“退中求进”数学思想解中职数学问题
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用《以退为进》是一种既在数学学习方面又在教学训练中得到广泛应用的策略。
它指的是在进行数学学习或数学操作时，将新知识拆解成几部分，先从最简单的部分开始学习，然后逐步进行深入细化，有条不紊地增加知识的深度和广度，最后实现自学能力的增强。
以退为进策略在数学学习中有着至关重要的作用，它可以帮助学生更好地理解数学学习内容，加深对数学基础知识的掌握。
从宏观上来说，它可以帮助学生形成正确的学习思想，提高学习效率和解决数学问题的能力。
从微观上来说，它可以帮助学生正确地选择正确的解决方案，并有效地分析和解决各种数学问题。
首先，以退为进策略有助于掌握数学的基础知识，而在掌握基础知识的基础上，学生更容易理解复杂的数学概念和问题解决步骤，从而能够更好地钻研数学理论。
通过以退为进的方法，学生可以从简单的问题开始，逐步深入，从而加深形成数学概念和知识结构。
因此，学习者可以更好地理解数学知识，学会解决更多的数学问题，从而增强数学解决能力。
其次，以退为进策略能够让学生形成正确的学习思想，特别是在做数学问题时，学生可以摆脱困难，转而重新思考问题，以更合理的思路为基础，并不断深入探索问题的解决办法，让学生养成审视问题的习惯，从而获得更好的学习效果。
另外，以退为进的学习策略也能够帮助学生更好地组织思路，梳理出更清晰的工作流程，有助于解决复杂的数学问题。
最后，以退为进策略可以帮助学生培养独立思考的能力，提高学习效率。
学生可以根据课本和老师提供的资料，结合自身的实际情况，逐步总结数学知识，利用以退为进的学习策略完成数学问题的求解，根据自身的需求，不断提高数学能力。
总之，以退为进的策略在数学学习方面发挥着重要的作用，可以帮助学生更好地掌握基础数学知识，加深数学理解，培养独立思考能力，让学生以更高效的方式学习应用数学。
谈数学解题中的“进” 与“退”
谈数学解题中的“进”与“退”孙伟奇(浙江省奉化中学,315500)“进”与“退”是哲学中的一对矛盾，也是数学的一种思维策略，恰到好处的“进”在解题中可以起到居高临下，高瞻远瞩，深刻认识事物本质，透彻解决问题的目的；相反，善于“退”足够地“退”也会起到峰回路转，四两拨千斤的功效．本文就“退”与“进”在解题中的作用谈谈自己的管见．一、从“一般”向“特殊”退有些数学题的条件与结论之间的结构联系不甚明显，直接找出结论的规律或解题方法有困难，我们可以采用从“一般”向“特殊”后退的方法去寻求解题途径．先考虑某些特殊情形，从特殊情形的解答中进一步探求出一般规律性的结论，亦可从中得到启示找到一般情形的解题方法．例1、已知抛物线)0(22>=p px y ，问：在x 轴的正半轴上是否存在一点M ，使得对过M 的抛物线的任意一条弦21P P 都有221π=∠OP P（Ｏ为坐标原点）？请说明理由．分析：假设满足题设条件的点M 存在，设),(),,(),,(22211100y x P y x P y x M ，则当OM P P ⊥21时，应有,4,2121ππ=∠∴=∠OM P OP P 此时)2,2(),2,2(21p p P p p P -，从而),0,2(p M 这表明若满足题设条件的点M 存在，则其坐标只能是).0,2(p设21P P 是过)0,2(p 的任意一条弦)(k 斜率为，21P P 的方程为)2(p x k y -=，代入0,4,04)2(2,221221222222<=∴=++-=y y p x x p k x p p k x k px y 又得且0,422,2,2212122121222121=+-=⋅-=∴==y y x x p px px y y px y px y ∴221π=∠OP P ．综上所述，在x 轴的正半轴上存在唯一一点)0,2(p M ，使得对过M 的抛物线的任意一条弦.22121π=∠OP P P P 都有二、从“抽象”向“具体”退我们知道有些关于代数和三角方面的数学题是比较抽象的，在不容易发现其内在的联系和解题方法时，如果能从“抽象”后退到“具体”来研究他们的数量关系，则较容易发现问题的内在联系，同时通过直观性也能启发我们解题思路．例2、p 为何值时，不等式1502≤++≤px x 恰有一个解．分析：本题比较抽象，如单从代数不等式方面去考虑，则显得较繁．