初三数学寒假专题 初中函数知识的应 知识精讲 人教版
人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质(含解析)
人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质1.二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质：（1）对称轴：2bx a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式：（1）一般式：y=ax 2 +bx+c (a≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式； （2）顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a -=-+.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：12()()y a x x x x =--.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号：（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）yxO一．选择题（共7小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝2x2﹣1D．y＝2x3﹣12．二次函数y＝x2+2x+1的常数项是（）A．1B．2C．﹣1D．03．抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．对称轴是y轴C．经过点（m﹣1，﹣m2+1）D．有最小值5．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4d﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）8．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为．9．二次函数y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是．10．已知抛物线y＝﹣（x+2）2，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围为．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是．三．解答题（共6小题）13．求抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向、对称轴、顶点坐标．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．15．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，求m的值．16．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+k的图象经过A（2，0），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点C（0，2），交x轴于点A（﹣3，0）和点B（点A在点B的左侧）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：A、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝2x2﹣1是二次函数，符合题意；D、y＝2x3﹣1是三次函数，不符合题意．故选：C．2．【解答】解：二次函数y＝x2+2x+1的常数项是1．故选：A．3．【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：C．4．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，a＝﹣1，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y有最大值1，∴选项A、B、D不符合题意；∵当x＝m﹣1时，y＝﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）＝﹣m2+1，∴图象经过点（m﹣1，﹣m2+1），故选项C符合题意．故选：C．5．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，故选：B．6．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而增大，∵﹣＜﹣＜＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：C．7．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故②正确；由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，∴a＝b，∴b+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故④正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．故选：C．二．填空题（共5小题）解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．【解答】解：∵y＝（x+4）2﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣4，﹣1），故答案为：（﹣4，﹣1）．10．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而增大，x＞﹣2时，y随x增大而减小，故答案为：＜﹣2，＞﹣2．11．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴可知图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），把x＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得，y＝0，∴当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜0．故答案为：﹣4≤y＜0．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝5，∵AB平分∠CAO，∴∠BAC＝∠BAO，∵BC∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠BAC＝∠CBA，∴CB＝CA＝5，∴B（5，4）．把A（﹣3，0）、B（5，4）代入y＝ax2+bx+4，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．故答案为：y＝﹣x2+x+4．三．解答题（共6小题）13．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向向下、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，9）．14．【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：﹣4﹣2m+3＝3，解得m＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线开口向下，有最大值4，∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．15．【解答】解：（1）∵抛物线L有最低点，∴二次项的系数a大于0．即m﹣2＞0．∴m＞2．（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，∴二次项的系数a互为相反数，即m﹣2＝﹣1．∴m＝1．16．【解答】解：（1）把A（2，0），代入y＝﹣x2+4x+k得k＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，当x＝0时，y＝6，（2）∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），∴C（4，0），AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，∴△ABC的面积＝AC•OB＝×2×6＝6．17．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，2），A（﹣3，0），∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）存在，设抛物线的对称轴交x轴与点D，∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴D（﹣1，0），∵点B与点A关于直线x＝﹣1对称，∴AD＝BD，如图1，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的上方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝﹣1+3＝2，∴P（﹣1，2）；如图2，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的下方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝2，∴P（﹣1，﹣2）综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）．18．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2．（3）PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．。
九年级数学函数及其图象(复习)人教版知识精讲
九年级数学函数及其图象（复习）人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数及其图象（复习） 1. 平面直角坐标系及其有关概念 2. 函数及其函数图象的意义3. 一次函数，二次函数，反比例函数的意义，图象及其性质。
二. 重点、难点：平面直角坐标系，及其三类函数的图象及其性质。
本章所涉及的数学思想主要有：数形结合思想，方程思想、分类讨论思想、转化思想。
【典型例题】例1. 已知点P （2a+1，4a －20）在第四象限，化简代数式： ||||2110252112a a a a +--++-。
分析：直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中的“点”与代数中的“数”联系起来，数与形的结合，从而使我们可以用代数方法来研究几何图形，在平面直角坐标系中要确定点的位置，应该知道两个方面的条件，一是它所在象限（或坐标轴），二是这个点到x 轴、y 轴的距离，此题只知道点P 所在象限，因此可以得到关于a 的不等式组，从而可以得到a 的取值范围，因此就可以化简原式。
