第六章-典型相关分析
第六章 相关分析与回归分析
Q a
0
Q
b
0
anbx y
ax
bx2
xy
称为正规方程组
a y bx
解之：
b
xy ( x)( y) n
x2 ( x)2 n
(x x)( y (x x)2
y)
SP SS x
●●直线回归方程的特点
●●●回归系数 b 的符号：
b＞0,y 有随 x 的增加而增加的趋势
取决于 SP，且
的相关关系密切（显著）呢？因此，需要对相关系数进行检验。方法有 2 种。 ●●t 检验法 用 t 检验法对 r 的显著性进行检验，其步骤和检验方法与两个样本平均数差异显著性 t 检验法相似。
●●●H0：ρ=0 即假定在一个双变数正态总体中，x 与 y 变数间的相关系数ρ=0
●●●在ρ=0 的假设下，从这个双变数总体中抽取一个样本，并求 t 值：
●●直线回归方程的建立（即如何根据 x 和 y 的实测值确定 直线方程 y=a+bx 中的 a 和 b）
要使 yˆ =a+bx 能够最好地代表 y 与 x 在数量上的互变关系， 根据最小平方法，必须使：
Q
n
( y
yˆ ) 2
n
( y
a
bx)2
最小
1
1
根据微分学上求极小值原理，分别对 a 和 b 求一阶偏导，则有：
第六章 相关与回归分析
第六章相关与回归分析
第一节简单线性相关
一、变量间的关系：
1、函数关系：
①、是一一对应的确定关系；
②、设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个
数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y= f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量；
③、各观测点落在一条线上。
2、相关关系：
①、变量间关系不能用函数关系精确表达；
②、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；
③、当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个；
④、各观测点分布在直线周围。
3、相关关系的种类：
①、根据密切程度分为：完全相关、不完全相关、完全不相关；
②、根据相关的方向分为：正相关、负相关；
③、根据相关的形式分为：线性相关、非线性相关；
④、根据变量的多少分为：单相关、复相关、偏相关。
二、相关分析和回归分析
1、相关分析：用一个指标来表明现象间相互依存的密切程度；广义的相关分析包括相关关系
的分析（狭义的相关分析）和回归分析。
2、回归分析：是指具有相关关系的现象，根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模
型（称为回归方程式）用来近似地表达变量的平行变化关系的一种统计分析。
3、相关分析与回归分析的区别及联系：
①、相关分析中，变量x变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处
在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
②、相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，
自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
③、相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量
典型相关分析的实例
吉他销售和声音质量之间的关系
我们将使用典型相关分析来判断吉他销量与声 音质量之间是否存在关系。
结论和要点
典型相关分析是一种重要的数据分析工具，可用于确定两组变量之间是否存 在高度关联性。它经常用于社会科学、金融市场和医学等领域。然而，要记 住，在开始分析之前，确保你的数据完整且充分。
典型相关分析的实例介绍
运动鞋销售与收入的关系
我们将使用典型相关分析来确定是否运动鞋的 销售与收入之间存在显著的关系。
通货膨胀率和道琼斯指数的关系
我们将使用典型相关分析来确定两者之间是否 存在高度相关性，以便制定股票投资策略。
脉搏和血压之间的关系
我们将使用典型相关分析来确定脉搏和血压之 间的关系，以帮助预测高血压的风险。
将两个变量矩阵相乘，找到相关系数矩阵。
第三步： 进行典型相关分析
找到总体典型变量并计算各个典型变量的权 重。
第四步： 分析结果
通过比较典型变量的权重来评估两组变量之 间的关系以及它们之间的模式.
