概率复习课1
中考大一轮数学复习课时21概率的简要计算(概率1)PPT课件
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
课前预测 你很棒
热点一 事件的分类 热点搜索 注意对随机事件、必然事件、不可能事件的概念辨析，如果不 清楚或掌握不透，就会因为定义混淆引起错误． 典例分析1 (2013·山东聊城)下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强 队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④ 长分别为3，5，9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是 ________个．( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ①在足球赛中，弱队战胜强队，此事件为不确定事件． ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，此事件为不确定事件．
热点看台 快速提升
易错知识辨析 1. 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；在一定条件下，可能发生 也可能不发生的事件称为随机事件，只有分清各种事件才能作出正确的判断． 2. 根据必然事件、不可能事件的意义判断；计算出事件发生的概率的大小比较可能性的大小. 求简单事件的概率的主要步骤是：先用逻辑分析法，找出所有出现均等的结果；再找出关注结果发生
时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)
的大小关系正确的是( B )
A. P(C)<P(A)＝P(B)
B. P(C)<P(A)<P(B)
C. P(C)<P(B)<P(A)
D. P(A)<P(B)<P(C)
5. (2013·上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张
1 生的可 能性 都 是相等 的 ， 事 件A包 含m种 结 果，那 么事件 A产生 的概率 为：
[数学]高三文科数学概率复习课
![[数学]高三文科数学概率复习课](https://img.taocdn.com/s3/m/2ef50027cc17552707220829.png)
1. “一个骰子掷一次得到6的概率是
1 6
,这说明一个骰子掷6次会出现一
1
次6”,这种说法对吗?请说明你的理由. 解析：这种说法是不对的.虽然每次掷骰子出现6点的概率是 6,但连续
掷6次骰子不一定会1,2,3,4,5,6各出现一次,可能出现某个数的次数多
一些,其他的数少一些,这正好体现了随机事件发生的随机性.但随着试 验次数的增加,出现1,2,3,4,5,6各数的频率大约相等,即都为试验次数 的
1
女孩 P
2
2002
2003 2004 2005 2006 5年总计
0.516
0.518 0.515 0.518 0.516 0.517
0.484
0.482 0.485 0.482 0.484 0.483
2. 某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示: 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
题型二
随机事件的概率问题
例2某地区近5年出生婴儿的调查表如下：
出生数 出生年份 2002 男孩 m
1
共计n=
2
出生频率 男孩 P
1
女孩 m
m m
1
2
女孩 P
2
52807
49473
102280
2003
2004 2005 2006 5年总计
51365
49698 49654 48243 251767
47733
概率复习课
第三章
第1课时
基础梳理
1. 事件 (1)必然事件:
概率
随机事件的概率
在条件S下, 一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件. (2) 不可能事件: 在条件S下, 一定不会发生 的事件,叫做相对于条件S的不可能事件. (3) 确定事件: 必然事件与不可能事件 统称为相对于条件S的确定事件. (4) 随机事件 在条件S下, 可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S的随机事件.
概率复习
概率复习第一讲古典概型例1.一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}A =，{第三个球是红球}B =.求在下列条件下事件B A ,的概率. （1）不放回抽样； （2）放回抽样.例2.某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．练习提升:1.将一枚硬币抛两次，恰好出现一次正面的概率是 （ ）A.21 B.41 C.43 D.312．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 （ ） A ．5216 B ． 25216 C ． 31216 D ． 912163．在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 4.从5名男医生和4名女医生中选出4名代表，至少有一男一女的概率是 ． 5.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)， ，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．6.以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵树。
概率复习课
注意:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1; (2)可加性：
如果 B和C 互斥，那么
P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
5.相互独立事件的定义:
设A,B两个事件, 若P(AB) P(A)P(B) (即事件
A是否发生对事件B发生的概率没有影响), 则称事件A 与事件B相互独立.
(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本 的互斥事件与相互独立事件.
