不确定关系
不确定关系
本文还没有给出公式和以图的形式给出的字母，等我以后看能不能补上，这会影响阅读的流畅和理解。
但大体意思是可以看出来的，先发上来供感兴趣的人讨论）。
可以通过很多方法推导出“不确定关系”的表达式，困难在于公式的解释及其物理意义；另外由于推导公式的前提不同，也会影响到对公式本身的理解。
直到今天，其实也没有取得一致公认看法。
当然，争论尽管存在，但丝毫不耽误对这个公式的使用。
下面，我准备把这个公式的来龙去脉理一理，也许对朋友们理解这个公式有些帮助。
一、海森伯格的云雾室和不确定关系的导出１９２６年的一天，年轻的２５岁物理学家海森伯格，面对着电子在云雾室运动时留下的径迹发呆。
不久前，他刚天才地用矩阵力学，完全摈弃了波尔量子论一直使用的电子轨道的概念，处理了氢原子、谐振子等束缚态的能级差、跃迁几率的问题，这些量都是可和实验比较的可观察量。
既然理论不需要轨道这种经典概念，那怎样解释云雾室的径迹呢？通宵达旦废寝忘食地苦思冥想了几个月，时间进入了１９２７年，仍然不得要领。
这时，他电光石火般地想起在一次讨论会上，他向爱因斯坦提出，“一个完善的理论必须以可观察量为依据。
”爱因斯坦摆动着他硕大的脑袋笑眯眯地又不容置疑地说，“在原则上，试图单靠可观察量建立理论是完全错误的；实际正好相反，是理论决定我们能够观察到什么。
”嗯？理论告诉我没有轨道，就是没有轨道，或者换句话来说，我看到的不是电子真实的轨道，是什么呢？是一串小水珠而已。
小水珠的体积是电子的几百万倍，当然不可能给出电子精确的动量和位置，原则只是给出坐标动量的一种近似模糊的描写，径迹不可能是经典意义下的轨道。
但是，位置、动量这些概念都是经典概念，于是他转而研究量子理论的要求对经典描写的限制，即对坐标动量的观察的不确定度两者之间是否满足一定一定条件。
下面就看看海森伯格是如何严格推导出他的不确定关系公式的。
当时薛定谔方程已经提出，波恩也给出了波函数的统计解释，狄拉克和约丹也给出了表象变换理论。
不确定关系的物理表述及物理意义
电子驻波
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。
E mc
2
物质波的实验验证 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。
A G M
d
a sin(2 ) k , k 1,2,3,
定义算符： 2 x 2 y 2 z 2
2 2 2
p 则得： 2 (r , t ) 2 k (r , t ) k
p2 自由粒子的能量： E 2m
k (r , t ) i E k (r , t ) t
2
2 k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
* 1 * 2
第三项称为相干项。
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测 结果的不确定性，出现了干涉图样。 它是由微观粒子波粒两象性所决定的。
例题18-3 设粒子在一维空间运动，其 状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
( x b / 2), x b / 2)
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) (b / 2 x b / 2) b
可见 Vx V ,
Vx 10 8 V
这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。
电子单缝衍射 电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。
p
a
y
x
p
pSin
X
根据单缝衍射公式半角宽： sin a a 电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：
不确定关系名词解释
不确定关系名词解释
不确定关系是指在一个命题中，存在一个或多个未确定的成分，需要通过进一步的信息来确定其具体含义或取值。
这种关系通常涉
及到条件、假设、推断或未知因素。
不确定关系常见于逻辑推理、
数学问题、科学研究以及日常生活中的推断和判断。
在逻辑推理中，不确定关系可以表现为条件语句中的假设或前提，需要根据具体情况来判断其真假。
例如，“如果明天下雨，我
就带雨伞。
”这个命题中的不确定关系就是明天是否下雨，只有在
明天的天气情况确定后，我们才能确定是否需要带雨伞。
在数学问题中，不确定关系常涉及到未知数或变量的取值范围。
例如，求解方程“2x + 5 = 13”，其中的不确定关系就是未知数 x 的取值。
通过代入不同的值来解方程，我们可以确定 x 的具体值。
在科学研究中，不确定关系常常涉及到实验结果的可靠性和推
论的准确性。
科学实验中的不确定性因素包括测量误差、样本偏差、实验条件等，需要通过统计分析和进一步研究来确定结果的可信度
和推论的有效性。
在日常生活中，我们经常需要根据不确定关系做出判断和决策。
例如，根据天气预报来决定是否带雨伞、根据交通状况来选择出行
路线等。
这些决策都基于对不确定因素的估计和判断。
总而言之，不确定关系是指在一个命题或问题中存在未确定的
成分，需要通过进一步的信息、推理或实证来确定其具体含义或取值。
不确定关系 PPT
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
§12—3 波函数 薛定谔方程及简单应用
你知道吗？ 1. 物质波波函数的统计意义?
