单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆稳定控制
单级倒立摆稳定控制
摘要
单级倒立摆是一种受控系统，在工业控制和机器人技术中有着广泛的应用。这
篇文档将介绍单级倒立摆的结构、原理和控制方法，特别是借助PID控制系统来
实现单级倒立摆的稳定控制。
单级倒立摆是一种类人形机器人，它通常由一个水平旋转的轮子和一个通过电
机传动的滑移杆组成，最后再由摆杆上的陀螺控制实现倒立。这种结构使得单级倒立摆成为了机器人应用领域中的一个挑战问题。
为了实现单级倒立摆的稳定控制，需要在控制系统中引入一个合适的控制机制。PID控制算法是一种最为通用的控制算法之一，常被用于像单级倒立摆这样的机器人平衡控制。
PID控制
PID控制是一种基于反馈的控制系统，在工业和机器人技术中得到了广泛的应用。PID控制通过比较实际的输出值与期望的输入值之间的差异，来作出对输出值
的控制。PID控制可以对输出值的稳定性、可靠性和精度进行控制，适用于不同类
型的工业和机器人控制系统。
PID控制通常由三个部分组成：比例(P)、积分(I)和微分(D)控制。比例控制反
馈调整输出值，使得实际输出值逼近期望输入值。积分控制记录过去所有误差，并将这些误差相乘来调整输出值。微分控制通过记录过去的误差变化率，来防止输出值的快速变化。
在单级倒立摆稳定控制中，采用PID控制可以较好地解决因摩擦力、惯性、重
心偏移等因素导致的系统不稳定问题，进而实现系统的平衡控制。
单级倒立摆的稳定控制
实现单级倒立摆的稳定控制需要进行以下步骤：
步骤1：系统建模
将单级倒立摆系统建模，根据运动学和动力学原理，得到系统的运动方程。
步骤2：PID参数调节
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析
摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述
倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述
本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系
统的控制器。此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析
3.1 微分方程的推导
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统
假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
单级倒立摆系统
单级倒立摆系统建模
图中u 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，θ是摆杆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，使得摆杆和小车能够迅速恢复到平衡位置（θ=0，x=0）。
为了建立倒立摆系统的简易模型又不失其实质，可先作如下假设： 1、倒立摆与摆杆均为匀质刚体。
2、可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。
系统的受力如下图示，其中小车的质量为M ，瞬时位移为x ，摆杆长度为2L ，
质量为m ，瞬时位置为)sin (θL x -。
H
x
小车受力图 摆杆受力图
运用牛顿力学定律，小车沿x 轴方向运动有：
22dt
x
d M H u =-
摆杆重心沿x 轴方向有：
2
2)sin (dt
L x d m H θ-= 摆杆重心沿y 轴方向有：
2
2)
cos (dt
L d m mg V θ=- 摆杆围绕其重心的转动运动可用力矩方程来描述：
θθθ
cos sin HL VL I += 式中，223
1
)2(121mL L m I ==
为摆杆围绕其重心的转动惯量。 控制中要求θ小于5弧度，即在θ很小时，θθ≈sin ，1cos ≈θ，将方程在
平衡点（θ=0，x=0）附近线性化处理。则以上各式变为：
x
M H u =- ① )(θ
L x m H -= ② 0=-mg V ③
HL VL I +=θθ
④ 由式①和式②得：
u mL x
m M =++θ )( ⑤ 由式②、③和④得：
θθmgL x
mL mL I =++ )(2 ⑥ 由式⑤和式⑥可得单级倒立摆方程：
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析
一、倒立摆系统的模型建立
如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型
图1-1 一级倒立摆物理模型
对于上图的物理模型我们做以下假设：
M：小车质量
m：摆杆质量
b：小车摩擦系数
l：摆杆转动轴心到杆质心的长度
I：摆杆惯量
F：加在小车上的力
x：小车位置
ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角
θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆
杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析
分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：
M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：
N =m
d 2dt 2
(x +l sin θ) (1-2)
即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)
将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)
为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =m
d 2dt 2
(l cos θ) (1-5)
P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：
−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)
注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
单级倒立摆系统建模(单页)
单级倒立摆系统建模
倒立摆
倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。
从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。