练习1 设甲、乙、丙三人每次设计命中目标的概率分 别为0.7、0.6、0.5。
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一个人命中 目标的概率；
（2）若三人各向目标射击一次，求他们恰好有二人 命中目标的概率。
6. n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的 n 次试验称
（2）方差与标准差
D ( xn1 E )2 p1 ( xi E )2 pi
( xi E )2 pi i 1
( xn E )2 pn
D
（3）重要结论：
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
D np(1 p)
特别地，若 服从两点分布，则
E P, D p(1 p)
典例分析
例1 判断下列随机变量是否是离散型？ （1）某路口一天经过的车辆数X （2）某森林中树木的高度在(0,33]米这一范围变化， 测得树木的高度X （3）一质点沿着数轴进行随机运动，它在数轴上的 位置坐标X （4）某人一生中每时每刻的身高X （5）某人射击一次中靶的环数X
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
概率复习课+教案陈
概率复习课（第１课时）河北师大附中陈英辉【教材分析】本章是中学数学相对独立的一部分内容，它是概率统计的基础，是每年高考必考的内容之一，侧重考查三种概率事件在实际问题中的应用，即求等可能事件的概率，求互斥事件、独立事件的概率，求某事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率,难度一般为中等或较容易，分值在12分左右.基于以上分析，确定如下的知识目标、能力目标、重点、难点.【知识目标】 1．掌握等可能事件的概率计算公式；2．掌握互斥事件和对立事件；3．掌握相互独立事件和n次独立重复试验的概率计算公式．【能力目标】 1．注意分类讨论思想、转化思想等数学思想在概率问题中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力；2．培养学生简约化思想的意识，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力．【教学重点】 1.概率的定义、性质；2.区分互斥事件、对立事件、相互独立事件和独立重复试验．【教学难点】应用本章知识解决实际问题【教学方法】讲练结合法教学过程：一、创设问题回顾旧知：通过以下几个简单实例，让学生逐步回忆概率的有关概念．注意区分互斥事件、对立事件、相互独立事件和独立重复试验．对于本章的一些公式，要注意运用它们的前提条件，通过学生回答，在练中求知，及时发现存在问题，纠正错误．1．下列四个命题：（1）对立事件一定是互斥事件（2）若A、B是两个互斥事件，则P(A＋B)=P(A)＋P(B)（3）若事件A、B、C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1其中正确的有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现“1枚正面、1枚反面”的概率是多少？3. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12 ，甲获胜的概率是13， 则甲不输的概率 是 ，乙获胜的概率是 ．4. 在一段时间内，甲去某地的概率是41，乙去此地的概率是51，假定两人的行动相互之间没有影响，则在这段时间内甲、乙都去此地的概率是多少？5. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，则他在这3次射击中恰好击中2次的概率是多少？［设计意图］ 通过几个简单小题的练习使学生达到复习概率基本知识点的目的．二、总结构建知识体系通过以上练习归纳出本章知识体系，然后再通过典型实例达到巩固提高的目的．本节课，我们将重点从 概率的基本性质、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等事件进行归纳总结，通过专题练习来达到巩固提高的效果！一、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0．随机事件的概率0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足概率的加法公式： P (A +B )=P (A )+P (B )；3）若事件A 与B 为对立事件，则P (A )=1—P (B )；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件．二、等可能事件1．正确理解的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；２．掌握等可能事件的概率计算公式：P (A ) ＝A 包含的基本事件个数m总的基本事件个数n三、互斥事件有一个发生的概率1．正确理解互斥事件和对立事件．2．掌握公式：P (A ＋B )=P (A )＋P (B )若A 、B 是对立事件，则P (A )+P (B )=1．四、相互独立事件同时发生的概率和独立重复试验1．正确理解相互独立事件和互斥事件的区别．2．掌握公式：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅()(1)k k k n nP k C p p =- (k ＝0，1，2，…ｎ） 三、典型例题在这部分练习中，使学生体会本章应用题的思考方法，正向思考时要善于将复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要注意运用思考的方法，即正难则反．例1：柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率:（1）取出的鞋子都是左脚的；（2）取出的鞋子都是同一只脚的．分析：本题应引导学生首先判断是属于等可能事件，再引导结合前面回顾的知识点求出所需的量，强调古典概型的特征：一是基本事件的有限性，而是基本事件的等可能性．变式：（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；（2）取出的鞋不成对．分析：进行变式的目的是要重点引导学生当从正面解决比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，会把一个复杂时间分解为彼此互斥的事件，或分解为彼此独立的事件；灵活的把P (A )转化为P (A —)，使学生将概率的基本性质更好的运用于解题中，同时提高学生的思维能力，培养学生勇于创新的习惯．例2. 某气象站天气预报的准确率为23，求 （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第三次预报准确的概率．