2019-2020学年高中数学课时分层作业16微积分基本定理

合集下载

微积分基本定理(高中数学人教A版选修-)

要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后
计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即
可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，
揭示了导数与定积分之间的内在联系．
回顾：基本初等函数的导数公式
函数 f(x) 导函数 f′(x)
c x
n
sin x cos x
x
a
x
e
x
loga x ln x
公式 1: 公式：

b
a
1 b dx = lnx|a x

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
3 2
原式 = 3x dx
2 1
3
3
1
3 3 1 1 2 dx 3x dx ( 2 )dx 2 1 1 x x
'
微积分基本定理：

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
或记作

b
a
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的一种简便，有效的基本方法，即求定积分的值，只
1 2
较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?
利用几何意义可以求部分定积分，但是局限性很大，对于大部分的定积分来说还是求不出来。
问题
一个作变速直线运动的物体的运动规律S ＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？

高中数学配套同课异构16微积分基本定理课件人教A版选修

高中数学配套同课异构16微积分基本定理课件人教A版选修
目录
CONTENTS
• 微积分基本定理的概述 • 微积分基本定理的推导与证明 • 微积分基本定理的应用实例 • 微积分基本定理的习题与解析 • 微积分基本定理的扩展与深化
01 微积分基本定理的概述
微积分基本定理的定义
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，将定积分的计算转化为不定积分的计算。
它可用于计算定积分、求原函数、解决物理问题等领域。
通过应用微积分基本定理，可以简化复杂的积分计算，提高解决问题的效率。
03 微积分基本定理的应用实例
在物理中的应用
计算速度和加速度
微积分基本定理可以用来计算物体在任意时间点的速度和加速度，从而更好地理解物体的运动规
律。
解决热传导问题
在物理中，热传导的数学模型涉及到微积分基本定理的应用，通过求解微分方程，可以确定温度
02 微积分基本定理的推导与证明
推导过程
微积分基本定理的推导基于极限理论，通过连续函数的积分和微分的极限性质，推导出原函数与
不定积分之间的关系。
推导过程中涉及到的知识点包括极限的运算法则、连续函数的性质、不定积分的定义和性质等。
推导过程需要严谨的逻辑推理和证明，确保结论的正确性和可靠
性。
证明方法
微积分基本定理的证明方法有多种，其中一种是利用定积分的定义和性质进行证明。
另一种证明方法是基于极限理论，通过连续函数的积分和微分的极限性质进行证明。
证明过程中需要注意逻辑的严密性和推理的准确性，确保定理的正确性和可靠性。
定理的应用
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，具有广泛的应用价值。

2019-2020学年北师大版选修2-1课时分层作业16 微积分基本定理作业

课时跟踪检测（十五）微积分基本定理1．下列积分值等于1的是( ) A. ⎠⎛01x d x B. ⎠⎛01(x ＋1)d x C. ⎠⎛011d xD. ⎠⎛0112d x解析：选C ⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1.2.⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2) ⎪⎪⎪1＝(e 1＋1)－e 0＝e.3. ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：选C ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C. 4．函数F (x )＝⎠⎛0 xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：选B F (x )＝⎠⎛0 x(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.5．若⎠⎛－a ax 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：⎠⎛－aax 2d x ＝x 33⎪⎪⎪a－a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3. 答案：36．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0 a3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1. 答案：17．求下列定积分： (1) ⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ； (2) ⎠⎛0 π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x . 解：(1) ⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x＝⎠⎛12(2x ＋1x ＋1)d x ＝⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121x d x ＋∫211d x＝x 2⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪ 21＋x ⎪⎪⎪21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴⎠⎛0π2sin(x ＋π4)d x ＝⎠⎛0 π (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．解：(1)设从A到C的时间为t1 s，则1.2t1＝24，解得t1＝20，则AC＝⎠⎛0201.2t d t＝0.6t2⎪⎪⎪20＝240(m)．即A，C间的距离为240 m.(2)设从D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，解得t2＝20，则BD＝⎠⎛020(24－1.2t)d t＝(24t－0.6t2)⎪⎪⎪20＝240(m)．即B，D间的距离为240 m．。

