2013版高中全程复习方略配套课件：9.5排列与组合(人教A版·数学理)浙江专用

C1 A3 种，故共有 A3＋C1 A3＝24个. 3 3 3 3 3
(2)由题意，可知因同色球不加以区分，实际上是一个组合问
4 2 题，共有C9 C5 C3 1 260 种. 3 2 (3)根据题意，共有A 5 ＝20种不同排法.
答案：(1)24
(2)1 260
(3)20
排列数、组合数公式的应用
答案：(1)7或9
（2）98
（3）14
3.排列问题与组合问题的区别
区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素
与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，
排列 组合 则是____问题，否则是____问题.
【即时应用】 （1）由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位 数中，三位数字之和为奇数的共有_____个.（用数字作答） (2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将 这9个球排成一列有_____种不同的方法.（用数字作答）
第五节 排列与组合
三年9考
1.理解排列、组合的概念.
高考指数:★★★
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的应用是考查重点；
2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想；
3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行
考查.
1.排列与排列数公式
(2)原方程即
化简得x2-21x+104=0, 解得x=8或x=13,又因为2≤x≤9,且x∈N*, 所以x=8. 答案：8
2n (3)若 Cn 1 3 Cn 3 有意义， 2n 1
0 n 1 2n 3 则 0 2n 3 n 1, 解得2≤n≤4 . n N* 当n=2时，有 C1 C1 4； 1 3
站，则客运车票增加了58种，那么原有车站_____个.
2 【解析】根据题意得： 2 2 Am 58, Am
即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.
答案：14
2.组合与组合数公式 （1）组合与组合数
合成一组 个数
（2）组合数公式：
Am n! . C n = n(n 1)(n 2) (n m 1) = m A m _____________________ _________ m!(n m)! m!
【解题指南】（1）（2）利用排列数和组合数的公式及意义求
解，（3）中注意n的取值范围.
n! r!(n r)! n (n 1)! n r 1 = Cn 1. r (r 1)! (n 1) (r 1)］ r ［ !
【规范解答】(1)选D. Crn
9! 9! 6 , (9 x)! (11 x)! 6 也就是 1 , (9 x)! (11 x)(10 x)(9 x)！
2 C9＝36 种选法.
(2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即
4 有C5＝C9＝ 种选法. 126 9
(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有 C1 种选法，再从 3
4 4 余下的9人中选4人，有C9 种选法，所以共有 C1×C＝378种选法. 9 3 5 (4)可考虑间接法，从12人中选5人共有 C12 种，再减去A，B，C 5 三人都不入选的情况 C5 种，共有 C12－C5 ＝666种选法. 9 9 5 (5)可考虑间接法，从12人中选5人共有 C12 种，再减去A，B，C 2 5 2 三人都入选的情况有 C9 种，所以共有C12－C9 ＝756种选法.
的元ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当
中；
（5）分排问题直排处理的方法；
（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； （7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排 列后再除以定序元素的全排列.
【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排
列方法总数.
（1）选其中5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须相邻； （5）全体排成一排，男生互不相邻； （6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.
（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两
人有A 2 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A 3种方 5 2 法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排 列，有A 3 种方法，故共有 A2 A3 A3 720 种. 3 2 5 3
【反思·感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式
算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论
证.
【例1】(1)组合数 C rn(n＞r≥1,n、r∈N*)恒等于
(
)
（A）r 1 Crn11
n 1
（B） 1)(r 1)Crn11 (n
（D）n Crn11
r
（C）nrCrn11
x x (2)若 A9 6A9 2 , 则x=______. 2n (3)Cn 1 3 Cn 3 =______. 2n 1
提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排
法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.
（2）设x,m∈N*，且m＜19＜x,则(x-m)(x-m-1)„(x-19)用排 列符号可表示为______.
【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m，
上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m.
【方法点睛】 排列数、组合数公式的特点及适用范围 （1）排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前 面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式
n! A 主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证； (n m)!
m n
（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母 为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那 个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计
m n
（3）组合数的性质： 1 ① C =_;
0 n
Cn m ② C =_____; n
m n
Cn 1 ③ Cm Cm1 =______. n n
m
【即时应用】
x (1)若 C2x7 C20 , 则x=_____. 20
(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于 上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修 三门，则每位同学不同的选修方案种数是_____. (3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服
（2）分两步完成，先选3人排在前排，有 A 3 种方法，余下4人排 7
4 在后排，有 A 4 种方法，故共有A3 A4 5 040 种.事实上，本小题 4 7
即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.
（3）（优先法）
方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有 6 种方 A6
法，故共有5×A 6 =3 600种. 6
(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程
甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工
程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同 排法种数是_____.（用数字作答）
【解析】(1)根据题意，所选的三位数字有两种情况：①3个数 字都是奇数，有 A 3种方法；②3个数字中有一个是奇数，有 3
【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.
(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？ (3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？ (4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？ (5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？
【解题指南】 (1) (2)是“在”与“不在”的问题，采用“直 接法”； (3)可分两步； (4) (5)是“至少”、“至多”型问 题，采用“间接法” . 【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有
方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中
选2个排列，有6 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排 A2
2 列，有A 5种方法，共有A 6×A 5 =3 600种. 5 5
（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行
全排列，有 A 4种方法，再将4名女生进行全排列，也有A 4 种方 4 4 法，故共有 A 4×A 4 =576种. 4 4 （5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女 生，有A 4种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3 4 个空位排男生，有A 3种方法，故共有A 4 ×A 3 =1 440种. 5 4 5
即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列
问题，用直接法或间接法.
组合问题的应用
【方法点睛】
组合问题的常见题型
（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取 出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取.
（2）“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至 少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接 法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向 思维，用间接法处理.
【解题指南】（1）无限制条件的排列问题直接应用公式； （2）先排前排再排后排；（3）“在”与“不在”的问题，采 用“优先法”；（4）（5）（6）“邻”与“不邻”的问题，采
用“捆绑法”或“插空法”.
【规范解答】（1）从7个人中选5个人来排列，有 A5 7 6 5 7
4×3=2520种.