典型相关分析的应用领域
1
社会科学
可以用于研究某些社会群体中不同变
心理学
2
量之间的关系，如社会经济状况和健 康状况之间的关系。
可以用于评估个人之间的关系，例如
源自文库
自尊与幸福感之间的关系。
3
金融市场
可以用于预测股票市场中不同变量之 间的关系，如股票价格和市盈率之间 的关系。
6第六章 相关分析
打开Statistics对话框，选中Chi-square\Contingency coefficient和Phi and Cramer’sV复选框，单击Continue返 回。
单击Cell按钮，打开Cell display对话框，选中observed 和Expected 复选框，单击Continue返回；单击OK。
第五章 双变量关系描述统计
——相关分析与检验
双变量的关系 ——有关与无关
寻找变量间的关系是科学研究的首要目
的。变量间的关系最简单的划分即:有关 与无关。
在统计学上，我们通常这样判断变量之
间是否有关：如果一个变量的取值发生变 化，另外一个变量的取值也相应发生变化， 则这两个变量有关。如果一个变量的变化 不引起另一个变量的变化则二者无关。
表4－22 对称性 检验表
第二节
相关分析
可采用相关分析和非参数相关 分析过程。可选择计算积距相关系 数、Spearman秩相关系数和Kendall 秩相关系数。检验的假设为相关系 数为0。可选择是单尾检验还是双尾 检验。
自变量
Count 人数 % within 性别 % within 文 度 化程 % of Total 女 Count % within 性 别 % within 文 边缘百分比化程度 % of Total Total Count % within 性 别 % within 文 度 化程 条件百分比 % of Total
统计学原理-第六章--相关与回归分析习题
第六章相关与回归分析习题
一、填空题
1．现象之间的相关关系按相关的程度分为、和；按相关的形式分为和；按影响因素的多少分为和。
2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。
3．相关系数的取值范围是。
4．完全相关即是关系，其相关系数为。
5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。
6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。
7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。
8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b是。在统计中估计待定参数的常用方法是。
9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。
10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。
11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。
二、单项选择题
1．下面的函数关系是( )
A销售人员测验成绩与销售额大小的关系B圆周的长度决定于它的半径
C家庭的收入和消费的关系D数学成绩与统计学成绩的关系
2．相关系数r的取值范围( )
A -∞<r<+∞
B -1≤r≤+1
C -1<r<+1
D 0≤r≤+1
3．年劳动生产率z(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )
第六章相关与回归分析
1. E(ε)=0，即误差项ε是一个期望值为0的随 机变量。
• 从平均意义上，总体线性回归方程 E ( y ) =
α+b x
2. ε的方差σ2 相同（对于所有的 x 值）； 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
且相互独立，即ε~N(0,σ2)。
6 - 21
统
计 学
（总体）回归方程
1. 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程 称为(总体的）回归方程；
6 - 27
统 计
回归估计标准差的作用
学
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况； 2. 说明了回归直线的拟合程度（衡量回归方程的
代表性，测定回归估计的精度）；
回归估计标准差反映的是因变量各实际值与其 回归估计值之间的平均差异程度；
表明其估计值对各实际值的代表性的强弱，其 值越小，估计值（或回归方程）的代表性越强，用 回归方程估计或预测的结果越准确。
brSy Sx
或 rbSx Sy
6 - 26
统
计 学
三、回归估计标准误差 Se
（一）回归估计标准误差的概念
实际观察值与回归估计值离差平方的均方 根；
计算公式为（6.5）和（6.6）：
n
n
n
n
yiyˆi2
yi2a yi b xiyi
Se i1 n2 i1
第六章典型相关分析
Statistic Wilks' lambda .000216101
df1
df2
16 15.9129
F 14.7596
Prob>F 0.0000 a
Test of significance of canonical correlations 2-4
Statistic Wilks' lambda .0668163
x2
0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000
x3
0.0000 0.0003 0.0003 -0.0003
x4
0.0000 -0.0004 -0.0004 0.0004
Raw coefficients for the second variable set
1
2
3
y1
0.0001 -0.0001 -0.0005
第五节 邮电业与国民经济的典型相关分析
二、数据分析
我们将基于1995年到2007年我国国民经济数据(数据来 自于中国统计年鉴)，利用Stata软件来做邮电业和国民经 济之间的典型相关分析。数据具体见表1.
