Discrete Mathematics-algebra(2018)

定理： 群(G，o)中如|G|>1，则(G，o)必不存在零元素。
定理： 群(G，o)中除e∈G以外，不存在a∈G，有
aoa=a。
群性质 3
群 (G ， o) 中， a,b ∈G ，方程 aox=b 和
xoa=b都有唯一的解。
定义 (群的第二个定义) 代数系统(G，o)如满足下列
条件：
(1)S' S
可推广至多个运算符
两个代数系统(S，o)与(S',*)若满足下列条件：
(2)若a∈S’，b∈S’，则a*b=aob。
则称(S'，*)是(S，o)的子代数或子系统。
① 代数系统(Z，+)是(R，+)的子代数
② 代数系统(Z，+，×)是(R，+，×)的子代数。
2 运算的表示
等式法
定义(可换环) 环(R，+，o)中对“o”满足交换律，则
称(R，+，o)是可换环。
定义(单元环) 环(R，+，o)中(R，o)是单元半群，则
称(R，+，o)是单元环。
环性质1 环中对加运算的单位元必是对乘运算的零元，即对任意a∈R，有：aoΦ=Φoa=Φ 推论 环(R，+，o)中(R，o)不可能构成群。

可交换群：满足交换律的群
群的判断：
是否满足结合律 是否存在单位元 是否存在逆元
例：代数系统(Z, +)是群
满足结合律 存在单位元0
对于任意a∈Z，则-a ∈Z，且 a + (-a) = 0
代数系统的分类
环
两个二元运算性质不对称但相关联的代数系统：(S, *, )
定义 ( 运算 )
运算必受限于集合S
设有 n 元函
o 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 1 3 1 2 2
数 ： SxSx...xS->S ， 即 Sn->S 。则称 f 为 S 上的 n
元运算，或简称n元运算。
当n=2时，称二元运算； n=l时，称一元运算。
1.2 代数系统
非空集合S上的K个运算ol，o2，…，ok(一元或二元运算 )所构成的封 闭系统称为代数系统，并可记为：(S，ol，o2，，…，ok)。
而古希腊则借助于几何图形的变换方法

最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497)几何 数论方法。

1+3+5+……+(2n-1)=n2
不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数 结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重 要的代数结论
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2 简化文字阶段
数，如G元素个数有限，(G，o)为有限群，如G元素
个数为无限，(G，o)为无限群。
群性质1 群满足消去律。
定理： 若群(G，o)满足消去律，即对任意a，b，c ∈G， 如果有aob=aoc，则必有 b=c ；且如果有 boa=coa，则 必有b=c。
群性质2 一个阶大于1的群一定没有零元素。
定理1 在代数系统(S，o)中，若存在对“o”的e_l与
e_r，则它们必相等，故有：e_l=e_r=e.
定理2 在代数系统(S，o)中，对运算“o”若存在单位
元，则必唯一。
二元运算中的零元素
代 数 系 统 (S ， o) 中 若 有 元 素 Φ∈S ， 对 任 一 个 x∈S 均 有 ΦoX=XoΦ=Φ，则称此元素为对于运算“o”的零元素或称零 元。(注意：零元符号并不一定是自然数0)
算系统(如群、环、域 等)的代数结构。
事实上
不管是连续的还是离散的数学结构，常常是对 研究对象（自然数,实数,多项式,矩阵,命题,集合,图等） 定义种种运算（加,减,乘;与,或,非；交,补等） 然后讨论这些对象及运算的有关性质。
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4结构代数阶段
代数系统
由集合和集合中的一个或多个运算所组成的系统（即数学
环性质2 环中两个元素之逆的乘等于两元素之乘。即对任意a,b∈R，有：
(-a)o(-b)=aob 环性质3 环中一元素与另一元素之逆的乘等于两元素相乘之逆，即对任意a,b∈R，有： ao(-b)=(-a)ob=-(aob) 定义 环(R，+，o)有非零元素a,b∈R使得aob=O，则称(R，+，o)有零因子。 环性质4 环中无零元当且仅当环对乘运算满足消去律。也即是说，环 (R，+，o)无零因子， 当且仅当对任意a,b,c∈R且a<>Φ，必有：
由aob=aoc，推得：b=c
由boa=coa，推得：b=c 定义 (子环) 环(R，+，o)中S 子环。 R且S≠Φ，如(S，+，o)亦为环，则称它是(R，十，o)的

