第1章小结与思考2

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小结与思考(2)教案

第六章《二次函数》小结与思考（2）教案课型：复习课时间：2011-1-6 主备：熊诚燕审核：九年级数学组一、学习目标：注重知识梳理，让零散的知识结构化、系统化；注重问题解决，将类似的问题联系起来，形成方法的总结；重点培养数形结合的思想。

二、学习重点与难点：（1）体会二次函数的意义，能在实际问题中建立恰当的函数关系式；（2）会用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.三、复习指导：问题一：某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件(1)假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)（本题复习如何在实际问题中建立恰当的函数关系式）（类比巩固：课本34页10题，把过程下来）问题二：课本34页6题。

（本题复习如何建立恰当的平面直角坐标系，将抛物线型拱桥问题数学化）（类比巩固：课本34页5题，把过程下来）问题二：某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ）（1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH （H 、G 分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG .已知矩形EFGH 的周长为27.5 m ，求G 点坐标。

（本题要求灵活用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. ）（类比巩固：课本35页12题，把过程下来）补充练习：1、如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-, ()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．42、如图，正方形A B C D 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形A B C D 的顶点上，且它们的各边与正方形A B C D 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（）3、初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =y=．4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额-总成本）为P 元，求P 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？6、某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。

小结与思考(2)

第一章小结与思考学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习难点：性质定理和判定定理的应用学习过程：一．知识点：1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。

”填表：直角三角形全等的判定方法有：。

二、例题学习1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。

如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。

那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。

2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（） A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1）求证：BD =CD ；⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

RP D CB AEFD图1A BCE【课后作业】1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是(A)45°(B)55° (C)125°(D)145°2．如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是(A)4(B)5(C)6(D)73、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,E F ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点，且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．O N MFECA 6、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系（不要求证明）．7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 相邻的外角平分线CF 于是点F . （1）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（2）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，试判别△ABC 的形状，并证明理由.8、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长；若不能，请说明理由. （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.DA BCF ED C B A 图1CD E PA B图3DECPAB图2 DCPEBAE图4。

小结与思考(2)

3219,423.x y x y ⎧⎨⎩+=+=26,4327.x y x y ⎧⎨⎩+=+=211,43x y x y ⎧⎨⎩+=+=211,4327.x y x y ⎧⎨⎩+=+=图2图1 第十章二元一次方程组小结与思考2教学目标1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.2.学会解决实际问题,分析问题能力有所提高.教学难点找出实际应用问题中的等量关系.教学过程一．复习引入：利用方程组解决实际问题的方法和步骤：1．理解题意，明确数量关系 2．找相等关系3．设未知数 4．列出二元一次方程组5．解这个二元一次方程组 6．检验并作答二．基础练习：1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y ⎧⎨⎩+=+=类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A ．B ．C ．D ． 2.有甲、乙两种铜银合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%，现在要熔成含银30%的合金100千克，这两种合金各取多少千克？3.甲、乙两地之间路程为20km,A,B 两人同时相对而行，2小时后相遇，相遇后A 就返回甲地，B 仍向甲地前进，A 回到甲地时，B 离甲地还有2km,求A,B 两人速度.三．例题讲解：例1.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是两位数；1h 后看到里程碑上的数与第一次看到的两位数恰好颠倒了数字顺序；再过1h 后，第三次看到的里程碑上的数字又恰好是第一次见到的数字的两位数的数字之间添加一个0的三位数，这3块里程碑上的数各是多少？例2．七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额.四．巩固提高：1.某船在静水中的速度为4千米/时，该船于下午1点从A 地出发，逆流而上，下午2点20分到达B地，停泊1小时后返回，下午4点回到A 地.求A 、B 两地的距离及水流的速度.2.某乐园的价格规定如下表所列,某校七年级(1)、(2)两个共104人去游乐园,其中(1)班人数较少,不足50人,(2)班人数较多,超过50人,经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元;问两班各有多少名学生? 如果两班联合起来,五．归纳总结：利用方程组解决实际问题的基本步骤？比去年增加【课堂检测】1、如图AB ⊥BC,∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程是：（）A 、9015x y x y +=⎧⎨=-⎩B 、90215x y x y +=⎧⎨=-⎩C 、90152x y x y +=⎧⎨=-⎩D 、290215x x y =⎧⎨=-⎩2、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（）A 、4 个B 、5 个C 、6个D 、7个3、根据图给出的信息，求每件恤衫和每瓶矿泉水的价格.4、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子其中一部分在树上欢歌，另一部分在一地上觅食，树上的鸽子对地上觅食的鸽子说：“若你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一，若树上的鸽子飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？5、某市电信局现有600部已申请装机的固定电话沿待装机，此外每天还有新申请装机的电话也待装机，设每天新申请装机的固定电话部数相同，每个电话装机小组每天安装的固定电话部数也相同，若安排3个装机小组，恰好60天可将待装固定电话装机完毕；若安排5个装机小组，恰好20天可将待装固定电话装机完毕.求每天新申请装机的固定电话部数和每个电话装机小组每天安装的固定电话部数.6、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力为：如制成酸奶，每天可加工3吨，制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？。