2. 一维定态薛定谔方程的物理意义?
对于微观粒子，牛顿方程已不适用。
微观粒子的运动状态
描述微观粒子运动基本方程
波函数
薛定谔方程
一维自由粒子波函数
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
不确定关系
位置与动量的不确定性关系
在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何 时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于 微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成 对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等） 不可能同时具有确定的量值。
下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题
P
x
狭缝
Px
入射电子束
照相底版
1.05 1030 m s
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定 性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。
例 原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。
解： P = m V
x 1010 m
x Px 2
V Px 5.8105 m s m 2mx
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。 物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
y Acos2 (vt x )
i 2 (vt x )
用指数形式表示： y Ae
取复数实部
波的强度
I A2
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒
子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相
当于单色平面波，类比可写成：
i2 (vt x )
Ψ (x,t) Ψ0e
不确定关系
物理模型与物理现象
不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基本客观规律，它是波 粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述。
不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。在某个具体问题中， 粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小 。
物理模型与物理现象
自然科学并不是自然 本身，它是人类和自 然关系的一部分。
物理模型与物理现象
现在的理论并不是对微观粒子运动规律的终极观念。
随着认识的深入，我们现在认为的单个微粒运动的随机规律也 可能是不完备的模型，我们也可能会了解它的真实图景，科学 研究没有终点站。
问题与练习
请举一个例子说明：在经典物理学中，我们可以同时确定物体的位 置和动量。
例如，火车以一定的速度在一定时刻经过某站，可以准确确定其位 置和动量。
不确定性关系
教学目标
初步了解不确定性关系的内容，感受数学工具在物理学发展过 程中的作用
了解模型在物理学发展中的重要作用及其局限性。体会人类对 自然界的探究是不断深入的
教学重点
“不确定关系”的理解
教学难点
“不确定关系”的理解
在经典物理学中，可以同时用质点的位置和动量精确地描述它的运动。
如果知道了质点的加速度，还可以预言质点在以后任意时刻的位置和 动量，从而描绘它运动的轨迹。
1932年诺贝尔物理学奖获得者。 他的《量子论的物理学基础》是 量子力学领域的一部经典著作。
海森伯
海森伯不确定关系
海森伯不确定关系告诉我们： ①微观粒子坐标和动量不能同时确定。 粒子位置若是测得极为准确，我们将无法知道它将要朝什么方向运动；
若是动量测得极为准确，我们就不可能确切地测准此时此刻粒子究竟 处于什么位置。
§16. 2 不确定关系 (uncertainty relation)
③√粒子的动量和坐标不可能同时确定。 ④√不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于
其它粒子。
(二) 不确定关系的应用 (1)估算体系的基态能量：
①一维谐振子的零点能
不确定关系的应用
x p x
任何情况下 和x 不可p 能同时为零，所以微观 x
零点能的存在是微观粒子波动性的表现,因为” 静止的波”是没有意义的。
不确定关系的应用
（2）解释原子谱线的自然宽度
E
E
基态E0稳定
t , E 0, E0确定
E0 激发态E不稳定
t 0, E , E不确定 t
能 级 宽 度E
E E0 跃迁，辐射谱线宽度
(E
E ) 2
E0
(E
E ) 2
E0
微观粒子具有波粒二象性 用物质波的强度 作概率性描述
如何将微观粒子的波动性和粒子性统一起来?
