【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修一导学案8.分数指数幂

8．分数指数幂张长印学习目标1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n 次方根式的概念． 2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根． 3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化． 一、夯实基础 基础梳理1．整数指数幂的概念． （1）正整数指数幂：()n *a n N n a aa =⋅∈个．（2）零指数幂：()010a a =≠．（3）负整数指数幂：()*10N n n a a n a-=≠∈，． 2．整数指数幂的运算性质： （1）m n m n a a a +⋅=；（2）()nm mn a a =；（3）()nn n ab a b =．3．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．4．如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*N n ∈．（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的nn 次方根有符号n 次方根与负的n 次方根可以合并成)0a >．（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00=．（4n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00．5．n 次方根的意义，na =．6．分数指数幂（1）正数的正分数指数幂：n ma =__________（ ） （2）正数的负分数指数幂：m n a =__________（ ） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．7．有理数指数幂的运算法则： （1）r s a a ⋅=__________（ ） （2）()sr a =__________（ ）（3）()rab =__________（ ） 基础达标1 ） A ．122 B ．122-C ．122-D ．122--23()0a >可化简为（ ）． A ．1 B ．a C ．15a D ．710a 13．下列各式中成立的是（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y +D4．27的平方根和立方根分别是__________．5．化简211511335622133a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．二、学习指引自主探究1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点． （1）某市人口平均每年增长率为1.25%，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？ （2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率为7.3%，则十年后GDP 为2000年的多少倍？（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为？（4）某人有银行存入a 万元，年利率为r ，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？3．阅读课本，请叙述根式的概念．45．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？ 案例分析1．求下列各式的值：（1（2（3．【解析】（15=-；（23ππ3=-=-；（3623224===．2．用分数指数幂的形式表示下列各式()0b >：（1）2b （22；（3【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便．（1）152222b b b b =⋅=； （23123335535b bb b-===；（311155334412b b b b ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．求下列函数的定义域；（1）()021y x -； （2）()()3352123y x x =-++．【解析】（11313x x-⇔≥对一切实数x 都有意义：()021x -有意义当且仅当12102x x -≠⇔≠， 故所求函数定义域为：111322⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，，．（2）()351x -有意义当且仅当10x x -≠⇔≠；()3223x +有意义当且仅当32302x x +>>-，故所求函数定义域为：()3112⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，． 4．已知()22x x f x -=+，若()3f a =，求()2f a ． 【解析】由()3f a =得223a a -+=， ()2229a a -∴+=，即222229a a -++=．所以22217a a -+=， 故()222227a a f a -=+=．5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？【解析】设第n 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为a ，则第1n +次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为23a ，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为：23，223⎛⎫ ⎪⎝⎭，323⎛⎫⎪⎝⎭，423⎛⎫ ⎪⎝⎭，523⎛⎫ ⎪⎝⎭．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为523⎛⎫⎪⎝⎭． 三、能力提升 能力闯关1．已知326x a --=+的值．2．化简11111684212121212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．3．设()8008rrT a r r -=⋅>∈≤≤N ，，． （1）将T 化简为关于a 的幂的形式．（2）是否存在r ，使得T 是关于a 的整数指数幂？ 拓展迁移1()00x y <<，得（ ） A ．22x yB ．2xyC ．24x yD ．22x y -2．已知实数x y ，满足方程(*10=．（1）试找出一组满足方程()*的实数x y ，； （2）化简方程()*，使结果不含根式． 挑战极限1．是否存在无理数a b ，，使得b a 是有理数？若存在，请举例说明；若不存在， 请说明理由．课程小结1（1）当2n =时，n（2）0的n 次方根一定为00=；（3）当n 是大于1的奇数时，对任意实数a a 的n 次方根，是一个确定的实数．（4）当n是大于1的偶数时，对任意非负实数aa>时，它表示正数a的正的n次方根，是一个确定的正实数，另一个负的n次方根为2．若n∈N，2n≥，则n a=（n哦奇数时，a可取一切实数；n为偶数时，0a≥）；()()**21N2N.a n k ka n k k⎧=+∈⎪=⎨=∈⎪⎩，，，3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式．mna=1mnmnaa==（*0Na m n>∈，，，且1n>），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义，()010a a=≠．（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设00a b r s Q>>∈，，，，则()sr s r s r rsa a s a a+⋅==，，()r r rab a b=⋅．（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，要注意多项式乘法分式的应用．8．分数指数幂基础梳理6．（，且）：（，且）．7．（）：：基础达标1．．2．．【解析】．3．．【解析】A．；B．；C．；D．．4．，．【解析】因为，所以的平方根有两个：与；而，所以的立方根是．5．．【解析】．自主探究1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：（1）如果，那么叫做的平方根．正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作，负平方根记作，的平方根记为．（2）如果，那么叫做的立方根．若，则；若，则；若，则．实数的立方根是唯一的，记作：．2．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．这些问题的共同特点就是：问题都是和变化率有关，且这些变化率是固定常数．3．【解析】一般地，若，那么叫做的次方根，其中．当为奇数时，正常的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．记为．当为偶数时，正数的次方根有两个，记为；负数没有偶次方根．的次方根都是，记作．4．【解析】根式有如下运算性质：（1）；（2）；（3）．化简方法：当是奇数时，；当是偶数时，5．【解析】分数指数幂规定如下：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；若是正分数，则；符号没有意义．指数幂的运算性质规定如下：（1）；；（2）；（3）．从上述运算性质，我们可以看出：若，则．能力闯关1．【解析】由得，两边平方得，所以，．2．【解析】原式．3．【解析】（1）．（2）当且仅当时，可化为关于的整数指数幂．说明：确定指数为整数时，可在的允许取值范围内由小到大依次取值检验，决定取舍．拓展迁移1．．【解析】．2．（1）如或等等；（2）．【解析】（1）如或等等；（2）方法一：设，则，从而，∴，即，两边平方化简可得：．方法二：由原式得，两边平方得．于是，即，两边平方得，后略．挑战极限1．【解析】存在，下面证明：若为有理数，则取即可；若为无理数，则取，即可，因为是有理数．。