解：因为点P （2a+1，4a －20）在第四象限。
∴即2104200125a a a a +>-<⎧⎨⎩>-<⎧⎨⎪⎩⎪ ∴-<<125a ∵||||2110252112a a a a +--++-=+--+-||()||2152112a a a=+--+-||||||215211a a a又∵-<<125a ∴，-<<+>1210210a aa a -<-<502110，∴原式=+---+--()[()][()]215211a a a =++--+215211a a a =+a 7例2. 如图所示，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （2，－1），B （1，3），C （－4，－2），求△ABC 的面积。
分析：在直角坐标系中标出A 、B 、C 各点，过A 、C 向x 轴引垂线与过B 向y 轴引的垂线交于D 、E ，则点D 的坐标为（2，3），点E 的坐标为（－4，3），那么 S S S S ABC ADEC ADB BCE △梯形△△=--解：分别过A 、B 、C 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于点D 、E ， ∵AD ∥y 轴，CE ∥y 轴，DE ∥x 轴， A （2，－1），B （1，3），C （－4，－2） ∴点D 的坐标为（2，3） 点E 的坐标为（－4，3）∴，AD CE =--==--=|()||()|314325 DE BE =--==--=||||426415， BD =-=||211∴²²梯形S AD EC DE ADEC =+12() =+=1245627³³()S AD BD ADB △²²³³===1212412S BE CE BCE △²³³===121255252∴△梯形△△S S S S ABC ADEC ADB BCE =--=--=272252252小结：A B AB x x y y A B x B A B A 、两点间距离为：，当、同在||()()=-+-22轴上，或同在与x 轴平行的一条直线上，则AB=|x B －x A |。
初三数学的函数知识点总结
初三数学的函数知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，即每一个自变量对应唯一的因变量，并且每一个可能的自变量都对应一个确定的因变量。
通俗地讲，函数就是一种“输入-输出”关系。
2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是指可以独立变化的变量，通常用x来表示；而因变量则是函数的输出，通常用y来表示。
3. 函数的表达式：函数可以用数学公式或图象表示，通常表示为y=f(x)，其中f(x)是函数，表示自变量x经过函数f所得的因变量y。
4. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。
5. 奇函数和偶函数：如果f(-x)=-f(x)成立，那么函数f(x)是奇函数；如果f(-x)=f(x)成立，那么函数f(x)是偶函数。
二、函数的表示方法1. 函数的图象：函数的图象是将自变量和因变量的所有可能取值通过直角坐标系的点连起来所得的图形。
2. 函数的映射图：函数的映射图是将函数值与自变量一一对应的有序对用点表示，并由这些点组成的图。
3. 函数的解析式：函数的解析式是用公式或方程表示的函数表达式，可以直接求出给定自变量时的因变量值。
4. 函数的等价变形：函数的等价变形是对函数进行代数运算、图象变换等操作得到的新函数。
三、函数的基本性质1. 函数的有界性：如果函数f(x)在某一区间内有界，则函数在这个区间内有最大值和最小值。
2. 函数的单调性：如果函数f(x)在某一区间内的导数始终大于0或小于0，则函数在这个区间内是递增或递减的。
3. 函数的奇偶性：奇函数具有对称中心为原点的对称图象，偶函数具有对称中心为y轴的对称图象。
4. 函数的周期性：如果函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数，则函数具有周期T。
5. 函数的零点和极值：函数的零点是指使函数取零值的自变量值，而极值则是函数取得最大值或最小值的点。
6. 函数的单值性和多值性：一般情况下，函数对应一个自变量只能有一个因变量，因此是单值函数；但有些函数也可以对应一个自变量有多个因变量，这就是多值函数。
人教版九年级下册数学中考综合复习：第14讲《函数的应用》
第 14 讲 函数的应用知识点1：利用函数知识解应用题的一般步骤(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案． 知识点2：利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．1．构建函数模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．2．实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．3．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际；(2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1.(德州)公式L ＝L0＋KP 表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( )A.L ＝10＋0.5PB.L ＝10＋5PC.L ＝80＋0.5PD.L ＝80＋5P2.(齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )3.(台州)已知电流I （安培）、电压U （伏特）、电阻R （欧姆）之间的关系为R U I ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是（ ）4.(泰安)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,BC ＝8 cm,点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动,同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止),在运动过程中,四边形PABQ 的面积最小值为( )A ．19 cm2B ．16 cm2C ．15 cm2D ．12 cm25.(天门)飞机着陆后滑行的距离S （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是22360t t s -=，则飞机着陆后滑行的最长时间为_____________秒。
初三函数知识点总结
初三函数知识点总结初中数学的内容相对来说还是比较简单的，其中函数也是其中一个比较重要的知识点。
下面就来总结一下初三函数的相关知识点。
一、函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
函数可以用一个数集表示，其中每个数都有唯一的函数值与之对应。
函数的性质包括一一对应性、奇偶性、周期性、有界性等。
一一对应性是指函数中的每个自变量都对应唯一的因变量，而且每个因变量也只有唯一的自变量与之对应。
奇偶性表示函数关于y轴对称或者关于原点对称。
周期性指函数在一定区间内重复出现相同的形状。
有界性表示函数的函数值在一个闭区间内有上下限。
二、函数的图像和性质函数的图像是函数的可视化表示，它可以用来更直观地理解函数的性质。
函数的图像可以通过给定自变量的取值，计算出因变量的函数值，并在坐标系中标出相应的点，最后将这些点连接起来形成一条曲线。
不同的函数图像有不同的特点，如直线函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
三角函数的图像则是一条波浪线。
函数的性质可以通过观察函数的图像来确定，如函数的增减性、极值，以及函数与坐标轴的交点等等。
三、函数的表示和运算函数可以通过不同的方式进行表示和运算。
最常用的函数表示方式是函数公式，其中自变量和因变量之间的关系用代数式表示出来。
例如，y = 2x + 3 就是一个函数公式，表示了自变量x与因变量y之间的关系。
函数可以进行加减乘除等运算，与普通的数的运算类似。
例如，两个函数的和可以通过将每个自变量的函数值相加得到，而两个函数的乘积可以通过将每个自变量的函数值相乘得到。
四、函数的应用函数在生活中有着广泛的应用，例如在物理学中，运动的速度可以用函数来表示；在经济学中，成本与收益之间的关系也可以用函数来描述。
函数的应用还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在求解约束条件下的最优化问题时，可以通过建立函数模型，利用函数的性质来解决。
需要注意的是，在应用函数的过程中，我们需要将问题抽象化，建立数学模型，然后使用函数的方法来解决问题。
人教版初三知识点总结
人教版初三知识点总结人教版初三知识点总结人教版初三教材是初中数学教材中的一种，分为上册和下册。
下面是一份人教版初三数学知识点总结，包括了初三阶段学习的各个知识点。
第一章方程方程是初三数学中的基础知识点，学习方程可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.一元一次方程：一元一次方程的概念、解的概念、解一元一次方程的基本方法等。
2.一元二次方程：一元二次方程的概念、解的概念、解一元二次方程的基本方法等。
第二章不等式不等式是初三数学中的重要内容，学习不等式可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.一元一次不等式：一元一次不等式的概念、解的概念、解一元一次不等式的基本方法等。
2.一元二次不等式：一元二次不等式的概念、解的概念、解一元二次不等式的基本方法等。
第三章函数函数是初三数学中的核心概念，学习函数可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.函数的概念：函数的定义、自变量和因变量、函数的表示方法等。
2.函数的图像：函数的图像的绘制、函数的图像与函数的性质等。
第四章三角形三角形是初三数学中的基础知识点，学习三角形可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.三角形的概念：三角形的定义、三角形的性质等。
2.三角形的面积：三角形的面积的计算方法等。
第五章相似形相似形是初三数学中的重要内容，学习相似形可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.相似形的概念：相似形的定义、相似形的性质等。
2.相似形的判定：相似形的判断方法等。
第六章平面直角坐标系平面直角坐标系是初三数学中的基础知识点，学习平面直角坐标系可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
主要内容包括：1.平面直角坐标系的概念：平面直角坐标系的定义、坐标的概念等。
2.平面直角坐标系中的几何关系：平面直角坐标系中两点的距离、两点的中点等。