所以，微观粒子的运动具有一种不确定性 ——（海森堡）不确定关系
位置与动量的不确定关系
一、位置与动量的不确定关系
以电子束 的单缝衍 射为例来 说明
x
p
a
y
1) 无法判定电子是从狭缝的哪一点通过的； 2) 也不知道从狭缝出来的电子是如何到达屏上的，只
1)认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰 连续减小，限制在所需的测量精度内。 2)认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论， 可以估算和控制干扰，修正测量值。
观察到电子落在屏上各处有不同的可能性(概率)。
位置与动量的不确定关系
电子如何进入中央明纹区的？
a sin
x
p
a
位置不确定量：
y
不确定关系Uncertainty...
1 R(12
−
1 n2
)
n = 2,3, 4....
赖曼系 (紫外)
ν
=
R(
1 22
−
1 n2
)
n = 3, 4,5....
巴尔末系(可见)
ν
=
1 R( 32
−
1 n2
)
n = 4,5, 6....
帕邢系 (近红外)
ν
=
1 R( 42
−
1 n2
)
n = 5, 6, 7....
布拉开系(红外)
ν
=
R(
一、原子结构模型
1）汤姆孙模型：
被α 粒子散射实验
所否定.
−
− −
−
−−
均匀分布 的正电荷
2）卢瑟福的原 子太阳系模型
10−10 m
∼ 10−15 m
− −
9
卢瑟福α 粒子散射实验（1909年）
α
粒子：高速运动的氦原子核
H
+ e
+
实验表明：大多数
α 粒子散射角很 小，ϕ →0.
但也有约1/8400的
Hα， Hβ， Hγ ，• • •等各谱线的波长。
12
用“波数”表示巴耳末系
ν~ = 1 = R( 1 − 1 )
λ
22 n2
n = 3,4,5....
R = 4 = 1.097 ×107 m−1 里德伯常数 B
类似地得出氢原子在红外和紫外区的各个谱 线系:
13
氢原子在不同光区的各个谱线系:
ν
=
量。
解： Δr ΔP ≥ / 2
M +
rn
V
5 不确定性关系
对于微观粒子的运动，如果以x ∆表示粒子位置的不确定量，以p ∆表示粒子在x 方向上的动量的不确定量，那么就有π4h p x ≥∆∆，式中h 是普朗克常量。
我们把这种关系叫做不确定关系。
１.正确理解不确定性关系的含义微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。
粒子位置的不确定量x ∆越小，动量的不确定量x p ∆就越大，反之亦然。
从微观上来理解，则微观粒子的坐标测得愈准确(0→∆x ) ，动量就愈不准确(∞→∆x p ) ；微观粒子的动量测得愈准确(0→∆x p ) ，坐标就愈不准确(∞→∆x ) 。
例１.关于不确定性关系有如下的理解A ．宏观粒子的坐标能测的准，微观粒子的坐标测不准B. 宏观粒子的动量能测的准，微观粒子的动量测不准C. 微观粒子的坐标和动量都测不准D. 微观粒子的坐标和动量不能同时测准解析：对于宏观物体具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述。
对于微观粒子不是说微观粒子的坐标测不准；也不是说微观粒子的动量测不准；更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准；而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。
这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。
点悟：（１）不确定性关系是自然界的一条客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。
（２）微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。
这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。
２.用不确定性关系解释单缝衍射现象光通过单缝时要发生衍射，光在衍射时同样遵循不确定性关系。
例2.光通过单缝所发生的现象，用位置和动量的不确定关系的观点加以解释，正确的是（ ）A.单缝宽，光是沿直线传播，这是因为单缝宽，位置不确定量x ∆大，动量不确定量p ∆小，可以忽略。
B.当能发生衍射现象时，动量不确定量p ∆就不能忽略C.单缝越窄，中央亮纹越宽，是因为位置不确定量越小，动量不确定量大的缘故。
D.以上解释都不对。
解析：单缝宽，光子经过单缝发生衍射时位置不确定量x ∆大，根据π4h p x ≥∆∆可知，光子的动量不确定量p ∆小，光是沿直线传播。