第1章全等三角形(小结与思考)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)

∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2+∠4＝90°，
而：∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4+∠5＝225°．
巩固练习
3.（2023春·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）如果△ABC
的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两
个三角形全等，则x的值为（ C ）
∵ AF⊥CD ，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°-∠ACF=25°.
D．65°
巩固练习
2.（2022秋·山东泰安·九年级校考期末）如图，正方形的网格中，
∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于（ D ）
A．175°
B．180°
C．210°
D．225°
解：∵∠1和∠5所在的三角形全等，
1
2
∴∠1+∠5＝90°，
故不能成立．
综上，运动4分钟后，△ 与△ 全等.
D
Q
C
A
P
B
考点分析
全等三角形性质的“两点应用”:
(1)求线段:全等三角形的对应边相等,可以利用这一性质直接确定
对应边的数量关系,也可以间接求解相关线段的长度等问题;
(2)求角:全等三角形的对应角相等,可以利用这一性质直接确定对
应角的数量关系,也可以间接求解相关角的度数等问题.
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出．
解:（1）3对．分别是：△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．
解：（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

苏教版八年级数学上册第一章小结与思考

N MA B C第一章轴对称图形—小结与思考【学习目标】1、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；2、会画已知点、线段、三角形关于已知直线l 的对称图形；3、知道线段、角、等腰三角形、等腰梯形的轴对称性及其相关性质。

【自主学习】1、下列图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形．．．．．的是（ )2．如图所示，画出△ABC 关于直线MN 的轴对称图形.3.垂直并且平分一条线段的，叫做这条线段的垂直平．．．分线．．。

4.线段是图形，有条对称轴，分别为；线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离；到线段两端距离相等的点，在这条线段的。

5.角是图形，它的对称轴是；角平分线上的点到角的两边距离；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的上。

6.等腰三角形是图形，它的对称轴是；等边三角形是图形，有条对称轴。

7.等腰三角形的、、互相重合。

8．等腰梯形是图形，它的对称轴是【检测反馈】1．如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n 的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹)2．下列说法中正确．．的是( )A．两个全等三角形成轴对称B．两个三角形关于某直线对称，不一定全等C．线段AB的对称轴垂直平分ABD．直线MN垂直平分线段AB，则直线MN是线段AB的对称轴3、如果两个图形关于某直线对称，那么连结的线段被垂直平分.4、成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角__ __.5、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，△ACE的周长为11cm，AB＝4cm，则△ABC的周长为__________cm.【课后学习】6. 如图，在△ABC中，CD与CF，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．7. 已知直线l及其两侧两点A、B，如图.（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.(以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法)考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m ≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx ＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，即－4k－11>0，∴k<－114，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－114，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

