数学必修一第三章《基本初等函数Ⅰ》单元练习

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高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数(1)第一课时同步练习新人教B版必修1

3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式．课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章小结复习及同步练习(含答案)

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（ 2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力
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二 .重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。四、教学设想
1、回顾本章的知识结构
整数指数幂有理数指数幂无理数指数幂
定义图象与性质
指数指数函数
11. 光线每通过一块玻璃板其强度要损失 10%,设光线原来的强度为
的性质 .
作业： P90
A组
37
P91B组34必修 1 第二章《基本初等函数（Ⅰ）》同步练习
（时间： 60 分钟，满分： 100 分）
班别
座号
姓名
成绩
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 下列计算中正确的是
A． x3 x3 x6
B． (3a 2b 3) 2
9a4b 9
小结：底数相同的指数函数与对数函数关于
y x 对称，它们之间还有一个关系式子：
a log a N N (a 1,a 0, N 0)
1x
例 3：已知 f ( x)
log a 1
(a x
0且 a
1)
（ 1）求 f (x) 的定义域
（ 2）求使 f ( x) 0 的 x 的取值范围
1x
分析：（ 1）要求 f (x)
7. 若 a、 b 是任意实数，且 a b ，则
2
2
A． a b
ab
B． 2
0
C． lg( a b) 0
（）
a
b
1
1
D．
2
2
8. 函数 f ( x) log a x ( 2 ≤ x≤)的最大值比最小值大 1，则 a 的值

人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx

3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。

人教B版必修一课后作业：第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.4 Word版含答案

学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50x B ．y ＝x 50C ．y ＝50xD ．y ＝log 50x (x ∈N ＋)答案 C解析四个函数中，增长速度由慢到快依次是y ＝log 50x ，y ＝50x ，y ＝x 50，y ＝50x . (2)函数y ＝2x －x 2的大致图象为( )答案 A解析在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件．反思与感悟在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 函数f (x )＝lg|x |x2的大致图象为( )答案 D解析 f (x )为偶函数，排除A 、B.当x ＞1时，y ＝lg|x |＝lg x ＞0，且增长速度小于y ＝x 2，所以随着x 的逐渐增大，lg|x |x 2越来越接近0且函数值为正数，故选D.类型二函数模型应用命题角度1 选择函数模型例2 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数答案 D解析四个函数中，A 的增长速度不变，B 、C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．反思与感悟根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．跟踪训练2 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )答案 A命题角度2 用函数模型决策例3 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．反思与感悟建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．跟踪训练3 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N ＋)，旅游收费为y ，旅游原价为a . 甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠．1．下列函数中随x 的增长而增长最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝2x答案 A2．能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(4，＋∞)答案 D3．某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( ) A ．8℃ B ．78℃ C ．112℃ D ．18℃答案 B4．下面选项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是( ) A ．y ＝10×1.05xB ．y ＝20＋x 1.5C ．y ＝30＋lg(x －1)D ．y ＝50 答案 A5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( ) A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍 D ．ln 76倍答案 B解析由题意，令70＝10lg I 1I 0，则有I 1＝I 0×107.同理得I 2＝I 0×106，所以I 1I 2＝10.1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型． (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型． (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型． 2．函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．课时作业一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x答案 B解析D增长速度不变，A、C增长速度越来越快，只有D符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x答案 D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2答案 A解析由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系式为：P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( ) A.12小时 B.59小时 C ．5小时 D ．10小时答案 C解析由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，∴0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，∴－kt ＝ln 0.01，∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放． 6．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )答案 B解析水深h 为自变量，随着h 增大，A 中V 增长速度越来越快，C 中先慢后快，D 增长速度不变，只有B 中V 增长速度越来越慢．二、填空题7．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．答案 800解析要使该厂不亏本，只需10x －y ≥0，即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800.8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．答案 300解析把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)，得a ＝100，故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)，所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只．10．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．答案 y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋解析已知本金为a 元，利率为r ，则1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )， 2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2， 3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，…x 期后本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋. 三、解答题11．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤几次．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解设原有杂质为a ，经过x 次过滤后杂质为y ，则y ＝a ×(1－20%)x ＝a 0.8x . 由题意得ya<5%，即0.8x <5%，所以x lg 0.8<lg 0.05，即x >lg 0.05lg 0.8≈13.4，因此至少需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下．12．某企业生产A ，B 两种产品．根据市场调查与市场预测知A 产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示．(注：图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？解 (1)设投资了x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元．由题意知f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)．由题图可知f (2)＝1，所以k 1＝12，由g (4)＝4，得k 2＝2.故f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元．设企业利润为y 万元，则y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)．令10－x ＝t ，则y ＝10－t 22＋2t ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)．当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝10－4＝6.所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为7万元． 13．某纪念章从2015年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单元：天)的数据如下：(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x . (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．解 (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系． (2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝90，100a ＋10b ＋c ＝51，1 296a ＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26.∴当x ＝20时，y 有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．四、探究与拓展14．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同11 D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．15．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元．假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润，生产成本(a 元)与饼干质量成正比，包装成本(b 元)与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试求出该种饼干1 000克装的合理售价．解设饼干的质量为x 克，则其售价y (元)与质量x (克)之间的函数解析式为y ＝(mx ＋n x )(1＋0.2)，由题意得1.6＝(100m ＋100n )(1＋0.2)，即43＝100m ＋10n . 又3＝(200m ＋200n )(1＋0.2)．即2.5≈200m ＋14.14n ，∴0.167≈5.86n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≈0.028 4，m ≈1.05×10－2， ∴y ≈(1.05×10－2x ＋0.028 4x )×1.2，当x ＝1 000时，y ≈13.7.∴估计这种饼干1 000克装的售价为13.7元．。