我们将采用如下指标来衡量 我国各年份的邮电业：
采用下面的指标来衡量 我国各年份的经济（单位都是万亿）
（一）整体检验 (H0 : xy 0; H1 : xy 0)
典型相关分析
典型相关分析
典型相关分析是一种统计学方法，用于研究两组变量之间的关系。
典型相关分析可以帮助我们了解这两组变量之间的相互关系以及它
们是否能够彼此预测。在本文中，我们将探讨典型相关分析的基本
概念、应用场景、计算方法以及结果的解释和解读。
典型相关分析，又称为典型相关系数分析，是一种多变量统计技术，它可以在两组变量之间寻找最具相关性的线性组合，这个线性组合
被称为典型变量。典型相关分析的核心思想是将两组变量转化为一
组最具相关性的综合变量，以便探索和解释它们之间的关系。
典型相关分析通常用于探索两组变量之间的关系，并确定是否存在
一个或多个典型相关系数。在许多实际应用中，这些变量可能代表
相互关联的特征或维度，比如市场规模和销售额、学习时间和考试
成绩等。
典型相关分析可以用于许多领域的研究。例如，在市场研究中，我
们可以使用典型相关分析来研究不同市场因素之间的关系，并确定
市场的发展趋势。在教育研究中，我们可以使用典型相关分析来研
究学生的学习习惯和学术成绩之间的关系，以帮助教育者改进教学
方法和学习环境。
接下来，我们将介绍典型相关分析的计算方法。假设我们有两组变
量X和Y，其中X包含p个变量，Y包含q个变量。首先，我们计算X和Y的样本协方差矩阵SXX和SYY，以及它们之间的协方差矩阵SXY。然后，我们对SXX和SYY进行特征值分解，得到它们的
特征向量和特征值。接下来，我们选择最大的r个特征值和对应的
特征向量。最后，我们计算典型相关系数以及典型变量。
结果的解释和解读是典型相关分析的最后一步。典型相关系数的取
值范围为-1到1，其中取值为1表示两组变量之间存在完全正相关的关系，取值为-1表示存在完全负相关的关系，取值为0表示两组变量之间不存在相关性。此外，我们还可以通过检验统计量来判断
spss统计分析及应用教程-第6章 相关和回归分析课件PPT
,称为残差平
❖ 简单线性回归分析中的统计检验和残差分析 F检验
回归方程显著性检验的统计量为F统计量：
F ( y ˆ i y ) 2 /p R 2 /p ~ F ( p ,n p 1 ) ( y i y ˆ i) 2 /n ( p 1 )( 1 R 2 ) /n ( p 1 )
实验一 相关分析
❖ 实验目的
了解相关分析的方法原理； 熟练掌握相关分析的SPSS操作命令； 熟练应用三个常用相关系数的计算方法及其数据测度
要求； 运用相关分析解决管理学实际问题的能力。
实验一 单一样本t检验
❖ 准备知识
简单相关分析的概念
统计学中，相关分析是以分析变量间的线性关系为主，是研究它们 之间线性相关密切程度一种统计方法。它是通过几个描述相关关系 的统计量来确定相关的密切程度和线性相关的方向。这些统计量包 括皮尔逊（Pearson）相关系数、斯皮尔曼（Spearman）和肯德尔 （Kendall）秩相关系数，一般用符号r来表示。
用于反映两个序次或等级变量的相关程度。计算Spearman相关数
据时，要求先对原始变量的数据排序，根据秩使用Spearman相关
系数公式进行计算。公式可为：
rs
(Ri R)(Si S) (Ri R)2(Si S)2
式中，R
i
、S
i分别是
x
i，y
统计学原理-第六章--相关与回归分析习题
A+1 B 0 C 0．5 D [1]
5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( )
A线性相关还是非线性相关B正相关还是负相关
C完全相关还是不完全相关D单相关还是复相关
6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间()与考试成绩(y)之
x
间建立线性回归方程y c=a+b。经计算，方程为y c=200—0.8x，该方程参数
x
的计算( )
A a值是明显不对的
B b值是明显不对的
C a值和b值都是不对的 C a值和6值都是正确的
7．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0．8时，则其回归系数为：( )
A 8
B 0.32
C 2
D 12．5
8．进行相关分析，要求相关的两个变量( )
