方差分析(2)

ST = S1 + S2
上式表明， 上式表明，总的偏差平方和可以分解为组间偏差平方和 与组内偏差平方和之和。 与组内偏差平方和之和。前者表征了由于因素水平的改变而 引起的数据波动， 引起的数据波动，后者则表征了由于试验存在随机误差而引 起的数据波动。 起的数据波动。
列数据计算表
水 平 重 复 数 1 2… x12… x22… j… x1j… x2j… k 合 计 平均值
f2 = fT − f 1
（5）显著性 ） 为分析条件误差的显著性，常使用 检验 试验的F值 检验。 为分析条件误差的显著性，常使用F检验。 试验的 值 因素方差（组间） 因素方差（组间） 误差方差（组内） 误差方差（组内）
V S1 / f1 F= 1 = V2 S2 / f2
根据F值的大小及给定的显著度 α ，就可判断因素对 根据 值的大小及给定的显著度 值的大小及给定的 试验指标的影响相对于试验误差对试验指标的影响是否显 值越大， 著。F值越大，因素的影响越显著。 值越大 因素的影响越显著。 可从F分布表中查得 根据自由度 f 1 、 f 2 及显著水平α ，可从 分布表中查得 在这些条件下的临界F值 若实际的F值大于此临 在这些条件下的临界 值—— F 。若实际的 值大于此临 α 界值 Fα ，则可认为有 (1 − α ) 的把握说因素对试验指标有显 著影响。 著影响。
计算表中的数据按以下公式计算： 计算表中的数据按以下公式计算：
Ti = ∑xij
j=1
k
1 1 k xi = T = ∑xij i k k j=1 T = ∑Ti = ∑∑xij
i=1 i=1 j=1 m m k
1 1 m 1 m k 1m k x= T = ∑xi = ∑∑xij = n∑∑xij m k m i=1 m i=1 j=1 k i=1 j=1
则
ST = Q −CT T S1 = Q − CT 1 S = Q − Q 或 = S − S） （ S2 2 T 1 T 1
此外，当 xij 的数值 此外， 较大时，可对全部数据 较大时， 进行相同的加、减、乘、 进行相同的加、 除运算，从而将它们转 除运算， 换成较小的，这样可以 换成较小的， 简化计算而不影响方差 分析的结果（左侧的CT 分析的结果（左侧的 称为校正系数）。 称为校正系数）。
水平 试验号 1 2 3 4 5 平均值
A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4
A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
组间偏差平方和S ◆ 组间偏差平方和 1 将各组（各水平下） 将各组（各水平下）的组内平均值对总平均值的偏差平 方并求和后再乘以n，所得到的结果。 方并求和后再乘以 ，所得到的结果。 组间偏差平方和反映 i=1 了条件误差的大小， 了条件误差的大小， 本例中， 本例中， 是条件误差的定量估 S1 = 5( µ1 − µ )2 + 5( µ 2 − µ )2 = 184.90。 计。
水平 试验号 1 2 3 4 5 平均值 A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4 A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
水平(i) 水平 试验号(j) 试验号 1 2 3 4 5 平均值
A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4
A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
µ = 75.7
为表征试验误差、条件误差，引入以下几种偏差平方和。 为表征试验误差、条件误差，引入以下几种偏差平方和。
水平 试验号 1 2 3 4 5 平均值
A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4
A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
◆ 组内偏差平方和 S2 将各水平下的偏差平方并求和， 将各水平下的偏差平方并求和，最后再将各水平下的偏 差平方和相加后所得到的结果。 差平方和相加后所得到的结果。 组内偏差平方和反映 m k 了试验误差的大小， 了试验误差的大小， 2 S2 = ∑∑(xij − µi ) 是试验误差的定量估 i=1 j= 1 计。 本例中， 本例中，S 2 = 429.20 + 680 = 1109.20 。
A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4
A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
（1）组内平均值 µi ） 某一因素水平A 下所有试验数据的平均值。 某一因素水平 i下所有试验数据的平均值。
1 k µi = ∑xij (i = 1,2,⋯, m) k j=1