我们采取从抽象的代数式后退到具体的几何图形来考虑，可知52++=px x y 是一条开口向上的抛物线，而1=y 是一条平行于x 轴的直线，综合考察这抛物线的顶点和这条直线的位置关系，本题的解法就明朗化了．解：如图所示，52++=px x y 是一条开口向上的抛物线，当其顶点在直线1=y 下方时，原不等式有无穷多个解；当其顶点在直线1=y 上方时，原不等式无解；只有当且仅当项点落到直线1=y 上时，原不等式恰有一个解．此时抛物线的顶点为4,145),45,2(22±==---p p p p 故当时，不等式恰有一个解． 三、从“整体”向“局部”退有些数学问题从整体上不易解决，我们可以考虑从局部下手，常常也能促使问题得到解决．例3、已知．:,,,证明+∈R c b a ≤++++++++abc a c abc b c abc b a 333333111abc1解：我们从局部入手，)111(111ca bc ab c b a abc c b a c b a abc ++++=++⋅++= ＝)(1)(1)(1c b a ca c b a bc c b a ab ++++++++，所以只需深入分析左边三项abca c abcbc abc b a ++++++3333331,1,1与右边各对应部分的大小关系即可． ab b a abc ab b a b a abc b a 2,))((222233≥++-++=++ 又0,,,22>+∈≥-+∴+b a R b a ab ab b a 其中，0)()(33>++=++≥++∴c b a ab abc ab b a abc b a ．同理，0)(33>++≥++∴c b a bc abc c b ，0)(33>++≥++∴c b a ac abc c a ， ∴≤++++++++abca c abcbc abc b a 333333111.1)111(1)(1)(1)(1abcca bc ab c b a c b a ca c b a bc c b a ab =++++=++++++++ 四、由“高维”向“低维”退从“高维”向“低维”后退的思想方法常用于解立体几何题，即把三维空间图形问题转化到二维的平面图形问题，即所谓的降维法．类似地在解高次、多元方程（组）的降次，消元，等都是从“高维”向“低维”后退的思想方法的体现．例4、如图（1），四面体ABC P -中，六条棱长的和等于l ，试求这个四面体的最大体积。
“退中求进”数学思想解中职数学问题
一
２ ０ ０ ９ 年福建省高考理科数学２ ｏ ．已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｝ｘ ， ＋ ａ ） （ ２ ＋ ｊ
人们 常用“ 题海” 这 个词 来形容题 目的 多． 因此我 们没有精
力来 关 注“ 题海” 中 的每 一成 员 ． 但 又如 何 能使 我们 每 个人 在 题 海 （ １ ） 试用舍 ａ 的代数式表示 ｂ ， 并求 ｆ 『 ｘ ） 的单调区间； 中游刃有余、 自由翱翔呢？ 我觉得只有重视数 学概念的学 习． 体会 （ ２ ） 令ａ ＝ 一 １ ， 设 函数 在 Ｘ Ｄ Ｘ ２ （ Ｘ ＜ ｘ 处取得 极 值 ， 记 点 Ｍ ｘ ， 概 念 的 生成 ． 理 解概 念 的 外 延 与 内含 ． 挖 掘 其 几 何 意 义 才 能举 一 ｆ （ Ｘ ） ， Ｎ（ ｘ ２ ， ｆ （ ｘ ２ ） ） ， Ｐ （ ｍ， ｆ （ ｍ） ） ， Ｘ ＜ ｍ＜ ｘ ２ ， 请 仔 细 观 察 曲线 ｆ （ ｘ ） 在 点 Ｐ处 反 三 ， 以不 变应 万 变 ， 才是 我 们 学 习 中的“ 上道” 的切 线 与线段 Ｎ ｉ Ｐ的位 置 变化趋 势 ． 并 解释 以下 问题 ： 参考 文 献 ： 。 （ Ｉ ） 若对 任 意 的 ｒ ｎ ∈ｘ ， ｘ ２ ） ， 线段 ＭＰ与 曲 线 ｆ （ ｘ ） 均 有 异 于 Ｍ， … 吴 曼玲 扁 考 中的拉 格 朗 日中值 定理 ， 工科 ２ ０ １ ２ ０ ７ ｛ ｑ － 学教 Ｐ的 公 共点 ， 试确定 ｔ 的最 小值 ， 并证 明你 的 结论 ； 研（ 数 学） 》
中职数学教学中的数学思想和方法
注意事项：在设立未知数 时，要根据问题的实际情 况选择合适的未知数，并
注意未知数的取值范围
定义：通过否定命题的结论，进而推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
适用范围：适用于证明一些明显或隐含的否定命题，特别是证明一些无法直接证明的命题。