第七章数列数列是初三数学中的重要内容，学习数列可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结Revised by BETTY on December 25,2020初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,则二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于（0，c)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对Array值越大，抛物线的开口越小。
2.2=+的性质：上加下减。
y ax c)2h-()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）2-32y=-2x 2y=-2(x-3)21、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
中考数学函数知识点归纳
中考数学函数知识点归纳数学中的函数是指一种将一个或多个输入值映射到唯一的输出值的关系。
在中考数学中，函数是一个重要的知识点，主要涉及函数定义、函数的概念、函数的性质、函数的图像以及函数的应用等内容。
下面是对中考数学函数知识点的详细归纳。
1.函数的定义：函数由定义域、值域和对应关系构成。
定义域是指函数能够接受输入的值的范围，值域是函数所有可能的输出值组成的集合。
函数的对应关系可以用图表、显式公式或者隐式方程表示。
2.函数的概念：函数主要有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
每种函数有其特定的性质和图像。
3.函数的性质：(1)定义域：函数的定义域是指函数的自变量可能取的值的范围。
(2)奇偶性：当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，函数是奇函数；当函数满足$f(-x)=f(x)$时，函数是偶函数。
(3)单调性：函数在其定义域内的取值随自变量的增大或减小而单调递增或单调递减。
(4)增减性：函数的一阶导数表示函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而增加或减小。
4.函数的图像：函数的图像是表示函数对应关系的图形。
通过绘制函数的图像，可以观察函数的特征和性质。
例如，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
5.函数的应用：函数在实际问题中的应用非常广泛(1)函数的代数运算：求解函数的和、差、积和商等；(2)函数的零点和方程：解一元一次方程、一元二次方程等；(3)函数的最值：求函数的最大值和最小值；(4)函数的综合应用：利用函数表示实际问题，如距离、速度、面积和体积等。
以上是对中考数学函数知识点的简要归纳。
掌握这些知识点，能够帮助学生在考试中更好地理解和解决与函数相关的问题。
当然，为了更深入地了解函数，学生还需要进行大量的练习和掌握相关的解题技巧。
人教版2023中考数学专题复习： 函数基础知识精讲精练
函数基础知识精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1、变量与常量变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．3、函数三种表示方法列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）解析法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
图象法：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．以上三种方法的特点（1）：列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）：解析法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）：图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
4、确定函数自变量取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义5、求函数的值(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．6、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
九年级数学一次函数人教版知识精讲
初三数学一次函数人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：一次函数二. 重点、难点：1. 一次函数的概念：（1）理解一次函数概念的关键是对其定义的理解。
由定义可知：y x y kx bk b k 是的一次函数它的解析式是其中，、是常数，且⇔=+≠⎧⎨⎩()()120要证明y 是x 的一次函数，就需要证明：它的解析式可写成y ＝kx ＋b 的形式，而且k 、b 一定是常数，且k ≠0，这两个内容缺一不可。
（2）对正比例函数定义的理解还须加上b ＝0的条件。
（3）一次函数与正比例函数的关系如下：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0），当b ＝0时，y ＝kx 是正比例函数。
当b ≠0时，y ＝kx ＋b 不是正比例函数。
因此，如果y 是x 的正比例函数，则y 一定是x 的一次函数，反之则不一定成立。
2. 一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象都是一条与坐标轴斜交的直线。
因此，只需求出直线y ＝kx ＋b 上的两点，就可得到它。
一般，作正比例函数y ＝kx 的图象常取点（0，0）和（1，k ）；作一次函数＝＋（）的图象常取（，）和，两点，这两y kx b b b bk ≠-⎛⎝ ⎫⎭⎪000 点是直线与坐标轴的交点。
3. 参数k 、b 的意义和对一次函数y ＝kx ＋b 的图象和性质的影响。
（）直线由左向右是上升的，函数随的增大而增大。
10k y kx b y x >⇔=+ k y kx b y x <⇔=+0直线由左向右是下降的，函数随的增大而减小。
因此，k 的符号与直线的方向、函数的增减性是相互决定的。
（2）b 是一次函数y ＝kx ＋b 中当x ＝0时所对应的函数值，因此直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点（0，b ），说明b 是直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距。
因此，b 的符号和直线与y 轴交点位置是相互对应的。
（3）k 、b 的符号对直线位置的影响：讨论k 、b 符号与直线y ＝kx ＋b 在坐标系中的位置要注意用k 、b 的意义去解决，不必死记对应的结论。
人教版九年级数学第三单元《函数》中考知识点梳理
第三单元《函数》中考知识点梳理第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用五、知识清单梳理。
九年级数学函数常考知识点
九年级数学函数常考知识点在九年级数学学习中，函数是一个常见且重要的概念。
理解函数的性质、性质和应用是九年级数学学习的关键之一。
本文将介绍九年级数学中常考的函数知识点，帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个或多个数域上的元素之间的对应关系，每个自变量对应唯一的一个函数值。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量的取值范围，值域是函数所有可能函数值的集合。
3. 函数的图象：函数的图象是在直角坐标系上表示函数各个自变量和函数值之间对应关系的图形。
4. 奇偶性：如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
5. 单调性：函数的单调性指的是函数值随自变量增大或减小而增大或减小的趋势。
二、函数的表示和运算1. 函数的表示：函数可以通过函数解析式或函数关系式来表示。
- 函数解析式是用代数表达式表示的函数形式，常见的有一次函数y = kx + b和二次函数y = ax^2 + bx +c。
- 函数关系式是通过函数的定义关系来表示的，常见的有反比例函数y = k/x和平方根函数y = √x。
2. 函数的运算：函数之间可以进行四则运算，包括函数的加、减、乘和除。
- 函数的加法： (f + g)(x) = f(x) + g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相加。
- 函数的减法： (f - g)(x) = f(x) - g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相减。
- 函数的乘法： (f × g)(x) = f(x) × g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相乘。
- 函数的除法： (f ÷ g)(x) = f(x) ÷ g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相除，其中除数的函数值不能为零。
初三数学函数的概念及其图象 一次函数与反比例函数知识精讲 人教版
初三数学函数的概念及其图象 一次函数与反比例函数知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：函数的概念及其图象——一次函数与反比例函数二. 重点、难点：（一）函数的概念与表示方法在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于变量x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应。
那么，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
函数关系的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法。
（二）函数自变量的取值范围1. 如果用解析式表示函数，那么自变量的取值应使解析式有意义。
如：y ＝含有x 的整式（全体实数） y ＝含x 的奇次根式（全体实数）y ＝含x 的二次根式（使被开方式大于等于零的所有实数） y ＝含x 的分式（使分母不为零的所有实数） 2. 如果用图象表示函数，那么自变量的取值范围是图像上各点对应的横坐标组成的集合。
3. 如果由实际问题给出的函数，那么自变量的取值既要使函数的解析式有意义，还必须使实际问题有意义。
（三）函数的图象1. 在函数的解析式中，每组x 、y 的对应值作为坐标（x ，y ）所描的点都在函数的图象上。
2. 函数图像上每一点的坐标（x ，y ）都满足函数的解析式。
3. 画函数图象的步骤：列表、描点、连线、标解析式。
（四）一次函数()10.定义，函数，、是常数叫做一次函数。
y kx b k k b =+≠ 2. 图象：过（0，b ）点且平行于y ＝kx 的一条直线。
3. 性质：k>0时，图像自左向右是上升的，y 随x 的增大而增大。
k<0时，图像自左向右是下降的，y 随x 的增大而减小。
（五）反比例函数 ()10.定义：函数，为常数叫做反比例函数。
