不等式解法学生版

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专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)

专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组(学生版)

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。

（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。

）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。

如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2, 那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。

二、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

【典型例题】例1.解不等式3(1)5182x xx+-+>-【变式】(湖南益阳)解不等式5113xx-->，并把解集在数轴上表示出来．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200 a200＜x≤400 bx＞400 0.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？例3. 解不等式组： ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--②①13215)3(3x xx x ，并求出正整数解。

第13讲拓展一一元二次(分式)不等式解法(学生版)-(人教A版数学必修一讲义)

有两个相等的实数根
没有实数根
( )的解集
( )的解集
知识点03：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
① 时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
② 时，求根；
③ 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点04：解分式不等式
2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数 ( 的图象
一元二次方程
( )的根
有两个不相等的实数根， ( )
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
【变式2】（2023春·辽宁沈阳·高二新民市高级中学校考阶段练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)解不等式．
题型05一元二次不等式（含参）的求解
（首项系数含参从0开始讨论）
【典例1】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式 .
1、分式不等式定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中 , 为整式且的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
二、题型精讲
题型01一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为正）
【典例1】（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.

第二章第二节基本不等式学生版

6.已知0<x ≤3，则y ＝x ＋16x 的最小值为( ) A.253 B ．8 C ．20 D ．107．y ＝2＋x ＋5x (x <0) 的最大值为________．8．若x <0，则函数y ＝x ＋4x 有( ) A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最小值－4 D ．最大值－49．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．4D ．110．[2019·天津卷]设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．题型七基本不等式的实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．2.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，如右图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(如右图中黑色部分)铺花岗地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个灰色三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．4．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．11。

不等式解法学生

不等式的解法举解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-a b } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-ab}(3)若a =0时,b >0,其解集为R ≤0,其解集为2c bx ax ++2>0(a ≠0)高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集1x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:2x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:二、讲解新课：不等式的有关概念1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f三、讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1分析:不等式|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a },这时,我们用552+-x x 替换|x |<a (a >0)的解集中的x ,原不等式转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x 解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②①解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4} 故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.032,023 0330232222x x x x x x x x 或因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0通分整理得：233222+---x x x x ＞0等价变形为：（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3} 说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解四、课堂练习：1解下列不等式:(1)|3x -4|≤19；(2)|21-x +4|>3；(3)30+7x -2x 2<0 (4)3x 2-5x +4>0；(5)6x 2+x -2≤02解下列不等式:(1)|x 2-48|>16； (2)|x 2-3x +1|<53解下列不等式:（1）1272322+-+-x x x x ≥0；（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0答案：（1）1272322+-+-x x x x ≥00)4)(3()2)(1(≥----⇒x x x x),4()3,2[]1,(+∞-∞∈⇒ x（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0]3,2[]0,1[ -∈⇒x1．解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>- 讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(2．解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x3．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或，求关于x的不等式02>+-c bx ax 的解集．解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即 01252<+-x x ∴221<<x4．关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．5．若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围6.解不等式0322322<--+-x x x x 略解一（分析法）3211312103202322<<<<-⇒⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<-->+-x x x x x x x x x 或或或φ⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎩⎨⎧>--<+-312103202322x x x x x x x 或 ∴3211<<<<-x x 或解二：（列表法）原不等式可化为0)1)(3()2)(1(<+---x x x x 列表（略）注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”-1 01234-28．解不等式 62323+>+x x x解：原不等式化为 0)2)(2)(3(>-++x x x ∴原不等式的解为232-<<->x x 或9．解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x解：∵022>++x x 恒成立，∴原不等式等价于0542<--x x 即-1<x <5 10．解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x解：原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ∴原不等式的解为}21221|{-<-<<-<<x x x x 或或若原题目改为0)2)(1()1()2(32≤-+-+x x x x 呢？ 11．解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x 解：原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x即 0120)(22)(222≤++-+x x x x ⇒0)10)(12(22≤-+-+x x x x⇒0)2411)(2411)(3)(4(≤---+---+x x x x ∴3241124114≤≤+-+-≤≤-x x 或 12．解不等式1116-<-x x 解：原不等式等价于01)3)(5(>-+-x x x ，∴原不等式的解为：513><<-x x 或 13． k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x解：原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x 由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3补充例题1解下列不等式:(1)x 2-2|x |-3>0；(2)2-3x <|2x -1|解:(1)由x 2-2|x |-3>0⇔|x |2-2|x |-3>0⇔(|x |-3)(|x |+1)>0⇔|x |>3⇔x >3或x <-3 故原不等式的解集为{x |x <-3,或x >3}(2)2-3x <|2x -1|⇔2x -1>2-3x 或2x -1<-(2-3x )⇔x >53或x >1⇔x 5故原不等式的解集为{x |x >53} 2解不等式|x 2-9|≤x +3解:|x 2-9|≤x +3-(x +3)≤x 2-9≤x +3⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔⎩⎨⎧≤--≥-+⇔43230120622x x x x x x x 或 ⇔2≤x ≤4或x =-3故原不等式的解集是{x |2≤x ≤4,或x =-3}3解不等式|2x +1|+|x -2|>4分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果解:|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}4解关于x 的不等式:(1)ax -2>3x +b (a ,b ∈R )；(2)ax 2-(a +1)x +1<0,其中a >0 解:(1)原不等式为:(a -3)x >2+b当a -3>0,即a >3时,不等式解集为{x |x >32-+a b} 当a -3=0,即a =3时,若2+b <0,即b <-2时,不等式的解集为R ;若2+b ≥0,即b ≥-2时,不等式无解当a -3<0,即a <3时,不等式解集为{x |x <32-+a b} (2)∵a >0 ∴原不等式⇔(x -1)(x -a1)<0 当a >1时,不等式的解集为{x |a1<x <1} 当0<a <1时,不等式的解集为{x |1<x <a1}当a =1时,不等式的解集为∅5定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)1()13()2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围解:原问题⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2211321x kx kx k x kx 在［0,1］内恒成立 ⎩⎨⎧<-+>++-⇔0220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立[][]⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔上恒负在上恒正在1,022)(1,01)(2221kx x x f k kx x x f [][]⎩⎨⎧⇔上的最大值为负在上的最小值为正在1,0)(1,0)(21x f x f .211211为所求<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔k k k。