组内平均值用作该水平下试验结果真值的估计值， 组内平均值用作该水平下试验结果真值的估计值，因 组内偏差反映的是第 此水平A 所对应的组内偏差 组内偏差可表示成 此水平 i所对应的组内偏差可表示成
2
S1 = ∑ k(µi − µ)
m
[
]
总的偏差平方和S ◆ 总的偏差平方和 T 全部试验数据对总平均值的偏差的平方和。 全部试验数据对总平均值的偏差的平方和。
m k
ST = ∑∑ xij − µ)2 (
i= j = 1 1
本例中， 本例中，ST = 1294 .10 。 三个偏差平方和之间的关系： 三个偏差平方和之间的关系：
A1 A2 … Ai … Am
总 和
x11 x21 … xi1 … xm1
x1k x2k … xik … xmk
T1 T2 … Ti … Tm T
x1
x2
…
xi2…
…
xij… … xmj…
…
xi
…
xm2…
…
xm
x
单因素A有 个水平 个水平A 每个水平下重复试验k次 单因素 有m个水平 1~Am，每个水平下重复试验 次， 试验中第i个水平下的第 次重复试验的结果为x 个水平下的第j次重复试验的结果为 试验中第 个水平下的第 次重复试验的结果为 ij。
0.05 1 2 0.10 1 2
改变对试验指标的影响比较显著，称“该因素较显著”， 改变对试验指标的影响比较显著， 该因素较显著” 记作“ 记作“（*）”； ） ★ 若 F .10( f1, f2 ) ≥ F > F .25( f1, f2 ) ，表示试验因素水平的 0 0 改变对试验指标的影响比较小， 改变对试验指标的影响比较小，称“该因素不显著但有影 记作“ 响”，记作“[*]”； ； ★ 若 F ≤ F .25( f1, f2 ) ，表示试验因素水平的改变对试验指 0 标基本无影响， 该因素无影响” 不作标记。 标基本无影响，称“该因素无影响”，不作标记。
F分布表（临界值 F 表） 分布表（ 分布表 α (α = 0.25)
F分布表（临界值 F 表） 分布表（ 分布表 α (α = 0.10)
F分布表（临界值 F 表） 分布表（ 分布表 α (α = 0.05)
F分布表（临界值 F 表） 分布表（ 分布表 α (α = 0.01)
★ 若 F > F .01( f1, f2 )，表示试验因素水平的改变对试验指 0 标的影响特别显著， 该因素高度显著” 记作“ ” 标的影响特别显著，称“该因素高度显著”，记作“**”； ★ 若 F .01( f1, f2 ) ≥ F > F .05( f1, f2 ) ，表示试验因素水平的 0 0 改变对试验指标的影响显著，称“该因素显著”，记作 改变对试验指标的影响显著， 该因素显著” “*”F ( f , f ) ≥ F > F ( f , f ) ，表示试验因素水平的 ” ★若；
V = S1 / f1 1
总的偏差平方和的自由度 fT = mk −1= n −1 （有一个总平均值的约束） 有一个总平均值的约束） 组间偏差平方和（因素） 组间偏差平方和（因素）的 自由度
f1 = m−1
（有一个总平均值的约束） 有一个总平均值的约束） 组内偏差平方和（误差） 组内偏差平方和（误差）的 自由度
（4）方差 V （variance）（也可表示为均方MS（mean squares）） ） ） 偏差平方和虽然可用来表征条件误差、试验误差的大小， 偏差平方和虽然可用来表征条件误差、试验误差的大小， 但由于其中包括了求和项数（自由度）的影响， 但由于其中包括了求和项数（自由度）的影响，常随样本容 量大小而改变，为便于比较， 量大小而改变，为便于比较，用求和项数即自由度来除偏差 平方和，得到了方差 方差。 平方和，得到了方差。 ◆ 组内方差 2 组内方差V 组内偏差平方和除以其自由度所得到的结果。 组内偏差平方和除以其自由度所得到的结果。 V2 = S2 / f2 组间方差V ◆ 组间方差 1 组间偏差平方和除以其自由度所得到的结果。 组间偏差平方和除以其自由度所得到的结果。
n = mk ——总的试验数据个数 总的试验数据个数
偏差平方和的分解也可采用下面的简便计算方法： 偏差平方和的分解也可采用下面的简便计算方法： 令
m k 2 Q = ∑∑xij T i=1 j=1 T2 T2 = CT = m k n 2 m k 1 1 Q = k ∑ ∑xij i=1 j=1
xij − µi
( j =1 2,⋯ k) , ,
(i = 1,2,⋯ m) ,
i个水平条件下的试 个水平条件下的试 验误差。 验误差。
水平 试验号 1 2 3 பைடு நூலகம் 5 平均值
A1（30℃） ℃ 75 78 60 61 83 71.4
A2（40℃） ℃ 89 62 93 71 85 80.0
（2）总平均值 µ ） 所有水平下的全部试验数据的平均值。 所有水平下的全部试验数据的平均值。 1 m k µ= ∑∑xij (i =1,2,⋯, m; j =1,2,⋯, k) mk i=1 j=1 本例中， 本例中，µ = 75.7 。 （3）偏差平方和（平均值不能反应样本的总变异程度） ）偏差平方和（