2019_2020学年高中数学1.6微积分基本定理课时作业(含解析)新人教A版选修2_2

课时作业13 微积分基本定理知识点一求简单定积分 1.⎠⎛01x 2d x 等于( )A ．0 B.13 C.13x 2D ．2x答案 B解析 ⎠⎛01x 2d x ＝13x 3| 10＝13×13－13×03＝13.2．⎠⎜⎜⎛－π2π2(1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析原式＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2－π2＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋sin π2－⎣⎢⎡－π2＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2.3．⎠⎜⎛0 π2sin 2x 2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C ．2 D.π－24答案 D解析⎠⎜⎛0 π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0 π21－cos x 2d x ＝12(x －sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝π－24，故选D. 4．求定积分⎠⎛12(t ＋2)d x .解令F (x )＝(t ＋2)x ，则F ′(x )＝t ＋2， ∴⎠⎛12(t ＋2)d x ＝(t ＋2)x 21＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.知识点二分段函数的定积分5.定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2 |0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2 |20＝8. 6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则⎠⎛1－1f (x )d x ＝________.答案－23＋sin1解析 ⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪-1＋(sin x －x )| 10＝－23＋sin1.知识点三定积分的简单应用7.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ∵⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2.∴a ＝2.一、选择题1．下列定积分计算正确的是( ) A. ⎠⎛－ππsin x d x ＝4B .⎠⎛012x d x ＝1C.⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x d x ＝ln e 2 D . ⎠⎛-113x 2d x ＝3答案 C 解析⎠⎛－ππsin x d x ＝－cos x | π－π＝0；⎠⎛012x d x ＝2xln 2| 10＝log 2e ；⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x d x ＝(x －ln x )| 21＝1－ln 2＝ln e 2；⎠⎛-113x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1-1＝2.故选C.2．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 A解析因为⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝k .所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2.3.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B.223 C.233 D.253答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛23(x 2－4)d x ＋⎠⎛02(4－x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤9－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.4．若a ＝⎠⎛24x d x ，b ＝⎠⎛244xd x ，c ＝⎠⎛246x －x 2－8d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a 答案 D解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2| 42＝8－2＝6，b ＝(4ln x )| 42＝4(ln 4－ln 2)＝4ln 2.又6＞4ln e ＞4ln2，∴a ＞b .由定积分的几何意义，可知c ＝⎠⎛241－x －32d x ＝π2.又4ln 2＝ln 16＞ln e2＝2＞π2，∴b ＞c ，故c ＜b ＜a .5．若函数f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16 答案 A解析 ∵f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2| 21＝56.二、填空题6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝________.答案125解析 S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)| 30＝3＋9＝12.因为{a n }是等差数列，所以S 10＝10a 5＋a 62＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝125.7．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x ＝________.答案 16解析因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛-60f (x )d x＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.8．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________.答案 3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意，得⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ；(3) ⎠⎜⎛0 π3(sin x －sin2x )d x .解 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ，∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13－ln 1＝143－ln 2. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2，∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋ln 3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋ln 2＋4＝92＋ln 32. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos2x ′＝sin x －sin2x ，∴⎠⎜⎛0 π3(sin x －sin2x )d x ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos0＋12cos0 ＝－12－14＋1－12＝－14.10．计算定积分⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解解法一：令2x ＋3＝0，解得x ＝－32；令3－2x ＝0，解得x ＝32.解法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3，如图，所求积分等于阴影部分面积，即⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×32＋3×6＝45.。

高中数学课时作业：定积分与微积分基本定理

课时作业18 定积分与微积分基本定理一、选择题1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析:⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析:⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x|21＝6－3＝3.3．已知a ＝2－13,b ＝(2log 23) －12,c ＝14⎠⎛0πsin x d x ,则实数a ,b ,c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析:依题意得,a ＝2－13 ,b ＝3－12 ,c ＝－14cos x|π0＝12,所以a 6＝2－2＝14,b 6＝3－3＝127,c 6＝(12)6＝164,则a >b >c .选C.4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0,则实数m 的值为( B )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析:由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m 2＝0,解得m ＝－23.5．由曲线y ＝x ,直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.103 B ．4 C.163 D ．6解析:作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40 ＝23×8－12×16＋2×4＝163.6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.34 B ．1 C.43 D.54解析:令－x 2＋2x ＝0,得x ＝0或x ＝2,所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝－83＋4＝43.故选C.7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x ＝( B )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析:设m ＝⎠⎛01f (x )d x ,则f (x )＝x 2＋2m ,⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|10＝13＋2m ＝m ,所以m ＝－13.故选B.8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8,则⎠⎛-66f (x )d x 等于( D )A ．0B ．4C ．8D ．16解析:⎠⎛-66f (x )d x ＝⎠⎛-66f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ,因为f (x )为偶函数,所以f (x )的图象关于y 轴对称, 故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋1x ,则⎠⎛1e f (x )d x ＝12e 2＋12.解析:⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12. 10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x ＝0处运动到x ＝4(单位:m)处,则力F (x )做的功为36J.解析:由题意知,力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡ 32×42＋4×4－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．11．(安徽二模)计算:⎠⎛1(2x－x2－x )d x ＝π－24.解析:由定积分的几何意义知⎠⎛012x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直线x ＝0,x ＝1所围成的图形的面积,即是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆的面积的14,故⎠⎛12x －x 2d x ＝π4,⎠⎛01 (－x )d x ＝－12x 210＝－12,∴⎠⎛01(2x －x 2－x )d x ＝π－24. 12．已知直线AB :x ＋y －6＝0(A ,B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω,若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ,y ),则点M 取自图形Ω的概率为1627.解析:由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝323.又Rt △AOB 的面积为12×6×6＝18,所以P ＝32318＝1627.13．若直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象相交于点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),且|x 1－x 2|＝2π3,则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是( A )A.2π3＋ 3 B.π3＋ 3 C.2π3＋3－2D.π3＋3－2解析:如图,分别画出直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象,不妨令P 在Q 的左边,由|x 1－x 2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P (5π12,1),Q (13π12,1),将线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积的问题转化为定积分的问题,即S ＝ (1－2sin2x )d x ＝(x ＋cos2x )＝(13π12＋cos 13π6)－(5π12＋cos 5π6)＝2π3＋ 3.故选A.14．设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))≥1,则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ≥1解析:由题知,f (1)＝0,f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3,所以f (f (1))≥1,即a 3≥1,解得a ≥1.故选D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ,b ＝⎠⎛01sin x d x ,则下列关系式成立的是( A )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析:∵(sin x )′＝cos x ,∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－cos x )′＝sin x ,∴b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1,∴sin1>1－cos1,即a >b .故选A. 16．设M ,m 分别是f (x )在区间[a ,b ]上的最大值和最小值,则m (b －a )≤⎠⎛abf (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3.解析:因为当－1≤x ≤2时,0≤x 2≤4, 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)],即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3.。

