线性代数 第六章二次型
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数(慕课版)第六章 二次型
3
5
5 5
A 3
5
2
3
0
2
3 5
2 1 1 2
3 2 0
1 2 0
3 5 3 3
0 5 5
2 5
1 5
2 1
3
0 3
0 0
1
0
2
3 2
0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0 3
0 0
1
0
2
3
2 0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0
0
1
2 3 2
解 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 2x22 2x32 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 A 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 3 3 0 0 0
A 的秩为2.
A的特征值.
16
利用正交变换法化二次型为标准形
例1 求正交变换X PY，把二次型f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 4x2x3 化为标准形.ຫໍສະໝຸດ ，其中1，2，，n
为A
的n
个特征值.
n
定理5.4推论 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
PT AP .
定理6.1 任给实二次型f X T AX，总存在正交变换X PY，使得
f (x1, x2 , , xn ) X T AX 1 y12 2 y22 n yn2，其中1, , n为f 的矩阵
, xn ) x12 x22
x
2 p
线性代数第6章
18
练习 已知
问：以上两矩阵是否相似，是否合同，为什么？ 思路
19
是对角阵，其特征值为1, 1, 3；而 阵，定可正交对角化，问题是
为实对称
的特征值如何？
19
练习 已知二次曲面方程
可经过正交变换 求 的值和正交矩阵
化为
思路 由题意知，二次型
20
经正交变换
20
化为
即
经正交变换后化为
再用一般方法就可以求出
例题
用配方法化二次型 为标准形，并求出所用的可逆线性替换.
解答
二次型中含平方项 的交叉项，得
对
配方，消去所有含
再对
4
配方，消去所有含
的交叉项
，得
4
令
即可逆线性替换
使得
5
5
提醒
在上题中，如果令 或
则它仍是一个可逆线性替换，但在这种线性替换下， 二次型的标准形为 显然，这个二次型与刚才的二次型是不同的，但它 们都是原二次型的标准形. 所以有
15
15
则
是正交矩阵，满足
作正交变换
，化二次型为标准型如下
16
16
例题
设二次型 经正交变换 化为 ，求 由已知条件
解答 原二次型的矩阵为
有 所以
17
必为 的特征值，故应有
17
正交变换的特点
1 正交变换的特点：保持向量的内积，长度不变！ 即当 为正交矩阵时，则
从而，正交变换能保持向量间的夹角不变！ 2 正交变法换化二次曲线、二次曲面的方程为标准型 时，能保持图形的几何性质如形状，大小等. 3 正交变换法只能将二次型化为标准形，不能化为规 范形！配方法可以化为标准形，也可以化为规范形！
线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
自考-线性代数-第六章-实二次型
例 2阶方阵
1 0
0
0
对应
例 2阶方阵
cos sin
sin
cos
y
x1 y1
x, 0.
0
投影变换
P(x, y)
P1( x1 , y1 )
x
对应
x
y
x1 x1
cos sin
y1 sin , y1 cos .
y
P(x, y)
以原点为中心逆时针
旋转 角的旋转变换
k1
( y1 ,
y2 ,L
,
yn
)
k2 O
y1
y2
M
kn yn
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）．
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵． 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得
•
成立，则称
xn f (x1, x2 ) xT Ax
称为二次型．
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a22 x22 L ann xn2 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 L 2an1,n xn1 xn a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
线性代数6.6 二次型与正定矩阵
| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn
= ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.
线性代数第六章 二次型
令 aji = aij
(i < j)
2 a11x1 + a12x1x2 +L+ a1nx1xn 2 + a21x2x1 + a22x2 +L+ a2n x2 xn
f (x1, x2 ,L xn ) = ,
+L L
2 + an1xn x1 + an2xn x2 +L+ annxn
= ∑∑aij xi xj
a11 a12 L a1n x1 a x a22 L a2n 21 2 f ( x1 , x2 ,L, xn ) = (x1, x2,L, xn ) M M M M an1 an2 L ann xn = XT AX 二次型的矩阵表达式:f (x1, x2 ,L, xn ) = X T AX
第二节 标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.
2 2 如:f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 2 x2 + 6 x3
一般,f ( X ) = X AX = ∑∑ aij xi x j
T i =1 j =1
n
n
若 i ≠ j时,aij = 0,则f ( X )是标准形. a1 0 此时,A = M 0 0 a22 0 0 L 0 是对角矩阵. O M L ann L
所以,B是对称矩阵,Y BY 是二次型.
T
f = X T AX = Y T BY
(其中,B = C T AC)
定义2 若n阶方阵A, B存在可逆矩阵C , 使得 C T AC = B, 称矩阵A与B合同.
性质: (1) A与A合同. (2) 若A与B合同,则B与A合同. (3) 若A与B合同,B与C 合同,则A与C 合同.