优点：可以绕过一些直接证明的困难，通过间接的方式证明结论。
教学方法：通过实例演示、 图解法等方式，引导学生掌 握数形结合思想，提高数学
思维能力。
函数思想是中职数学中常见的一种数学思想，它通过将实际问题抽象为函数关系，利用函数 的性质和图像解决问题。
在中职数学教学中，教师需要引导学生理解函数思想，掌握函数的基本性质和图像特征，从 而能够运用函数思想解决实际问题。
融合专业课程：将数学与专业课程相结合，提高学生对数学的实际应用能力
创新教学方法：采用新颖的教学方法，如项目式学习、翻转课堂等，激发学生的学习兴趣
强化实践教学：通过实践操作，让学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决实际问题 的能力 培养创新能力：鼓励学生发挥创新思维，运用数学知识解决实际问题，培养创新能力
认识。
添加标题
强化思维训练， 培养学生的数学 思想和方法：在 教学中注重培养 学生的思维能力， 通过解决问题和 探究活动等形式， 引导学生运用数 学思想和方法解
决问题。
添加标题
教师自身应具备 数学素养和教学 能力：教师需要 不断学习和提升 自身的数学素养 和教学能力，以 便更好地在教学 中渗透数学思想
汇报人：
力
基础薄弱：大部分中 职学生数学基础较差， 难以跟上教学进度。
学习方法不当：一些 学生没有掌握有效的 学习方法，导致学习
效果不佳。
兴趣不高：部分学生 对数学不感兴趣，缺 乏学习动力和积极性。
“退中求进”数学思想解中职数学问题
想方法,就显得非常的重要遥 野退中求进冶的思想方法袁是从野退冶中寻找解题途径袁在野退冶中探求未知的结论袁退到我们能够看清楚问
题的解决途径袁进而发现解题思路的方法遥 本文结合中职数学典型习题中的多种题型来谈谈利用野退中求进冶数学思想来解决数学
问题遥
揖关键词铱退中求进 数学思想
揖中图分类号铱G71
揖文献标识码铱A
一尧野一般冶向野特殊冶后退 这种类型的题目中所涉及一般的点尧一般的直线袁在解决过 程很难发现题目中的规律袁通过取其特殊的某一点或某一线渊如 中点尧中线等冤袁从中获得思路遥 例 1院在吟ABC 中袁角 A尧B尧C 所对的边分别为 a尧b尧c袁如果
a尧b尧c
成等差数列袁则
cosA+cosC 1+cosAcosC
渊I冤若对任意的 m沂(x1,x2)袁线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M, P 的公共点袁试确定 t 的最小值袁并证明你的结论曰
渊II冤若存在点 Q(n ,f(n)), x臆 n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)
有异于 P尧Q 的公共点袁请直接写出 m 的取值范围渊不必给出求
解过程冤
评注院此题从题面上虽然与上面不同袁但依然是以研究函数
2009 年福建省质检理科 20援 已知函数 f(x)=ax+lnx袁a沂R
渊玉冤求函数 f(x)的极值曰
渊域冤对于曲线上的不同两点 P1(x1,y1)袁P2(x2,y2)袁如果存在曲线 上的点 Q (x0,y0)袁且 x1约x0约x2袁使得曲线在点 Q 处的切线 詛椅P1P2袁 则称 詛 为弦 P1P2 的伴随切线遥 特别地袁当 x0=姿x1+(1-姿)x2(0约姿约1) 时袁又称 詛 为 P1P2 的 姿原伴随切线遥
应用退中求进的思想解竞赛题
中学数学教学参考（上旬>2021年第4期维新天地t应用退中求进的思想解竞赛題张诏晨（陕西省西安市浐灞丝路学校)文章编号：1002-2171(2021)4-0076-03先退后进，以退求进，这是一种重要的探索问题 和解决问题的思想方法，在数学史上曾经被许多数学 家所推崇。
华罗庚教授曾经指出：“善于‘退’，足够 地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好 数学的一个诀窍！”所谓“退”，就是退到简单情形，把简单情形作为 考察的起点。
通过对简单情形的讨论,探索出一般问 题的结论，或者在解决简单情形的过程中觅得解决一 般问题的途径，以达到投石问路的作用。
这也就是我 们常说的从特殊到一般、从简单到复杂的解题策略。
“退”只是一种策略，“退”是为了找到解决问题的 途径而快速地前进。
能否运用退中求进的思想解决 问题，往往取决于能否从简单情形向一般情形或复杂 情形的过渡。
下面举例说明退中求进的思想在数学竞赛中的 应用。