2019-2020学年高中数学课时分层作业10微积分基本定理

课时分层作业(十) 微积分基本定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1.⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1C [∵⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝()e x＋x 2| 10＝e ＋1－1＝e ，故选C .]2．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1A [⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.]3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56D [⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2| 21＝13＋12＝56.] 4．若函数f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D .16A [∵f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2| 21＝56.]5．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >aAb ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪1＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14， ∴a >b >c .] 二、填空题6．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ＝________.32[⎠⎜⎛0π3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ＝sin θ | π3＝32.] 7.⎠⎛2－1(2－|x |)d x ＝________.72 [因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ， x ≤0，2－x ， x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22| 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22| 20＝32＋2＝72.] 8．已知x ∈(0,1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[0,2) [f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t＝(t －2xt ＋t 2)| 10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．∴f (x )的值域为[0,2)．]三、解答题9．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x10．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[解] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x | 10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33. [能力提升练]1．若y ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t ·sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．0B [y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t ·sin t )d t＝⎠⎛0x sin t d t ＋⎠⎛0xsin 2t 2d t ＝－cos t | x 0－14cos 2t | x＝－cos x ＋1－14(cos 2x －1)＝－14cos 2x －cos x ＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.]2．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1B [∵⎠⎛01f (x )d x 是常数，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)，所以c ＝2⎠⎛01f (x )d x ＝2⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋c x | 10，解得c ＝－23，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－23x | 10＝－13.]3．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于____________ .43 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－⎠⎛01x 2dx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3| 10＝43.]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.1 [因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1.]5．已知f (x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．[解] 因为f (x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )| x－a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，因为F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )| 10＝2·13＋2a ·12＋a 2·1＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。

通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业16定积分与微积分基本定理理新人教A版20190313393

课时作业(十六) 第16讲定积分与微积分基本定理时间 / 30分钟分值 / 80分基础热身1.[2018·凉山州二诊] ∫ 10(x-e x)d x=( ) A .32-e B .12-e C .32+eD .12+e2.汽车以v=(3t+2) m/s 的速度做变速直线运动,则从t=1 s 至t=2 s 经过的路程是( ) A .5 m B .112 m C .6 m D .132 m3.∫ π2-π2(sin x+|sin x|)d x=( ) A .0 B .1 C .2 D .34.[2018·成都七中月考] 曲线y=-x 2+2x 与x 轴围成的封闭图形的面积为( ) A .1 B .43 C .√3D .25.一物体在力F (x )=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F (x )相同的方向,从x=1 m 处运动到x=3 m 处,则力F (x )所做的功为 .能力提升6.[2018·北师大附中期中] 若a=∫ 21e xd x ,b=∫ 21x d x ,c=∫ 211xd x ,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a<b<cB .b<c<aC .c<a<bD .c<b<a7.[2018·四平质检] 定积分∫ 10√x (2-x )d x 的值为( ) A .π4 B .π2 C .πD .2π8.若∫x1(2x+1x)d x=8+ln 3(a>1),则a的值是()A.2B.3C.4D.69.[2018·马鞍山质检]若∫xπ4(sin x+cos x)d x=√22,则a的值不可能为()A.13π12B.7π4C.29π12D.37π1210.如图K16-1所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()图K16-1A.15B.13C.14D.1611.[2018·唐山期中]曲线y=√x与直线y=2x-1及x轴所围成的封闭图形的面积为()A.512B.1112C.16D.1212.[2018·衡水中学模拟]已知定义在R上的函数f(x)与g(x),若函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,且∫x0f(x)d x=6,则∫x-x[f(x)+2g(x)]d x的值为.13.[2018·成都三模] 若∫ 1-1(ax 2+sin x )d x=1,则实数a 的值为 .14.[2018·济宁期末] 直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与抛物线C 所围成的图形的面积为 . 难点突破15.(5分)[2018·南昌模拟] 如图K16-2所示,在椭圆x 24+y 2=1内任取一个点P ,则P 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成的阴影部分的概率为( )图K16-2A .14-12π B .14-14π C .18 D .18-18π16.(5分)[2018·三明一模] 考虑函数y=e x与函数y=ln x的图像关系,计算:∫ e 21lnx d x= .课时作业(十六)1.A [解析] ∫1x -e x )d x =(12x 2-e x )|1=(12-e )-(-1)=32-e.2.D [解析] 所求路程x =∫213x +2)d x =(3x 22+2x )|12=6+4-32-2=132(m).3.C [解析] ∫π2-π2sin x +|sin x |)d x =∫sin π2-π2x d x +∫π2-π2sin x |d x =∫π2-π2sin x |d x =2∫sin π20x d x =-2cos x |π2=2,故选C.4.B [解析] 易知曲线y=-x 2+2x 与x 轴的交点为(0,0),(2,0),则所求面积S=∫20x 2+2x )d x =(-13x 3+x 2)|2=43.5.14 J [解析] 力x (x )所做的功x =∫314x -1)d x =(2x 2-x )|13=14(J).6.D [解析] ∵x =∫21e x d x =e x |12=e 2-e,x =∫x 21d x =12x 2| 12=2-12=32,x =∫211xd x =ln x |12=ln2<1,∴x <x <x ,故选D.7.A [解析] 令y=√x (2-x ),则(x-1)2+y 2=1(y ≥0),表示的是以(1,0)为圆心,1为半径的圆在x 轴上方的半圆.由定积分的几何意义可知,∫10√x x x =π4,故选A.8.B [解析] ∫x1(2x +1x )d x =(x 2+ln x )|1x =x 2+ln x -1,由题意可得a 2+lna-1=8+ln 3.构造函数f (x )=x 2+ln x-1(x>0),则f'(x )=2x+1x >0,f (x )在(0,+∞)上单调递增, 又f (3)=8+ln 3,所以a=3是方程的唯一解. 9.B [解析] 由题得(-cos x+sin x )π4x=-cos a+sin a--cos π4+sin π4=sin a-cosa=√2sin (x -π4)=√22,所以sin (x -π4)=12.把a=74π代入上式,得sin (7π4-π4)=sin3π2=-1,不符合题意,则a 的值不可能为7π4,故选B .10.C [解析] 由题意可知,正方形OABC 的面积S=1,阴影部分的面积x 0=∫1x -x 3)d x =(12x 2-14x 4)|1=14.则所求概率P=x 0x =14.11.A [解析] 作出曲线y=√x 及直线y=2x-1,如图所示,则封闭图形如图中阴影部分所示,易知C (1,1),A (12,0),过点C 向x 轴作垂线,垂足为B ,则B (1,0), 则所求面积x =∫10x 12d x -12×(1-12)×1=23-14=512.12.12 [解析] ∵函数f (x )为偶函数,函数g (x )为奇函数,∴函数f (x )的图像关于y 轴对称,函数g (x )的图像关于原点对称.∴∫x x -x(x )d x =2∫x x 0(x )d x =12,∫x x-x(x )d x =0,∴∫x-xx (x )+2x (x )]d x =∫x x-x(x )d x +2∫x x-x(x )d x =12.13.32[解析] 因为(13xx 3)'=ax 2,(-cos x )'=sin x , 所以∫1-1xx 2+sin x )d x =(13xx 3-cos x )|-11=(13x -cos1)-(-13x -cos1)=23x ,所以23x =1,即x =32. 14.83 [解析] 抛物线C :x 2=4y 的焦点为(0,1),故直线l 的方程为y=1.将y=1代入抛物线方程,得x=±2.所以直线l 与抛物线C 所围成的图形的面积x =∫2-2(1-x 24)d x =(x -x 312)| -22=83.15.A [解析] 先求椭圆面积的14,由x 24+y 2=1知y=√1-x 24,∴x 椭圆4=∫2√1-x 24d x =12∫2√4-x 2d x ,而∫20√4-x 2d x 表示圆x 2+x 2=4的面积的14,∴∫20√4-x 2d x =π,∴x 椭圆4=12∫2√4-x 2d x =π2,∴x 椭圆=2π,又x 阴影=π2-12×2×1=π2-1,∴所求概率P=π2-12π=14-12π.16.e 2+1 [解析] ∵函数y=e x与函数y=ln x 互为反函数,∴其图像关于直线y=x 对称,作出两函数的图像与边长为e 2的正方形OABC ,如图所示.记图中两部分阴影区域的面积分别为S 1,S 2,则由对称性可知S 1=S 2.易知点E 的坐标为(2,e 2),则∫ln e 21x d x =x 1=x 2=∫2e 2-e x )d x =(e 2x -e x )|2=e 2+1.。