小车倒立摆系统建模
图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是和。
人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。0)(=t θ0d /d =t
θ图1 手持倒立摆
小车倒立摆
动力学分析(3)
单级旋转倒立摆系统结构
单级旋转倒立摆系统结构
表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值
符号意义数值与单位
M驱动臂的总质量 0.285kg 1
M摆杆的总质量 0.175kg 2
G转动力矩与控制电压之比 0.0508Nm/V 0
U控制输入电压V
J驱动臂对其质心处的转动惯量 0.00185kgm²
1
J摆杆对其质心处的转动惯量 0.00137kg m²
2
L驱动臂的质心到转轴的距离0.119m
1
L摆杆的质心到转轴的距离 0.24m
2
表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值
符号意义数值与单位
L从关节到转轴的距离0.127m
12
F转轴处的摩擦阻力矩系数0.05Nms
1
F关节处的摩擦阻力矩系数 0.0026 Nms 2
f驱动臂与摆杆作用力的水平分力N
1x
f驱动臂与摆杆作用力的垂直分力N
1y
θ驱动臂相对垂直线的角位移rad
1
θ摆杆相对垂直线的角位移rad
倒立摆控制系统设计
倒立摆控制系统设计
倒立摆是一种经典的控制系统设计问题，经常用于教学和研究中。倒立摆是一个在竖直平衡位置上方的摆杆，通过控制一些关节的力矩使其保持平衡。以下是一个倒立摆控制系统的设计过程。
第一步：建立动力学模型
首先，需要建立倒立摆的动力学模型。倒立摆的动力学模型可以通过运动方程来表达。假设摆的长度为l，质量为m，可以得到摆杆的转动惯量I=m*l^2、摆杆在竖直方向上受到重力加速度g作用。假设摆杆的角位移为θ，角速度为ω，则可以得到如下的转动方程：
I*ω' = -mgl*sin(θ)
第二步：线性化模型
将非线性动力学模型线性化是控制系统设计中的常见做法。在线性化之前，需要选择一个工作点作为参考点。假设工作点为竖直平衡位置，因此θ=0，ω=0。线性化的目的是在工作点处计算摆杆动态的近似线性表示。通过对转动方程进行泰勒级数展开并忽略高阶项，可以得到线性化的模型：
I*ω' = -mgl*θ
第三步：设计控制器
在线性化的模型中，我们可以引入一个控制器来控制摆杆的角度，并使之保持在竖直位置。常见的控制器包括比例控制器（P控制器）、积分控制器（I控制器）和微分控制器（D控制器）。通过控制器，我们可以
得到一个控制信号u，作用于系统中的输入来控制倒立摆。控制器的设计
可以基于设计指标，如系统的快速响应性、稳定性和鲁棒性等。
第四步：模拟和验证
在完成控制器设计之后，可以进行仿真和实验来验证系统的控制效果。倒立摆系统通常可以用控制系统设计软件进行建模和仿真。可以通过改变
控制器的参数来观察系统的响应，并对控制器进行调整和优化。
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计
小组成员：武锦张东瀛杨姣
李邦志胡友辉
一．倒立摆系统简介
倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二．系统建模
1．单级倒立摆系统的物理模型
图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。
单级倒立摆系统建模与控制器设计
显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841， 故系统是不稳定的。
单级倒立摆系统的极点配置控制器设计
单级倒立摆系统控制器设计的目标 单级倒立摆系统控制器设计的目标是：通过对小 车的左右移动使得摆杆保持在竖直的位置。且对 于小车所给的阶跃输入信号，满足如下设计指标：
1、小车位置x和摆杆角度θ的稳定时间小于5秒； 2、位置x的上升时间小于0.5秒； 3、摆杆角度的超调量小于20度（0.35弧度）。
最后，我们通过比较严格的手段来分析系 统的稳定性。我们知道，线性定常系统的 稳定性由系统矩阵的特征值决定，若系 统矩阵的特征值的实部均不大于零，则 系统就是稳定的；否则系统就是不稳定 的。下面，我们将根据开环系统矩阵的特 征值来判断开环系统的的稳定性。
求开环系统矩阵特征值的Matlab源程序 如下图：
F加在小车上的力 x小车的位移 φ杆与垂直向上方向的 夹角 θ摆杆与垂直向下方向 的夹角
小车和摆杆的受力图
d N m 2 ( x l sin ) dt
M x F2 N
应用牛顿方法建立系统的动力学方程
对杆垂直方向上的受力进行分析，可以得到：
摆杆的力矩平衡方程：
线性化后运动方程:
单级倒立摆系统的建模与控制器设计
一、简介 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系 统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想 实验平台。 二、应用 1.机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。 2.火箭等飞行器的飞行过程中，为保持正确的姿态， 要不断进行实时控制。 由于倒立摆与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服 云台稳定有很大的相似性，因此对倒立摆控制机理的 研究具有重要的理论和实践意义。
基于PID控制的一级倒立摆系统的研究
基于PID控制的一级倒立摆系统的研究一级倒立摆系统是控制理论中常用的一个实验模型，它能够很好地展示PID控制器的性能和效果。本文将介绍一级倒立摆系统的建模过程、PID控制器的设计以及实验结果和分析。
一、一级倒立摆系统的建模
为了进行控制系统设计，首先需要对一级倒立摆系统进行建模。可以利用动力学方程来描述一级倒立摆系统的行为。
设系统的输入为电机的扭矩τ，输出为杆的角度θ。根据牛顿第二定律，可以得到如下的动力学方程：
mL²θ¨ + mgsinθL = τ
其中，m是摆的质量，L是摆的长度，g是重力加速度，θ¨是杆的角加速度。
将动力学方程进行线性化，得到如下形式：
θ¨=(g/L)θ+(τ/(mL²))
这是一个二阶常微分方程，可以通过PID控制器进行控制。
二、PID控制器的设计
PID控制器是一种经典的控制器，由比例、积分和微分三部分组成。PID控制器的输出和输入之间的关系如下：
u(t) = Kp e(t) + Ki ∫e(t)dt + Kd de(t)/dt
其中，u(t)是控制器的输出，e(t)是控制误差，Kp、Ki和Kd分别是