大一思修第一章心得体会

大一思修第一章心得体会思修课程是一门重要的思想政治理论课，作为大学生活的开始，我对于第一章的学习收获颇多，深感思修课的重要性。

以下是我对于第一章的心得体会。

本章主要介绍了马克思主义哲学的基本概念和历史发展。

首先，我们学习了物质与意识的辩证关系。

作为马克思主义哲学的基础观点，唯物论认为物质是客观存在的，意识是主观反映。

这一观点对我产生了深刻的启示，使我认识到物质是我认识世界的基础，只有对物质世界进行准确的感知和认识，才能获得真实的知识。

其次，我们学习了辩证法的基本原理。

辩证法是马克思主义哲学的核心方法论，它包括对立统一、矛盾普遍性、否定之否定等基本原理。

通过学习辩证法，我深刻认识到世界上不存在一成不变的事物，所有事物都是相互联系、相互影响的。

这样的认识不仅加深了我对于事物本质的理解，也让我更加谨慎地看待问题，尽可能地全面、客观地分析事物的发展变化。

马克思主义哲学还提出了历史唯物主义和历史辩证法的观点。

历史唯物主义认为历史是社会发展的客观规律，而历史辩证法则指出了历史发展的矛盾性和阶段性。

通过学习这些观点，我认识到历史发展不是偶然的，而是由一系列客观因素推动的。

对于我来说，这意味着要从历史中吸取教训，不断总结经验，为未来的发展提供借鉴。

此外，我们还学习了社会发展的基本规律和社会主义初级阶段理论。

社会发展的基本规律包括生产力和生产关系、经济基础和上层建筑等方面的相互作用。

社会主义初级阶段理论则强调了在社会主义初级阶段，我国仍然存在着阶级和阶级斗争。

通过学习这些理论，我更清晰地认识到社会变革的复杂性和局限性，也为我今后作为一名大学生需要有正确的价值观和社会责任感提供了指导。

总之，大一思修第一章的学习使我对于马克思主义哲学有了更深入的了解，也让我认识到思修课程对于大学生来说的重要性。

作为一门思想政治理论课，思修课通过学习马克思主义哲学的基本原理和历史发展，为我们提供了正确的世界观和方法论。

我相信，在今后的学习和生活中，我会紧密结合实际，运用所学知识，以积极的态度去探索世界、改造世界。

第1章小结与思考苏科版八年级数学上册

∠DEB=∠ACB=90°.
∴∠BEF=180°-∠DEB=90°.
在Rt△BEF和Rt△BCF中,
旋转变换作为全等变换，在图形变换前后，对应线段、对应角保持相等关系.类似的还有平移变换、
翻折变换.
二、典型例题
例3：如图，在△ABC中, AD为BC边的中线. 求证：AB+AC >2AD.
[分析]要确定线段间的不等关系，通常在三角形中利用“两边之和大于
A
举反例是说明命题是假命题的重要方法.
①②④组合不能判定两个
[分析]画出草图,对照判定定理三角形全等，可以通过如
B
C 可知：
下图形举反例说明.
D
①②③组合满足“边角边”条件;
A(D)
①③④组合满足“角角边”条件；
E
F ②③④组合满足“角边角”条件. B
E
C(F)
变式训练
已知下列4个条件：①AB=m, ②AC=n,③∠A=α，④∠C=β，从中选择三个作为条件，能运用尺规作图作出唯一的△ABC 的组合有：_①__②_③__、__①__③_④__、__②_③__④__.
变式训练
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，在旋转过程中，直线DE与AC边交于点F. 当点E落在△ABC内部时，猜测线
段AF、EF、DE间的数量关系，并证明你的结论.
B C FE
[分析]在△ABC旋转的过程中DE=AC=AF+CF，只要将EF转化为CF即
边之间的关系，列出不等式：AC－CE<AE<AC+CE，从而得到：
BD
2cm<2AD<14cm，即AD的取值范围为1cm<AD<7cm. C

数值分析第一章小结

第1章绪论--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会通过对本章的学习，我发现原来好多科学技术都离不开数学。

首先，对于我们工科专业软件的计算过程中，我了解到数值分析已经被公认为与理论分析，实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

它有一个逻辑性很强的求解过程：提出实际问题，建立数学模型，提出数值问题，设计可靠、高效的算法，程序设计、上级实践计算结果，计算结果可视化。

这种严密的逻辑完全可以应用在我们的生活中，正如我们去解决好多问题都可以通过提出问题，假设方法，验证正确性，解决问题。

当然对于本章的一些相关概念还理解的不是十分明白，希望在今后的学习中真正能从学过了变成会学了。

二、本章知识梳理1.1数值分析的研究对象研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法及有关理论. 数值问题:输入与输出均为数据的问题.数值方法: 求解数值问题时，在计算机上可执行的系列计算公式. 数值算法: 有步骤地完成求解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