拔高学习----不等式之第3讲：基本不等式及应用 (学生版)

第3讲基本不等式及应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()2.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2＋b2＞2abB.a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥23.若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.54.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.45.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；(3)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.【训练1】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为________.(2)设x＞－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值为________.考点二常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________.考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【训练3】要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤184.已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 7.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.8.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A.0B.1C.94 D.312.(2015·江西五校联考)已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22 B.2 2 C. 2 D.213.(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。

集合及不等式解法(学生用)

第 1 讲集合知识点一：集合1.元素与集合的关系:用∈或∉表示。

2.集合中元素具有：确定性、无序性、互异性。

3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线。

4.集合的表示法：(1)列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x |x-3>2}，{(x,y )|y =x 2+1}，{直角三角形}，…；5.常用数集及其记法（1）非负整数集（或自然数集），记作N ；（2）正整数集，记作N*或N+；（3）整数集，记作Z ；（4）有理数集，记作Q ；（5）实数集，记作R .6.元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A ；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A 。

知识点二：子集集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么 A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.【例1】下列关系式中正确的是（）A.{}∅⊆∅B.{}0∈∅C.0{}∅=D.0{}⊆∅【例2】方程组 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.【例3】设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.【例4】设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )A.{a }=MB.M ⋃{a }C.{a }⋂MD.M ⊇{a } 【例5】集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( )(A)S=B ⋂A (B)S=B ⋃A (C)S ⊆(B ⋂A) (D)S ⋃B=A【例6】用适当的符号()∈∉⊆⊇、、=、、填空：①π___;②{3.14}____;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。

不等式及其解集(学生)

不等式复习一一、双基回忆1、不等式：用等号〔＜、≤、＞、≥〕连接起来的式子，叫做不等式。

〔1〕用不等式表示：①x与1的差是负数：；②a的1/2与b的3倍大于2 ；③x、y的平方和是非负数。

2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。

〔2〕判断以下说法是否正确：①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

〔3〕以下不等式是一元一次不等式的是.①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.4、不等式的性质：〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。

〔4〕a＞b，填空：①a+3 b+3,②2a 2b,③- a/3 －b/3，④a－b 0.5、解一元一次不等式〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。

二例题导引例1 判断正误：①假设a＞b,那么 ac2＞bc2；②假设ac2＞bc2,那么a＞b；③假设2 a+1＞2b+1,那么a＞b；④假设a＞b,那么1－2 a＞1－2b.例2 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

〔1〕3〔1－x〕＜2(x+9); (2)112132x x ---≤.例3 a取什么自然数时，关于x的方程2－3x= a解是非负数？例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？三、练习提高夯实根底1、x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。

不等式典型例题学生版

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=，m x 12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm13<-；当0<m 时，mm 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

基本不等式典型例题(学生版)

典题精讲----基本不等式
典题精讲
例1（1）已知0＜x ＜3
1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域.
变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11
+x 的最小值.
变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值.
例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9
=1，求x+y 的最小值
例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最大值（0＜x ＜1）.
变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
变式训练1已知x ＜
45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+3
28-x 的最大值.
例4如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积
最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过26米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.。

