数学分析 101102一致收敛

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数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是有界的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的变化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函数项级数在每个点的邻域内都是连续的。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是连续的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的值是平滑变化的，没有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中，一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表明实数具有某些理想的完备性。利用一致收敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套定理等。这些定理在实数理论中起着至关重要的作用，为实数性质的研究提供了重要的理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

数学分析课件一致收敛性资料讲解

列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
前页后页返回
或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
0, | x | 1,
f
(
x)

1,
x 1.
证任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
前页后页返回
如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数

10.110.2一致收敛

n1 n ln n
n1 n ln n
不一致收敛．
例７：证明：函数项级数 xn 1 x2 , x 0,1 上一致收敛，但是 n0
xn 1 x, x 0,1 上不一致收敛。
n0
证明：首先考虑 xn 1 x2 n0
由于：Sn x
n
xk 1
x2
1
xn
1 x , x 0,1
k0
0 x 1
n p
akbk
k n1
2M
8M
2
8M
,
I
,
p.
由柯西收敛原理，
an ( x)bn ( x)在I上一致收敛.
n1
例10.
证明
cos nx,
sin nx在[ ,2
]上一致收敛.
n1 n n1 n
证明：
取an
cos nx,bn
1 n
,
则
bn
(
x
)单调减趋于0.
n ak (x)
k 1
n1
例 11.
n2
(1)n(2 xn ln n(1 xn )
)
arctan
nx
,
x
[0,
)
解：
(1)n一致收敛
n2 ln n
bn
2 1
xn xn
1
1 1 xn
,固定x [0,1],bn ( x)递增
2.
n2
(1)n ln n
2 1
xn xn
在[0,1]上一致收敛.
固定x [1,],bn ( x)递减, 2
(
x
)
lnimu1
(
x
)
u2
(

函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

n来自1二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不

数学分析一致收敛函数列和函数项级数的性质讲解-推荐优秀PPT

下面证明 lim f(x ) lim lim f(x ) A . 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
上都收敛于0, 由于
上的连续性、可积性与可微性. x x 0
x x 0 n n
注意到与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导
| f(x)A|
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
n
显然 { fn( x)}是[ 0 , 1 ] 上的
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x[0,1], lni m fn(x)0. O
x x0
x li m x 0f(x ) l n i m f n (x 0 ) f(x 0 ) , 因此 f(x )在 x 0 上连续 .
定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数
列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函的各项在(1, 1] 上都是连续的, 但
( 1 )
证先证 { a n } 是收敛数列. 对任意 0 , 由于{ f n } 一
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切 x (a ,x 0 ) (x 0 ,b )有
|fn (x)fn p(x)|.
从而
|a n a n p | x l i m x 0 |f n ( x ) f n p ( x ) | .
若 f n ( x ) 在 ( a , b ) 上一致收敛 , 且 x l i m b f n ( x ) 存在 , 则有
x li m b l n i m f n (x ) l n i m x li m b f n (x ) .

数学分析1002一致收敛

数学分析1002一致收敛数学分析中的一致收敛是一种重要的收敛性质，它指的是一列函数在定义域上的每个点处都收敛，并且收敛到相同的极限。

在本文中，我们将简要介绍一致收敛的概念，讨论它的性质和一些重要的定理，以及一些应用。

首先，让我们正式定义一致收敛。

考虑一个定义在实数集上的函数序列{fn(x)}，其中n为正整数。

我们说该序列一致收敛于函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，对于所有的x属于实数集，满足，fn(x)-f(x)，<ε。

换句话说，一致收敛就是对于任意的ε>0，我们都可以找到一个序列的索引N，该序列从第N项开始，所有的函数都在ε邻域内。

首先来看一致收敛的性质。

如果一列函数在一些点x处一致收敛，则它在该点处也是收敛的。

这是因为一致收敛意味着对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，对于所有的x属于实数集，满足，fn(x)-f(x)，<ε。

因此，对于任意给定的ε>0，我们可以找到一个索引N，使得当n>N时，fn(x)-f(x)，<ε成立。

因此，函数序列在该点处的极限同样存在，并且等于f(x)。

接下来，让我们来讨论一致收敛的一些重要的定理。

一个重要的结果是一致收敛序列的极限函数是连续的。

证明如下：设一列函数{fn(x)}一致收敛于函数f(x)，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，对于所有的x属于实数集，满足，fn(x)-f(x)，<ε。

由于对于任意给定的x属于实数集，对于n>N，有，fn(x)-f(x)，<ε成立，所以根据函数极限的定义，一致收敛序列的极限函数f(x)在实数集上连续。

此外，一致收敛还满足一些重要的运算性质。

例如，一致收敛序列的极限函数和极限函数的和、差以及乘积仍然是一致收敛的。

也就是说，如果一列函数序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于函数f(x)和g(x)，则这两个函数序列的和、差以及乘积序列也分别一致收敛于f(x)+g(x)、f(x)-g(x)以及f(x)g(x)。