例 1 已知 a … = 3n + 2,6…=2;j ，n e N +。
设数列 {心丨和{匕}的公共项从小到大组成数列<c …}，求数列 {<：…}的前《项和S …。
解析：由a …=3« + 2知，凡是被3除余2的整数 (不小于5)都属于数列。
根据这一特征观察数列的前 10 项：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024,发现下面画横线尚项也1数列的项，_ 它们属于数列U …}。
于是，数列的前四项为8,说明：本题根据数列的特征，通过考察数列{6J 的前 10 项，得到 c …=62…+1 =22”+1 (n 6N +),然后 再加以证明.使问题得到完整的解决。
例2给定W (W >2)个互不相等的实数a i ，a 2，… 〜，用这些数构成所有可能的和（一个数也可以看作一个和）。
证明：在所有这些和中，至少有”^^+1)个两两不等。
中职数学教学中数学思想的应用研究
中职数学教学中数学思想的应用研究摘要：数学思想是一种比较高级的理论，它是一种对知识和方法的概括和升华，它可以引导学生使用数学的思维去解决问题。
当前，数学思想在中职数学教育中的运用越来越广泛，中等职业学校也在不断探索怎样把数学思想与数学教育有机地结合起来。
中职学校的学生，由于他们的知识储备比较薄弱，多数人的学习数学的自主性比较差，学习兴趣一般不太高。
关键词：中职数学教学；数学思想；应用引言数学思想和数学方法统称为数学思想方法，这是我们学好数学、应用数学的法宝。
数学思想方法是数学的灵魂，所以，在数学教学中，要把握好渗透数学思想方法的时机，实施有效的渗透策略，促使学生对数学概念、数学公式以及数学法则定律有深刻的理解和掌握，切实提高学生的思维能力，不断提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
那么，在中职数学教学中，如何把握好渗透数学思想方法的时机，实施有效的渗透策略呢？笔者结合中职数学教学实际谈一谈自身的一些体会。
一、中职数学课堂教学中融入数学思想方法的意义（一）促进数学理论发展数学中思想方法一直是重点内容，想要提升数学教学效果，就需要主动将数学思想方法融入到课堂中，让学生对数学知识产生深刻印象。
借助数学思想方法能够让学生学会主动思考问题，锻炼解决问题能力，如数形结合、函数等在数学科目中占据了比较重要的位置，能够为学生提供多样化的思考方向，提升问题解决有效性。
在计算机中许多程序都是借助数学思想方法来设计的，甚至一些新技术也是通过数学基本思想产生的。
所以在教学中需要从数学教学特点出发，在课堂中引入生活元素，将复杂的事物关系使用数学思想方法展现出来，让学生能够从理性的角度作出准确的判断。
（二）提升教师数学素养在中职数学教学中使用数学思想方法就需要教师做好充分的研究与分析工作，逐渐形成完善的数学思想素养。
将数学思想方法落实到教学实践中还可以促进学生创新意识发展，转变学生对数学知识的学习态度，主动参与探究活动，找出有效的解决问题方法。
浅谈数学思想方法在中职教学中的渗透
教法探索新课程NEW CURRICULUM浅谈数学思想方法在中职教学中的渗透刘荣国（聊城大学山东省东营市垦利二中）我们说数学思想方法在教学中的渗透从来都是一个重要问题，也是一个难题。
对于普通高中如此，对于中职教育更是如此。
要做好数学思想方法的教学工作，就要做到有的放矢，找准问题症状和根源，才能有效解决问题。
从教十余年来，我深深地感到中职数学教学的难度很大，而且大有愈演愈烈之势。
以2015级学生为例，我认为主要存在以下问题和困难：一、学生方面一般来讲，学习成绩不好通常就是因为数学成绩不好，反之数学很好成绩也就差不到哪去，相信很多人都有这种感受。
当前形势下，很少有中等职业学校学生从个人兴趣或爱好出发，以个人发展和择业为目标选择中职学校。
他们大多因为成绩因素或政策压力，无奈之下不得不选择中职学校，在这期间，更有部分学生在考普通高中无望的情况下，早就放弃学习，坐等毕业。
经过梳理和研究，我发现在中职学生中至少存在以下几个方面的问题：1.中职生数学成绩差以2015级学生为例，总计招收1286人，据统计，80分以上学生只有115人，占比不到一成，而60分以上的学生总共也不足四成，更为严重的是20分以下学生竟也有87人至多，这其中甚至有21人不足10分，成绩之差令人咋舌。
2.数学思想方法起点低极差的成绩背后，自然是几乎零起点的数学思想方法。