数学人教B版必修一单元检测第三章基本初等函数(Ⅰ) Word版含解析

本章测评(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)已知全集＝，集合＝{＝，∈}，＝{＝(－)}，则()∩等于( )．(－∞，) ．[)．[，＋∞) ．设函数()＝(－)，下列命题中正确的是…( )．()有最小值，无最大值．()有最小值，无最大值．()无最小值，有最大值．()无最小值，有最大值设＞，则，的大小关系是…( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜某人年月日到银行存入一年期款元，若按年利率复利计算，则到年月日可取款( ) ．(＋)元．(＋)元．＋(＋)元．(＋)元为了得到函数＝的图象，只需把函数＝的图象上所有的点( )．向左平移个单位，再向上平移个单位．向右平移个单位，再向上平移个单位．向左平移个单位，再向下平移个单位．向右平移个单位，再向下平移个单位已知函数()＝(－)(－)(其中＞)，若()的图象如下图所示，则函数()＝＋的图象大致为( )已知＝，那么－用表示为( )．－．－－－幂函数＝－及直线＝，＝，＝将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数＝的图象经过的“卦限”是 ( )．④⑦．④⑧．③⑧．①⑤函数()＝＋是偶函数，且在区间(，＋∞)上单调递减，则(－)与(＋)的大小关系为( ) ．(－)＝(＋) ．(－)＞(＋)．(－)＜(＋) ．不能确定设函数＝()在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数()＝(\\(((，((≤，，((>.))取函数()＝－.当＝时，函数()的单调递增区间为( ) ．(－∞，) ．(，＋∞) ．(，＋∞) ．(－∞，－)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)若()＝(－)，则()＝.已知函数()＝，则方程－()＝的解＝.函数()＝(－)＋无论取什么值时，恒过定点．已知()＝(\\(，≥，(＋(，<，))则()＝.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆形纸板，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板，，…，，则的半径是．。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)32对数与对数函数321对数及其运算同步测控新人教B版1