分析：把一个复杂事件分解为几个彼此互斥的简单事件的和，然后再求每一个简单事件的概率，当正面分解包括的情况较多时，可先求其对立事件的概率．［设计意图］本例采用书上例题和习题，引导学生在复习时要重视课本的作用，回归课本，同时学会把复杂问题简单化．解题过程中，要明确条件中“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有有一个发生”，“都发生”，等词语的意义，以及它们的概率之间的关系和计算公式．随堂练习1．从装有2个红球和2个黑球的袋子中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取两个恰好都是不合格的概率是．3．（2007广东高考，文8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．［设计意图］通过前面的回顾分析，学生需要相应的练习来进一步巩固，以上选择的题目，注重了和前面例题的联系和补充，而有意识的加入了高考题，用意在于激起部分学优生的兴趣，同时也使学生明白这部分知识考查的难度，可以取到一定的引导作用，题目难度上仍有一定的层次性，如学生部分题目没办法课堂上完成，可课后完成．课堂小结１．本节课主要复习了概率的基本性质，几种事件的概率.２．求解概率问题应当明确以下几点:１）认清事件的特征，分清事件的类型是正确求解事件概率的基础，也是正确求解事件概率的保障。
随机事件的概率(复习课)
随机事件的概率（复习课）主题词：频率概率互斥事件对立事件案例摘要：本节内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修3的第三章第一节，复习的是概率的基本知识。
本节可主要体现新课改的精神和思想，由学生花时间看课本，然后通过小题训练，让学生在解题中提炼知识点和思想方法，真正做到将课堂还给学生，达到复习升华的目的。
整堂课以学生自主看书，练习为主，教师讲解为辅，从课本知识出发，进行衍生，变形，达到复习的目的。
课程与学习目标：知识与技能：了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义，了解概率与频率的区别，了解两个互斥事件的概率加法公式。
高考趋势：以概率的意义和性质为重点，结合实际，多角度考查概率问题，结合现实生活、概率的性质，对互斥事件和对立事件的考查成为新的热点。
过程与方法：从课本知识出发，用类比的方法探究解题方法，应用结论解题。
情感态度与价值观：引导学生自主探究，用联系的观点看问题。
教学重点：等可能事件，互斥事件，对立事件的意义及联系，能根据生活、生产等实际问题的情景分析问题，解决问题。
教学难点：会用互斥事件的概率加法公式解题。
教学方法：学生自主学习，教师启发讲授。
教学过程：1.课题引入：这堂课我们复习随机事件的概率。
请同学们翻开课本，自由复习108-121页的内容。
然后通过完成下面的小题，对知识点进行归纳与小结。
（1）在10件同类产品中，有8件产品是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是（）A 3件都是正品B 至少有一件是次品C 3件都是次品D 至少有一件是正品（2）甲：B A ,是互斥事件；乙：B A ,是对立事件，那么（ ）A 甲是乙的充分条件但不是必要条件B 甲是乙的必要条件但不是充分条件C 甲是乙的充要条件D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（3）某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A 表示正面朝上的这一事件，则A 的（ ）A 概率为53B 频率为53C 频率为6D 概率接近53（4）给出关于满足B A ⊆的非空集合B A ,的四个命题①“若,A x ∈则B x ∈”是必然事件②“若A x ∉则B x ∈”是不可能事件③“若B x ∈则A x ∈”是随机事件④“若B x ∉则A x ∉”是必然事件其中正确命题的序号是（ ）（5）我国已经加入WTO 多年，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求，18％的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率。
概率复习1
概率初步检测题本检测题满分：100分，时间：90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同.在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球.下列事件是必然事件的是（ ） A.摸出的3个球中至少有1个球是黑球 B.摸出的3个球中至少有1个球是白球 C.摸出的3个球中至少有2个球是黑球 D.摸出的3个球中至少有2个球是白球2从分别写有数字4-,3-,2-,1-,0,1,2,3,4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是（ ） A ．19 B ．13 C ．12 D ．233.如图所示，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，则能让两盏灯同时发光的概率为（ ） A.错误!未找到引用源。
16 B.13 C. 12D.234. 随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ） A.1 B.12 C.13 D.145．有一个正方体，6个面上分别标有1到6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（ ） A.13 B.16 C.12 D.146.将一颗骰子（正方体）连掷两次，得到的点数都是4的概率是（ ） A.61 B.41 C.161 D.361 7.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A.54 B.53 C.52 D.51 8.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（）A.甲B.乙C.丙D.不能确定9.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中.不断重复上述过程.小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球.因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个.A.45B.48C.50D.5510.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖错误!未找到引用源。
苏教版八下同步课程：第12章认识概率复习课件1
如果一个试验的所有可能发生 的结果有n个，当其中m个结果出现时， 事件A发生，那么事件A发生的概率为
3.概率