y kxk k =≠ 2. 图像：双曲线 3. 性质：当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小。
当k<0时，图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
(精品)数学讲义九年级寒假班第3讲和第4讲：函数与分析-教师版
一、 平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限． 二、 点的坐标1、点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．2、平面内点的坐标是有序实数对，当a b ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标．3、不同位置的点的坐标的特征： ①各象限内点的坐标的特征：点P （x ，y ）在第一象限⇔x > 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第二象限⇔x < 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第三象限⇔x < 0，y < 0；函数与分析知识结构模块一：平面直角坐标系知识精讲2 / 40例题解析点P （x ，y ）在第四象限⇔x > 0，y < 0． ②坐标轴上的点的特征：点P （x ，y ）在x 轴上⇔y = 0，x 为任意实数； 点P （x ，y ）在y 轴上⇔x = 0，y 为任意实数；点P （x ，y ）既在x 轴上，又在y 轴上⇔x = y = 0，即点P 坐标为（0，0）． ③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： 点P （x ，y ）在第一、三象限夹角平分线上⇔x = y ； 点P （x ，y ）在第二、四象限夹角平分线上⇔x + y = 0． ④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同． 三、 点的运动1、点到坐标轴及原点的距离： 点P （x ，y ）到x 轴的距离等于y ； 点P （x ，y ）到y 轴的距离等于x ．2、在直角坐标平面内：平行于x 轴的直线上的两点A （1x ，y ）、B （2x ，y ）的距离12AB x x =-； 平行于y 轴的直线上的两点C （x ，1y ）、D （x ，2y ）的距离12CD y y =-． 点P 22x y +两点间的距离公式：点A 坐标为（1x ，1y ），点B 坐标为（2x ，2y ），则AB 间的距离，即线段AB 的长()()221212x x y y -+-．3、点的对称：若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为1P （a ，b -），P 关于y 轴对称的点为2P （a -，b ），关于原点对称的点为2P （a -，b -）．4、坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a h -，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a h +，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h +），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h -）．【例1】 （2012学年·杨浦区二模·第9题）在平面直角坐标系中，若点P （2x -，x ）在第二象限，则x 的取值范围为____________．【难度】★ 【答案】02x <<【解析】第二象限点坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；20,2x x ∴-<∴<且0x >02x ∴<<．【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．【例2】 （2013学年·闵行区二模·第2题）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （a -，4b -）所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】C【解析】点P （a ，b ）在第四象限，则0,0a b ><，0,40a b ∴-<-<，∴点Q （a -，4b -） 在第三象限，故选C ．【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．【例3】 （2013学年·普陀区二模·第16题）直角坐标系中，第四象限内一点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，那么点P 的坐标是____________．【难度】★【答案】P ()52-，． 【解析】点P 是第四象限内一点，∴横坐标为正，纵坐标为负； 点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，∴点P ()52-，． 【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点及点到坐标的距离．【例4】 （2012学年·闸北区二模·第11题）点M （3，1）和点N （3，1-）关于______轴对称． 【难度】★ 【答案】x ．【解析】根据点对称特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于x 轴对称． 【总结】考察点对称的特征．【例5】 （2011学年·闵行区二模·第3题）点P （1-，3）关于原点中心对称的点的坐标是( )A ．（1-，3-）B ．（1，3-）C ．（1，3）D ．（3，1-）【难度】★ 【答案】B【解析】关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数． 【总结】考察关于原点对称的点坐标的特征．4 / 40一、 函数在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 在允许取值范围内的每一个确定值，变量y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数． 二、 函数的定义域函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域． 三、 函数值如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x = a 时的函数值，可记为()f a ．【例6】 （2015学年·杨浦区二模·第10题）函数12y x x=+-的定义域是__________． 【难度】★【答案】2x ≠．【解析】12y x x =+-，定义域分别看12x -和x 的取值范围，分式分母不为零， 202x x ∴-≠∴≠，．【总结】考查函数的定义域求法，注意含有分母时，分母要不为零．【例7】 （2015学年·闸北区二模·第10题）函数1y x =-的定义域是____________． 【难度】★ 【答案】1x ≤．【解析】要使1x -有意义，101x x ∴-≥∴≤，． 【总结】考察无理式有意义的条件是被开方数非负． 【例8】 （2015学年·崇明县二模·第10题）函数23x y x =-的定义域为__________．【难度】★ 【答案】3x >．【解析】3x -有意义，303x x ∴-≥≥，即，又3x -为分母，3x ∴≠，3x ∴>．【总结】考察无理式、分式有意义的条件．模块二：函数的有关概念例题解析知识精讲【例9】 （2013学年·杨浦区二模·第9题）函数132y x x =-+-的定义域是________． 【难度】★【答案】3x ≤且2x ≠．【解析】303202x x x x -≥∴≤-≠∴≠，；，，∴3x ≤且2x ≠． 【总结】考察无理式、分式有意义的条件．【例10】 （2014学年·松江区二模·第9题）已知()1xf x x =-，那么()3f =______． 【难度】★ 【答案】()332f =． 【解析】()()3331312x f x f x =∴==--，． 【总结】考察利用代入法求函数值．【例11】 （2015学年·浦东新区二模·第12题）已知函数2()2f x x =+，那么(2)f =______．【难度】★ 【答案】()23f =．【解析】()26()232222f x fx =∴===++，．【总结】考察利用代入法求函数的值．【例12】 （2013学年·奉贤区二模·第10题）已知函数()2f x x =-，若()3f x =，那么x =______．【难度】★ 【答案】11x =． 【解析】()2f x x =-，()3f x =，232911x x x ∴-=∴-==，，解得：，经检验11x =是无理方程的根，所以11x =．【总结】考察利用代入法求函数的值，注意本题中解完方程后要检验．模块三：正比例函数与反比例函数6 / 40一、 正比例函数如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例． 解析式形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做正比例函数．其中常数k 叫做比例系数． 二、 反比例函数如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．解析式形如ky x =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数．其中常数k 叫做比例系数．三、 正比例函数、反比例函数的图像及性质函数 正比例函数反比例函数解析式 y kx =（k 是常数，0k ≠）ky x=（k 是常数，0k ≠） 定义域 一切实数0x ≠的一切实数k 的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0 经过象限一、三 二、四 一、三 二、四 图像性质y 随x 的增大 而增大 y 随x 的增大 而减小在每个象限内， y 随x 的增大 而减小 在每个象限内， y 随x 的增大 而增大x yOx yOx y Ox yO例题解析知识精讲【例13】 （2015学年·崇明县二模·第12题）如果一个正比例函数的图像过点（2，4-），那么这个正比例函数的解析式为______．【难度】★ 【答案】2y x =-【解析】设()0y kx k =≠，把点（2，4-）代入()0y kx k =≠，得：24k =-， 22k y x =-∴=-解得：，．【总结】考察利用待定系数法求解正比例函数的解析式．【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第11题）如果反比例函数的图像经过点（3，4-），那么这个反比例函数的比例系数是______．【难度】★ 【答案】12k =-．【解析】设反比例函数解析式为：()0ky k x=≠， 把点（3，4-）代入得：4123k k -=∴=-，． 【总结】考察待定系数法求解反比例函数的比例系数．【例15】 （2015学年·闵行区二模·第3题）下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是( )A ．3y x =B ．