3.2.1 对数及其运算同步测控我夯基,我达标1.式子2)5log 211(2+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 解析：原式=)5log 1(2+=2)52(log 2=25.答案：B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3＞log a 2D.log a yx =log a x-log a y 解析：A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.答案：B3.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 解析：令x 5=t ，则x=5t =t 51. ∴f（t ）=lgt 51=51lgt. ∴f（2）=51lg2. 答案：D4.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N解析：本题易错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A 类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5；B 中的lg 23表示（lg3）2，它与lg32＝lg9意义不同；C 中的log a M+N 表示（log a M ）+N ，它与log a （M+N ）意义不同；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M ＝N. 答案：D5.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y ＝a ，则log b 5x 3-log b 5y 3＝____________;(2)设log a (x ＋y)＝3，log a x ＝1，则log a y ＝____________;(3)3|91|log 3=_____________.解析：(1)∵log b x-log b y ＝a,∴log b y x＝a.∴log b 5x 3-log b 5y 3＝log b 3355y x＝log b (y x )3＝3log b y x＝3a.(2)∵log a (x ＋y)＝3, ∴a 33＝x ＋y.又log a x ＝1,∴x＝a.∴y＝a 3-a.从而log a y ＝log a (a 3-a). (3)3|91|log 3＝3|3log 23|-=3|3log 2|3-＝32＝9.答案：(1)3a (2)log a (a 3-a) (3)96.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）的值为__________.解析：∵1<log 23<2,∴3+log 23>4.∴f(3+log 23)=(21)3log 32+ =(21)24log 2=(21)241log 21=241.又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 答案：2417.求下列各式中的x ：（1）log 54x ＝21-；（2）log x 5＝23；（3）log （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解：（1）原式转化为（54）21-=x ，所以x=25. （2）原式转化为x 23=5，所以x=325. （3）由对数性质,得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x ＝8.8.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg 45.分析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解：lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+2121-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合,我发展9.对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是( )①若M=N ，则log a M=log a N ②若log a M=log a N ，则M=N ③若log a M 2=log a N 2，则M=N ④若M=N ，则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析：在①中，当M=N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M=log a N 不成立. 在②中，当log a M=log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M=N ，因此M=N 成立.在③中，当log a M 2=log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2=N 2，即|M|=|N|，但未必有M=N ，例如，M=2，N=-2时，也有log a M 2=log a N 2，但M≠N.在④中，若M=N=0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②正确.答案：C10.设log a c 、log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根，则log b a c=__________.解析：依题意,得⎩⎨⎧=∙=+,1log log ,3log log c c c c b a b a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+,1log log 1,3log 1log 1ba b a c c c c 即⎩⎨⎧=∙=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=32-4=5.∴log c a-log c b=±5. 故log b a =5551log log 1log 1±=±=-=b a b a c c c . 答案：±55 11.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）解析：∵log 189=a ，∴log 18218=1-log 182=a. ∴log 182=1-a.又∵18b =5,∴log 185=b.∴log 3645=ab a -+=++=22log 15log 9log 36log 45log 1818181818. 答案：ab a -+2 12.若26x =33y =62z ，求证:3xy-2xz-yz=0.分析:由已知条件到结论，本质就是把指数式化为对数式，要把指数位置上的字母拿下来，唯一的方法就是取对数，通常我们两边同时取常用对数，也可以根据题目的具体情况取其他数字（条件中已有的底数）为底数，总之要同底，然后利用对数的性质和运算法则化简计算.证法一:设t=26x =33y =62z ,两边取常用对数,则x=2lg 6lg t ,y=3lg 3lg t ,z=6lg 2lg t . ∴3xy -2xz-yz=6lg 3lg 6lg 6lg 2lg 6lg 3lg 2lg 6lg 222t t t -- =)]3lg 12lg 1(6lg 13lg 2lg 1[6lg 2+-t =)3lg 2lg 13lg 2lg 1(6lg 2-t =0.证法二：∵26x =33y =62z ，∴两边取以3为底的对数，有6xlog 32=3y=2zlog 36，由前面的等式,得yz=2xzlog 32,由后面的等式,得3xy=2xzlog 36.∴3xy -2xz-yz=2xzlog 36-2xz-2xzlog 32=2xz(log 36-1-log 32)=2xz （log 36-log 33-log 32)=0. 科学是实事求是的学问。

必修1人教B版数学同步训练：第3章基本初等函数(Ⅰ)测评(B卷)(附答案)