据统计，数形结合思想、分类讨论思想和等价转换思想只有有一半左右的学生听说过，也谈不上熟练应用，而对于其他一些思想方法的理解和应用就更少了。
3.兴趣差，学习动机不足随着时代的进步，人们物质生活水平大幅提高，生存压力明显减小，人们工作的意愿普遍降低，目前学生学习也是如此，他们的意愿和动机普遍不够强，大多不愿意学习，尤其是对枯燥的数学学习缺乏兴趣和足够的动机。
最近，在网络上有这么一个论断我觉得很有道理，说的是如果抱着自己三十斤的孩子，半天也不觉得累，若是抱着三十斤的石头，很难有人会坚持十分钟。
数学思想应用在中职数学教学中的探讨
数学思想应用在中职数学教学中的探讨作者：徐学华来源：《中学教学参考·下旬》 2014年第7期山东青岛市黄岛区职业教育中心（266404）徐学华数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法处于更高层次，它可指导学生将知识转化为能力，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，广泛应用于生活和学习的各个方面，是对数学知识和方法的本质认识。
在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，数学思想具有指导性的作用。
一、渗透数学思想的必要性省编教材数学教学新大纲指出，“职高数学的基础知识主要是职高数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理，以及由其内容所反映出的数学思想和方法”。
可见，教学任务不仅是使学生掌握好基础知识和基本技能，更重要的是掌握数学思想和方法，培养学生严谨、周密的数学思维，并贯穿应用到日常生活中的方方面面，提升自己的综合素质。
数学思想是学生获取数学知识、培养基本能力的有力工具。
有些知识乍看起来好像是零散的、毫无联系的，例如一元二次不等式的解法，以前它是一个纯代数问题，而二次函数图像是几何问题，如今二者早已结合在一起了。
解题方法更是何等简单和直观！再如，在学习函数的单调性时，结合图像进行教学，即数形结合，学生会一目了然，起到事半功倍的效果。
因此，如果学生掌握了数学思想，原来看似孤立的东西就不再孤立。
在日常学习过程中，对一道数学题的研究关键在于找到合适的解题思路，数学思想就是构建解题思路的指导思想，因此，在教学中我们必须重视数学思想的渗透。
二、中职数学思想的应用实例1．符号表述思想数学不仅是一门科学，而且也是一种语言。
符号表述是数学语言的重要特色，它能使数学思维过程更加准确、概括、简明，符号的使用极大地简化和加速了思维进程。
如省编教材二册《立体几何初步》中，符号表示比比皆是：如“aα”表示直线a在平面α内；有无数个公共点“a∩α=A”表示直线a与平面α相交，有且只有一个公共点A；“a∥α”表示直线a与平面α平行，没有公共点。
数学教学中的“退、悟、进”
数学教学中的“退、悟、进”作者：杨莉来源：《教学与管理(理论版)》2007年第07期早在上世纪八十年代，我们曾总结出“以退为进，退中悟理，执理为进”的教学方法，简述为：“退—悟—进”。
新课程标准公布并实施后为探究法教学提供了更广阔的天地，如何有效地实现新课程标准，真正达到为基础教育服务的目的，我们对“探究法”的基本程序和方法，作了进一步的探索。
一、“退”法研究的基本程序：“退、悟、进”１．为进学退。
“为进”—一开始就提出新课题，激发学生的求知欲和好奇心，让学生明确学习目的，同时教师要退到学生的认知水平，和学生一起探索“退”路，就是分析矛盾，用比较、类比、特例、分解、简化等方法。
退未知为已知，退一般为特殊，退抽象为形象，退综合为单一。
这里的已知、特殊、形象、单一正是学生主动思维的条件，为达到“进”的目的而形成概念、导出规律，进而解决问题的基础。
经过“学退”逐步达到“会退”，学生的探究能力与日俱增，创造能力会充分发挥。
２．退中悟理。
“退”的目的在于“进”，能否由退转化为进，关键在于“悟理”，就是要尝试从直观的、特殊的事例中归纳抽象出一般的本质属性和普遍规律，从已知的简单现象中总结概括出新的概念和基本原理。
“悟理”就是要学习运用抽象、归纳、演绎、类比等逻辑方法，尝试找出已知的特殊事例中所包含的一般道理和解决问题的方法。
当然这时找到的道理和方法还是一种假说，有待于在“进”中论证和检验。
３．执理而进。
通过“悟理”，找到了一种道理或方法，就可以运用这个道理或方法去解决新课题，“进”的过程是从已知到未知的推理或求解的过程。