m P( A ) n
事件A发生可能出现的结果数 一次试验所有等可能出现的结果数
概率是衡量事件发生的可能性大小的量. 概率越大，事件发生的可能性越大 概率越小，事件发生的可能性越小
4.频数、频率
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
P数字之和为 5 4 1 36 9
解：将正方体骰子先后抛掷两次可能出现36种 结果，列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 (2)由表格可看出 数字之和为7出现 次最多达6次，所 以它的概率为：
第一摸 白 第二摸 白 红1 红2
红1
白 红1 红2
红2
白 红1 红2
可以看出，所有可能的结果有9种，其中符 合条件的有4种
4 P两次都摸出红球 9
例9.一个均匀的正方体骰子的各个面上标有数字 1、2、3、4、5、6，将它先后抛掷两次.问： (1)向上的数字之和为5的概率是多少？ (2)向上的数字之和为多少时，概率最大？ 解：将正方体骰子先后抛掷两次可能出现36种 结果，列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 (1)由表格可看出 数字之和为5出现 4次，所以
剪子
关于“石头、剪子、布”游戏 因为甲、乙都有三种手势 方式，可列出下表：
石头
甲
布
结果
乙
石头
剪子
布
剪子
石头 (石头、石头) (石头、剪子) (石头、布)
剪子 (剪子、石头) (剪子、剪子) (剪子、布) 布 (布、石头) (布、剪子) (布、布)
频率与概率复习课
频率与概率复习课知识点：1、会画树状图或列表法求概率2、利用概率估算一、选择题1、盒子中装有2个红球和4个绿球,每个球除颜色外都相同,从盒子中任意摸出一个球,是绿球的概率是( ) A 、41 B 、 31 C 、32 D 、212、如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( ) A 、 21 B 、 83 C 、41 D 、 313、抽屉里有1个红球和2个紫球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸一球，记录下颜色，然后放加抽屉，充分摇匀后，再任意摸一球，两次都摸到红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．19D ．164、从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有 2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有 （ ） A 、20种 B 、8种C 、 5种D 、13种5、一个口袋有3个黑球和若干个白球，小明为估计白球数，采用如下办法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，。
不断重复以上过程，小明共摸100次，其中20次摸到黑球，小明可估计口袋大约有白球？ （ ）A ．10个B ．12个C ．15个D ．18个6、盒子中有白色球8个和黄色球若干个．为求盒中黄色球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白球90次，则黄色球个数估计为 （ ）A ．90个B ．24个C ．70个D ．16个 二、填空题7、随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是．．．．正面朝上的概率是 8、口袋里放有2个黄球和2个黑球，每个除颜色不同外其他相同，同时任意摸出两个球，则摸到两个同颜色的概率是9、从分别标有数字1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽两张，其和是奇数的概率是三、解答题10、在一个不透明的口袋里放有2个红球和1个白球，小明和小亮做摸球游戏。
统计与概率复习课教案
统计与概率第1课时统计与概率〔1〕教学内容：教材第96页1、2题，练习二十一第1—3题教学目标1、使学生将统计的相关知识系统化、条理化。
2、使学生明确条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。
3、使学生进一步掌握复习整理的方法和策略。
重点难点重点分类、整理知识点难点条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。
教学准备多媒体课件等。
教学步骤一、复习导入在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分折、比较、研究，这样就需要进行统计。
今天我们就一起来复习统计一部分的内容。
二、回忆与整理教材等96页第1、2题。
1、我们学过哪些统计与可能性的知识？〔单复式〕统计表〔单复式〕统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，通常用来表示统计对象的一般水平。
2、各种统计图都有什么特点？适合在什么情况下使用？①条形统计图用一个单位长度〔如1厘米〕表示一定的数量，根据数量的多少，画成长短相应成比例的直条，并按一定顺序排列起来，这样的统计图，称为条形统计图。
条形统计图可以清楚地说明各种数量的多少。
条形统计图的特点：〔1〕能够显示每组中的具体数据。
〔2〕易于比较数据之间的差异。
②扇形统计图以一个圆的面积表示事物的总体，以扇形面积表示占总体的百分数图，叫做扇形统计图，也叫做百分数比较图。
扇形统计图可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系。
扇形统计图的特点：〔1〕用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比。
〔2〕易于显示每组数据相对于总数的大小。
③折线统计图以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫做折线统计图，与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不同时间里的发展变化的情况。
折线统计图最大的特点就是能够显示数据的变化趋势，反映事物的变化情况。
三、稳固提高1、练习二十一的第2题2、练习二十一的第3题。
四、课堂小结今天我们复习了各类统计图及其特点。
概率复习课教案初中
概率复习课教案初中课程目标：1. 巩固学生对概率基本概念的理解；2. 加深学生对概率计算方法的掌握；3. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 概率的基本概念；2. 概率的计算方法；3. 实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习概率的定义：概率是指某个事件发生的可能性。
2. 复习概率的取值范围：概率的取值范围在0到1之间，包括0和1。