1.2误差知识与算法知识1.2.1误差的来源与分类1.2.2绝对误差，相对误差与有效数字(1)绝对误差：精确值与近似值的差.(2)相对误差:绝对误差在原数中所占比例.(3)有效数字：有效数字=可靠数字+存疑数字.1.2.3函数求值的误差估计误差估计的一般运算一元函数:x ≈a,f(x)≈f(a)e(a)=x-ae(f(a))=f(x)-f(a)≈f ’(a)(x-a)二元函数：(,)(,)((,))()()f a b f a b e f a b e a e b x y∂∂≈⋅+⋅∂∂ (,)(,)((,))||()||()f a b f a b f a b a b x y ∂∂ε≈⋅ε+⋅ε∂∂ 1.2.4算法及其计算复杂性1.算法：有步骤地完成解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

2.好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。

1.10有理数七上第1章小结与思考(2)

1.10 《有理数》小结与复习（2）【学习目标】复习有理数的运算法则，能熟练地进行有理数的混合运算及科学记数法【学习难点】正确熟练地进行有理数的混合运算.教学过程:（一）复习回顾1、试一试：请你说出加、减、乘、除、乘方的运算法则。

2、有理数的混合运算顺序是怎么规定的？3、什么是科学记数法？基础训练:1．填空：（1）504.03是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到，有效数字是，用科学记数法可表示为 .(2)如果a 为有理数,那么在|a |, －|－a |，a 2 ，(－a)2, －a 3, －(－a)3这几个数中,一定是非负数的是 .(3)我国的国土面积为960万km 2，西部地区占国土面积的23，用科学记数法表示西部地区面积约为 km 22. 计算：（1）－9+5×(－6)－12÷(－6) （2） 214×（—67）÷（12—2）（二）例题选讲：例1．计算下列各题：（1）5÷[12－(－1+13)]×4 （2）(－12)–2× (－0.5)2+32÷(－3)(3) －32×1.22÷(－0.3)3+(－13)2×(－3)2÷(－1)25例2 完成下列计算:1 + 3 = ?1 + 3 + 5 = ?1 + 3 + 5 + 7 = ?1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ?1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ?根据计算结果，你发现了什么规律？例3.（24点游戏）从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4取，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数.J 、Q 、K 分别代表11，12，13.（1）抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，如何凑成24：（2）如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24吗？（3）黑桃Q ，红桃Q,梅花3,方块A 呢？(三) 课堂小结本课时是复习课．通过习题，复习、巩固有理数的加、减运算以及加减混合运算的法则与技能．讲课前教师要认真总结、分析学生在进行有理数加、减混合运算时常犯的错误，以便在这节课分析习题时，有意识地帮助学生改正。

第一章小结与思考(1)

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF. (1)求证：BD=CD； (2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE, AF∥CD,E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当AB=DC时，求证：□AEFD是矩形
2、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
3、下列命题为真命题的是（） A：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分; B：对角线相等且相互平分的四边形是正方形; C：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形; D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
4、下列命题是假命题的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形; C、四条边相等的四边形是菱形; D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5、在□ ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且AE＝2， DE＝1，则□ ABCD的周长等于．
2、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结 AE、DE． (1)试判断四边形AODE的形状,说明理由； (2)请你连结EB、EC，并证明EB=EC．
3、已知：平行四边形ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点，求证：BM=DN ，BM∥DN.
回忆
• • • • 4. 等边三角形的判定: ______个角都相等的三角形是等边三角形; 有_____个角是600的三角形是等边三角形; 有一个角是600的_____三角线段垂直平分线上的点 • 到线段_______的距离相等;

第一章+一元二次方程(小结思考)(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件(苏科版)