2019年高考数学总复习课时作业定积分与微积分基本定理理

课时作业(十五)第15讲定积分与微积分基本定理基础热身1.(1-x)d x=()A.1B.-1C.D.-2.某物体从静止开始自由落下,若速度v(t)=gt(v的单位:m/s,t的单位:s,g为重力加速度),则经过t=10 s后下落的距离为 ()A.50g mB.100g mC.25g mD.75g m3.[2017·孝义质检]定义=ad-bc,如=1×4-2×3=-2,那么=()A.6B.3C.D.04.[2017·安徽宣城二模]|sin x|d x=()A.1B.2C.3D.45.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1(单位:m)处运动到x=3处,则力F(x)所做的功为.能力提升6.[2017·江淮十校三模](sin x-a cos x)d x=-,则实数a等于()A.1B.C.-1D.-7.d x= ()A. B.C.1D.28.已知+=2,若φ∈0,,则(x2-2x)d x=()A.B.-C.D.-9.[2017·辽宁实验中学模拟]如图K15-1所示,正弦曲线y=sin x、余弦曲线y=cos x与两直线x=0,x=π所围成的阴影部分的面积为()图K15-1A.1B.C.2D.210.[2018·齐齐哈尔八中月考]设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于()A.B.C.D.11.[2017·石家庄三模](+x)d x= .12.[2018·郑州一中模拟]设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)d x=3f(x0),x0>0,则x0= .13.[2017·吉林实验中学模拟]由直线x=e,y=x及曲线y=所围成的封闭图形的面积为.14.曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.难点突破15.(5分)[2017·青岛三模]已知函数f(x)在R上满足f(π-x)=f(x),若当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,则当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积为()A.π-2B.2π-4C.3π-6D.4π-816.(5分)[2017·天津南开中学月考]函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线与曲线y=x2围成的图形的面积等于.课时作业(十五)1.C[解析] (1-x)d x=x-x2=.2.A[解析] 下落的距离为gt d t=gt2=50g(m).3.D[解析] x d x=x2=,∴==×2-3×1=0.故选D.4.D[解析] |sin x|d x=2sin x d x=2(-cos x)=2×(1+1)=4.5.14 J[解析] W=(4x-1)d x=(2x2-x)=14(J).6.B[解析] (sin x-a cos x)d x=(-cos x-a sinx)=--a+1,∴--a+1=-,∴a=.7.A[解析] 令y=,则(x-1)2+y2=1(y≥0),表示的是以(1,0)为圆心,半径为1的圆在x轴上方的半圆,所以d x=π×12=.8.C[解析] 由已知+=2,φ∈0,,得到sin φ=cos φ=,所以tan φ=1,所以(x2-2x)d x=(x2-2x)d x=x3-x2=.9.D[解析] 阴影部分的面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=(sin x+cos x)+(-cos x-sin x)=-1+1+=2.10.A[解析] ∵f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=x3-x2=,故选A.11.π+2[解析] (+x)d x=d x+x d x,令y=,得x2+y2=4(y≥0),圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,d x=π,又x d x=x2=2,∴(+x)d x=π+2.12.[解析] ∵f(x)=ax2+b,f(x)d x=3f(x0),∴(ax2+b)d x=ax3+bx=9a+3b,则9a+3b=3a+3b,∴=3,又x0>0,∴x0=.13.[解析] 如图所示,图中阴影部分的面积S=x-d x=x2-ln x=.14.2-[解析] 令2sin x=1(0≤x≤π),即sin x=,可得x=或,∴曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1交于点A,1和B,1,因此,围成的封闭图形的面积S=(2sin x-1)d x=(-2cos x-x)=-2cos---2cos-=2-.15.A[解析] ∵当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,∴当<x≤π时,0≤π-x<,f(x)=f(π-x)=cos(π-x)-1=-cos x-1,∴f(x)=所以当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积S=-(cos x-1)d x-(-cos x-1)d x=(1-cos x)d x+(cos x+1)d x=(x-sin x)+(sin x+x)=π-2.16.[解析] 因为f(x)=x3-x2+x+1,所以f'(x)=3x2-2x+1,f'(1)=2,则函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.作出草图(如图所示),则所求阴影部分的面积S=(2x-x2)d x=x2-x3=.。