二、概率的基本计算方法（15分钟）1. 复习必然事件的概率：必然事件的概率为1。
2. 复习不可能事件的概率：不可能事件的概率为0。
3. 复习随机事件的概率：随机事件的概率大于0且小于1。
4. 复习独立事件的概率：独立事件的概率等于各自概率的乘积。
三、实际问题中的应用（20分钟）1. 举例讲解如何运用概率解决实际问题，如抛硬币、抽奖、骰子等。
2. 让学生尝试解决一些简单的实际问题，如计算抛两次硬币出现正面的概率。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置一些有关概率的练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的练习进行讲解和指导，纠正错误。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结概率的基本概念和计算方法。
2. 强调概率在实际生活中的重要性，鼓励学生学会运用概率解决实际问题。
教学评价：1. 课堂练习的正确率；2. 学生对实际问题中概率应用的掌握程度；3. 学生对概率知识的综合运用能力。
教学资源：1. 概率的相关教材或教辅；2. 练习题；3. 教学PPT或黑板。
教学建议：1. 在课堂上鼓励学生积极参与，提问回答问题；2. 注重培养学生的动手能力，多让学生实际操作；3. 注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生学会分析问题；4. 因材施教，针对不同学生的学习情况给予适当的指导。
初中数学概率知识点总复习(1)
初中数学概率知识点总复习(1)一、选择题1．下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，-2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为确定事件【答案】D【解析】【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【详解】A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A．12B．13C．49D．59【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 .故答案选：C．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．12B．14C．16D．112【答案】C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．4．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（）A．12B．13C．16D．19【答案】B【分析】先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示)共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3，所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 ，故选B.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.6．下列事件是必然事件的是（）A．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖B．长度分别是3,5,6cm cm cm的三根木条能组成一个三角形C．打开电视机，正在播放动画片D．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．A、某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，属于随机事件，不符合题意；B、由于6-5＜3＜5+6，所以长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条能组成一个三角形，属于必然事件，符合题意；C、打开电视机，正在播放动画片，属于随机事件，不符合题意；D、2018年世界杯德国队可能夺得冠军，属于随机事件，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解题关键．7．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（）A．136B．16C．112D．13【答案】A【解析】【分析】本题是一个由三步才能完成的事件，共有6×6×6=216种结果，每种结果出现的机会相同，a，b，c正好是直角三角形三边长，则它们应该是一组勾股数，在这216组数中，是勾股数的有3，4，5；3，5，4；4，3，5；4，5，3；5，3，4；5，4，3共6种情况，即可求出a，b，c正好是直角三角形三边长的概率.【详解】P（a，b，c正好是直角三角形三边长）=61 21636故选：A【点睛】本题考查概率的求法，概率等于所求情况数与总情况数之比.本题属于基础题，也是常考题型.8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】B【解析】【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.【详解】白色球的个数是50(127%43%)?-=15个，【点睛】此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键.9．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（）A．16B．18C．112D．116【答案】C【解析】【分析】根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.【详解】解：由列表法，得：∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种，∴投放正确的概率为：112 P=；故选择：C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数.10．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(),m n在函数6yx=图象的概率是（）A．12B．13C．14D．18【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn＝6所占比例即可得出结论．【详解】Q点(),m n在函数6yx=的图象上，6mn∴=．列表如下：m﹣1﹣1﹣1222333﹣6﹣6﹣6 n23﹣6﹣13﹣6﹣12﹣6﹣123 mn﹣2﹣36﹣26﹣12﹣36﹣186﹣12﹣18mn的值为6的概率是41 123=．