3y x =-C ．3y x =D ．3y x =-【难度】★ 【答案】B【解析】A ：0k >，y 随着x 的增大而增大；B ：0k <，y 随着x 的增大而减小；C ：0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；D ：0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．故选B ．【总结】考察正、反比例函数的性质，注意反比例图像是在每一象限内的增减性．【例16】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第10题）如果在组成反比例函数1ky x-=图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是____________．【答案】1k >．【解析】当0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，101k k ∴-<∴>，． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．【例17】 （2014学年·奉贤区二模·第3题）关于反比例函数2y x=的图像，下列叙述错误的是( ) A ．y 随x 的增大而减小 B ．图像位于一、三象限C ．图像是轴对称图形D ．点（1-，2-）在这个图像上【难度】★ 【答案】A【解析】0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．【例18】 （2014学年·杨浦区二模·第2题）在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像没有公共点，则( )A ．120k k <B ．120k k >C ．120k k +<D ．120k k +>【难度】★ 【答案】A【解析】k 同号时，正、反比例函数在同象限，有两个交点；k 异号时，正、反比例函 数在不同象限，没有交点．【总结】考察正、反比例函数图像的性质．【例19】 （2015学年·松江区二模·第13题）反比例函数ky x=的图象经过点（1-，2），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是图像上另两点，其中120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是___________．【难度】★ 【答案】12y y <．【解析】把点（1-，2）代入ky x=，得20k =-<，0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大 而增大，120x x <<，12y y ∴<．【总结】考察反比例函数的图像的性质的运用．【例20】 （2013学年·奉贤区二模·第12题）若点A （1，1y ）和点B （2，2y ）都在正比例函数y kx =（0k >）图像上，则1y ______2y （选择“>”、“<”、y （米）【答案】．【解析】0k >，正比例函数图像y 随着x 的增大而增大，12<，即1212x x y y <∴<，． 【总结】考察正比例函数的图像的性质的运用．【例21】 （2014学年·徐汇区二模·第3题）某反比例函数的图像经过点（2-，3），则此函数图像也经过点( )A ．（2，3）B ．（3-，3-）C ．（2，3-）D ．（4-，6）【难度】★ 【答案】C【解析】反比例函数图像上的点的横、纵坐标之积等于k ，因此点的横、纵坐标之积相 等，即在同一个反比例函数图像上． 【总结】考察反比例函数的性质的应用．【例22】 （2015学年·杨浦区二模·第16题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2，写出一个函数ky x=（0k ≠），使它的图像与正方形OABC 的边有公共点，这个函数的解析式可以是____________． 【难度】★★【答案】2y k=（答案不唯一）【解析】将正方形边AB 、BC 上的任一点坐标代入 反比例函数解析式，即可求出反比例函数解析式． 【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．【例23】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第20题）已知双曲线ky x=经过点A （a ，4a +）和点B （2a ，21a -），求k 和a 的值．【难度】★★ 【答案】212a k =⎧⎨=⎩【解析】解：把A （a ，4a +）、B （2a ，21a -）分别代入k y x =，得：4212ka ak a a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：212a k =⎧⎨=⎩【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．【例24】 （2015学年·杨浦区二模·第22题）某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M 走到N ，停留后再原路返回，其间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点12y y <C 的纵坐标．【难度】★★【答案】（1）30y x =； （2）点C 的纵坐标为240． 【解析】（1）设()0y kx k =≠ 把()20600A ，代入()0y kx k =≠得： 2060030k k ==，，30y x ∴=；（2）设下山的两个速度分别是2m 和3m根据题意得：21838600m m ⋅+⋅=，60600,10m m ==，220330m m ∴==，830240∴⨯=，∴点C 的纵坐标为240． 【总结】本题考察的是函数在行程实际问题的运用．【例25】 （2013学年·松江区二模·第22题）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？【难度】★★【答案】（1）180w t =；（2）8． 【解析】（1）设()10w kt k =≠把()3240A ，代入，得：324080k k ==，解得：， 180w t ∴=；（2）设普通售票窗口为x 个，无人售票窗口为2x 个 则24018022400x x +⋅= 解得：4x =，28x ∴=答：当天开放无人售票窗口的个数为8个． 【总结】本题考察的是函数在实际问题中的运用．【例26】 （2015学年·崇明县二模·第21题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像经过A （0，2-），B （1，0）两点，与反比例函数my x=（0m ≠）的图像在第一象限内交于点M ，若OBM ∆的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P 是x 轴正半轴上一点且90AMP ∠=︒，求点P 的坐标． 【难度】★★【答案】（1）22y x =-和12y x =；（2）()110P ∴，．【解析】（1）把A （0，2-），B （1，0）两点代入y kx b =+得：20b x b =-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，22y x ∴=-；过M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，()10B ，，2OBM S ∆=，4MH ∴=，即M 纵坐标为4，把4y =代入22y x =- 解得：3x =，()34M ∴，，所以反比例函数的解析式为：12y x=． （2）设()0P m ，， 当90AMP ∠=︒时，BMH MPH ，2484BH MH HP MH HP HP∴==∴=，即，． ∴3811m OP OH HP ==+=+=，()110P ∴，【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用，注意用相似求出线段的长，从而得 出点的坐标．【例27】 （2013学年·浦东新区二模·第17题）如图，已知点A 在反比例函数ky x=的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且OAB ∆是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是_________________．【难度】★★★ 【答案】3y x=-． 【解析】过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，设OAB ∆的边长为2x ，132OAB S OB AH ∴=⋅=123312x x x ∴⋅⋅==，解得：，()13A ∴-，，3y x ∴=-．【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用．一、 一次函数模块四：一次函数知识精讲yxO AMBH PABOxy H12 / 40一般的，解析式形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．正比例函数与一次函数的关系：当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 、b 为常数，且0k ≠），这时，y 是x 的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例． 二、 函数 一次函数解析式 y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）定义域 一切实数k 、b 的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0 经过象限一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四图像性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小【例28】 （2013学年·普陀区二模·第2题）在平面直角坐标系中，将正比例函数y kx =（0k >）的图像向上平移一个单位，那么平移后的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】D【解析】0k >，正比例函数经过一、三象限，图像向上平移一个单位，图像经过一、 二、四象限，∴图像不经过第四象限，故选D ． 【总结】考察正比例函数图像性质．【例29】 （2015学年·松江区二模·第3题）在平面直角坐标系中，直线1y x =-经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【难度】★ 【答案】C【解析】00k b ><，，图像经过第一、三、四象限． 【总结】考察正比例函数图像的性质．x y Ox y Ox y Ox yO例题解析【例30】 （2015学年·金山区二模·第2题）如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（）A ．k > 0，b > 0B ．k > 0，b < 0C ．k < 0，b > 0D ．k < 0，b < 0【难度】★ 【答案】B【解析】一次函数图象经过第一象，0k >；与y 轴负半轴相交，0b <． 