第三章基本初等函数(Ⅰ)测评(B 卷)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ 卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝log122－的定义域为A ．[－ 2，－1)∪(1， 2]B ．(－ 2，－1)∪(1， 2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)2．方程log 2(x 2－x)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是A ．M ＝NB ．N ⊂MC ．N ⊃MD ．M∩N＝∅3．幂函数f(x)＝x α的图象过点(2，14)，则f(x)的一个单调递增区间是A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)4．函数y ＝0.52,(,1]log ,(1,)x x x x ⎧∈-∞⎨∈+∞⎩的值域是A ．{y|y≤1，且y≠0}B ．{y|y≤2}C ．{y|y<1且y≠0} D ．{y|y≤2且y≠0}5．函数y ＝e |－lnx|－|x －1|的图象大致是6．若x∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln 3x ，则 A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D．b<c<a7．已知函数f(x)＝log a (2x＋b －1)(a>0，b≠1)的图象如下图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a －1<b<1 B ．0<b<a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<1 8．函数f(x)＝log a |x ＋b|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定9．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a>b>cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c 10．将y ＝2x的图象先进行下面哪种变换，再作关于直线y ＝x 对称的图象，可以得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象．A ．先向左平移1个单位B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间是__________12．偶函数f(x)在[2,4]上单调递减，则f(log 128)与f(3log 3π2)的大小关系是__________．13．设方程2lnx ＝7－2x 的解为x 0，则关于x 的不等式x －2<x 0的最大整数解为__________．14．已知函数f(x)的定义域为(12，8]，则f(2x)的定义域为__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分.15～17题每小题10分，18～19题每小题12分．解答应写出必要的文字说明，解题步骤或证明过程)15．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x∈[－3,2]的最大值和最小值．16．设0<a<1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，如果y 有最大值 24，求此时a 和x 的值．17．已知函数f(x 2－3)＝lg x2x －6.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的反函数f －1(x)．18．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%. (1)写出水中杂质含量y 与过滤的次数x 之间的函数关系式． (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？19．设定义域为R 的函数f(x)＝log 3x 2＋ax ＋bx 2＋x ＋1，是否存在实数a 、b ，使函数f(x)同时满足下列三个条件：①函数f(x)的图象经过原点；②函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；③函数f(x)在(－∞，－1]上的最大值为1.若存在，求出实数a 、b 的值；若不存在，请说明理由．答案与解析1.A 由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1,1<x 2≤2，∴1<x≤ 2或－ 2≤x<－1. 2．A3．D 由f(2)＝14，得α＝－2，∴f(x)＝x －2，它的单调递增区间是(－∞，0)．4.D 当x∈(－∞，1]时，y ＝2x∈(0,2]；当x∈(1，＋∞)时，y ＝log 0.5x∈(－∞，0)， ∴函数y 的值域为{y|y≤2且y≠0}． 5．D y ＝e |－lnx|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －1，0<x<1，1，x≥1，分两段画出函数图象即可．6．C 因为a ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故当x∈(e －1,1)时，a∈(－1,0)．于是b －a ＝2lnx －lnx ＝lnx<0，从而b<a.又a －c ＝lnx －ln 3x ＝a(1＋a)(1－a)<0，从而a<c.综上所述，b<a<c.7．A 由题中图象，易知a>1，－1<f(0)<0.由于f(0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，所以－1<log a b<0，可得1a <b<1，故选A.8．C 由f(x)为偶函数，得b ＝0， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴由复合函数的单调性，可知0<a<1. ∴b－2＝－2,1<a ＋1<2. ∴|b－2|>|a ＋1|>0. ∴f(b－2)<f(a ＋1)．9．C b a ＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89>1，且a ，b>0，所以b>a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532>1，且a ，c>0，所以a>c ，所以b>a>c.10．D 由y ＝log 2(x ＋1)得x ＝2y－1，所以y ＝log 2(x ＋1)的图象关于y ＝x 对称的图象对应解析式为y ＝2x －1，它是由y ＝2x的图象向下平移1个单位得到的．11．(2，＋∞) 函数定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－3x ＋2，函数t 在(2，＋∞)上为增函数，∴函数y 在(2，＋∞)上为减函数．12．f(log 128)<f(3log 3π2)log 128＝－3,3log 3π2＝π24，∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)． ∵4>3>π24>2，∴f(3)<f(π24)．∴f(log 128)<f(3log 3π2)．13．4 设f(x)＝2lnx －7＋2x ，又f(2)＝2ln2－3<0，f(3)＝2ln3－1>0， ∴x 0∈(2,3)．∴x－2<x 0的最大整数解为4. 14．(－1,3] x 满足12<2x≤8，∴－1<x≤3.15．解：令2－x ＝t ，t∈[14，8]，则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.∴t＝12时，y min ＝34；t ＝8时，y max ＝(152)2＋34＝57.∴所求函数的最大值为57，最小值为34.16．解：利用换底公式，可得log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，即log a y ＝(log a x)2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34，所以，当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.因为0<a<1，所以y 有最大值a 34.由题意，得a 34＝ 24＝2－32＝(12)32＝(14)34，所以a ＝14，此时x ＝a 32＝(14)32＝18.17．解：(1)设t ＝x 2－3，则x 2＝t ＋3，t≥－3，f(t)＝lg t ＋3t －3.又t ＋3t －3>0，∴t>3或t<－3. ∴f(x)的定义域为(3，＋∞)． (2)设y ＝lgu ，u ＝x ＋3x －3(x>3)，则u>1，∴lgu>0，即y>0. 由y ＝lg x ＋3x －3，得10y＝x ＋3x －3，∴x＝y＋10y－1.∴f(x)的反函数为f －1(x)＝x＋10x－1(x>0)．18．解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y ＝1－20%；第2次过滤后，y ＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)2；第3次过滤后，y ＝(1－20%)2(1－20%)＝(1－20%)3； ……第x 次过滤后，y ＝(1－20%)x.∴y＝(1－20%)x ＝0.8x ，x≥1，x∈N *.(2)由(1)得0.8x<5%，∴x>log 0.80.05＝lg2＋11－3lg2≈13.4.∴至少需要14次．19．解：假设同时满足三个条件的实数a 、b 存在，则由条件①，知f(0)＝0，∴b＝1. 又当x≠0时，有f(x)＝log 3x 2＋ax ＋1x 2＋x ＋1＝log 3(1＋a －1x ＋1x ＋1)，∵函数y ＝x ＋1x ＋1在[1，＋∞)上单调递增，且y>0，∴1y ＝1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递减．∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴u＝1＋a －1x ＋1x＋1在[1，＋∞)上单调递增．∴a－1<0.∴a<1.又f(x)的定义域为R ， ∴x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立．由Δ＝a 2－4<0，得－2<a<1，再由函数单调性定义，可证得f(x)在(－∞，－1]上也单调递增，从而由③可知，f(－1)＝1，即1－a ＋11－1＋1＝3，∴a＝－1.综上可知，存在a ＝－1，b ＝1满足题中三个条件．。