A都是随机的B都不是随机的C一个是随机的，一个不是随机的
D随机或不随机都可以
9．下列关系中，属于正相关关系的有( )
A合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系
B产品产量与单位产品成本之间的关系
C商品的流通费用与销售利润之间的关系
D流通费用率与商品销售量之间的关系
10．相关分析是研究( )
A变量之间的数量关系B变量之间的变动关系
C变量之间的相互关系的密切程度D变量之间的因果关系11．在回归直线y c=a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数( )
A =0
B =l
C 0<<1
D -1<<0
r r r r
12．在回归直线yc=a+bx中，b表示( )
A当x增加一个单位，，y增加a的数量
B当y增加一个单位时，x增加b的数量
C当x增加一个单位时，y的均增加量
D当y增加一个单位时，x的平均增加量
相关性研究及其分析过程
四、距离相关分析
距离相关分析就是测量变量之间或个案之间测量的一致性 程度。具体地说， 程度。具体地说，如果变量间或个案间的相似性大或不相似性 小，则说明二者的一致性程度高，否则二者一致性程度小。比 则说明二者的一致性程度高，否则二者一致性程度小。 如考察两个人个性特征的相似性程度、 如考察两个人个性特征的相似性程度、两个班级期末各科考试 成绩的一致性、面试中考官评分的一致性等等， 成绩的一致性、面试中考官评分的一致性等等，都可以使用距 离相关分析来度量。 离相关分析来度量。
研究变量的相关关系， 研究变量的相关关系，一般要在自然条件或实验室条件下对一组被试 进行观测，被观测的两个变量不是在研究者操纵下发生变化， 进行观测，被观测的两个变量不是在研究者操纵下发生变化，而都是自然 地发生变化。观测之后可得到两列数据，于是可分析二者的变化关系， 地发生变化。 观测之后可得到两列数据， 于是可分析二者的变化关系 ，分 析的角度主要包括下述三个方面： 析的角度主要包括下述三个方面： 1． 相关的方向：同时增加或减少，或是一增另一则减； ． 相关的方向：同时增加或减少，或是一增另一则减； 2． 相关的形式：线性或非线性； ． 相关的形式：线性或非线性； 3． 相关的程度或强度：“相随”变化的“亲密”程度。 ． 相关的程度或强度： 相随”变化的“亲密”程度。 相关的符号（正或负）确定了相关的方向。 相关的符号（正或负）确定了相关的方向。正相关表示两个变量 x 和 y 沿同一方向变化，当x递增，y也递增；当x递减，y也随之递减。负相关 沿同一方向变化， 递增， 也递增 也递增； 递减， 也随之递减 也随之递减。 递增 递减 则表示x与 在相反方向上变化 在相反方向上变化， 增加时 减少， 值减少时 增加。 增加时y减少 值减少时y增加 则表示 与y在相反方向上变化，即x增加时 减少，x值减少时 增加。 不同种类的相关可以衡量不同类型的关系 ，但是大多数相关都来源于 皮尔森相关，它用来估计线性（直线）关系。 皮尔森相关，它用来估计线性（直线）关系。迄今为止 ，皮尔森相关是最 常用的相关关系，通常用字母 表示 表示。 常用的相关关系，通常用字母r表示。
第六章spss相关分析和回归分析
第六章SPSS相关分析和回归分析
第六章
SPSS相关分析与回归分析
6.1相关分析和回归分析概述
客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即
,函数关系:指两事物之间的一种一一对应的关系，如商品的销售额和销售量之间的关系。
,相关关系（统计关系）：指两事物之间的一种非一一对应的关系，例如家庭收入和支出、子女身高和父母身高之间的关系等。相关关系乂分为线性相关和非线性相关。
相关分析和回归分析都是分析客观事物之间相关关系的数量分析方法。
6. 2相关分析
相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物之间相关关系的强弱程度
和形式。6.2. 1散点图
它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及他们的强弱程度和方向。
6.2.2相关系数
利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r;