【总结】考察正比例函数图像性质．【例31】 （2015学年·闵行区二模·第12题）将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为______．【难度】★ 【答案】2-．【解析】上加下减，左加右减． 【总结】考察函数平移及截距的概念．【例32】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第11题）把直线2y x =-+向上平移3个单位，得到的直线表达式是__________________．【难度】★【答案】5y x =-+． 【解析】上加下减，左加右减 【总结】考察函数平移特性．【例33】 （2015学年·徐汇区二模·第16题）如果直线y kx b =+（0k >）是由正比例函数y kx =的图像向左平移1个单位得到，那么不等式0kx b +>的解集是______．【难度】★★ 【答案】1x >-．【解析】y kx =与x 轴交点为()00，，向左平移1个单位得到()01-，，∴y kx b =+当0y >时，1x >-，∴不等式0kx b +>的解集是1x >-．【总结】考察函数与不等式结合的综合应用．【例34】 （2013学年·虹口区二模·第11题）已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式 为__________________．【难度】★★【答案】1y x =-+（答案不唯一）【解析】一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，则0b >，y 随x 的增大而减小，则0k <． 【总结】考察一次函数图像的性质．14 / 40【例35】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第16题）当x = 2，不论k 取任何实数，函数()23y k x =-+的值为3，所以直线()23y k x =-+一定经过定点（2，3）；同样，直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为____________．【难度】★★ 【答案】()35，．【解析】由题意可知：当3x =时，()(3)233325y k x x k =-++=-++=， 所以直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为()35，．【总结】考察一次函数的性质及代值求函数值，同时考察学生针对新定义的应用．【例36】 （2015学年·黄浦区二模·第21题）已知一次函数的图像经过点P （3，5），且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数的解析式；（2）若点Q （x ，y ）在该直线上，且在x 轴的下方，求x 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）21y x =-；（2）12x <． 【解析】（1）设一次函数解析式为2y x b =+ ∵该一次函数的图像经过点()3,5P ，∴235b ⨯+= ∴1b =-，∴21y x =-（2）∵点(),Q x y 在该直线上，且在x 轴的下方，∴210x -<，解得：12x <. 所以x 的取值范围是12x <． 【总结】考察一次函数的平行性质即求解析式的方法以及一次函数的图像性质．【例37】 （2015学年·松江区二模·第21题）已知气温的华氏度数y 是摄氏度数x 的一次函数．如图所示是一个家用温度表的表盘．其左边为摄氏温度的刻度和读数（单位℃），右边为华氏温度的刻度和读数（单位℉）．观察发现表示40-℃与40-℉的刻度线恰好对齐（在一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？ 【难度】★★【答案】（1）9325y x =+；（2）40C ︒． 【解析】（1）设()0y kx k =≠由已知得：404032k b b -=-+⎧⎨=⎩，解得：9532k ⎧=⎪⎨⎪⎩，9325y x ∴=+；（2）令104y =，9321045x ∴+=，解得：40x =，∴当华氏温度为104F ︒时，温度表上摄氏温度为40C ︒．【总结】考察一次函数求解析式的方法以及一次函数的性质的运用．【例38】 （2014学年·虹口区二模·第22题）某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现，每天销售件数y （件）是每件销售价格x （元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）【难度】★★【答案】（1）280y x =-+；（2）该种文具每件的销售价格应该定为25元． 【解析】解：（1）由题意，知：当15x =时，50y =；当20x =时，40y =设所求一次函数解析式为y kx b =+，由题意得：50154020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩∴所求的y 关于x 的函数解析式为：280y x =-+；（2）由题意，可得：(10)(280)450x x --+=，解得：1225x x ==． 答：该种文具每件的销售价格应该定为25元. 【总结】考察一次函数与应用题综合应用．【例39】 （2015学年·浦东新区二模·第22题）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示：（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本 = 每吨的成本⨯生产数量） 【难度】★★【答案】（1）()11004010y x x =-+≤≤；（2）30吨．【解析】（1）设函数解析式为()0y kx b k =+≠，将()0,10、()40,6分别代入y kx b =+得10640bk b =⎧⎨=+⎩，解之得11010k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()11004010y x x =-+≤≤（2）由11021010x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：130x =或270x =，由于040x ≤≤，所以30x =答：该产品的生产数量是30吨．【总结】考察一次函数与应用题的综合应用．【例40】 （2014学年·长宁区二模·第21题）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回甲地．设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km ），y 与x 的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）汽车在乙地卸货停留（h ）；（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域； （3）求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离． 【难度】★★【答案】（1）0.5；（2）()482402.55y x x =-+≤≤； （3）这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ． 【解析】（1）0.5； （2）设(0)y kx b k =+≠，把（2.5，120）和（5，0）分别代入得120 2.505k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得48240k b =-⎧⎨=⎩，∴解析式为()482402.55y x x =-+≤≤．（3）当x = 4时，48424048y =-⨯+=∴这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及已知自变量求函数值．【例41】 （2013学年·奉贤区二模·第22题）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？【难度】★★【答案】（1） 520y x =＋；（2）110米． 【解析】（1）设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 间 的函数关系式为 y kx b =+，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴230650k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得520k b =⎧⎨=⎩，∴ 520y x =＋；（2）由图可知，甲队速度是：60610÷=（米/时）， 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米， 依题意，得60501012z z --=解得：z =110．答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及根据实际问题解应用题．【例42】 （2014学年·闵行区二模·第22题）货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）【难度】★★【答案】（1）30150y x =-+；（2）D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油 【解析】（1）设所求函数为：y k x b =+，根据题意，得150120b k b =⎧⎨+=⎩，解得：30150k b =-⎧⎨=⎩，∴所求函数的解析式为30150y x =-+；（2）设在D 处至少加w 升油， 根据题意，得：360460121504303021060w -⨯--⨯+≥⨯⨯+，解得：94w ≥．答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及一次函数性质的应用，主要是认真审题， 明白题目中所蕴含的条件．时)y【例43】（2014学年·徐汇区二模·第21题）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（0x≥）之间的函数关系式；（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收1.414，保留到百分位）．【难度】★★【答案】（1）800800y x=+；（2）41%．【解析】（1）设函数关系式为y kx b=+，将()0800，、()22400，代入得到：8002+2400bk b=⎧⎨=⎩，解得：800800kb=⎧⎨=⎩∴函数关系式为800800y x=+；（2）当5x=时8005800=4800y=⨯+，设这个增长率为a，由题意有22400(1)=4800a+，解得：1211a a=-+=--∴10.4140.4141%a=-≈=．答：函数关系式为800800y x=+，这个增长率为41%．