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn＝6的概率是解题的关键．11．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.故选B.考点：简单概率计算.12．下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【答案】C【解析】【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF部分的概率是（）A．34B．14C．124D．125【答案】D【解析】【分析】求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可.【详解】解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８,勾股定理得ＡＢ＝１０,∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４,∴Ｓ正方形GHEF＝４,四个直角三角形的面积＝９６,∴针扎在小正方形GHEF 部分的概率是100４=125故选Ｄ. 【点睛】本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键.14．某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n 次，其中有m 次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为mn，则下列说法正确的是 ( ) A ．m n 一定等于12 B ．m n 一定不等于12C ．m n 一定大于12 D ．投掷的次数很多时，m n 稳定在12附近 【答案】D 【解析】某人随意投掷一枚均匀的骰子,投掷了n 次,其中有m 次掷出的点数是偶数,即掷出的点数是偶数的频率为m n， 则投掷的次数很多时mn稳定在12附近， 故选D.点睛：本题考查了频率估计概率的知识点，根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近判断即可．15．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意画树状图如下：∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之积为奇数的有2种情况，∴这两个球上的数字之积为奇数的概率是21= 126．故选A．【点睛】此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．下列事件中，属于确定事件的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6B．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6C．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6D．抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6是随机事件；B、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6是不可能事件；C、抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6是随机事件；D、抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．17．下列说法：①“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨；②无理数是开方开不尽的数；③若a为实数，则0a<是不可能事件；④16的平方根是4±4=±；其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】①根据概率的定义即可判断；②根据无理数的概念即可判断；③根据不可能事件的概念即可判断；④根据平方根的表示方法即可判断． 【详解】①“明天降雨的概率是50%”表示明天有50%的可能会降雨，而不是半天都在降雨，故错误；②无理数是无限不循环小数，不只包含开方开不尽的数，故错误； ③若根据绝对值的非负性可知0a ≥，所以0a <是不可能事件，故正确；④16的平方根是4±，用式子表示是4±，故错误； 综上，正确的只有③， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式，掌握概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式是解题的关键．18．下列说法中正确的是（ ）．A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B ．一组数据的波动越大，方差越小C ．数据1，1，2，2，3的众数是3D ．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 【答案】D 【解析】试题分析：分别根据必然事件的定义，方差的性质，众数的定义及抽样调查的定义进行判断，、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故本选项错误；B 、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项错误；C 、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，故本选项错误；D 、想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查，故本选项正确． 故选D ．考点：全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件．19．下列事件是必然发生事件的是（ ） A ．打开电视机，正在转播足球比赛 B ．小麦的亩产量一定为1000公斤C ．在只装有5个红球的袋中摸出１球，是红球D ．农历十五的晚上一定能看到圆月 【答案】C【解析】试题分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．A.打开电视机，正在转播足球比赛是随机事件；B.小麦的亩产量一定为1000公斤是随机事件；C.在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；D.农历十五的晚上一定能看到圆月是随机事件.故选C.考点: 随机事件.20．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数a 使关于x 的不等式组()1242122123x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59【答案】C【解析】【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率．【详解】解不等式组得：7x a x ≤⎧⎨>-⎩， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3，解得：x ＝52a - ， ∵分式方程有非负整数解，∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，∴P ＝49故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．。