数学人教B版必修一单元测试：第三章基本初等函数Ⅰ 含

第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共48分)1.函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),对于任意正实数x 、y 都有( ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 解析：根据对数运算法则,B 正确. 答案：B2.已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x),f(3)=-1,则函数y=g(x-1)的图象必经过点( ) A.(-2,3) B.(0,3) C.(2,-1) D.(4,-1) 解析：∵f(x)与g(x)互为反函数且f(3)=-1, ∴g(-1)=3.从而可知y=g(x-1)过点(0,3). 答案：B3.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在区间［2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-4,4］ C.(-∞,-4)∪［2,+∞) D.［-4,2)解析：令g(x)=x 2-ax+3a,则由⎪⎩⎪⎨⎧>≤,0)2(,22g a即⎩⎨⎧>+≤,04,4a a ∴-4＜a≤4.答案：B4.在f 1(x)=log 2x,f 2(x)=x 2,f 3(x)=2x ,f 4(x)=log 21x 四个函数中,当x 1<x 2<1时,使21［f(x 1)+f(x 2)］<f(221x x +)成立的函数是( ) A.f 1(x)=log 2x B.f 2(x)=x 2 C.f 3(x)=2x D.f 4(x)=log 21x解析：画出它们的图象,由函数图象的凹凸性易知选A. 答案：A5.y=lg|x|( )A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减答案：B6.函数y=2-x +1(x>0)的反函数是 ( )A.y=log 211-x ,x ∈(1,2) B.y=-log 211-x ,x ∈(1,2)C.y=log 211-x ,x ∈(1,2］D.y=-log 211-x ,x ∈(1,2］解析：由y=2-x +1得y-1=2-x , ∴-x=log 2(y-1), 即x=-log 2(y-1). 又x>0,∴0<2-x <1. ∴1<y<2. ∴f -1(x)=log 211-x ,1<x<2. 答案：A7.已知函数y=log 2(x 2+ax-a)的值域为R ,那么实数a 的取值范围是( ) A.-4<a<0 B.-4≤a≤0 C.a≥0或a≤-4 D.a<-4或a>0 解析：由Δ=a 2-4×(-a)≥0得a≥0或a≤-4. 答案：C8.(2007广东吴川一中模拟)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<2,x 1),-(x log 2,x ,2e 231-x 则不等式f(x)>2的解集为( ) A.(1,2)∪(3,+∞) B.(10,+∞)C.(1,2)∪(10,+∞)D.(1,2) 答案：B9.已知log 21m<log 21n<0,则( )A.n<m<1B.m<n<1C.1<m<nD.1<n<m解析：由函数y=log 21x 是减函数,得m>n;又log 21m,log 21n 都是负数,从而m>1,n>1.综上m>n>1,故选D. 答案：D10.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系:y=a t ,有以下叙述:①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就会超过30m 2;③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到2m 2、3m 2、6m 2,所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3.其中正确的是( ) A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤解析：如图,函数图象过(1,2)点,∴2=a 1,即底数为2,①正确;由y=25=32>30,知②正确;因为函数图象是向下凸的,所以经过15.个月浮萍蔓延面积不足12 m 2,故③错;④显然错误;⑤中t 1=1,t 2=log 23,t 3=log 26,∴t 1+t 2=log 22+log 23=log 26=t 3,知⑤正确.故选D.答案：D11.已知幂函数y=x qp (p,q ∈N *)的图象如图所示,则( )A.p,q 均为奇数,且q p >0 B.q 为偶数,p 为奇数,且qp <0 C.q 为奇数,p 为偶数,且q p >0 D.q 为奇数,p 为偶数,且qp<0 解析：这是因为函数为偶函数,所以p 为偶数,且由图象形状知qp<0,所以q 为奇数.故选D. 