不确定关系
h 1.05 ×10 −34 −8 ∆t ≈ = ≈ 1.09 ×10 ( s ) −8 −19 ∆E 6 ×10 ×1.6 ×10
电子在原子大小范围(∆ 内运动， 例2:电子在原子大小范围 ∆ x=10-10米)内运动，试 电子在原子大小范围 内运动 求电子所能有的最小能量。 求电子所能有的最小能量。 根据位置与动量的不确定关系， 解:根据位置与动量的不确定关系， 根据位置与动量的不确定关系
x
∆ 推广到三维空间，则还应有： 推广到三维空间，则还应有： y ⋅ ∆p y ≥ ℏ, ∆z ⋅ ∆p z ≥ ℏ
2.海森伯不确定关系 2.海森伯不确定关系 同时测量一个粒子 1927年海森伯提出：当我们同时测量一个粒子 年海森伯提出： 年海森伯提出 当我们同时 的位置q和动量 和动量p时 的位置 和动量 时，粒子在某方向上的坐标不确定 量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普朗 克常数。 ： 克常数。即∆q ⋅ ∆p ≥ ℏ, 海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子不能同时 同时用 海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子不能同时用 坐标和动量进行准确的测量。 坐标和动量进行准确的测量。
不确定关系
1
经典力学中，物体位置、动量以及粒子所在力场 经典力学中，物体位置、 的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。 的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此 可用轨道来描述粒子的运动。 可用轨道来描述粒子的运动。 但微观粒子，具有显著的波动性，不能同时确定 但微观粒子，具有显著的波动性， 坐标和动量，而只能说出其可能性或者几率。 坐标和动量，而只能说出其可能性或者几率。我们不 能用经典的方法来描述它的粒子性。 能用经典的方法来描述它的粒子性。 1.电子单缝衍射 1.电子单缝衍射播放动画 Nhomakorabea2
不确定关系
1．在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个
△P=0.01%P=0.01%mv.
变式训练
2．设子弹的质量为0.01 kg，枪口直径为0.5 cm，试 求子弹射出枪口时横向速度的不确定量．
解析：枪口直径可以当作子弹射出枪口位置的不确
定量 Δx，由于 Δp＝mΔv，由不确定关系式得子弹
射出枪口时横向速度的不确定量
h
Δv≥
m4Δπx＝0.051.×3×0.51×0－
• D．单缝越窄，中央亮纹越宽，是因为单缝越窄， 位置不确定量Δx越小，动量不确定量Δp越大的缘 故
• 关于光电效应，下列说法正确的是( )
• A．极限频率越大的金属材料逸出功越大
• B．只要光照射的时间足够长，任何金属都 能产生光电效应
• C．从金属表面出来的光电子的最大初动能 越大，这种金属的逸出功越小
不确定关系
经典力学：运动物体有完全确定的位置、动量、能量等。 微观粒子：位置、动量等具有不确定量（概率）。 一、电子衍射中的不确定度
一束电子以速度 v 沿 oy 轴射向狭缝。 x
电子在中央主极大区域出现的几率最大。
△x表示粒子位置的不确定量（范
围），△p表示沿x轴的动量不确 o
定量（动量增量）（范围）。
35
10－
2
m/s＝1.06×10－30 m/s.
3．减小狭缝宽度，屏上中央亮条纹的宽度增大，这可以理解 为( AD )
A．更窄的狭缝可以更准确地测得粒子的位置 B．说明粒子更多地到达了中央亮条纹以外的地方 C．中央亮条纹的宽度增大，说明粒子的位置不确定性更大了 D．中央亮条纹的宽度增大，说明粒子在垂直于原来动量方向 上的动量增大
不确定度关系的内容
不确定度关系的内容1. 你知道吗，生活中到处充满了不确定度！就像天气预报说今天是晴天，结果下午突然下起了雨，这多让人意外啊！就像你满心欢喜地计划一场旅行，结果临行前身体却不舒服了，这不是很无奈吗？不确定度真的随时都在影响我们的生活啊。
2. 不确定度啊，有时候真的让人又爱又恨！好比说你努力准备一场考试，觉得自己胜券在握，最后成绩出来却傻眼了，这多让人沮丧啊！可有时候，也正是这种不确定度带来了惊喜，比如随手买的一张彩票竟然中奖了，哇，多神奇！3. 哎呀，不确定度简直就是生活的调味剂！你想想看，计划好和朋友去看电影，结果路上遇到了有趣的事情耽误了时间，这就是不确定度在作祟啊！但也许因为耽误的这点时间，你们发现了一家超棒的小吃店，这不就是因祸得福吗？不确定度就是这么奇妙呀。