能否解决问题，需要实践去检验，如果“悟理”找到的道理和方法不能解决问题，就必须再从“退”中悟理。
二“退”的探究方法：析、例、形、分１．“析”。
退未知为已知。
这是“退”的基本方法。
因为学习新知识的过程就是从已知的知识“生长”出新知识的过程，就是逐步完善认知结构的过程。
传统教学主要是传授的过程，相当于教师是发信人，学生是收信人，教学过程类似于信息传输过程，也可以把教学过程看作是控制系统，教师是控制者，学生是被控制者。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
数学2014·８美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。
”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
”这就是“以退为进”的策略，在数学学习中常常用到。
一、退到思维起点，变繁为简，构建数学模型数学教学是思维活动的教学。
要使学生的思维得到有效发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点，使他们在学习中建构数学模型，逐渐逼近数学的本质。
例如，特级教师刘松教学“数学广角———找次品”一课时，将教材中的数据变大，使原题变成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特别轻（次品），用天平称，至少称几次才能保证找到它？”教学时，学生有的说２１８５次，有的说一千多次，还有的说７２９次……刘老师引领学生从３瓶想起，分成（１、１、１），需要称１次；９瓶分成（３、３、３），需要称２次；２７瓶分成（９、９、９），需要称３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要称４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要称５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要称６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要称７次。
学生面对庞大的数据２１８７时，显得束手无策，不得其门而入。
这时刘老师引导学生退到适合的思维起点，从最简单处想起：“用天平称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到次品。
”……经过这样变繁为简的过程，逐步推进，不仅引导学生解决了问题，而且帮助学生积累了数学活动经验，顺利地构建了新知的数学模型。
二、退到旧知原点，变快为慢，感悟数学思想奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。
”教学时退回到旧知原点，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，达到温故知新的目的。
例如，教学“乘法分配律”时，很多教师基本上是先从解决“买５件夹克（单价为６５元）和５条裤子（单价为４５元），一共要付出多少元”的问题入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再让学生写出几组这样的算式，然后归纳出规律。
以退为进重树数学信心--大中专数学课教改心得
以退为进重树数学信心--大中专数学课教改心得
高兴花
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2013(000)029
【摘要】以学生的现有基础和心理能力为出发点，调整教学进度，整合教学内容，改进教学方式和方法，新的学期、新的起点、新的希望，帮同学们重树学习数学的信心，以退为进，抓基础、抓巩固、抓落实，为学生的后备学习打好基础。
【总页数】2页(P52-52,53)
【作者】高兴花
【作者单位】山东信息职业技术学院，山东潍坊 261061
【正文语种】中文
【中图分类】G712
【相关文献】
1.因思考而灵动的数学课堂——实记小学数学课堂教改实践心路历程 [J], 陈春娇;
2.“重”树信心“重”树信心——关于当前中职德育工作的一点思考 [J], 李纯荣;
3.正视错误树信心,巧用错误提效率——浅析小学数学课堂教学中错误资源的有效