答案：D12.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称,则( ) A.f(2x)=e 2x (x ∈R ) B.f(2x)=ln2lnx(x>0) C.f(2x)=2x x (x ∈R ) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)解析：函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称,则y=f(x)=lnx,从而f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分,共16分)13.若函数f(x)=x x 2121+-,则f -1(53)=_______.解析：由xx 2121+-=53,得2x =41, ∴x=-2.∴f -1(53)=-2. 答案：-214.方程log 3(x 2-10)=1+log 3x 的解是________.解析：log 3(x 2-10)=1+log 3x=log 33x ⇔x 2-10=3x(x>0)⇔x 2-3x-10=0(x>0), ∴x=5. 答案：515.0.3-0.4,log 0.30.4,log 0.34的大小顺序是_________.解析：∵0.3-0.4>0.30=1,0<log 0.30.4<log 0.30.3=1,log 0.34<0.答案：0.3-0.4>log 0.30.4>log 0.3416.已知偶函数f(x)=(m 2-2m-2)x m-1为幂函数,且定义域为R ,则m=________. 解析：由m 2-2m-2=1,得m 2-2m-3=0,解得m=-1或m=3,经验知m=3. 答案：3三、解答题(共4小题,共36分)17.(8分)设f(x)=lg 3421ax x ∙++,且a ∈R ,若当x ∈（-∞,1］时,f(x)有意义,求a 的取值范围.解析：因为3421ax x ∙++>0,x （-∞,1］,所以a>-(41)x -(21)x . 当且仅当a 大于φ(x)=-(41)x -(21)x 的最大值时,a>-(41)x -(21)x 恒成立. 而φ(x)在R 上是单调增函数,又x ∈（-∞,1］,所以当且仅当x=1时,φ(x)的最大值为41-21-=43-. 所以a>43-.18.(8分)已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解析：由条件知3lg 42lg 4lg 40lg 2=⎪⎩⎪⎨⎧-∙<a a a a ⎩⎨⎧=--<<⇔,01lg 3)(lg 4,102a a a 解得lga=41-或lga=1(舍去). ∴a=1041-.19.(10分)若函数y=(log a x)2-2log a x+b(0<a<1)的定义域为［2,4］,值域为［425,8］,求a 、b 的值.解析：令t=log a x,x ∈［2,4］. 又知0<a<1,∴log a 4≤t≤log a 2<0. ∴y=t 2-2t+b=(t-1)2+b-1.由二次函数图象知y=t 2-2t+b 在［log a 4,log a 2］上是减函数,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-4252log 2)2(log 84log 2)4(log 22b b a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇔,4252log 2)2(log ,82log 4)2(log 422b b a a a a解得log a 2=21-,即a=41,b=5. 故a=41,b=5. 20.(10分)某种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税p 元(即税率为p%),因此每年销售量将减少320p 万件. (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域. (2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元,问税率p%应怎样确定?(3)在所收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则应如何确定p 值? 解析：(1)由题意,该商品年销售量为(80320-p)万件,年销售收入为60(80320-p)万元.故所求函数为y=60·(80320-p)·p%.由80320-p>0且p>0得定义域为(0,12). (2)由y≥128得60(80320-p)·p%≥128.化简得p 2-12p+32≤0,即(p-4)(p-8)≤0,解得4≤p≤8.故当税率在［4%,8%］内时,政府收取税金将不少于128万元.(3)当政府收取的税金不少于128万元时,厂家的销售收入为g(p)=60(80320-p)(4≤p≤8). ∵g(p)为减函数,∴［g(p)］max =g(4)=3 200(万元).故当税率为4%时,厂家销售金额最大,且国家所收税金又不少于128万元.。