比例、积分和微分增益。
利用PID控制器，可以将控制器的输出u(t)作为电机的扭矩输入τ，实现对杆角度θ的控制。具体的PID参数选择需要根据实际情况和控制
要求进行调整和优化。
三、实验结果和分析
通过实验，可以得到一级倒立摆系统的实际响应曲线。利用PID控制
器对系统进行控制，将杆保持在倒立状态。
实验结果显示，PID控制器可以有效控制一级倒立摆系统。通过调整PID参数，可以调节系统的稳定性、响应速度和抗干扰性能。
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。
首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程：
1.支撑杆垂直方向受力平衡方程：
-mgl sinθ = 0
其中g为重力加速度。
2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系：
τ=Iα
其中τ = ml^2/3α。
3.摆杆绕旋转中心的转动方程：
τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ
可以得到α与θ之间的关系：
α = -3g/(2l)sinθ。
以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆
杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。
接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。
我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。根据第一条方程，当
θ=0时，系统达到平衡。在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。
接下来，我们对系统进行线性化。首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即：
θ=θ_e+Δθ+δθ
其中θ_e为平衡点的角度。
单级倒立摆系统
单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真
摘要
首先介绍了倒立摆系统的工作原理，给出了整体设计方案和工作框图，然后对倒立摆进行了详细的力学分析，建立了数学模型，同时，搭建了控制系统的实物实验平台，完成了倒立摆系统的平衡控制。最后，对此设计方案进行了理论分析和仿真实验，通过改变Q和R的值来观察系统的稳定性。
关键词：倒立摆；建模；控制器；仿真。
Abstract
This paper firstly introduces the working principle of invested pendulum system, and the overall design scheme and working diagram. Then established mathematical models of inverted pendulum system and does detailed mechanics analysis. The inverted pendulum system is constructed to accomplish the equilibrium control. Finally, this design is simulated by the experiments and analysed by theory.We change the value of Q and R to observe the stability of the system .
Key words: Inverted pendulum; Modeling; Controller; Simulation
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真第一步是建立单级倒立摆的数学模型。单级倒立摆可以通过旋转关节将一根质量均匀的细杆与一个平台相连。细杆的一端固定在平台上，另一端可以自由旋转。细棒的旋转角度用θ表示，质心的位置用x表示。根据牛顿力学和杆的动力学方程，可以得到如下数学模型：
1.摆杆的运动方程：
Iθ'' + mgl sin(θ) = u - F (1)
其中，I是摆杆的转动惯量，m是摆杆的质量，g是重力加速度，l是摆杆的长度，u是控制输入（摆杆上的转动力矩），F是摩擦力。
2.质心的运动方程：
m(x'' - lθ'²cos(θ)) = F (2)
接下来是设计控制器来控制单级倒立摆。一个常用的控制方法是使用线性化控制理论，其中线性化是将系统在一些工作点附近线性近似。在这种情况下，将摆杆保持在垂直方向，并使质心静止作为工作点。线性化系统的转移函数为：
H(s) = θ(s)/u(s) = (ml²s² + mg)/(s(ml² + I))
为了稳定单级倒立摆，可以使用自动控制理论中的反馈控制方法，特别是状态反馈。状态反馈根据系统的状态变量来计算控制器输入。为了设计状态反馈控制器，首先需要判断系统的可控性和可观测性。根据控制系统理论，如果系统是可控和可观测的，则可以设计一个线性状态反馈控制器来稳定系统。
在MATLAB中，可以使用控制系统工具箱来设计单级倒立摆的控制系统。首先，通过建立系统的传递函数模型（由线性化系统得到）来定义系统。然后，使用控制系统工具箱中的函数来计算系统的稳定极点，并确定
单级移动倒立摆系统建模及性能分析
自动控制原理课程设计题目单级移动倒立摆系统建模及性能分析
学生姓名
学号
学院
专业
指导教师
二Ｏ一Ｏ年 5 月15日
南京信息工程大学
本科生课程设计任务书
注：此表由指导教师课程设计工作开始前填写，每位学生两份，一份发给学生，一份交学院留存。
南京信息工程大学
本科生学年论文（课程设计）指导教师评阅意见表
目录
1 系统介绍
2 单级倒立摆的数学模型
3 系统稳定性分析
4 分析相角裕度和截止频率
5 系统动态性能分析
6 系统仿真
7 总结与体会
参考文献
摘要
倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，通过以单级倒立摆为被控对象，来掌握控制系统的数学模型的建立方法和及控制系统的调试方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法。
本次课程设计包含如下几个内容：
[1]研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入， 为输出）；
[2]用画根轨迹方法对系统进行稳定性分析,用BODE图求出系统的相角裕度和截止频率.