4. 不确定度就像个调皮的小精灵，时不时就来捣乱一下！比如说你准备向心仪的人表白，心里忐忑不安，不知道结果会怎样，这就是不确定度在搞鬼啊！但也正因为这样，才让生活充满了期待啊，不是吗？5. 嘿，不确定度这东西可太常见啦！像你原本打算周末宅家休息，结果朋友突然打电话叫你出去玩，你的计划就全被打乱了，多烦人呐！但也许和朋友出去会有特别的经历呢，这就是不确定度带来的两面性。
6. 不确定度真的常常让人摸不着头脑！比如你一直在为一个目标努力奋斗，突然形势发生变化，你的努力方向都可能要改变，这多让人纠结啊！可万一新的方向带来更大的成功呢？不确定度总是这么让人捉摸不透。
7. 哇塞，不确定度简直无处不在啊！你说你精心打扮准备去参加一个聚会，到了才发现和想象的完全不一样，这不是很让人郁闷吗？但也许在那里你会结识到意想不到的人呢，这就是不确定度的魔力。
8. 不确定度啊，有时候真能让人哭笑不得！就像你决定去一个地方，到了才发现那里和你想象中的差别太大，这不是很无语嘛！可也正是这种差异，让你有了新的感受和体验呀，你说奇怪不奇怪？9. 不确定度就是生活中的一部分呀！从每天吃什么到未来会怎样，都充满了不确定度。
没确定关系的浪漫祝福语
没确定关系的浪漫祝福语“我想对你说，每次和你聊天都是我一天中最期待的事情。
希望我们可以继续保持这样的联系，让彼此的心更加靠近。
”。
“或许我们现在还不确定彼此的关系，但我相信时间会证明一切。
希望未来的某一天，我们可以一起走在阳光下，手牵手共度浪漫的时光。
”。
“我不知道我们之间会发展成什么样的关系，但我知道我对你的感情是真挚的。
愿你在每一个美好的日子里都能感受到我的祝福和关怀。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我对你的喜欢并不需要标签。
希望我们可以一起享受这份美好的情感，不必担心太多。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我真心希望我们可以继续相识下去，一起创造更多美好的回忆。
”。
“或许我们还没有确定我们之间的关系，但我想对你说，我会用我的真心和努力来证明我对你的感情。
希望你能感受到我对你的真诚和热情。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我会用我的行动来证明我对你的真心。
愿我们可以一起走向更美好的未来。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我会用我的真诚和努力来赢得你的信任和喜爱。
希望我们可以一起创造属于我们的浪漫故事。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我会用我的真心和关怀来呵护你，愿我们可以一起享受这份美好的情感。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我会用我的真诚和努力来赢得你的心。
希望我们可以一起走向幸福的未来。
”。
无论我们和对方之间的关系是否已经确定，都可以用这些祝福语来表达自己的心意。
希望每一个人都能在这个浪漫的季节里，找到属于自己的幸福。
愿我们都能用真心和努力，创造属于我们的浪漫故事。
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海森堡认为，微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典 的波；当人们用宏观仪器观测微观粒子时，就会发生观测 仪器对微观粒子行为的干扰，使人们无法准确掌握微观粒 子的原来面貌；而这种干扰是无法控制和避免的，就像盲 人想知道雪花的形状和构造。通过仔细分析，海森堡得出 电子坐标的不确定程度Δx和动量的不确定程度Δp遵从： Δx·Δp～h；同样，能量和时间这种正则共轭物理量也遵从 测不准关系，海森堡认为“这种不确定性，正是量子力学 中出现统计关系的根本原因”。
3.2 不确定关系
一、不确定关系的表达式 二、不确定关系的含义 三、不确定关系应用举例
1
一、不确定关系的表达式
1927年，海森堡在论文《量子论中运动学和动力学的 可观测内容》中，提出了著名的“测不准原理”。为了 说明他的测不准原理，海森堡设计了一个理想实验：用 一个γ射线显微镜观测一个电子。由于显微镜的分辨率 受光波波长的限制，为了精确确定电子的位置，应该使 用波长短的光，而波长越短，光子的动量越大，根据康 普顿散射，引起电子动量的变化就越大。因此电子的位 置愈准确，就愈难确定电子的动量。反之亦然。
14
*微观粒子和宏观物体特性之比较
动规律用牛顿力学描述
连续可测的运动轨道 有运动轨迹可以分辨
可处于任意能量状态， 即能量可以连续变化
测不准关系不表现出实际意义
解：电子的动量为
p mv 9.11031 200 1.81028 kg.m.s1
动量的不确定范围为