向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点
C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点
Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝____cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．
(5－t)
2t
解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，
9月份营业额的月增长率．
解：(1)450＋450×12％＝504（万元），
答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店8、9月份营业额的月增长率为x，
由题意，得350(1＋x)2＝504，
解得x1＝0.2=20％，x2=－2.2（舍去），
答：该商店8、9月份营业额的月增长率为20％．
+ ( + ) + ( + ) =∴ ( − )( + ) = ，
∴ = . = %或 = −. (不合题意，舍去)，
答：进馆人次的月平均增长率为%．
增长率类
例2 ()因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆
一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( D )
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
解：设正方形铁皮的边长是xcm ，
则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2) cm，高为3cm，
根据题意列方程得 (x-3×2)(x-3×2)×3=300，
解得 x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；
A
D
B
C
图1
解：()根据题意得， =

人教版部编初中九年级数学(上册)第一章回顾与思考WORD

第一章特殊平行四边形回顾与思考一、学生知识状况分析“特殊的平行四边形”是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。

本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。

研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。

二、教学任务分析本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、正方形的内在关系：不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。

通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。

本节共一个课时，已总结和简单练习为主。

1．知识目标：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。

2．能力目标：（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.4. 教学重点（1）三种特殊平行四边形性质和判定的复习. （2）三种特殊平行四边形的关系.4．教学难点总结关系方法的多样性和系统性。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：交流创意,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：交流创意，导入课题内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。

苏科版八年级数学上册第一章小结与思考(2).docx

初中数学试卷桑水出品小结与思考（2）【课前准备】1.如图，AB ⊥MN 于B ，CD ⊥MN 于D ，AB ＝CD ，MB ＝ND .试说明：△ABN ≌△CDM .2．如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD . 试猜想线段CE 与DE 的大小与位量关系，并说明你的结论.探究与合作两个大小不同的等边三角形如图（1）所示位置摆放（使点B 、O 、D 在同一条直线上），连结AD 、BC 。

(1)AD 与BC 有何关系吗？说明你的理由。

(2)说明图（1）的哪一个三角形可以通过怎样的变换得到另一个三角形？(3)将△COD 绕O 点逆时针旋转，使OC 落在OA 上，如图（2），的结论仍然成立吗？试加A BDCN ME A BDCD O CBAA BC OD A BC ODA BCOD图（1）图（2）图（3）图（4）以说明。

(4)继续将△COD绕O点逆时针旋转，使OC落在△AOB的内部，如图（3），（1）的结论仍然成立吗？(5)在将△COD绕O点逆时针旋转的过场中，当A、D、C三点共线时，如图（4），你又会有何新的发现，与同伴交流。

【当堂反馈】1．已知，如图，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形．ODCBA（第1题图）2．如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．3．七（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB 的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。

（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。

第一章小结与思考

华杰双语学校建构式生态课堂八年级数学教案比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！总编号：012 备课日期:2012-9-9 上课时间：2012-9-17 主备人：王晓艳课题：第一章小结与思考自研课（时段：晚自习时间： 15 分钟）一、知识点：1. 两个图形成轴对称：2. 轴对称图形：3.垂直平分线：4.轴对称的性质：（1）（2）5. 线段是轴对称图形，线段的就是它的对称轴。

线段的垂直平分线上的点到的距离相等。

到线段两端距离相等的点，在这条线段的上。

6.角是图形，角平分线所在的直线是它的角平分线上的点到角的两边角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的7.等腰三角形的两个相等。

（简称：）等腰三角形的顶角、、互相重合。

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的。

直角三角形斜边的中线三角形是等边三角形。

有一个角是的是等边三角形。

8.等腰梯形的定义它是图形，是它的对称轴。

等腰梯形的性质①②在两个角的梯形是等腰梯形。

展示课（时段：正课时间： 45 分钟）教学目标（1min）：1、进一步巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题；2、进一步巩固轴对称和轴对称图形的性质，培养学生有条理地说理能力。

教学反思：训练课（时段：晚自习，时间： 30分钟）“日日清巩固达标训练题”基础题：1．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（）个A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．角是轴对称图形，它有_______条对称轴．是它的对称轴。