一致收敛性习题课

04 一致收敛的应用
CHAPTER
在实数列上的应用
实数列的一致收敛性
实数列的一致收敛性是指对于任意小的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有 |a_n(x)-a(x)|<ε。这种收敛性在实数列的极限、积分和微分等数学问题中有着广泛的应用。
一致收敛的判定方法
判断实数列是否一致收敛，可以通过比较判别法、Cauchy判别法、Weierstrass判别法等方法进行判定。这些方法可以帮助我们判断实数列是否一致收敛，以及收敛的速度和范围。
2. 几乎处处收敛：如果存在一个子集$E$，其测度为1，使得在$E$上函数序列一致收敛于极限函数，则称函数序列几乎处处收敛。
3. 一致收敛与局部收敛、几乎处处收敛等收敛性质之间的关系是密切相关的。例如，如果函数序列在区间上一致收敛，则它在该区间上必然局部收敛和几乎处处收敛。
02 一致收敛的判定方法
的收敛性。
极限判别法
1 2
极限判别法
如果存在某个实数$M$，使得对于所有$n$，有 $|f_{n}(x)| leq M$，则级数$f_{n}(x)$一致收敛。
应用场景
适用于判断级数在全实数域上的一致收敛性。
3
注意事项
需要找到一个合适的$M$，使得所有项的绝对值都小于等于$M$，同时需要验证级数在全实数域上的收敛性。
一致收敛性习题课
目录
CONTENTS
• 一致收敛的定义与性质 • 一致收敛的判定方法 • 一致收敛的等价条件 • 一致收敛的应用 • 一致收敛的习题解析
01 一致收敛的定义与性质
CHAPTER
一致收敛的定义
总结词
一致收敛是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数项在某个区间上趋于一致的行为。

数项级数一致收敛

数项级数一致收敛摘要：1.数项级数概述2.数项级数一致收敛的定义3.数项级数一致收敛的性质4.数项级数一致收敛的判定方法5.数项级数一致收敛的应用示例正文：1.数项级数概述在数学分析中，数项级数是指由一系列常数项组成的无穷级数。

数项级数可以根据其收敛性进行分类，其中一致收敛是指级数在任意给定的正数ε范围内，总能找到一个正数δ，使得当|x-a|<δ时，级数在x 处的值与a 处的值之差的绝对值小于ε。

一致收敛的数项级数具有很多重要的性质，因此研究其性质及判定方法具有重要意义。

2.数项级数一致收敛的定义设{a_n}是一列单调有界数列，{b_n}是一列非负单调递减数列，且b_n 趋向于0，那么数项级数Σa_n/b_n 在一定条件下称为一致收敛。

3.数项级数一致收敛的性质一致收敛的数项级数具有以下性质：（1）若a_n 和b_n 分别是两个一致收敛的数项级数，则它们的和a_n+b_n 和差|a_n-b_n|也是一致收敛的。

（2）若a_n 和b_n 分别是两个一致收敛的数项级数，则它们的积a_nb_n 也是一致收敛的。

（3）若a_n 是一致收敛的数项级数，那么a_n 的任意一个子列也是一致收敛的。

4.数项级数一致收敛的判定方法常用的判定方法有：（1）Leibniz 判别法：若a_n 单调有界，b_n 单调递减且b_n 趋向于0，则Σa_n/b_n 一致收敛。

（2）Weierstrass 判别法：若a_n 和b_n 分别是两个非负单调数列，且a_n 和b_n 的极限都存在，则Σa_n/b_n 一致收敛。

5.数项级数一致收敛的应用示例一致收敛的数项级数在实分析、复分析等领域有广泛的应用，例如求解定积分、级数收敛性判别等。

通过研究数项级数一致收敛的性质和判定方法，可以更好地理解和解决实际问题。

数学分析课件一致收敛性资料讲解共52页

谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学分析课件一致收敛性资料讲解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
Байду номын сангаас

数学分析课件一致收敛性资料讲解共52页文档

再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
数学分析课件一致收敛性资料讲解
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

10-2 函数项级数的一致收敛性

n 1 n n

(1) (Abel 判别法)函数序列{an ( x)}对每一固定的 x D 关于 n 是单调的，且{an ( x)}在 D 上一致有界：
a ( x) M , x D, n N ;
n
同时，函数项级数 b (x ) 在 D 上一致收敛.
n 1 n

.
（2） (Dirichlet 判别法)函数序列{an ( x)}对每一固定的 x D 关于 n 是单调的，且 {an ( x)}在 D 上一致收敛于 0，同时，函数项级数 b ( x ) 的部分和序列
x 例6 证明函数序列 S ( x ) (1 n ) 在区间[0, ) 上不一 S ( x) e x . 致收敛性于
n n
定理3（函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理）
函数项级数 u n ( x ) 在集合 D 上一致收敛的充要条 n 1 件是：

对任意给定的 0, 存在正整数 N N ( ), 使
n 1 n
在 D 上一致有界：
bk ( x ) M , x D, n N . k 1 n
.
例 8 设级数 a n 收敛，则 an x 在[0,1] 上一致收敛. n 1 n 1
n

五、小结
1、函数项级数一致收敛及内闭一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法 ——两个充要条件；
则函数序列 S n (x) 在 D 上一致收敛于 S (x) 的充要条件是：
lim d ( S , S ) 0.
n n
例4
nx 试证函数序列 S ( x ) 1 n x
n 2
2
在区间 ( 0, ) 上
的不一致收敛性于 0，但内闭一致收敛.

