OA =×10=5.过点P 作PE ⊥x 轴于E ,如图,则PE =OC =4,∵P (3,4),∴OP ==5,∴此时OP =OD.当PD =OD 时,由勾股定理得DE =3,若点E 在点D 的左边,则OE =5-3=2,此时,点P 的坐标为(2,4).若点E 在点D 的右边,则OE =5+3=8,此时,点P 的坐标为(8,4).综上所述,其余的点P 的坐标为(2,4)或(8,4).故填(2,4)或(8,4).[归纳总结] 本题是代数与几何的综合题,用到的数学思想方法较多,如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等.做题时要灵活运用数学思想来解决问题,结合图形会由点的坐标转化为线段的长度,根据分类讨论思想以OD 为腰的等腰三角形分OP =OD ,DP =OD 两种情况,同时DP =OD 时,点P 的坐标又分两种情况.要想正确地解答此题,必须综合利用矩形、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识解决问题.【跟踪练习12】在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1,a (a >1)的纸片,先减去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…,依此类推,请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a 的值.〔解析〕本题重点考查了学生的操作能力和数学中分类讨论思想的应用,解题的关键是掌握裁剪时的横竖组合.裁剪方向有横向和竖向两种,根据裁剪次数和a >1,可分为3竖;2竖一横;1竖两横;1竖1横1竖共四种情况,画出图形后利用菱形的性质求解.如图(1),此时a =4.如图(2),此时a =2+21=25.如图(3),此时a =1+31=34.如图(4),此时a =1+32=35.(1) (2) (3) (4)[归纳总结] 对于图形分割类问题,一般要抓住分割时的要求,通过分类讨论的方法找到分割的所有可能的结果.。

八年级数学下册第18章平行四边形第2课时平行四边形的性质2教学案新人教版

4．若一个正方形的面积为(ɑ+1)(ɑ+2)+ ，则该正方形的边长为（）
A． B． C． D．
5．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，则下列结论不正确的是（）
A．斜边长为10cmB．周长为25cm
C．面积为24cm2D．斜边上的中线长为5cm
6．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）
①求证：四边形BFGP是菱形；
②当AE=9，求的值．
20．（6分）某商店在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.如果要盈利1 200元,那每件降价多少元?
二、填空题
11．如图，E是▱ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB=AE，∠F=50°，则∠D= ____________°
12．如图，O为数轴原点，数轴上点A表示的数是3，AB⊥OA，线段AB长为2，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点C．则数轴上表示点C的数为_________.
A．14B．13C．14 D．14
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）
A．45°B．15°C．10°D．125°
8．某班位男同学所穿鞋子的尺码如下表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（）
尺码数
人数
A． B． C． D．
9．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）
平行四边形对角。

人教版八年级下册第十八章平行四边形复习教案

《平行四边形》复习课教案【教学目标】1、知识与技能：通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；2、过程与方法：正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、情感态度和价值观：引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

【学情分析】授课对象是八年级的学生，经过初中一年多的学习，学生已经掌握了平行、垂直、相交、三角形等相关知识，并且有了一定的合情说理能力，经过本章前一部分的学习，学生已经基本掌握了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及它们的判定，但是在学习平行四边形、菱形、矩形和正方形时，知识都相对比较独立，学生对这些特殊的平行四边形之间的关系掌握得还不是很好，比较陌生。

【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。

【教学模式】以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率【教学过程】一、以题代纲，梳理知识（一）开门见山，直奔主题同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。

八年级数学下册18平行四边形1811平行四边形的性质2教案新人教版

18.1.2 平行四边形性质 (2)【学习目标】1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。

2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算。

【重点难点】重点：平行四边形的对角线互相平分难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达。

【导学指导】复习旧知：1.平行四边形是如何定义的？生活中有什么物体是平行四边形形状的？2.前面我们学习了平行四边形的哪些性质？3.我们是如何证明平行四边形的这些性质的？学习新知：如图，在ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？1.你能证明你叙述的对角线的特征吗？2.你发现了吗？平行四边形的问题都是如何解决的？归纳知识点:定理：平行四边形的对角线互相平分．我们证明了平行四边形具有以下性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.3.教材44页例题2讲解变式在上题中，直线EF过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．4.例3 如图，直线a∥b，A，B为直线a上的任意两点，点A 到直线b 的距离和点B 到直线b 的距离相等吗？为什么？【课堂练习】1.教材练习第1，2题。

2.已知平行四边形ABCD的周长是48cm，AB比BC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？3.在平行四边形ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C的度数。

4.平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△COB的周长大8cm，则AB= ，BC= 。

【要点归纳】平行四边形的图形平行四边形的边平行四边形的角平行四边形的对角线2.解决平行四边形问题的常用辅助线是什么？3.你还有哪些收获？2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A ．1,2,3B ．7,12,13C ．5,8,10D ．15,20,252．下列根式是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是A ．B ．C ．D ．4．下列各式中计算正确的是（）A 235=B ．232325=+=C 49235+=+=D 5593= 5．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．一次数学测试中，小明所在小组的5个同学的成绩（单位：分）分别是：90、91、88、90、97，则这组数据的中位数是（）A ．88B ．90C ．90.5D ．917．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。

八年级数学下册第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定学案2(新人教版)

八年级数学下册第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定学案2(新人教版)1、掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法、2、会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题、学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法、学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用、学习过程：一、自主学习（10分钟）平行四边形的判定方法有那些？取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？自学检测1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、已知：如图，在中，AB=CD AB∥CD,求证：、证明：2、几何语言表述：∵AB=CD,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形、二、合作学习（25分钟）典例分析已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF针对训练已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F、求证：四边形BEDF是平行四边形、三、互助学习（综合应用拓展）要求小组互助互评如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形、四、课堂检测（10分钟）1、如图，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC周长为8，则PD+PE+PF= 。