[3]用Matlab求系统阶跃响应.
1系统介绍
单级倒立摆系统的结构示意图如图1所示。
图1 单级倒立摆系统示意图
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
2
M kg m kg l m g m s
====
1,0.2,0.5,10/
系统组成的框图如图2所示。
施加外力运动状态摆角θ
图2 单级倒立摆系统组成框图
系统通过给小车施加外力，使摆杆与小车相互作用，达到平衡，维持不倒。
(完整word版)一级倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
一、设计目的
倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统.
二、设计要求
倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度.当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况,控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理
倒立摆控制系统的工作原理是:由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量,并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡.
四、设计步骤
首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图
一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：
分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：
一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！
1.一阶倒立摆建模
在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之
后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成
的系统，如下图所示,其中：
M:小车质量
m:为摆杆质量
J ：为摆杆惯量 F:加在小车上的力 x ：小车位置
θ：摆杆与垂直向上方向的夹角
l :摆杆转动轴心到杆质心的长度
单级倒立摆系统课件
采用适当的数值方法求解状态方程，得到摆杆的 运动轨迹。
单级倒立摆系统的稳定性分析
稳定性判据
01
采用适当的稳定性判据，如李雅普诺夫稳定性判据，判断倒立
摆系统的稳定性。
控制器设计
02
根据稳定性分析结果，设计适当的控制器，使倒立摆系统保持
稳定。
仿真与实验验证
03
通过仿真和实验验证所设计的控制器的有效性。
在控制理论中，倒立摆系统被用作研 究控制算法的有效工具，例如PID控 制、模糊控制、神经网络控制等。
在机器人学中，倒立摆系统被用于研 究机器人的稳定性和控制策略。
倒立摆系统的研究意义
1
倒立摆系统的研究对于深入理解非线性系统的行 为和混沌现象的本质具有重要的意义。
2
通过研究倒立摆系统的动力学行为和控制策略， 可以进一步推动控制理论、非线性科学和机器人 学等领域的发展。
神经网络控制
利用神经网络的自学习和自适应能力，实现对倒立摆系统的智能控 制。
遗传算法优化
利用遗传算法对控制器参数进行优化，提高倒立摆系统的性能指标 。
CHAPTER 05
单级倒立摆系统实验与仿真
单级倒立摆系统实验平台的搭建
实验平台组成
单级倒立摆实验平台通常由摆杆、导轨、电机、传感器等部分组成 。
针对倒立摆系统的参数不确定性 和外界干扰，设计鲁棒控制器， 提高系统的稳定性和抗干扰能力 。
基于stm32的单级旋转倒立摆控制系统的设计与实
基于stm32的单级旋转倒立摆控制系统的设计与实现
摘要
本文对单级旋转倒立摆的控制系统进行了研究，提出了以STM32F103为核心
的控制器设计，在控制策略上采用经典控制理论PID 的控制算法，实现对单级旋转倒立摆旋转臂及摆杆的同时闭环控制，通过传感器采集摆杆的状态数据，实时调整直流电机的转向和转速，以调整摆臂的角度，使摆杆恢复到动态平衡状态。在非平衡状态下，通过传感器的实时检测，能够通过功能键设计，使摆杆能稳定到一定的角度。最终测试结果表明系统控制策略有效。 关键词：STM32F103；直流减速电机；增量式PID
1引 言
倒立摆控制系统是自动控制理论的重要研究平台，可对应于火箭垂直发射控
制技术，因此对它的研究具有重大的实践意义和价值。目前对倒立摆的研究主要分为系统力学分析及建模，控制算法及仿真，而对实现手段少有研究。文章讨论了以STM32为核心的倒立摆控制器的设计与实现，它实现了经典双回路PID 控制算法对旋转单级倒立摆的控制策略。
2 方案设计与论证
2.1总体方案描述
整个系统分为系统模块、编码器模块、电机驱动模块、电机模块、电源模块、键盘模块、显示模块。各模块的系统框图如图1.1所示。
图 1.1 系统框图
编码器模块
键盘模块
电机模块
电机驱动模
块
显示模块
控制模块
2.2方案比较与选择
2.2.1芯片控制模块
方案一：采用传统的51系列单片机。
传统的51单片机为8位机，价格便宜，控制简单，但是运算速度慢，片内资源少，存储容量小，难以存储大体积的程序和实现快速精准的反应控制。并且受时钟限制，计时精度不高，外围电路也增加了系统的不可靠性。
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单级倒立摆系统的分析与设计