部编版2020学年高中数学第一章1.6微积分基本定理学案含解析新人教A版选修2

1.6 微积分基本定理已知函数f (x )＝问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02 (2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝6－0＝6.问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？提示：⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．微积分基本定理设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②，则⎠⎛abd x＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上－S 下；若S 上＝S 下，则⎠⎛abd x＝0.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ；(3)π⎰2sin 2x2d x .(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 3321＋x221＋3x21＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e xd x＝sin x0－π－ex－π＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，∴π⎰20sin 2x2d x ＝π⎰2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20＝π4－12＝π－24.由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ；(2)⎠⎛19x(1＋x)d x ；(3)∫π6－π6(sin x ＋2x)d x.解：(1)因为(e x ＋ln x)′＝e x＋1x，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝(e x ＋ln x)21＝e 2＋ln 2－e .(2)因为x(1＋x)＝x ＋x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 32′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x(1＋x)d x ＝⎠⎛19(x ＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 3291＝1723.(3)法一：因为(－cos x ＋x 2)′＝sin x ＋2x ，所以∫π6－π6(sin x ＋2x)d x ＝(－cos x ＋x 2)π6－π6＝0.法二：令f(x)＝sin x ＋2x ，因为函数f(x)＝sin x ＋2x 为奇函数，所以f(x)＝sin x ＋2x 的图象关于原点对称，即曲线y ＝f(x)位于x 轴上方的图形面积与位于x 轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .⎠⎛0πf (x )d x ＝π⎰2f (x )d x ＋ππ⎰2f (x )d x ＝π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x＝(2x 2－2πx )π20＋sin xππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x －3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x 0－3＝5.设函数f (x )⎠⎛000x 0的值．因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx 1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.3.定积分的计算计算⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝________.⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝(2t ＋3)x 21＝(2t ＋3)×2－(2t ＋3)×1＝2t ＋3.2t ＋31．本题的积分变量为x ，解决本题易错误地把t 当作积分变量，从而造成结论错误． 2．求定积分是对函数的积分变量而言的，在同一个题目中要注意区分“参数”及“变量”．高考对定积分运算的考查主要有以下几类：(1)利用微积分基本定理求定积分：例：(湖南高考)∫20(x －1)d x ＝________.解析：∫20(x －1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0. 答案：0(2)利用定积分的几何意义求定积分：例：⎠⎛011－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义，知⎠⎛011－x 2d x 就是由曲线y ＝1－x 2，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．因为y ＝1－x 2等价于x 2＋y 2＝1(y ≥0)，所以上述曲线围成的图形是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，面积为π4，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.答案：π4(3)利用转化法求定积分．例：π⎰2cos 2x2d x ＝________.解析：π⎰20cos 2x2d x ＝π⎰201＋cos x2d x ＝π⎰212d x ＋ 12π⎰2cos x d x ＝12xπ20＋12sin x π20＝π4＋12.答案：π4＋12(4)利用函数性质求定积分．例：⎰1212－lg1＋x1－xd x ＝________. 解析：记f (x )＝lg 1＋x 1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故⎰1212－lg 1＋x 1－xd x ＝0. 答案：01．下列值等于1的是( ) 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 解析：选C 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 221＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x 1＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x 1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x 1＝12.2．ππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．4解析：选Cππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x ＝ππ⎰22－sin x d x ＋ππ⎰22－cos x d x ＝(－cos x )ππ22－＋sin xππ22－＝2.3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.解析：由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13.答案：134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．解析：⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 5．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x .解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ，∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13－ln 1＝143－ln 2. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2，∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋ln 3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋ln 2＋4＝92＋ln 32.一、选择题1.⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x 等于( )A ．56B ．28C ．14 D.563解析：选D ⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x ＝14x 4＋13x 3－30x 42＝14(44－24)＋13(43－23)－30×(4－2)＝563. 2.⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x 等于( )A.214B.54C.338D.218解析：选A ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －32－2＝13(x 3－x －3)2－2＝13⎝⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x ≤1，2－x ， 1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45 C.56D ．不存在解析：选C ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 310＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.4．计算⎠⎛01(1＋1－x 2)d x 的结果为( )A ．1B .π4C ．1＋π4D ．1＋π2解析：选C ∵⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴⎠⎛01(1＋1－x 2)d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4.5．(江西高考)若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01d x 等于( )A ．－1B ．－13C .13D ．1解析：选B ∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01d x 10＝13＋2⎠⎛01d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝－13.二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝________.解析：⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝1. 答案：17．计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－cos x 1－1＝23.答案：238．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：1三、解答题9．计算下列定积分．(1)∫π30(sin x －sin 2x)d x ；(2)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x. 解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x ′＝sin x －sin 2x ， ∴∫π30(sin x －sin 2x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 0＋12cos 0＝－12－14＋1－12＝－14.(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ， x≥32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x ＝∫－32－3(－4x)d x ＋∫32－326d x ＋⎠⎛3324x d x ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2×32－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝45.10．已知f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01d x ，求函数F(a)的最小值．解：因为f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F(a)＝⎠⎛01d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x)10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，所以当a ＝－1时，F(a)的最小值为1.。