2022年暑假初升高数学第15讲：不等式的解集一元二次不等式的解法(学生版)

2022年暑假初升高数学第15讲：一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．绝对值不等式一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？提示：不等式|x|＜a |x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝a＋b 2.4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c 是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．7．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像思考4：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧a >0，1＋4a <0，解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R .1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋1＞0，3x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ≤23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤232．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．R3．不等式|x |－3＜0的解集为________．4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．求不等式组的解集【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，x ＋3＞0的解集是( ) A ．x ＞－3 B ．－3≤x ＜2 C ．－3＜x ≤2 D ．x ≤2一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．1．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，x ＋43≤3x ＋34＋1，并在数轴上表示该不等式组的解集．解绝对值不等式【例2】不等式|5－4x |＞9的解集为________．1．(变设问)不等式|5－4x |≤9的解集为________．2．(变设问)若不等式|kx －5|≤9的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72，则实数k ＝________.1．|x |＜a 与|x |＞a 型不等式的解法不等式 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a{x |－a ＜x ＜a }∅∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0}R2.|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ＜12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ≤－52或－12＜x ≤12一元二次不等式的解法【例3(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图像写出不等式的解集.3．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.含参数的一元二次不等式的解法2解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．4．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．三个“二次”的关系[1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？【例5】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x 的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．3．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．4．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()2．已知数轴上A(3)，B(－5)，则线段AB中点M的坐标为________．3．如果1x＜2和|x|＞13同时成立，那么x的取值范围是________．4．解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2>2(x－1)．第11 页共11 页。

基本不等式(学生版)

1 已知实数满⾜, 且, 则的最⼩值为：2 不等式对满⾜恒成⽴，则的取值范围是：3 已知正数满⾜,则的最⼩值为：4 已知为正实数，给出以下结论：(1) 若, 则的最⼩值是 (2) 若, 则的最⼩值是(3) 若, 则最⼩值是(4) 若, 则的最⼤值是 5 已知满⾜，则使得恒成⽴的的最⼤值为：6 已知,则的最⼩值为：7 已知,且,则的最⼩值为：8 已知, 求的最⼩值:9 已知,求的最⼩值: 10 已知,且,求的最⼩值: 11 已知,且,求的⼩值: 12 已知,且,求：的最⼩值: 13 已知,则的最⼩值是： 14 已知,则的最⼤值为： 15 已知且,则的最⼩值是： x ,y x >y >0x +y =122x +3y +1x −y 1a −b +1b −c +λc −a>0a >b >c λx ,y ,z x 2+y 2+z 2=1S =1+z 2xyza ,b ,c a −2b +3c =0b 2ac3a +2b +2ab =8a +2b 4a (a +b +c )+bc =42a +b +c 23a 2+b 2+c 2=45ab +2bc 27x ,y x 3+2y 3=x −y ( x >0, y >0)x ,y x 2+ky 2≤1k x >0 ,y >0, x +y =1 x 2x +2+y 2y +1a ,b ∈R a ≠1a +b +1a +1−b a ,b >0 , 8a 2+1b=1a +b a ,b >0 , 32a 3+8b 2=1a +b a ,b >0a +b =11a 2+1b2a ,b >0a +b =11a +1b +1ab a ,b >02a +b =11a 2+4b2a >0, b >0b 2+2a +b +a 2ab +1x >2y >0, 2x 2−3xy −2y 2=1ω=x +3y x 2+y 2a >0,b >0a +b =2a 2+2a +b 2b +116 已知,则的最⼩值为： 17 若,且,则的最⼩值是： 18 已知，若,则的最⼩值是： 19 已知且，则的最⼩值是： 20 若且,则的最⼩值是： 21 设,且,则的最⼤值是： 22 设,且,则的最⼤值是： 23 设,且,则的最⼤值是：24 已知,则的最⼤值是： 25 已知,则的最⼤值是： 26 设,求的最⼩值: 27 已知正数满⾜,求的最⼩值: 28 已知正数满⾜,则的最⼩值是: 29 已知正数满⾜,求的最值：30 已知,则的最⼩值是: 2a >b >0a +4b (2a −b )a ,b ,c >0a 2+2ab +2ac +4bc =12a +b +c a >1, b >0a +b =21a −1+2b a >0, b >01a +1b =11a −1+9b −1a ,b ,c >0a (a +b +c )+bc =4−232a +b +c a >0, b >0a +b =5a +1+b +3a >0, b >0a +b =52a +1+b +3a >0, b >0a +b =12a +1+b +11(2x +y )⋅y +1(x +4y )⋅x=1xy 9a 2+b 2=1ab 3a +b a >b >0a 2+1ab +1a (a −b )x ,y 2x +y =1x +x 2+y 2x ,y 1x +8y=1x 2+y 2x ,y 4x +1x +y +9y =264x +y a ,b ,c ∈R a 2+b 2+c 2ab +2bc。