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及增长率类型应用题的应【例44】（2015学年·长宁区、金山区二模·第21题）在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P （1，m）（m > 0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP // 直线AQ；（2）过点P作PB // x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标是(1．【解析】（1）设直线OP 和直线AQ 的解析式分别为1y k x =和22y k x b =+． 根据题意，得：点Q 的坐标为（1，-m ） 1k m =，22222+0k b m k b +=-⎧⎨=⎩，解得：222k mb m =⎧⎨=-⎩ ∵12k k m ==，∴直线OP ∥直线AQ ；（2）∵OP ∥AQ ，PB ∥OA ，AP ⊥BO ，∴四边形POAQ 是菱形，∴PO =AO ，∴212m +=，3m =±．∵0m >，∴3m =，∴点P 的坐标是()13，． 【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合四边形的综合应用．【例45】 （2013学年·宝山区、嘉定区二模·第22题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）.（1）求直线AB 的表达式和线段AB 的长；（2）将OAB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，求线段AB 上横坐标为a 的点E 在线段CD 上的对应点F 的坐标（用含a 的代数式表示）.【难度】★★★【答案】（1）直线AB 的解析式为22y x =-+，5AB =；（2）点()22F a a -，． 【解析】（1）将点A （1，0），点B （0，2）代入直线y kx b =+，可求得：2k =-，2b =，∴直线AB 的解析式为22y x =-+，线段AB =22(10)(02)5-+-=； （2）∵E 为线段AB 上横坐标a 的点，∴第一象限的E ()22a a -+，， 根据题意F 为E 绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点， 第二象限的F 的坐标为()22a a --+， ∴点()22F a a -，．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合几何图形的综合应用．一、 二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数．模块五：二次函数xyO12 12 1-1-2- ABCD知识精讲二次函数2y ax bx c =++二、 二次函数的图像1、2y x =的图像：在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示． 二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =．2、二次函数2y ax =的图像：抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．3、二次函数2y ax c =+的图像：一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上图1图2。
九年级数学函数人教四年制知识精讲
九年级数学函数人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容： 函数二. 学习要点：1. 常量与变量的意义：在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
而数值保持不变的量叫做常量。
2. 函数的意义：设在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值．．．．与它对应，那么就说变量x 是自变量，变量y 是变量x 的函数。
3. 函数自变量的取值X 围的确定：由两个方面确定：（1）自变量的取值应用函数解析式有意义；（2）自变量的取值应使实际问题有意义。
4. 函数值：对于自变量在取值X 围内的一个确定的值，a x =，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当a x =时的函数值。
5. 函数的三种表示法：（1）解析法：用含自变量的代数式表示函数方法。
（2）列表示：自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系方法。
（3）图象：用图象表示函数关系的方法。
今后学习：主要研究函数的图象及性质。
基础练习：1. 下列说法正确的是（ ）A. 变量x 、y 满足13=+y x ，则y 是x 的函数B. 变量x 、y 满足32--=x y ，则y 是x 的函数C. 变量x 、y 满足x y =||，则y 是x 的函数D. 变量x 、y 满足x y =2，则y 是x 的函数2. 矩形的面积为S ，长a 和宽b 之间关系为ab S =，当长一定时常量， ，是变量，S 是的函数。
3. 用总长为100m 的篱笆围成矩形场点，矩形面积)(2m S 与一边长)(m l 之间的关系式为)50(l l S -=，下列说法中正确的是（ ） A. l 是常量，S 与l 是变量，S 是l 的函数 B. 50是常量，S 与l 是变量，S 是l 的函数 C. 50是常量，S 与l 是变量，l 是S 的函数 D. l 是自变量，50是常量，l 是S 的函数4. 在函数关系式中，33-=x y 中，当自变量x 分别取3,0,1-时，对应的函数值y 分别是，，，当=x 时，0=y 。
函数知识点总结初三
函数知识点总结初三本文意在总结初三阶段学习的函数知识点，包括函数的概念、函数的性质、函数的图像和函数的应用等内容。
一、函数的概念函数是数学中非常重要的一个概念，它描述了一种特定的对应关系。
在代数中，函数常表示为f(x)，其中x是自变量，而f(x)是与x对应的因变量。
简单来说，函数就是一个对应关系，它使得每一个自变量对应且唯一地确定一个因变量。
比如，y=x^2就是一个函数，它表示了自变量x和因变量y之间的对应关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量可以取的值的范围，而值域则是函数的所有可能的输出值。
以y=x^2为例，它的定义域是实数集R，而值域是非负实数集[0,+∞)。
2. 奇函数和偶函数当函数满足f(-x)=-f(x)，即对于任意x都有f(-x)=-f(x)时，该函数被称为奇函数。
相对地，当函数满足f(-x)=f(x)，即对于任意x都有f(-x)=f(x)时，该函数被称为偶函数。
比如，y=x^3是一个奇函数，而y=x^2是一个偶函数。
3. 单调性函数的单调性描述了函数图像上的点按照某一方向排列的趋势。
当函数在定义域上具有单调性时，它可以是严格单调递增或严格单调递减。
比如，y=x^2在定义域(0,+∞)上是严格单调递增的。
4. 增减性函数的增减性描述了函数的增长或减小的趋势。
当函数的一阶导数大于0时，函数在该区间上是增函数；而当函数的一阶导数小于0时，函数在该区间上是减函数。
三、函数的图像函数的图像是函数对应关系在平面坐标系上的表现。
对于一元函数f(x)，函数的图像可以用平面直角坐标系上的曲线来表示。
根据函数的性质，我们可以通过函数的图像了解函数的定义域和值域，奇偶性，单调性和增减性等。
四、函数的应用1. 函数的应用很广泛，在自然科学和社会科学中都有着重要的地位。
例如，横抛运动的轨迹方程就是一个函数，它描述了抛体运动的轨迹；又比如，经济学中的需求函数描述了产品需求量与价格之间的关系。
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,那么二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时〔即ab＞0〕,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边那么对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时〔即ab＞0〕,对称轴在y轴左；当a与b 异号时〔即ab＜0 〕,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式〔一次函数〕的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于〔0，c)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++〔a b cy ax bx c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
Array2. 2=+的性质：上加下减。
y ax c3. ()2=-的性质：左加右减。
y a x h Array4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用2-32y=3(x+4)22y=3x 2⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数考察重点与常见题型1、考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是 2、综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕y y 0 -1 x D1、考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学知识点总结函数
九年级数学知识点总结函数九年级数学知识点总结：函数在九年级数学学习中，函数是一个十分重要的概念和知识点。
函数不仅在数学中有着广泛的应用，而且在日常生活中也扮演着重要的角色。
本文将对九年级数学中关于函数的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
1. 函数的定义：函数是数学中的一个基本概念，简而言之，函数定义了两个数集之间的对应关系。
对于一个函数，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
以函数f(x)为例，其中x是自变量，f(x)是因变量，表示x经过函数f之后对应的值。
2. 函数的表示：函数可以通过多种方式表示，最常见的方式是函数的解析表示和图像表示。
解析表示就是用公式或方程来表示函数，例如f(x) =2x + 1。
图像表示即函数的曲线图像，通过函数的图像可以更直观地了解函数的特点。
3. 基本函数：在九年级数学中，我们学习了一些基本函数，其中包括线性函数、二次函数和指数函数。
线性函数：线性函数是一种具有常规增长趋势的函数，其图像呈直线。
线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
二次函数：二次函数是一种含有二次项的函数，其图像呈抛物线。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b和c都是常数，a代表抛物线的开口方向和形状。
指数函数：指数函数是一种以指数形式表示的函数，其自变量为指数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数有着特殊的增长规律，随着x的增加，函数值呈指数级增长或下降。