(统编版)2020学年高中数学第一章1.6微积分基本定理学案含解析新人教A版选修2

1.6 微积分基本定理微积分基本定理已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02 (2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝6－0＝6.问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？提示：⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．微积分基本定理内容如果f (x )是区间上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )符号 ⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )ba＝F (b )－F (a )2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②，则⎠⎛abf x d x ＝－S 下． (3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上－S 下；若S 上＝S 下，则⎠⎛abf x d x ＝0.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．求简单函数的定积分(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ；(3)π⎰2sin 2x2d x .(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 3321＋x221＋3x21＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e xd x＝sin x0－π－ex－π＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，∴π⎰20sin 2x2d x ＝π⎰2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20＝π4－12＝π－24.由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ；(2)⎠⎛19x(1＋x)d x ；(3)∫π6－π6(sin x ＋2x)d x.解：(1)因为(e x ＋ln x)′＝e x＋1x，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝(e x ＋ln x)21＝e 2＋ln 2－e .(2)因为x(1＋x)＝x ＋x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 32′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x(1＋x)d x ＝⎠⎛19(x ＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 3291＝1723.(3)法一：因为(－cos x ＋x 2)′＝sin x ＋2x ，所以∫π6－π6(sin x ＋2x)d x ＝(－cos x ＋x 2)π6－π6＝0.法二：令f(x)＝sin x ＋2x ，因为函数f(x)＝sin x ＋2x 为奇函数，所以f(x)＝sin x ＋2x 的图象关于原点对称，即曲线y ＝f(x)位于x 轴上方的图形面积与位于x 轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.求分段函数的定积分已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .⎠⎛0πf (x )d x ＝π⎰2f (x )d x ＋ππ⎰2f (x )d x ＝π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x＝(2x 2－2πx )π20＋sin xππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x －3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x 0－3＝5. 利用定积分求参数设函数f (x )⎠⎛000x 0的值．因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx 1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.3.定积分的计算计算⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝________.⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝(2t ＋3)x 21＝(2t ＋3)×2－(2t ＋3)×1＝2t ＋3.2t ＋31．本题的积分变量为x ，解决本题易错误地把t 当作积分变量，从而造成结论错误． 2．求定积分是对函数的积分变量而言的，在同一个题目中要注意区分“参数”及“变量”．高考对定积分运算的考查主要有以下几类：(1)利用微积分基本定理求定积分：例：(湖南高考)∫20(x －1)d x ＝________.解析：∫20(x －1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0. 答案：0(2)利用定积分的几何意义求定积分：例：⎠⎛011－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义，知⎠⎛011－x 2d x 就是由曲线y ＝1－x 2，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．因为y ＝1－x 2等价于x 2＋y 2＝1(y ≥0)，所以上述曲线围成的图形是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，面积为π4，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.答案：π4(3)利用转化法求定积分．例：π⎰2cos 2x2d x ＝________.解析：π⎰20cos 2x2d x ＝π⎰201＋cos x2d x ＝π⎰212d x ＋ 12π⎰2cos x d x ＝12xπ20＋12sin x π20＝π4＋12.答案：π4＋12(4)利用函数性质求定积分．例：⎰1212－lg1＋x1－xd x ＝________. 解析：记f (x )＝lg 1＋x 1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故⎰1212－lg 1＋x 1－xd x ＝0. 答案：01．下列值等于1的是( ) 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 解析：选C 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 221＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x 1＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x 1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x 1＝12.2．ππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．4解析：选Cππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x ＝ππ⎰22－sin x d x ＋ππ⎰22－cos x d x ＝(－cos x )ππ22－＋sin xππ22－＝2.3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.解析：由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13.答案：134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．解析：⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 5．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x .解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ，∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13－ln 1＝143－ln 2. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2，∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋ln 3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋ln 2＋4＝92＋ln 32.一、选择题1.⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x 等于( )A ．56B ．28C ．14 D.563解析：选D ⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x ＝14x 4＋13x 3－30x 42＝14(44－24)＋13(43－23)－30×(4－2)＝563. 2.⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x 等于( )A.214B.54C.338D.218解析：选A ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －32－2＝13(x 3－x －3)2－2＝13⎝⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x ≤1，2－x ， 1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45 C.56D ．不存在解析：选C ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 310＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.4．计算⎠⎛01(1＋1－x 2)d x 的结果为( )A ．1B .π4C ．1＋π4D ．1＋π2解析：选C ∵⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴⎠⎛01(1＋1－x 2)d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4.5．(江西高考)若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f x d x 等于( ) A ．－1 B ．－13C .13D ．1解析：选B ∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x d x 10＝13＋2⎠⎛01f x d x ， ∴⎠⎛01f(x)d x ＝－13.二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝________.解析：⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝1. 答案：17．计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－cos x 1－1＝23.答案：238．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：1三、解答题9．计算下列定积分． (1)∫π30(sin x －sin 2x)d x ； (2)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)dx. 解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x ′＝sin x －sin 2x ， ∴∫π30(sin x －sin 2x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 0＋12cos 0＝－12－14＋1－12＝－14.(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ， x ≥32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x ＝∫－32－3(－4x)d x ＋∫32－326d x ＋⎠⎛3324x d x ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2×32－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝45.10．已知f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01d x ，求函数F(a)的最小值．解：因为f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F(a)＝⎠⎛01d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x)10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，所以当a ＝－1时，F(a)的最小值为1.。