域
定义 (域) 环(F，+，o)满足下列条件： (1)F至少包含一个以上元素。 (2)(F，o)有单位元。 (3)(F，o)是可换的。 (4)(F，o)除零元素外均有逆元素(若a∈F，则其逆元 素可记为a-1)，此时称(F，+，o)为域。
① 整数集Z上带有加法运算的系统构成一个代数系统：(Z，+)。 ② 实数集R上带有“＋”与“×”运算的系统构成一个代数系统：(R，＋，
× )。
③ 自然数集 N上带有加与减运算的系统不构成一个代数系统。因为“减”
运算不满足封闭性，所以不构成代数系统：但 N上的“＋”运算所构成 的是代数系统。
1.3 子系统
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代数学发展的4个阶段:字叙述阶段
文字叙述阶段 尚未形成任何简化的符号表达法； 代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达； 代数推理也都采用直观的方法。
古代中国: 算筹法
算筹计数
筹算开方法（九章算术 ）
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1 文字叙述阶段
① 代数系统(Z，max)为半群。
② 代数系统(Z，min)为半群。 ③ 在数系中存在着多种半群，如(N，+)、(N，×)、(Z，+)、(Z，
×)、(Q，+)、(Q，×)均为半群。（Z为整数，N为自然数， Q为有理数）
半群性质
半群性质1 半群的子系统是半群。
定理： 半群(S，o)，如有子系统(M，o)，则此子系统亦为半 群。
(1)满足结合律：即对任意a，b，c ∈G则有：
ao(boc)=(aob)oc
（2）群方程在群内有唯一解：即对任意a，b∈S，方程 aox=b和xoa=b都有唯一的解，则称(S，o)为群。
环
定义(环) 代数系统(R，十，o)如满足下面条件： (1)(R，+)是一个可换群。 (2)(R，o)是一个半群。 (3)运算“。”对“+”满足分配律，即对任意a,b,c∈R，有： ao(b+c)=aob+aoc (b+c)oa=boa+coa 则称(R，+，o)是环。
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3 符号代数阶段
符号代数阶段
用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的这
种符号演算形式。
代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公
式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学 公理系统。 代表数学家
德国数学家 M.Stiefel(1486-1567)
(b*c)oa=(boa)*(coa)
则称该代数系统中运算“o”对“*”满足第二分配律（右分配律）。
二元运算中的单位元素
代数系统 (S ， o) 中若有元素 e∈S ，对任一个 x∈S, 均有 e o x = x o e= x，则称此元素为对于运算“o”的单位元 素或称单位元。
代数系统(R, ×)的单位元是1 代数系统(Z, +)的单位元是0
例：在代数系统（A,o）中，aob=a/2+b/2
矩阵法
o a d c b b c d a c b a d d a b c
例：代数系统（G,o）中 a “o” 的运算表：
b c
d
a
b
c
d
3 代数运算中的常见性质
单个二元运算的结合律
在代数系统(S，o)中，如有 a∈S，b∈S，c∈S，均有：
1. 2.
(S, *)是可换群 (S, )是半群
3.
对*满足交换律
代数系统的分类
格
两个二元运算性质相对称但不相关联的代数系统:(S, *, )
1. 2.
与*满足交换律 与*满足结合律
3.
与*满足吸收律
5 群论
半群 群
5.1 半群
若代数系统(S，o)中二元运算“o”满足结合律，则称此代数 系统为半群。
简化文字阶段
古希腊数学后期，数学家丢番图（Diophantus,公元250年）
才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代替 一些相对固定的代数表达式。
《算术》使用简化文字符号
12345678910：
平方
立方
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： （希腊文幂”字为dumamis(△YNMIS) ） ： (立方的希腊文为kubos(KYBOS) )
子系统也是一个独异点。
定理： 独异点(M，o)的子系统(M'，o)中如有单位元
e∈M’,则该子系统也为独异点。
独异点性质2： 有可列个元素的独异点中其运算组合
表的每行(每列)元素均不相同。
5.2 群
代数系统(G，o)如满足下列条件：
(1)满足结合律，即如果a,b,c ∈ G，则有： ao(boc)=(aob)oc (2)存在单位元，即存在一个元素e∈G，对任一a∈G，必有：
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引言
代数学 代数学是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的 学科。 一门科学的历史是那门科学中最宝 其范畴包括： 贵的一部分，因为科学只能给我们 知识，而历史却能给我们智慧。