人教B版数学高一版必修1单元检测第三章基本初等函数(Ⅰ)

数学人教B 必修1第三章基本初等函数(Ⅰ)单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A ＝( )A ．(－∞，0]∪22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(－∞，0]∪2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭2．若log 2a ＜0，1>12b⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．a ＞1，b＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜03．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1 4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．3 B ．52 C ．6 D ．125．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x －1的图象必过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(0，－1)D ．(1，－1) 6．若log b a ＜0，则有( )A ．(a －1)(b －1)＞0 B ．(a －1)(b －1)＜0 C ．a ＞1,0＜b ＜1 D ．以上答案均错7．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩ D ．e ,0,=e ,0x x x y x -⎧≥⎨<⎩8．已知函数11,2,()=42,2x a x x f x a x ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭9．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2010)＝8，则222122010()()()f x f x f x +++的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 810．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知函数2log ,0,()=2,0,xx x f x x >⎧⎨≤⎩若1()=2f a ，则a ＝________. 12．若函数f (x )＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有f (x )＞1，则a 的取值的集合为________．13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值为________．14．函数3=31xx y +(x ∈[－1,1])的值域为__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f (2)＜f (log 2x )的解集为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)化简下列各式：(1)2132111136251546x yx y x y --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(xy )－1(x ＞0，y ＞0)．17．(本小题满分12分)求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的单调区间． 18．(本小题满分12分)已知函数11()=212xf x +-， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)证明当x ＞0时，f (x )＞0.19．(本小题满分12分)已知函数212()=log (23)f x x ax -+，(1)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围． 20．(本小题满分13分)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．用()=(0)e tVP P g t g r r ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦(P ≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g (0)表示湖水污染初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2)分析(0)<Pg r时，湖水的污染程度如何．参考答案1．A 点拨：∵121log 2x ≥，即11222log log 2x ≥，∴20<2x ≤，即2=0A x x ⎧⎫⎪⎪<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴R2=0A x x x ⎧⎪≤>⎨⎪⎪⎩⎭或. 2．D 点拨：∵log 2a ＜log 21，∴0＜a ＜1.∵011>1=22b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴b ＜0. 3．B4．C 点拨：∵x ·log 23＝1， ∴321==log 2log 3x . ∴3x ＋9x ＝3x ＋(3x )2＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋22＝6.5．B 点拨：根据指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)知，函数y ＝(1－a )x －1恒过定点(0,0)． 6．B 点拨：当b ＞1时，若log b a ＜0，则0＜a ＜1；当0＜b ＜1时，若log b a ＜0，则a ＞1.综上可知，a －1与b －1异号．故(a －1)(b －1)＜0.7．C 点拨：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩在(－2,0)上为增函数；y ＝e ,0,1,0ex x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩在(－2,0)上为减函数． 8．B 点拨：由01,10,4a a <<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 得0＜a ＜14.又f (x )在R 上为减函数，需满足211242a a ⎛⎫-⋅+≥ ⎪⎝⎭，即a 2－2a ≤0，a (a －2)≤0.∴0≤a ≤2.综上，知0＜a ＜14.9．C 点拨：222122010()()()f x f x f x +++＝222122010log log log a a a x x x +++＝222122010log ()a x x x ⋅⋅⋅＝log a (x 1x 2…x 2 010)2 ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2f (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.10．C 点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)．∴点M，N，P一定不是好点．