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4.正视错误树信心,巧用错误提效率——浅析小学数学课堂教学中错误资源的有效
利用 [J], 齐双才
5.正视错误树信心,巧用错误提效率——浅析小学高年级数学课堂教学中错误资源
的有效利用 [J], 邓发礼
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高中数学解题中的 以退为进 思想 学法指导 不分本 试题
谈谈高中数学解题中的 以退为进 思想王锡宁著名数学家华罗庚指出：“擅长‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个窍门。
〞又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
〞这就是以退为进的思想。
这种思想也是我们解证数学问题时的唯物辨证思想的一种表达。
一、从抽象退到详细“抽象〞是透过事物现象，深化内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。
“详细〞是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联络起来，从而更详细的理解概念的一种认识方法，抽象与详细是对立的统一。
高度的抽象是数学的一个根本特点，要解决数学问题或者解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联络和规律，因此往往要从“抽象〞后退到“详细〞的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。
例1 x ，y 是实数，求证：29)5y ()2x (y x 2222≥-++++分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。
因此不由|OA | 而|OB |=因此29)5y ()2x (y x 2222≥-++++例2 对于R a ∈，确定1a a 1a a 22+--++的所有可能值。
分析：仔细观察上述代数式的构造，容易联想起两点的间隔 之差。
事实上，1a a 1a a y 22+--++=2222)230()21a ()230()]21(a [-+---+--=这表示x 轴上的点P 〔a ，0〕到两定点A 〔2321，-〕和B 〔2321，〕的间隔 之差〔如图2〕。
图2由于线段AB 平行于y 轴，不管P 〔a ，0〕在x 轴什么位置，始终可构成△PAB ，由“三角形任意两边之差小于第三边〞，得1|AB ||PB PA |=<-即1a a 1a a y 22+--++=的值在〔－1，1〕内。
二、从一般退到特殊所谓“一般〞是指人们追求普遍性认识的一种方式。
而“特殊〞是指人们深化个别认识的一种方式。
探析数学思想及方法在中职数学教学中的渗透-2019年教育文档
探析数学思想及方法在中职数学教学中的渗透一、引言中职教育仍旧是我国教育领域的关键。
而数学教育作为中职教育的重要部分，如何教好数学非常的重要。
通过数学的学习，学生可以培养良好的思维能力。
面对中职生基础差的普遍特点，如何在课堂中融入数学思想和方法是中职数学教育探究的问题。
从实际的教育调查发现，良好的数学思想和方法可以很好地使学生懂得如何学数学、爱上数学，这对中职生素质的提高十分重要。
国家对中职教育也是十分的重视，在资金和师资队伍上都有较大投入，努力把中职教育的基础设施完善。
对待中职生的生活，还给予一定的补助。
在这么良好的教学环境下，数学教育显得更加重要。
二、中职数学教学中常用的数学思想方法渗透在我国的中职教育中，仍然遇到诸多的问题。
从学生的角度看，学生的素质偏低，基础较弱。
因此，在进行教学时，面临着很大的阻力。
作为培养学生思维能力的数学课程，在教学上更加困难。
学生基于对数学的无兴趣、基础差，在实际的学习中，经常出现不学习、上课睡觉的现象。
因此，数学思想与方法在教学上的正确渗透，对中职数学的教育非常的重要，让学生能在数学的学习中培养从不同角度看待事物的思维能力。
在此介绍几种在实际教学中常用的数学思想与方法。
（一）数形结合的数学思想渗透这种思想就是根据数与图像的关系，通过一定的数与形的相互转化，从而达到解决数学问题的目的。
这是一种处理数学问题的常用方法，可以很好地把枯燥的文字转化为具体的图形，不但有利于学生的理解，而且可以激发学生的兴趣，使繁琐的数字计算通过图形就可以简单明了地解答了。