数学分析中的一致收敛及其应用-初稿

《数学分析中的一致收敛及其应用-初稿》摘要：由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛，由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性，因为，，所以 =，．例25 求的值. 解因为，，所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进行两次积分：则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少目录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。

一致收敛的概念和判别法

7.1第7讲一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1. 收敛区域，即对于函数项级数：()1n n a x ∞=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。

2. 设()()1n n S x a x ∞==∑是收敛的，若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？回答是不一定。

例如：当1x <时，()1n n a x x −=，则有()11S x x=−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。

问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？4. 可积性问题。

即：若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。

7.2§1 一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程()()lim n n S x S x →∞=的性质。

上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。

另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。

一致收敛基础问题

一致收敛基础问题一致收敛基础问题是数学分析学科中的一个非常重要的问题。

它是指当一个函数序列逐渐趋近于一个函数时，这个函数序列是否能够一致地收敛于这个函数。

这个问题对于数学分析的其他方面有着非常重要的影响，因此它被广泛地研究和探讨。

下面我们将分步骤地来了解和探讨这个问题。

第一步，了解基本概念。

在探讨一致收敛基础问题之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是函数序列，它是指一系列函数在一定条件下的排列。

其次是收敛，即当一个函数序列趋近于一个函数时，我们称这个序列是收敛的。

最后是一致收敛，这指的是函数序列内的每个函数，在给定的区间内都与该函数的极限函数趋近相同。

第二步，了解一致收敛的定义。

根据上面的基本概念，我们可以得出一致收敛的定义。

一致收敛的定义是指如果存在一个函数f(x)，使得在该函数的定义区间上，函数序列f_n(x)的极限函数为f(x)，那么称函数序列f_n(x)在该区间上一致收敛于函数f(x)。

第三步，了解比较原理。

比较原理是判断一个函数序列是否一致收敛的一个非常重要的原则。

比较原理可以分为两个部分。

首先是正方向的比较原理，即如果有一个函数序列f_n(x)一致收敛于f(x)，而另一个函数序列g_n(x)在该区间上所有的函数都小于f_n(x)，那么函数序列g_n(x)也一致收敛于 f(x)。

其次是反方向的比较原理，如果存在一个函数序列f_n(x)和g_n(x)，且g_n(x)一致收敛于f(x)，同时f_n(x)在函数的定义区间上的绝对值都小于等于g_n(x)在该区间上的绝对值，那么函数序列f_n(x)也一致收敛于f(x)。

第四步，了解一致收敛和点收敛之间的区别。

一致收敛和点收敛是两个不同的概念，他们之间的区别在于，点收敛与极限函数的点相关，而一致收敛是与函数序列的整体相关。

如果一个函数序列f_n(x)在一个定义区间上逐点收敛于函数f(x)，那么f_n(x)在该区间上一致收敛于函数f(x)的充分必要条件是函数序列f_n(x)满足列紧原理。

一致收敛文档

一致收敛1. 引言在数学分析中，一致收敛是一种非常重要的概念。

它描述了一个函数序列或级数的收敛性质。

一致收敛的概念在许多数学领域中都有广泛应用，包括函数论、实分析、复分析等。

本文将介绍一致收敛的定义、性质和相关定理等内容，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

2. 一致收敛的定义设函数序列{fn(x)}是定义在区间[a, b]上的一组函数。

如果对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当 n > N 时，对区间[a, b]中的每一个x，都有|fn(x) - f(x)| < ε成立，那么我们称序列{fn(x)}一致收敛于f(x)。

其中，f(x)称为极限函数。

3. 一致收敛的性质3.1 一致收敛与点点收敛的关系如果一个函数序列在区间[a,b]上一致收敛，那么它在该区间上的点点收敛必然成立。

这是因为一致收敛的定义要求对于任意的ε > 0，存在正整数N，使得当 n > N 时，对于区间[a, b]中的每一个x，都有|fn(x) - f(x)| < ε成立。

而点点收敛只要求对于每一个x ∈ [a, b]，存在正整数N，使得当 n > N 时，都有|fn(x) - f(x)| < ε成立。

可以看出，一致收敛更强，因为它要求对区间中的每个x都满足相同的条件。

3.2 一致收敛与极限函数的关系如果一个函数序列{fn(x)}在区间[a, b]上一致收敛于f(x)，那么极限函数f(x)在该区间上必然连续。

证明如下：根据一致收敛的定义，对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N 时，对区间[a, b]中的每一个x，都有|fn(x) - f(x)| < ε成立。

取定一个x ∈ [a, b]，对于任意给定的δ > 0，存在正整数N’，使得当n > N’ 时，有|fn(x) - f(x)| < δ/3成立。

由于fn(x)一致收敛于f(x)，所以存在正整数N’‘，使得当n > N’’ 时，对于区间[a, b]中的每一个x，都有|fn(x) - f(x)| < δ/3成立。