,+1之间，相关系数r的取值在-1
,R>0表示两变量存在正的线性相关关系;r〈0表示两变量存在负的线性相关关
系
,R,1表示两变量存在完全正相关;r, -1表示两变量存在完全负相关;r, 0表
示两变量不相关
,|r|>0.8表示两变量有较强的线性关系；r <0.3表示两变量之间的线性关系较
弱
第二，对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系进行推断。
对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量，常用的相关系数主要有
Pearson 简单
，相关系数、Spearman等级相关系数和Kendall相关系数等。
6. 2. 2. 1 Pearson简单相关系数(适用于两个变量都是数值型的数据)
第6章 相关分析
第二节 简化相关与消减误差
选择相关测量法的注意事项：
– 两个变量的测量层次; – 两变量之间的对称或不对称关系； – 统计值的意义：
不对称关系： – 两变量的关系具有因果性，X影响Y，而Y不 会影响X，即X是因，Y是果; – 可以区分自变量与因变量；
第一节 统计相关的性质
相关关系与函数关系; – 函数关系是一种确定的一一对应的关系；可 以用精确的函数表达式来描述；有自变量x 与因变量y之分； – 相关关系则不具备上述特征，是一种松散的 对应关系。
两个变量关系的六种情况： – 两个定类变量； – 两个定序变量； – 两个定距变量； – 一个定类变量和一个定距变量； – 一个定类变量和一个定序变量； – 一个定序变量和一个定距变量；
第三节 相关测量与测量层次
1.两个定类变量的相关测量 Lambda相关测量法（对称与不对称）
基本逻辑：以一个定类变量值来预测另一个变量 值时，若以众数作为预测的准则，则可减少的误 差是多少。
第三节 相关测量与测量层次
注意： 1. r系数假定X与Y的关系是对称的，不必区 分自变量与因变量；而简单线性回归方程 系数b则不同； 2. r系数与简单线性回归分析都是假定X与Y 的关系具有直线的性质。若这个假定不符 合实际情况，就会犯错误。 3. 关于决定系数r2的几点说明：P104-105
第六章相关分析与回归分析
第六章 相关分析与回归分析
相关分析与回归分析
STAT
§6.1 相关分析与回归分析概述 §6.2 线性回归分析
第六章 相关分析与回归分析
§6.1 相关分析与回归分析概述
STAT
一、变量间的相互关系 二、相关关系的种类 三、相关表和相关图 四、相关系数 五、相关分析与回归分析
返回
第六章 相关分析与回归分析
返回
回归分析的种类 Simple Linear regression
一元回归
一
⒈ 按自变量的 （简单回归）
元
个数分
多元回归
线
（复回归）
性 回
⒉ 按回归曲线
线性回归
归
的形态分
非线性回归
第六章 相关分析与回归分析
一、简单线性回归方程的建立
STAT
对于经判断具有线性关系的两个变量y 与x，在它们的相关图的散点中引出一 条模拟的回归直线，以表明两变量的 关系，我们称它为估计回归线。配合 回归线相应方程式称为回归方程，即：
江苏省GDP（亿元）X
7199.95 7697.82 8582.73 9514.6 10631.75 12460.83 15403.17 18305.66 21645.08 25741.15
江苏省海洋产业总产值（亿元）Y
171.24
STAT
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我国各年份的邮电业：
采用下面的指标来衡量 我国各年份的经济（单位都是万亿）
. canon (x1-x4) (y1-y4)
Number of obs = 13 1 x1 x2 x3 x4 -0.0069 0.0000 0.0000 0.0000 2 -0.0457 -0.0000 0.0003 -0.0004 3 -0.0038 -0.0001 0.0003 -0.0004 4 -0.0629 0.0000 -0.0003 0.0004
x11 x1 x x 21 1 x31 x1 Z x x 41 1 xn1 x1
x1 p x p x2 p x p x2 p x p x4 p x p xnp x p
y11 y1 y21 y1 y31 y1 y41 y1 yn1 y1
检验的统计量 k 1