经典(超越)不等式(学生版)

经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122 ⋯1+12n <e ．三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a=12022，b=tan12022⋅e12022，c=sin12023⋅e12023，则()A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a=e0.2，b=log78，c=log67，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<08.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.。

高一数学基本不等式的应用及不等式证明1(学生版)

3、某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少
4、已知，则的最大值是_________.
5、已知，且，
求（1）的最小值；（2）的最小值。
变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？
变式题3：x>0，当x为何值时，取到最大值？最大值是多少？
变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？
二、不等式的证明
1.证明不等式的基本依据：
（1）实数大小的比较原则；
（2）不等式的性质；
（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式
2、基本不等式都有什么用图？
【课后练习】
1、均值不等式链
设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立.
2、甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？
⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。
（一）直接应用基本不等式
直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
例1.已知a，，求证：。

第4讲含有两个绝对值的不等式的解法(学生版)

第4讲含有两个绝对值不等式的解法【课型】新授课
【教学目标】
【预习清单】
【知识梳理】
一.去绝对值的原则：
a
二．画含有两个绝对值函数的图像：利用去掉转化成一个分段函数去画。

三．含有两个绝对值不等式的解法
1.|)
(x
f|>|)
(x
g|型不等式的解法：
2.|)
(x
f|＋|)
(x
g|≥)
(x
h型不等式的解法：
【引导清单】
考向一：含有两个绝对值函数图像的画法
【例1】已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求f(x))的值域．
考向二：含两个绝对值不等式解法
【例2】解下列不等式：
（1）|2x－1|－|x－2|＜0 （2）|2x－1|＜|x|＋1.
【训练清单】
【变式训练1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
【变式训练2】已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈f(x)<|x|＋1；
【巩固清单】
1.解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7.
不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10
3．已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．
（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；
（2）分析()y f x =和()y g x =的最值情况
4.已知函数g (x )＝|x －1|＋2.解不等式|g (x )|<5；。

常用不等式求解技巧 (学生版)

考点一：和定积最大，积定和最小（1）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) （2）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)例1、(1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)（配系数）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)（配项）已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)（配项，调整项的符号）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式训练1. （1）已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；（2）已知x < 3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；（3）当时，求(82)y x x =-的最大值。

（4）设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

变式训练2. (2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.考点二：“1”的代换例1、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．4.已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________.变式训练1. 已知x ，y ∈(0，＋∞)，且1x ＋4y ＝1，求x ＋y 的最小值．2. 已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．3. 设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．5.(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6例2、已知x 、y ＞0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6变式训练2（1）已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.（2）已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.考点三：利用对号函数的单调性求不等式最值注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合对号函数()af x x x=+的单调性。

不等式证明的基本方法(学生版)

高一数学培优班学案不等式的的证明1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法、综合法与分析法;2. 会利用比较法、综合法和分析法证明不等式预习内容：1．实数大小必较法则：baba-⇔>baba-⇔=baba-⇔<2. 基本不等式：⑴如果,a b∈, 那么222a b ab+≥. 当且仅当a b=时, 等号成立.⑵. 如果,a b∈, 那么2a b+≥当且仅当a b=时, 等号成立.3.均值不等式：如果,a b R+∈,那么22ab a ba b++≤≤≤4. 不等式证明的基本方法：比较法、综合法与分析法了解证明不等式的最基本的基本方法即反证法与放缩法..换元法所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。

其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。

具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。

这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

1.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2nn a a a a a a a a a +∈=+++≥ 例2.已知且求证:2分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：3.例求证课后练习例1.已知.1≠a 求证：（1）;122->a a （2）.1122<+a a例2.,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例3.设0,0>>b a ，分别用分析法与综合法求证: .2233ab b a b a +≥+例4.已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <分别用分析法与综合法求证:.ba mb m a >++例5在ABC ∆中，已知ABC ∆的面积为14，外接圆半径为1，三边长为,,a b c求证111a b c++ 例6已知ABC ∆的三边长为的三边为,,a b c ，面积为S 求证：222a b c ++≥例7：已知,,()lg ,3n n na b c a b c n f n ++=为正数，是正整数，且 12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐ 结步步寻求不等式已论成立的充分条件知求证：2()(2).f n f n ≤点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.例8：已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1。