学高中数学第四章定积分微积分基本定理学业分层测评含解析北师大版选修

4.2 微积分基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241xd x 等于( )A.－2ln 2B.2ln 2C.－ln 2D.ln 2【解析】 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2.设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A.2B.－2C.1D.－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( )A.3B.4C.72D.92【解析】因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝________. 【解析】因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 27.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝__________.【解析】 ⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2.【答案】 28.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【解析】因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.【解】因为f (x )＝⎠⎛－ax(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪1＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x ).【解】因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，①f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ＝196，③ 由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A.π2B.4C.πD.－9π【解析】 ⎠⎛024－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛024－x2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .【答案】 A2.如图4-2-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )图4-2-2A.14 B.15 C.16D.17【解析】因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.【答案】 C3.计算：⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124.定义F (x ，y )＝(1＋x )y，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3，6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪30＝9.。

学年高中数学定积分微积分基本定理学案含解析北师大版选修

§微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P82～P84，完成下列问题.1.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有f(x)dx＝F(b)－F(a).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图4-2-1(1)，则f(x)dx＝S上.(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图4-2-1(2)，则f(x)dx＝－S下.(2) (3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则f(x)dx ＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】(1)√(2)√(3)√(－sin x)dx等于( )C.－2【解析】(－sin x)dx＝cos x＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分.(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(cos x－e x)dx；(3)dx；(4) sin2dx.【思路探究】(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】(1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.(2)(cos x－e x)dx＝cos xdx－e x dx＝sin x－e x＝－1.(3)＝2x＋1＋，而(x2＋x＋ln x)′＝2x＋1＋.∴dx＝(x2＋x＋ln x)＝4＋ln 2.(4)原式＝(1－cos x)dx＝ (1－cos x)dx＝1dx－cos xdx＝－＝.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]dx＝________.【解析】dx＝dx＝＝－(ln 1＋1)＝ln 2－.【答案】ln 2－求分段函数的定积分计算下列定积分.(1)f(x)＝求f(x)dx；(2)|x2－1|dx.【精彩点拨】(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2，4]三段求定积分，再求和.(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分.【自主解答】(1)f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx＝(－cos x)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝2.1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解.2.分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.[再练一题]2.计算定积分：(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.【解】设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3，3]，则f(x)＝所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝(－4x)dx＋6 dx＋4x dx＝－2x2＋6x＋2x2＝－2×＋6×＋2×＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究1 满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗【提示】不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值.探究2 如何求对称区间上的定积分【提示】在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.(1)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值；(2)已知f(x)是一次函数，其图像过点(3，4)，且＝1，求f(x)的解析式.【精彩点拨】(1)先利用微积分基本定理求出定积分，然后列出关于x0的方程，求出x0的值.(2)设出f(x)的解析式，再根据已知条件列方程组求解.【自主解答】(1)因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去).(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0).∵函数图像过点(3，4)，∴3k＋b＝4. ①∵f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，∴＋b＝1. ②由①②得，k＝，b＝，∴f(x)＝x＋.1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.[再练一题]3.已知(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )或1 D.以上都不对【解析】∵(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3，∴k2－k3＝0，解得k＝1或k＝0(舍去)，故选B.【答案】B[构建·体系]—1.下列定积分的值等于1的是( )xdx(x＋1)dx1dx dx【解析】选项A，因为′＝x，所以xdx＝＝；选项B，因为′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；选项D，因为′＝，所以dx＝x＝.【答案】C2.(sin x＋cos x)dx的值是( )【解析】 (sin x＋cos x)dx＝sin xdx＋cos xdx＝(－cos x) ＋sin x＝2.【答案】C3.计算x2dx＝________.【解析】由于′＝x2，所以x2dx＝x3＝.【答案】4.已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.【解析】(kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.【答案】5.已知f(x)＝ax＋b，且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围.【解】由f(x)＝ax＋b，f2(x)dx＝1，得2a2＋6b2＝3，2a2＝3－6b2≥0，所以－≤b≤，所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－3＋，所以－≤f(a)≤.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业16定积分与微积分基本定理+Word版含解析.docx