3．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=____ ____．4．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________．5．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5，Q 是OB 上任一点，则（）A ．PQ ＞5B ．PQ≥5 C．PQ ＜5 D ．PQ≤56．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为（）A ．3cm 或5cmB ．3cm 或7cmC ．3cmD ．5cm7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________．8.下列各数中，成轴对称图形的有（）个.9.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）.（A ）80° （B ）20° （C ）80°或20°（D ）不能确定10. 如图，D 是 ABC 中BC 边上一点，AB=AC=BD ，则∠1和∠2的关系是（）.（A ）∠1=2∠2 （B ）∠1+∠2=90° （C ）180°-∠1=3∠2 （D ）180°+∠2=3∠1发展题： 11．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．12．（1）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE=CA.求∠DAE 的度数（2）如果把第（1）题中“AB=AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BA C ﹥90°”，其余条件不变那么∠DAE 与∠BAC 有怎样的大小关系？·D。

高等数学第一章的总结

则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
数列的有界性：
定义: 使得一切正定义对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正成立, 有界, 整数 n , 恒有 x n ≤ M 成立则称数列 x n 有界否则, 称为无界. 否则称为无界
lim f ( x ) =
P ( x0 ) = lim Q ( x ) Q ( x 0 ) = f ( x 0 ). x→ x
x → x0
0
lim P ( x )
x → x0
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
例
4x − 1 . 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
x →1
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
称 f ( x )为奇函数 ;
y
y = f ( x)
f ( x)
-x o
f (− x )
x
x
奇函数
函数的周期性: 函数的周期性
设函数 f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D.且 f ( x + l ) = f ( x )
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法

高等数学第一章的总结

例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求时, 设不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.

苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程小结与思考课件

【求解】
解方程 x2 28x 96 0
x2 28x 96 0(配方法)
x 14 10, x 14 10
x2 28x 96 0(因式分解法 ) x2 28x 96 0(公式法) 一元二次方程
x 4 0, x 24 0
x 28 400 , x 28 400
2
小结与思考
初中数学
一元二次方程小结与思考
【问题情境】
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内，要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？
例如：在空地中间开辟一个矩形的花圃，四周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的面积相等。你能计算出道路的宽吗？
32
x
x
x
24
x
一元二次方程的定义
2.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少?
选做题：
1、用配方法证明：
x2 4y2 2x 4y 3的值不小于1
2、已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,求m2+n2的值。
3、设m、n分别为x2+2x-202X=0的两个实数根,求m2+3m+n的值。
x2 b x c .
a
a
2
2
x2 b
x
b
b
c .
a 2a 2a a
2
b
b2 4ac
x 2a
4a 2
.
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
公式法的应用
一元二次方程根的判别式

苏科版八年级数学上册第一章小结与思考(3)

8、（10分）如图，四边形ABCD中，∠AB，CF⊥AD.
试说明：（1）△CBE≌△CDF;（2）AB＋DF＝AF.
9、（本题16分）（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．
（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形）
①如图1，求证：；
②探究：如图1，；如图2，；
如图3，．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4，（用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
3、（10分）如图，AD平分∠BAC，∠BAC＋∠ACD＝180°，E在AD上，BE的延长线交CD于F，连CE，且∠1＝∠2，试说明AB＝AC.
4、（10分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，问：DE和EF是否相等？并说明理由．
解答题
1、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。(尺规作图)（10分）
l2
·B
A·
l1
2、（10分）已知：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，
5、（10分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，ΔABC与ΔDCB全等吗？为什么？
6、（10分）如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长。

第1章小结与思考2

小结与思考(2)教案

小结与思考(2)

小结与思考(2)

第1章全等三角形(小结与思考)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)

苏教版八年级数学上册第一章小结与思考

大一思修第一章心得体会

第1章小结与思考 苏科版八年级数学上册

数值分析第一章小结

1.10有理数七上第1章小结与思考(2)

第一章小结与思考(1)

第一章+一元二次方程(小结思考)(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件(苏科版)

人教版部编初中九年级数学(上册)第一章回顾与思考WORD

苏科版八年级数学上册第一章小结与思考(2).docx

第一章小结与思考

高等数学第一章的总结

高等数学第一章的总结

苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程小结与思考课件

苏科版八年级数学上册第一章小结与思考(3)

第1章小结与思考苏科版八年级数学上册