2、四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E， DF 平分∠ADC交BC于点F，求证：四边形BFDE是平行四边形。

3、已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，求证：四边形EGFH为平行四边形。

4、如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120，∠B=60，∠BCD=150，求AD的长。

八年级数学下册 18 平行四边形复习(二)教案新人教版(2021年整理)

八年级数学下册18 平行四边形复习（二）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册18 平行四边形复习（二）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第18章平行四边形一、复习目标1、通过对几种平行四边形的回顾与思考,使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法等；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

二、课时安排1课时三、复习重难点重点：梳理矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

难点：各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。

四、教学过程(一)知识梳理1、矩形的定义:2、矩形的性质:3、直角三角形斜边上的中线等于斜边。

4、矩形的判定:5、菱形：6、菱形的性质：7、菱形的判定：8、正方形定义：9、正方形的性质：10、正方形的判定(二）题型、技巧归纳考点一矩形有关问题例1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°考点二菱形有关问题例2、如图，小强拿一张正方形的纸（图（1)），沿虚线对折一次得图(2），再对折一次得图（3)，然后用剪刀沿图（3)中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的形状一定是（ )A．一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形考点三正方形有关问题例3、在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC,垂足分别是点E、F.求证：DP=EF（三）典例精讲已知：如图1,□ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．求证：O E=OF．变式1：在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？变式2:在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？（四）归纳小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．各种特殊平行四边形的综合应用时要注意哪些问题？（五）随堂检测1.如图,在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．A.4 B。

八年级数学下册-18章平行四边形总复习教案

18章平行四边形总复习教案【教材分析】教学目标知识技能1.能进一步明确特殊四边形间的区别与联系；2.能熟练应用特殊四边形的性质和判定进行有关的证明与计算.过程方法发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会特殊四边形的性质与常用的判别方法．情感态度在回顾与思考的过程中，让学生进一步领会特殊与一般的关系，•逐渐理解类比、转化等一些重要的数学思想．重点进一步明确特殊四边形间的区别与联系，熟悉特殊的平行四边形的性质和判定.难点能熟练应用特殊四边形的性质和判定进行有关的证明与计算.【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课知识回顾一、回顾练习1．菱形具有而矩形不具有的性质是( )A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．对角线相等2.下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形3. 已知四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是____ _____ _（只需要填一个你认为正确的条件即可）.二.回顾四边形与特殊四边形的关系，画出关系图：教师出示问题，学生回顾整理：1..B2.C3. AD=BC或AB∥CD本组题着重检查学生平行四边形、矩形、菱形、正方形性质及判定理解和掌握情况，让学生尝试回答，教者适时补充．第3题是开放型问题，答案不唯一，有效地检查学生对平行四边形判定的掌握情况．教者可以从学生完成正确率上判断学生掌握情况，为下一步复习埋下伏笔．综合例1 如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．教师出示例题1学生自主探究合作交流，展示评价教师适时点拨解：(1)证明：∵AB∥CN，∴∠1＝∠2.运用[解析] (1) 利用“AAS”或者“ASA”证明△AMD≌△CMN，得AD＝CN，然后利用AD＝CN，AD∥CN证明四边形ADCN是平行四边形．(2)利用直角三角形的性质得AN的长，然后利用勾股定理求得AM的长，从而计算出Rt△AMN的面积，而S平行四边形ADCN＝4S△AMN.[归纳总结] 当有一组对边平行，在证明四边形是平行四边形时，有两条路可选：其一是证明这组对边相等，其二是证明另一组对边平行．平行四边形面积的计算可利用底×高，也可利用S平行四边形ADCN＝2S大△＝4S小△.例2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1)求证：CE=CF.(2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？(1)证明∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE=CF．(2)GE=BE+GD成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠BCD=∠ECF=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．在△AMD和△CMN中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，四边形ADCN为平行四边形，∴CD＝AN.(2)∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，∴AN＝2MN＝2.在Rt△AMN中，AM＝AN2－MN2＝22－12＝ 3.∴S△AMN＝12AM·MN＝12×3×1＝32.∵四边形ADCN是平行四边形，∴S平行四边形ADCN＝4S△AMN＝4×32＝2 3.教师出示例2.教师要求学生先尝试独立思考，再小组讨论、交流.∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF．∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．矫正补偿1.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是.2如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为( )A.1B.2C.3D.43．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是.⑵对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是矩形。

【最新】人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形复习》学案

新人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形复习》学案
教学目标
知识与技能复习平行四边形的性质和判定定理
过程与方法
在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力.
情感态度价值
观
培养学生的归纳总结能力。

教
材分析重难点
重点：平行四边形的性质和判定定理.
难点：平行四边形的性质和判定定理.
教学设想教法三主互位导学法学法小组合作学习法教具幻灯片
课堂设计目标展示
1.平行四边形的性质和判定定理.
2.平行四边形的性质和判定定理.
预习检测
ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为
．
质疑探究
如图，Y ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于（）
精讲点拨
已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．
当堂检测
1．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点．若再增加一个条件＿＿＿＿＿
＿＿＿＿，就可得BE=DF．
2．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1 = _______度．
3．如图，把矩形ABC D沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60o，且DE=1，则边BC的长为．
4．已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．
作业布置
P67页1,2题
板书设计.平行四边形
性质：
判定：
教
学
反
思
第1题第2题第3题。

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