4. 函数的性质：函数具有一些重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性和单调性。
定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围，即能够使函数有意义的自变量的取值范围。
值域：函数的值域是指因变量的取值范围，即函数能够达到的所有可能的取值。
奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
若函数满足f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
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初三数学寒假专题 初中函数知识的应 知识精讲 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——初中函数知识的应用学习目标：1. 复习一次函数、二次函数、反比例函数及锐角三角函数的概念，联系实际生活中的问题，抽象为函数，通过计算解决问题。
2. 理解方程，不等式等一些重要的数学内容，同函数有极为密切的联系，是函数的特殊情况。
3. 学会借助函数的图象和性质解决实际问题。
二. 重点、难点重点：初中函数知识的应用难点：把一个数学问题或实际问题归结为函数问题。
【典型例题】例1. 已知矩形的面积是4，把这个矩形的长y 表示成宽x 的函数。
点拨：因为矩形的面积为xy ＝4，则y x=4是反比例函数，x 表示矩形的宽，应有x y ≤，使02<≤x ，自变量要符合实际。
解：函数解析式为y x=4（02<≤x ）例2. 分别写出下列函数关系式，并求自变量取值范围（1）设圆柱的底面直径与高h 相等，求圆柱体积V 与底面半径R 的关系 （2）等腰三角形的顶角度数y 与底角的度数x 的关系解：（1）V R h R R R ==⨯=πππ22322（R >0） （2）由三角形内角和定理得 y x +=2180 ，∴=-y x 18020180<<y ，∴<-<01802180x∴自变量x 的取值范围是090<<x点拨：在应用题中，自变量的取值范围不仅应使函数关系式有意义，也要使实际问题有意义。
例3. 有一个角是30 的直角三角形如图1，求它的面积y cm ()2与边长x cm ()之间的函数关系式。
x30图1解：易知30角所对的直角边长为x 2，则另一直角边长为x x x 22232-=() ∴=⨯⨯=>y x x x x 122323802() 点拨：在解决与直角三角形有关的函数问题时，应充分应用直角三角形的性质。
例4. 用砖可砌长48米的墙，要盖三间平房如图2，问怎样砌，才能使房屋的面积最大？x x x x图2解：设每间房长为x 米，则三间房的总宽为12484()-x 米（012<<x ） 房屋面积：S x x =⨯-12484() =-=-+2122242x x x x()当x ba=-2，即x =6时，S 取最大值，此时总宽为12，因此，每间房长6米时，三间房总宽12米时，房屋的面积最大。
点拨：在本例中求的是面积的最大值，面积就是目标。
面积的表达式就是目标函数，解决此类问题的关键就在于求出目标函数，由此就把实际问题化归为求二次函数最值的问题了。
例5. 在一块底边长为a ，高为h 的三角形铁板ABC 上，要截出一块矩形铁板EFGH ，使它的一边FG 在BC 边上，矩形的边EF 等于多长时，矩形铁板的面积最大？AE N HB F M G C图3解：设内接矩形EFGH 中，AM BC ⊥ EH//BC ，设EF ＝x （0<<x h ） 则AN h x =-∴=EH BC AN AM ，即EH a h xh=- ∴=-EH ahh x ()设矩形EFGH 的面积为S则S EH EF ahh x x =⨯=-⨯() =--+a h x h ah()242∴当x EF h ==2时，S ah最大值=4点拨：用“配方法”求最值在函数应用中是很常见的。
例6. 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的14，如图如果放在桌上，对桌面的压强是200Pa ，翻过来放对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强P 与受力面积S 之间的关系是P FS=，因为是同一物体，F 的数值不变，所以P 与S 成反比例，设上底面积是a ，则下底面积是4a ，由P FS=，且S a =4时，P Pa =200有F PS a a ==⨯=2004800 是同一物体∴F a =800是定值，∴=S a 时 P F S a aPa ===800800() 因此当圆台翻过来放对桌面的压强是800Pa例7. 有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进出水量都是一定的，设从某时刻开始的4分种内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系，如图4 （1）每分钟进水多少？（2）412≤≤x 时，x 与y 何关系？（3）若12分钟后只放水不进水，求y 的表达式。
x图4解：（1）由图可见4分钟时，进水20升，故每分钟进水5升（2）当412≤≤x 时，y 的图象是线段，所以y 是x 的一次函数，故可设y kx b =+ 点（4，20），（12，30）在直线上 ∴=+=+⎧⎨⎩2043012k bk b∴==⎧⎨⎪⎩⎪k b 5415∴x 与y 的关系是y x =+5415，412≤≤x （3）在0～4分钟时，每分钟进水5升，在4～12分钟时，既进水又出水，由y x =+5415可知，每分钟水增加54升 ∴实际上每分钟出水量为554154-=升 而在12分钟时，有水y x =+=⨯+=541554121530（升）每分钟水放出154升∴x （时间）与y （水量）的关系是y x x =--+=-+154123015475()，x ≥12 点拨：此题中的三小题层次性很强，且存在着联系，解此类题目要注意每一问之间的联系。
例8. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （公斤）的一次函数，如图5，求： （1）y 与x 之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数行李重量(公斤)(元)行李票费用图5（1999年南京）解：（1）设一次函数关系式是y kx b =+ 当x =60时，y =6 当x =80时，y =10∴=+=+⎧⎨⎩6601080k b k b∴==-⎧⎨⎪⎩⎪k b 156∴所求函数关系式是y x =-156，x ≥30 （2）当y =0时，1560x -= ∴=x 30∴旅客最多可免费携带30公斤行李例9. 已知矩形面积是122cm ，长是xcm ，宽是ycm （1）确定出y 与x 的函数关系式；（2）画出这个函数图象 点悟：因为矩形长是xcm ，宽是ycm ，因此面积是xycm 2 已知矩形面积是122cm ，所以有xy =12，从而y x=12是反比例函数 解析：（1）由矩形的面积公式，长×宽＝面积 得y x=12，x >0（2）作图如图6x点拨：这是一个归结为反比例函数来解的应用题，从求函数解析式到画图象，都要结合实际问题，确定自变量的取值范围，此题自变量的取值为正，函数值也为正，所以它的图象仅为双曲线在第一象限的一个分支。
例10. 利用现有的20米长的竹篱，围成一个矩形鸡场，怎样围鸡场的面积最大？ 点悟：因为竹篱的长是20米，所以矩形鸡场周长只能是20米，若设其长是x 米，则宽就是（10－x ）米于是鸡场的面积是x x x x ()10102-=-，是关于x 的二次函数，且有最大值 解：设矩形鸡场的长是x 米，则鸡场的宽是（10－x ）米 面积是S 平方米，所以 S x x =-102（020<<x ）S x x =--+2525102() =--2552()x当50-=x ，即x =5时，函数S 有最大值25点拨：函数最值问题，得判断取最值时，自变量是否在定义域内。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 下列各关系中，属反比例关系的是（ ） A. 正三角形的面积与边长B. 等腰三角形腰长为定值时，底边与底边上的高C. 圆的弧长和它与圆心连结后构成的扇形面积D. 电压一定时，导体中电流强度与电阻 2. 下列各组中，属于反比例关系的是（ ） A. 正方形的边长与对角线B. 矩形面积为定值时，它的长和宽C. 圆面积和半径D. 直角三角形中，三条边的关系3. 甲、乙两个同学在操场上，甲从旗杆底部出发先向西走10米，再向南走15米停在A 点，乙也从旗杆底部出发先向东走20米，再向北走15米停在B 点，则A 、B 两点距离是（ ） A. 102米 B. 302米 C. 105米 D. 558米4. 每上5级台阶升高1米，则升高米数h 是台阶数S 的函数，即（ ） A. h S =5B. h S =+5C. h S =5D. h S =-55. 水池储水800米3，每小时放水P 米3，t 小时后水池中水为Q 米3，则解析式为（ ） A. Q Pt =-800 B. Q Pt =+800 C. Q Pt=800D. Q Pt =8006. 某汽车油箱中存油20千克，油从管道中匀速流出，100分钟可流完，则油箱中剩的油量Q （千克）与流出时间t （分钟）之间的函数关系式是（ ） A. Q t =-205（0100≤≤t ）B. Q t =+2015（0100≤≤t ） C. Q t =-2015（0100≤≤t ）D. 以上都不对二. 填空题7. 下列各题中是正比例关系的有____________；是反比例关系的有__________；是二次函数关系的有_____________ A. 正方形的周长P 和边长a B. 正方形的面积S 和边长aC. 圆的面积S 和直径的平方d 2D. 同圆中的弦l 和弦心距dE. 匀速直线运动中，路程s 一定，速度v 和时间t8. 如图矩形ABCD 中边长AB BC CD ++=常数l ，设AB x =，矩形面积为y （1）用x 表示y ，得y ＝________ （2）自变量x 的变化范围9. 某班有学生48人，共收书费y 元与每个学生交费x 元的函数关系式为_________ 10. 等腰三角形底角度数y 与顶角度数x 的函数关系式是___________11. 某厂去年生产机器1万台，今年生产机器y 台与今年比去年生产的增长率x 的函数关系式是___________三. 解答题12. 求等腰直角三角形的一条直角边长x 作为自变量关于三角形周长l 的函数关系式 13. 已知华氏温度F 与摄氏温度C 之间有一次函数关系，当华氏温度为32时，摄氏温度为0，而当摄氏温度为5时，华氏温度为41，试求F 与C 的函数关系式，并求华氏0时，摄氏温度是多少？ 14. 如图，甲、乙两船分别从A 、C 两地同时驶出，方向分别为向西和向南，已知AC =10海里，甲乙两船速度分别为每小时16海里和12海里，问几分钟后，两船距离最近。
C B A D【试题答案】一. 选择题 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. C二. 填空题7. A 和C ，E ，B8. （1）-+22x lx ；（2）02<<x l9. y x =4810. y x=-+290 11. y x =+100001()三. 解答题12. l x =+()22 13. F C =+9532，－17.8℃ 14. 24分钟 6海里。