小组成员：武锦张东瀛杨姣
李邦志胡友辉
一．倒立摆系统简介
倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二．系统建模
1．单级倒立摆系统的物理模型
图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。
各个参数的物理意义为：
M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量
F — 作用到小车上的水平驱动力
L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角
整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。
2．单级倒立摆系统的数学模型
令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。
摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 sin cos m m x x q y q θθ=+⎧⎨=⎩ 该质元的动能为：2222211()(2cos )22k m m m E m x y m x q x q θθθ=+=++ 势能为：cos p m E m g q θ=⋅⋅ ， 其中 m dq ρ=⋅，ρ是摆杆的线密度 则系统的总动能可以通过对和从0到L 积分获得： 2220111()cos 226 l k kc k m E E E dq M m x ml x ml θθθ=+=+++⎰ 01cos 2l p p m E E dq mgl θ==⎰ 其中小车的动能和势能为： 212kc E Mx = ， 0pc E = 系统的拉格朗日方程可写为： 2221111()cos cos 2262 k p L E E M m x ml x ml mgl θθθθ=-=+++- 由欧拉—拉格朗日方程： d L L F dt x x ∂∂-=∂∂ ， 0d L L dt θθ ∂∂-=∂∂ 可以确定摆杆的运动方程： 211222111232()cos sin cos sin 0m M x ml ml F ml x ml mgl θθθθθθθ⎧++⋅-⋅=⎪⎨+-=⎪⎩ 为避免复杂的求解微分方程的运算，考虑摆角在θ=0附近的微小变化，倒立摆在垂直位置可以近似为：cos θ≈1，sin θ≈0，运动方程可简化为： 1 22113 2()()()0m M x ml F t ml ml x g θθθ⎧++=⎪⇒⎨+-=⎪⎩ 令所有作用力、位移与角度参数为时间t 的函数，则 2()[()()]t F t m M x ml θ= -+ 2[()()]()032 l ml F t m M x x g θ-++-= ∴ 43()()44mg x F t t m M m M θ=-++ 22()43()[()()]44m M mg F t F t t ml ml m M m M θθ+=--++ 66()()()(4)(4) g m M F t t l m M l m M θ+=-+++ 将转换后的线性系统用两个2阶微分方程描述，系统的状态矢量为： 令(,,,),()T x x x f F t θθ== ，则状态方程描述为： x Ax Bf y Cx =+⎧⎨=⎩ 将相关参数带入，得到 010006() 6000(4) (4)()0 00103400044g m M l m M l m M f t x x mg m M m M ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ +⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ -⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 01006()000(4)000130004g m M l m M A mg m M ⎡⎤ ⎢⎥+⎢⎥ +⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦ 06(4)044l m M B m M ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ -+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥+⎣⎦ 100 0001 0C ⎡ ⎤=⎢⎥⎣⎦ 三． 控制对象的初步分析 倒立摆系统的基本数据： M ——小车质量2Kg m ——摆杆质量0.5Kg L ——摆杆长度 0.5m 得到系统的状态方程如下： 100034.5882000 1.4118000101.72940000.4706u x x x x θ⎡⎤θ⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥ θ-θ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦ 1 0000010y x x x θθθ⎡⎤ ⎢⎥ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 由状态方程可知，系统的开环特征值为： 开环系统有极点在右半平面，因此原系统为不稳定系统。 由能控性的定义，根据状态方程x Ax Bu =+ ^2^3S=[B AB A B A B]，rank(S)=4，满秩，所以系统完全能控； 由能观性的定义，^2^3T P=[C CA CA CA ]，