(高级数学)概率复习课教案
(高级数学)概率复习课教案高级数学概率复课教案一、教学目标1. 复概率的基本概念和相关的公式；2. 掌握概率的计算方法和应用；3. 加深对概率统计的理解和应用能力；4. 培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复概率的基本概念- 随机事件与样本空间；- 事件的概率；- 事件的排列与组合。
2. 概率的计算方法- 古典概型的计算；- 条件概率的计算；- 乘法定理与全概率公式；- 贝叶斯定理。
3. 概率的应用- 排列组合在概率计算中的应用；- 事件的独立性及其应用；- 抽样与抽样分布的概率计算；- 统计推断中的概率计算。
三、教学方法与过程1. 导入与复：- 引导学生回顾概率的基本概念及相关公式；- 提出一个实际问题，引发学生对概率计算的思考。
2. 概念讲解：- 通过课件、示意图等方式，给出概率的基本概念，如样本空间和事件的概率；- 结合实例，讲解事件的排列组合和条件概率的计算方法。
3. 计算方法教学：- 分步讲解古典概型的计算方法，引导学生灵活运用；- 给出实际问题，引导学生运用乘法定理与全概率公式进行计算；- 介绍贝叶斯定理的应用场景和计算步骤，并进行实例演练。
4. 应用能力培养：- 鼓励学生自主思考和尝试，提供实际问题让学生进行事件独立性的判断；- 引导学生通过概率计算解决抽样与抽样分布相关问题；- 结合实例，培养学生使用概率统计方法进行统计推断的能力。
5. 总结与拓展：- 对概率复课进行总结，强调重点和难点；- 提出扩展问题，引发学生进一步思考和研究概率的深层次内容。
四、教学评价1. 课堂表现评价：- 学生对概率基本概念的理解程度；- 学生在概率计算过程中的准确性与独立性。
2. 作业评价：- 书面作业的完成情况及准确性；- 解答问题的思路和逻辑性。
3. 考试评价：- 考察学生对概率的应用能力；- 考察学生对概率计算方法的灵活运用。
五、教学资源1. 课件：包含概率基本概念、公式和实例等内容；2. 示意图：用于辅助讲解概率的概念和计算方法；3. 练题：提供给学生进行概率计算练；4. 实例：用于引导学生应用概率解决实际问题。
概率复习课
1.某班有36人，血型为A型的12人，B型的 10人，AB型的8人，O型的6人，若从这 个班中随机地抽出2人，求所选2人的血 型为A型或O型的概率。 17
70
2. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子的 点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大于 3}，求事件A+B的概率。 3 4 注意：两种思路
5
5. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9,现从 中任取3条，求能构成三角形的概率。 1
5
6. 箱子中装有10张卡片，分别写有1到10这10 个整数，现从中抽出两张卡片，分别将抽 出来的数记为x和y， 8 (1) 求xy是3的倍数的概率； 15 (2) 最大数是5或最小数是5的概率。 1
1
y x 1 或 y 2 x
0
2
24
——链接高考
3 4
F D
E
C
A B
（08 山东卷 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，…，18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人，则选 出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为
1、 4、 7； 2、 5、 8；
3. 在一个口袋里放着大小完全相同的9个球， 其中有3个红球、2个黄球、4个白球，现 从中任意摸出两个球，求下列事件的概 率:(1)两球都为红球或都为黄球；(2)两球 1 是红球或黄球。
9
4. 6个球队中，有2个是强队，把这6个队随 机地分为两组，每组3个队，求事件“两 个强队分在同一组中”的概率。 2
5
注意：透彻理解题意，选择最佳解题策略。
7.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为 点P的坐标，则点P落在直线x+y=5 下方的概率 是多少？ x y 5
概率 章末复习课
题型二 互斥事件、相互独立事件的概率
例 2 国家射击队为备战 2016 年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦 的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐
性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如
下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行 的规律，队员甲在飞行距离为 50 米远处命中的概率为23. (1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在 这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率； (2)如果队员甲射击飞行距离为 50 米远处的飞碟，如果第一次 未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离 变为 100 米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次 射击时飞碟飞行距离变为 150 米(此后飞碟不在射程之内)．已 知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一 次游戏中命中飞碟的概率．
解 设成绩 X～N(μ，σ2)， 则正态分布的密度函数 f(x)＝ 21πσe－2x－σ2 μ2 ，x∈R 由图可知，μ＝60，σ＝8. ∴P(52<X<68)＝P(|X－60|<8)＝P(|X－μ|<σ)＝0.683. 小结 求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要 结合 3σ 原则，知道正态曲线与 x 轴之间的面积为 1.