一、选择题1.A. C. (2018•厦门模拟)定积分p|x 2-2x|t/x=() B ・657 Z). 8% (2x —x 2)Jx=^"3_ x 2解析：『代一2x"x=『(x?—2x)dx+J~ Q Q =T +4+4—T =8.o' ' 答案：D2. 已知f(x)为偶函数且『f(x)dx=8,则f f(x)dx 等于()/・ 0 B. 4 C ・ 8 D. 16解析：原式=『f(x)Mx+『f(x)〃x,因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图丿o 丿o象对称.所以对应的面积相等，即 p f(x)dx = 2 pf(x) Jx = 8X2=16・・6 0 答案：D3. 直线y=x+4与曲线y=x?—x+1所围成的封闭图形的面积为() 22 A.~^解析^所以封闭图形的面积为S=『［x+4—(X?—x+l)］dx J -I 因为x+4=x 2—x+1的解为 x= —1 或 x = 3,=『(—x?+2x+3)dx =(_寺?+x? + 3x 丿答案：C4. 一物体受到与它运动方向相反的力F(x)=^e x +x 的作用，则它从x = 0 运动到x=l 时F(x)所做的功等于()e . 2 e 2 24 To + 5 5*W~510十5］0 532 -i 亍课时作业16定积分与微积分基本定理［授课提示：对应学生用书第209页］解析：由题意知W=—务x+x 》x=—（吉“+寺?）=J 0答案:D5.若f (x2 + mx)〃x=0,则实数m 的值为(1 c 2A- ~3 B ・ C. — 1 D ・—21 , m ZB2 =亍+"^"=0, 侍 m=—亍.6. （2018-湖南省湘中名校高三联考）设f （x ） =—lf(x)dx 的值为( ),7T i 4 小龙|宀 4尹亍3.㊁+3小兀i 4 jcC4 + 3 Q ・a+3故选4答案：A7・以初速40 mis 竖肓向上抛一物体，ts 时刻的速度v=40—10",则此物体达到最高时的高度为（）160 厂80 /.二-m m小40小20 C.丁 m D 込 m解析：由v=40—10『=0, 得 t 2=4, t=2. 所以 h=0(40—10“)/=“ 80 °160=80—刁答案:AIgx, x>0,8. (2018•福州模拟)若 f(x)=x+「3t% xWO, J 0 f(f(l))=l,则 a 的值为()e 2 To -?解析:2+r3 (加)・S X W [— 1 , 1) ,xe[l, 2]，2f(x)dx=-i _ 1)dx =舟兀 X 124- (yx 〉_ xj40t-/・1 B・2C.—1D. ~2解析:因为f( 1)=Zg 1 = 0, f(0) = = a3,所以由f(f(l))= 1 得J解析：S =m o解得m = 2. 答案：A 10.若a=『x丿o 大排列的顺序为(A. a<b<c B ・C. c<b<a D ・2叶2仏-詞|dx, b = ) b<c<a a<c<bm 2s_81—xdx, c =1—x'dx,则将a, b, c 从小到解析：根据定积分的几何意义可知a =4x dx=『(1—x)dx.当 0<x<l 时，1 0 丿0— X<\l 1 —X<yJ 1 —X 2,所以在区间(0,1)上三个函数y= 1—X, y=Ql —X, y=p 1 —x?的图象从低到髙，在点x=0, x=l 处三个函数的图象重合•根据定积分的几何意义得avbvc.答案：A 二、填空题11. (2018-洛阳统考)函数f(x)=F 「： :jx<0,的图象与直线x=i 及[g, OWxWlx 轴所围成的封闭图形的面积为-1()1 2*-g-1 丿+@-1)=0-答案：e~^ 12. (2018-长沙模拟)^p (x 2+smx)dx=l8f 则-<1解析：本题考查定积分的计算._2 3_ _3a—18,解得a=3・答案：313.汽车以v=3t+2(单位：加/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的 1 s 内经过的路程是 _______ m .=f (3t+2)t/t=伊+2t)R 解析：s ==1,所以 a=l.答案：Ao9.由曲线f(x)=&与y 轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为亍则m 的值为()/・ 2 B. 3a=—COSX3 —213 答案：y14. (2018-石家庄二模)f 一 l(x 2 +pl_x2)dx= ___________ .解析：因为『pi 二壬表示以原点为圆心，半径为1的圆面积的*,其值为乡又f x 2dx=jx 3 所以f (x 2+y/l —x 2)c/x =f x?〃x+f yj 1 — x 2t/x 2 . 71 =3+2- 答案:|+号［能力挑战］15. (2018-河北唐山二模)曲线y=&和x 2+y 2 = 2及x 轴所围成的封闭图形 )J I 7T53+4_ 1 . 7T P 3 +8 解析：曲线y=&和x 2+y 2=2及x 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分所示y=五, x 2+y 2=29 解得 x=l, y=l, 即 A(l,l), B(1,O),S 三角形OBA=^X 1 X 1 =2»S 扇形oAC = 360龙X 2 =才,所以S 阴影=S 爾形OAC —S 三角形OBA + S 曲多边形OBA7 13=7^4+4_[3+2]=10_亍=三~伽)・ 1 _2 -i—亍的面积是( 力丄+兰儿6十8 cM%十4吕|3'因为S 曲多边形OBA =解析：因为a=『⑶+cos\）dt =2,（x- 因为（x —±$的展开式的通项为T r+1 = C^x 6-r6-2r令 6—2r=0,解得 T =3,所以展开式中的常数项为T 4=-答案:C（2015-陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为10 m16. A. C.己知a=『（s 加t+co$t ）〃t,贝I 」 3 o 3 _2-5D 'ax 丿的展开式中的常数项为（）所以解析：建立如图所示的平面直角坐标系，2V ■Z 5 v-2 ■故选C ・答案：c2m0 由抛物线过点（0, -2）, （— 5,0）, （5,0）,得抛物线的函数表达式为y=亏/2—畚2）亦=罟，梯形面枳S2=吐严一2,抛物线与x轴围成的面积Si=16.最大流量比为S2：S I =1.2.答案:1.2。