i k 1
2 (1 i )
r
k 1 Q [n k ( p q 3) i2 ]ln k 1 2 i k 1
近似服从自由度为(p-k)(q-k)的2分布。在给 定的显著性水平下，如果22 [(p-k)(q-k)]，则 拒绝原假设，认为至少第k+1对典型变量之间的相关
通常情况下，为了研究两组变量
( x1 , x2 ,, x p ) ( y1 , y2 ,, yq )
的相关关系，可以用最原始的方法，分别计 算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq 个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问 题的本质。如果能够采用类似于主成分的思 想，分别找出两组变量的各自的某个线性组 合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简 捷。
e = exact, a = approximate, u = upper bound on F
. canon (x1-x4) (y1-y4), test(1 2 3 4)
Number of obs = 13
Canonical correlation analysis Raw coefficients for the first variable set 1 x1 x2 x3 x4 -0.0069 0.0000 0.0000 0.0000 2 -0.0457 -0.0000 0.0003 -0.0004 3 -0.0038 -0.0001 0.0003 -0.0004
相关分析。用样本来估计总体的典型相关系数是否有误，需 要进行检验。
（一）整体检验 ( H 0 : xy 0; H1 : xy 0)
H 0 : 1 r 0
H1 : i (i 1,2,, r )中至少1不为零
检验的统计量： 0
|S| | S xx || S yy |
二、典型相关分析的基本思想
三、典型相关分析的数学描述
四、典型相关分ຫໍສະໝຸດ Baidu的应用
典型相关分析的用途很广。在实际分析问题中，当我们面临两组多变 量数据，并希望研究两组变量之间的关系时，就要用到典型相关分析。 例如，为了研究扩张性财政政策实施以后对宏观经济发展的影响，就 需要考察有关财政政策的一系列指标如财政支出总额的增长率、财政 赤字增长率、国债发行额的增长率、税率降低率等与经济发展的一系 列指标,如国内生产总值增长率、就业增长率、物价上涨率等两组变量 之间的相关程度。 又如，为了研究宏观经济走势与股票市场走势之间的关系，就需要考 察各种宏观经济指标如经济增长率、失业率、物价指数、进出口增长 率等与各种反映股票市场状况的指标如股票价格指数、股票市场融资 金额等两组变量之间的相关关系。 再如，工厂要考察所使用的原料的质量对所生产的产品的质量的影响， 就需要对所生产产品的各种质量指标与所使用的原料的各种质量指标 之间的相关关系进行测度。
1小，支持H1。
在原假设为真的情况下，检验的统计量
1 Q1 n ( p q 3) ln 1 2
近似服从自由度为 pq 的 2 分布。在给定 的显著性水平 下，如果22 (pq)，则拒绝 原假设，认为至少第一对典型变量之间的相 关性显著。
依此类推，再检验下一对典型变量之
间的相关性。直至相关性不显著为止。对两
组变量x和y进行典型相关分析，采用的也是
一种降维技术。我们希望使用尽可能少的典
型变量对数，为此需要对一些较小的典型相
关系数是否为零进行假设检验。H0经检验被
拒绝，则应进一步检验假设。
（二）部分总体典型相关系数为零的检验
H 0：2 = 3 = r
H1 : 2 , 3 ,, r 至少有一非零
x11 x 21 x31 Z x41 xn1 x1 p x2 p x2 p x4 p xnp y11 y21 y31 y41 yn1 y1q y2 q y3q y4 q ynq
2 2 求M1和 M2的特征根 1 ，对应的特征向 2 2 r
量 i和i (i 1,2,, r 。则特征向量构成典型变量的系 )
数，特征根为典型变量相关系数的平方。
第五节 邮电业与国民经济的典型相关分析
二、数据分析 我们将基于1995年到2007年我国国民经济数据(数据来 自于中国统计年鉴)，利用Stata软件来做邮电业和国民经 济之间的典型相关分析。数据具体见表1.