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
线性代数第六章
(x1 , x2 , x3 )
T
= (k ,−k ,0 )
T.
例10（1991）考虑二次型 （ ）
f = x + 4 x + 4 x + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
+ 2 a n − 1, n x n − 1 x n 称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A T = A . A 称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A 的二次型 , 对 称阵 A 的秩称为二次型 f的秩 .
二次型与它的矩阵是一一对应的． 二次型与它的矩阵是一一对应的．
提示： 提示：f = X T 1 (A* )T X = X T 1 A* X = X T A−1 X
A A
合同， 由于 A 与 A−1合同，所以 g ( X ) = X T AX 与
f ( X ) = X T A−1 X 具有相同的规范形 具有相同的规范形.
例5（2003）设二次型 （ ）
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = X T AX = ax12 + 2 x2 − 2 x3 + 2bx1 x3 (b > 0),
3） 个系数全为负。 （3） f 的标准形的n个系数全为负。 （4） f 的负惯性指数为 n 。 ） ，（或 （5） A 与负单位矩阵 E 合同，（或- E 为 A 的规范 ） 与负单位矩阵- 合同，（ 形） （6）存在可逆 矩阵 P ，使 A = − P P ）
T
（7）对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子 ）
( 2 )任给实二次型 f = ∑ a ij x i x j ( a ij = a ji ), 总
(完整版)自考线性代数全套课件
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
15
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
于是所求正交变换为
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 4
182
9
2 4 14
14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
x Cy
9
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
线性代数第六章二次型试的题目及问题详解
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211nn x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
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第六章 二次型
1、二次型
基本概念
1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式
n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=
n n x x a x x a 222112+++
+…+
211n nn n n x a x x a ++
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Ax
x x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=5210213202
2A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=
3º规范二次型：2
212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++
4º秩与惯性指数
惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换
二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：
1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A
2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数
或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =
正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -
例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .
2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(2
12222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n
则f 的正负惯性指数之和为
解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛------→22220000111111111111n n n n
2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数
标准化方法
1º配方法
原理：配完全平方
情形1：有平方项21⨯n a
步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
情形2：若二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设012≠a ，令211y y x +=，
n n y x x x y y x ==-= 33211,经过此线性变换，
二次型中出现了2
2122112y a y a -再转换为情形1进行。
例3.（2004数三）二次型231232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的正负惯性指数秩为 2
解：313221232221222222x x x x x x x x x f +-+++=
2322321)(2
3)2121(2x x x x x -+++= 例4.求3221212),(x x x x x x f +=标准形及规范形
2º正交变换法
原理：实对称矩阵正交相似于角矩阵
步骤：1、求A 的特征值
2、求特征向量
3、施密特正交化
4、将正交单位化后的特征向量时非成矩阵C 的列
例5.用正交变换的方法将3231212
33212222),,(x x x x x x x x x x f -+-=化为标准形
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211101110A
()()
λλλλλλ
λ31211111122-+=---=-A E
故特征值为3，－1，0.
例6.设二次型313221232221222x x x x x x x x x f +++++=βα经过正交变换QY x =化成
23222y y f +=，其中T T y y y y x x x x ),,(,),,(321321=，Q 是正交矩阵，试求参数βα,的值 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=111
11ββααA ，由已知A 正交相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210，故A 的特征值为0，1，2. 00=-=A E A ()⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==⇒=-⇒0022
0222ααββ
3 合同矩阵
1）定义： 设A,B 是n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C 使B C C =A T ，则称A 与B 合同。
2）性质：
<1>实对称矩阵A,B 合同当且仅当X X A T 和BX X T 有相同的正负惯性指数
当且仅当X X A T 和BX X T 有相同的规范形。
<2>实对称矩阵A,B 相似，则A,B 合同
<3>实对称矩阵A,B 合同,则秩A=秩B
<4>经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的
例7 若实对称矩阵A 与B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22021-0001合同，则二次型X X A T 的规范形为
( )。
例8 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111 A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00000000B n 则 （A ） 合同且相似 （B ）合同不相似 （C ）不合同但相似 （D ）不合同不相似 例9 设二次型）（X f 的矩阵为可逆对称矩阵A ，二次型）（X g 的矩阵为1-A ， 证明）（X f 与）（X g 有相同的规范形。
4、二次型正定和矩阵正定
基本知识
二次型AX X f T =正定的充要条件或等价条件
（1）0,≠∈∀X R X n ，恒有0>AX X T
（2）f 的正惯性指数＝n
（3）A 的特征值全大于零
（4）A 的所有顺序主子式全大于零
（2002数三）
例10. 设A 是3阶实对称矩阵，且满足A 2+2A ＝0，已知秩A ＝2
（1）求A 的全部特征值
（2）当k 为何值时，kE A +为正定矩阵
练习 设A 为mxn 实矩阵，A A E B T +=λ
证明：当0>λ时，B 为正定的.。