可验证：12,2⎛⎫⎪⎝⎭过指数函数=2xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭，且过对数函数y＝log4x.Q(2,2)在xy和y x的图象上．11或－1点拨：当a＞0时，若1()=2f a，则21log=2a，∴12=2a当a≤0时，若1()=2f a，则12=2a，∴a＝－1.综上可知，a a＝－1.12．{a|1＜a＜2}点拨：若函数f(x)＝log a x在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则1,log21,aa>⎧⎨>⎩即1,log2log.a aaa>⎧⎨>⎩∴1＜a＜2.13．1e-点拨：由题意知y＝g(x)应为y＝e x的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图象关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即1=em-.14．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦点拨：∵1=113xy+，x∈[－1,1]，∴3－1≤3x≤31，即13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，141,433x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴13,44y⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.15．10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)点拨：因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＜f(log2x)，当log2x＞0时，有2＜log2x，解得x＞4；因为函数f(x)为偶函数，当log2x＜0时，有log2x＜－2，解得10<<4x，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)．16．解：(1)原式＝1112111(1)226336665(4)=24=245x y x y y⎛⎫------- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯-⨯-⋅⋅⎪⎝⎭.(2)112[()()]xy xy-⋅＝11111331233222222()=()xy x y xy x y xy---⋅⋅⋅⋅（）（）＝1122()()=()=1xy xy xy-⋅.17．解：由x2－6x＋8＞0，得x＞4或x＜2，故函数的定义域为(－∞，2)∪(4，＋∞)．因为y＝log2(x2－6x＋8)由y＝log2u和u(x)＝x2－6x＋8复合而成，而y＝log2u在定义域内为增函数，又u(x)＝x2－6x＋8在(－∞，2)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，故函数y＝log2(x2－6x ＋8)的单调增区间为(4，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．18．解：(1)∵2x －1≠0，即2x ≠1，∴x ≠0. 故f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵112112()===212122221x xx x x f x --++----，∴f (x )＋f (－x )＝111212=1=021222121x xxx x -++-+---. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0， ∴110212x+>-，即当x ＞0时，f (x )＞0. 19．解：(1)设g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. ∵f (x )的值域为(－∞，－1]， ∴12log ()1g x ≤-，即1122log ()log 2g x ≤，∴g (x )≥2.由3－a 2＝2，得a ＝1或a ＝－1. (2)要使f (x )在(－∞，1]内是增函数，需g (x )在(－∞，1]上为减函数且g (x )＞0对于x ∈(－∞，1]恒成立，∴1,(1)0,a g ≥⎧⎨>⎩即1,1230.a a ≥⎧⎨-+>⎩∴1≤a ＜2.故实数a 的取值范围是[1,2)．20．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，121=2t t . 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，1lg lg =2a b ⋅. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝22(lg lg )[(lg )(lg )]lg lg a b b a a b ++＝(lg a ＋lg b )·2(lg lg )2lg lg lg lg b a a ba b+-＝212222=1212-⨯⨯，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.21．解：(1)当湖水污染质量分数g (t )为常数时，g (t )的值与t 无关，故有(0)=0Pg r，∴(0)=P g r ，即湖水污染初始质量分数为P r. (2)当g (0)＜P r 时，g (0)－Pr＜0.又∵e tV随t 的增大逐渐增大，∴g (t )为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．。

高中数学必修1基本初等函数基础训练

数学测试一、选择题1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（）A ．2x y = B ．x x y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log = 2．下列函数中是奇函数的有几个（） ①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称4．下列函数为偶函数是是（）A ）f(x)=x 2+x-1B ）f(x)=x|x|C ）f(x)=x 2-x 3D ）()f x =5．函数y = ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2(,1]3 6．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D . 60.70.7log 60.76<<7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（）A ．3ln xB ．3ln 4x +C ．3x eD ．34xe + 二、填空题1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是。

2．若3)1()(2++-=mx x m x f 是偶函数,则)(x f 的递增区间是____________。

3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。

4．函数1218x y -=的定义域是______；5．判断函数2lg(y x x =的奇偶性。

三、解答题1.已知二次函数f(x)的图像的顶点是（-1，2），且过原点，求f(x)的表达式附加题。