p 0.01% p 1.81032 kg.m.s1
由不确定关系，得电子位置的不确定范围
x
h
4px
6.63 1034
4 1.81032
s m
1010 m / s
比起微尘运动的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略 的，至于质量更大的宏观物体，Δv就更小了。由此可见， 可以认为宏观物质同时具有确定的位置和动量，因而服 从经典力学规则。
8
例2
质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的不 确定程度为其运动速度的1%，求其位置的不确定度
3
不确定关系的表达式 x px 2 y py 2 z pz 2
t E 2
4
二、不确定关系的含义 x px 2
上式说明动量的不确定程度乘坐标的不确定程度不小于一常数h。
表明微观粒子不能同时有确定的坐标和动量，当它的某个坐标确 定的越准确，其相应的动量就越不准确，反之亦然。
2.95103 m
13
说明
测不准关系式是微观粒子波粒二象性的反映。 是人们对微观粒子运动规律认识的深化。测不 准关系不是限制人们认识的限度，而是限制经 典力学的适用范围。具有波粒二象性的微观粒 子，它没有运动轨道，而要求人们建立新的概 念表达微观世界内特有的规律性，这就是量子 力学的任务。
解：根据不确定关系： x px 2
所以
h
h
6.63 1034
x 4px 4 M v 4 0.01 500104
1.0511031 m
可见，x远远小于宏观仪器的测量误差范围，显然
不确定关系对于宏观物体是及不重要的。
12
例题：一电子具有200m/s的速率，动量的不确定范围为 0.01%,则该电子的位置不确定范围多大？
粒子在客观上不能同时具有确定的位置坐标 及相应的动量。
这是由于粒子具有波粒二象性这一本身性质引起的。
5
t E / 2
同样，时间t 和能量E 的不确定程度也有类似的测不准关系式
ΔE 是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1 和E2 之差，它不是在 给定时刻的能量不确定量，而是测定能量的精确度ΔE 与测量 所需时间Δt 二者所应满足的关系。
因为原子的大小为10-10m，那么电子的位置测量的精确度至 少Δx=10-10m才有意义。因此电子速度的不确定度为：
Δv = h/(Δx·m)
=（6.626×10-34J.s）/(10-10m×9.1×10-31kg)
≈ 106～107m.s-1
已知分子，原子中电子的运动速度约为106m.s-1，即当电子的 位置的不确定程度Δx=10-10m时，其速度的不确定程度已大于电 子本身的运动速度。因此，原子、分子中电子的不能用经典力 学处理。
b. 测不准原理关系在宏观体系中也适用，只不过是测不 准量小到了可忽略的程度。
7
例1
对于宏观物体，设其位置的测量准确度为Δx=10-8m （其准确度已非常高），对质量m=10-15kg的微尘，求 速度的测不准量。由测不准关系式得 ：
vx
px m
h mx
6.6 1034 J 1015 kg 108
原子中电子处在激发态时的能级并不是单一的 值，而是有一定的宽度ΔE ，它停留时间越短， 不确定的范围就越大。
6
三、测不准关系应用举例
应用
测不准关系式可用于判断哪些物体其运动规律可用 经典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。
说明
a. 坐标与其共轭动量（同一方向上的动量分量）不能同 时确定。而非共轭如x与py 之间不存在上述关系。
x h 6.6 10 34 6.6 10 34 m mv 0.01 1000 1%
位置的不确定度Δx 如此之小，与子弹的运动路程相
比，完全可以忽略。因此，可以用经典力学处理。
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例3 对于原子、分子中运动的电子，电子的质量m=9.1×10-
31kg ，原子的数量级为10-10m。由测不准关系式，求得电子速 度的不确定度。
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例4
电子显微镜能够分辨开的两点间的距离可以表示为
d 0.61 sin
d为能分辨开的两点间的最小距离，是物体对物镜张角 的一半，是波长。因为电子德布罗依波长比可见光的波 长要短的多，所以电子显微镜的分辨率（放大倍数）比 光子显微镜要大的多。
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例题：一粒子弹的速度v=500m/s，其准确度为0.01%，求测 定子弹坐标可达到最高准确度（子弹质量为0.01千克）。