解 (1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事
件 A. P(A)＝1－P(
A
)＝2267.
(2)记“在一次游戏中，第 i 次击中飞碟”为事件 Bi(i＝1,2,3)．
P(B1)＝23，P(B2)＝23×122＝16， P(B3)＝23×132＝227.
又 Bi 是相互独立事件，
∴P(B)＝P(B1)＋P( B 1B2)＋P( B 1 B 2B3)
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概率论
六、 全概率公式
设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,, Bn
为 S 的一个划分 ,且 P Bi 0 i 1,2 , , n ,则对
样本空间中的任一事件 A , 恒有
P A P Bi P A | Bi
i 1 n
概率论
七、 贝叶斯公式
八、独立性
两个事件的独立性
多个事件的独立性
概率论
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
注意:互斥与独立的区别
1.互斥的概念是事件本身的属性； 独立的概念是事件的概率属性。 2.两事件互斥,即A与B不能同时发生； AB＝ 独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A) 3.若0<P(A)<1, 0<P(B)<1, 互斥一定不独立；独立一定不互斥。 4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算, 独立通常用于概率的乘法运算。
设试验 E 的样本空间为 S , A 1 ,A2 , ,An
为样本空间的一个划分 , B 为 S 中的任一事件 ,且 P(B) > 0 , 则有
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
概率论
P A2 | B P A2 P B | A2 P Ai P B | Ai i 1
3
1 3 2 3 5 1 1 1 3 1 4 5. 2 3 3 5 6 5
（C）事件A和B互不独立；
(D) 事件A和B互相对立
概率论
例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4 、1/4、 1/2 ，且三家工厂的次品率分别为 2 ％、 1 ％、 3 ％， 试求市场上该品牌产品的次品率。
概率论
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
概率论
例 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只， 观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相 同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白 球、第3、4次取得红球的概率。
P A 1 P A .
性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则 P A B P A P B 并且 P A P B .
概率论
性质 5 对于任一事件 A , 都有 P A 1 . 性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P A B P A P B P AB P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
概率论
三、古典概型
若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
一次试验中出现的概率为（ 1/3
）
例2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它
是甲射中的概率为（ 0.75
）
概率论
例、设0<P(A)<1,0<P(A)<1,P(A|B)+
P( A B )
=1,
则（ B ）
（A）事件A和B互不相容；
（B）事件A和B相互独立；
可列可加性
概率论
二、概率的性质
性质1 P 0 .
性质 2 设有限个事件 A1 , A2 ,, An 两两互斥 , 则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
性. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
概率论
五、 乘法公式
若 P(B) > 0 , 则 P(AB)=P(B)P(A|B)
若 P(A) > 0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论
不一定成立 .
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
此定义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
例1、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等， 若已知A至少出现一次的概率等于19/27,则事件A在
解 设Ai 为第 i 次取球时取到白球，则
概率论
例1 甲盒装有 1 个白球 2 个黑球 ,乙盒装有 3 个白 球 2 个黑球 , 丙盒装有 4 个白球 1 个黑球 . 采取掷一骰 子决定选盒 ,出现 1、 2 或 3 点选甲盒 , 4 、 5 点选乙盒 , 6 点选丙盒 , 在选出的盒里随机摸出一个球 , 经过秘 密选盒摸球后 , 宣布摸得一个白球 , 求此球来自乙
或
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
盒的概率 . 解 设 A1 摸出的球来自甲盒 , A2 摸出的球来自乙盒 , A3 摸出的球来自丙盒 , B 摸得白球 ,
概率论
则
1 1 1 P A1 , P A2 , P A3 , 2 3 6 1 3 4 P B | A1 , P B | A2 , P B | A3 . 3 5 5 于是由贝叶斯公式可知 白球来自乙盒的概率为
称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
古典概型中事件A的概率的计算公式 :
A 包含的基本事件数 P A S 中的基本事件总数
概率论
四、条件概率
1. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B) > 0 , 则称
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
概率论
第一章
主要内容 例题选讲
概率论
一、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P S 1 ; 规范性 3 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2