Canonical correlation analysis Raw coefficients for the first variable set
Raw coefficients for the second variable set 1 y1 y2 y3 y4 0.0001 -0.0000 0.0001 0.0000 2 -0.0001 0.0002 0.0013 -0.0003 3 -0.0005 0.0015 -0.0103 -0.0001 4 0.0016 0.0006 -0.0075 -0.0000
4 -0.0629 0.0000 -0.0003 0.0004
Raw coefficients for the second variable set 1 y1 y2 y3 y4 0.0001 -0.0000 0.0001 0.0000 2 -0.0001 0.0002 0.0013 -0.0003 3 -0.0005 0.0015 -0.0103 -0.0001 4 0.0016 0.0006 -0.0075 -0.0000
1 1 S yy S xx I S S S xx xy yy S yx
|S| 1 1 ˆ 0 I S S S xx xy yy S yx I M | S xx || S yy |
由于
ˆI M ˆI I I M ˆ )I (I M ˆ λ ˆ (1 λ ˆ) λ
若原假设H0被接受，则认为只有第二对典型变
量是有用的；若原假设H0被拒绝，则认为第二对
典型变量也是有用的，并进一步检验假设。
H 0：3 = 4 = r
H1 : 3 , 4 ,, r 至少有一非零
如此进行下去.直至对某个k
H 0：k 1= 4 = r
H1 : k 1, 4 ,, r 至少有一非零
所以，两边同时求行列式，有
I
1 S yx S xx
0 S xx I S yx
1 S xy I S S xx xx S xy S yy 0 S yx I
S xy S yy
| S |
S xx S yx
S xy S yy
1 S yy S xx S xy S yy S yx
性显著。
第四节 典型相关分析的计算步骤
在实际应用中，总体的协方差矩阵常常是未知的， 类似于其他的统计分析方法，需要从总体中抽出一 个样本，根据样本对总体的协方差或相关系数矩阵
进行估计，然后利用估计得到的协方差或相关系数
矩阵进行分析。由于估计中抽样误差的存在，所以
估计以后还需要进行有关的假设检验。
1、假设有X组和Y组变量，样本容量为n。假设( X1, Y1), ( X2, Y2),…, ( Xn, Yn)，观测值矩阵为：
所以若M的特征根为 ，则(l-M)的特征根
为(1-)。根据矩阵行列式与特征根的关系，
可得：
|S| 1 1 ˆ 1 I S xx S xy S yy S yx I M | S xx || S yy |
2 2 (1 12 )(1 2 )(1 p ) (1 i ) i 1 p
事实上
S xx S S yx I 1 S S yx xx S xx 0 S xy S yy 0 S xx S I yx 0
1 S xy I S xx S xy S yy 0 I
1 S yy S yx S S xx xy
第二节 典型变量与典型相关系数的求法
一、总体典型变量和典型相关系数
二、原始变理与变型变量之间的相关系数
三、样本典型相关变量和样本典型相关系数
第三节 典型相关系数的检验
典型相关分析是否恰当，应该取决于两组原变量之间是否
相关，如果两组变量之间毫无相关性而言，则不应该作典型
y1q yq y2 q yq y3q yq y4 q yq ynq yq
S xx 1 1 ˆ 样本的协方差： ZZ n 1 n 1 S yx
S xy S yy
2、计算特征根和特征向量
1 1 ˆ 1 ( S xx 令：M S xy S yy S yx ) 1 1 ˆ 2 ( S yy 令：M S yx S xx S xy )
第六章 典型相关分析
第六章 典型相关分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
典型相关分析的基本原理 典型变量与典型相关系数的求法 典型相关系数的检验 典型相关分析的计算步骤 典型相关分析的SPSS实现
第一节 典型相关分析的基本原理
一、什么是典型相关分析 在对经济问题的研究和管理研究中，不仅 经常需要考察两个变量之间的相关程度， 而且还经常需要考察多个变量与多个变量 之间即两组变量之间的相关性。典型相关 分析就是测度两组变量之间相关程度的一 种多元统计方法。
Canonical correlations: 0.9984 0.9512 0.4436
0.3557
Tests of significance of all canonical correlations Wilks' lambda Pillai's trace Lawley-Hotelling trace Roy's largest root Statistic .000216101 2.22478 318.081 308.19 df1 16 16 16 4 df2 15.9129 32 14 8 F 14.7596 2.5065 69.5802 616.3803 Prob>F 0.0000 0.0131 0.0000 0.0000 a a a u
Canonical correlations: 0.9984 0.9512 0.4436
0.3557
Tests of significance of all canonical correlations Wilks' lambda Pillai's trace Lawley-Hotelling trace Roy's largest root Statistic .000216101 2.22478 318.081 308.19 df1 16 16 16 4 df2 15.9129 32 14 8 F 14.7596 2.5065 69.5802 616.3803 Prob>F 0.0000 0.0131 0.0000 0.0000 a a a u