这种良好的数学思想的形成需要学生在平时的学习中不断培养。
在这一方面上，函数部分显得比较的明显。
能把抽象的函数方程在解题的过程中加入图形的辅助思考，能很好地把复杂的情境简单化。
在讨论一元二次不等式的解时，数形结合的思想就把问题简单化了。
面对一个一元二次不等式时，首先应该把函数的图像简单地画出来，通过与坐标轴的交点来讨论其解的情况；对待简单的线性问题时，在平面坐标中简单地画出直线方程，再由条件求出所求的值；在集合的问题上，维恩图使用得比较频繁，很多的集合交或并的问题不好判断，但通过简单的维恩图表示，就比较的清晰，易于找出集合的关系。
高考数学解题策略“以退为进”
以退为进“以退为进”整个主题框架——退到特别状况、退到摸清规律、退到看懂题目、退到性质定理、退到猜出结果、退到“同族”子题等。
退中有法，以退为进。
数学上的特别状况包括：变量值的特别化、函数解析式的特别化、图形形态的特别化、位置关系的特别化、极端化也是一种特别化、甚至还包括定量问题特别成定性问题……退到特别状况，由此产生了“特别值法、特别函数法、特别图形法、极端分析法、估算法”等等。
都是大家熟识的，用来解决选择、填空题是很好玩的。
以退为进，退出了一些选择题、填空题的解题技巧，看似旁门左道，却节约时间，提高效率。
许多时候，只有在基础学问熟识到肯定程度上，解题阅历积累到肯定程度上，胆识达到肯定程度，才有了这些“旁门左道”，要求其实挺高的。
这些方法正是体现了——退中有术（奇妙的解决方法）。
解数学题真的能培育学生的韧性和毅力。
许多时候，解题就是熬，谁能熬到最终，谁就熬出了胜利，从这个层面上讲，解题还可以让我们修身养性。
我们不妨试想一下，当学生把我们教的学问点全都除掉的话，我们教给学生的东西还剩下什么？肯定是思索和解决问题的策略、方法还有意志，我觉得这就是实力，这应当是我们老师在教学过程中应当多多考虑的东西。
学生从“完全不相识”——“担忧胆怯”——“壮着胆子试试”——“渐渐相识”——“找到规律”——“大胆猜想结果”——“用点数学语言描述”。
我们让学生这样来体验一下完整的过程，可以熬炼他们动手解决问题的实力。
以退为进，先足够地退到我们最简单看清晰的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
知道怎么退，其实也就知道怎么进。
老师的高度影响了学生的高度，老师的看法确定了学生的看法。
问题1、11个女孩与n 个男孩去摘苹果，一共摘了2n +9n-2个苹果，假设每个小孩摘的苹果数相同，则____________多(填“男孩”或“女孩”) 提示：可用多项式除法（2n +9n-2能被11+n 整除）或干脆从1起先检验 问题2设()()473102222n f n n N +=++++∈……则()f n = （ ）A 、()2817n -B 、()+12817n -C 、()+32817n -D 、()+42817n - 提示：n 取0、1即可问题3、()()22020cos cos 120cos 240______ααα++++=提示：特别值即可（不放心就多试几个）问题4：定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且对()(),22x R f x xf x '∀∈+<恒成立，则不等式()()2211x f x f x -<-的解集为（ ）A 、{},1x x R x ∈≠±B 、 ()-11，C 、 ()()--1+∞⋃∞，1，D 、()()-1001⋃，，提示：特别偶函数：()0f x =问题5、()0203-sin 702cos 10=-A 、12B 、2C 、22D 、32 提示：分子大于2，分母小于2，答案比1大问题6、如图G 为三角形OAB 的中线OM 上的一点，PQ 过G ，分别交OA 、OB 于点P 、Q ，OP m OA=，OQ n OB =。
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“退中求进”数学思想解中职数学问题
作者：梁文阁
来源：《课程教育研究·中》2015年第05期
【摘要】中职学生的基础知识与理解能力都比较差，让中职数学的教学工作变得困难，所以，培养学生的解题能力与掌握数学思想方法，就显得非常的重要。
“退中求进”的思想方法，是从“退”中寻找解题途径，在“退”中探求未知的结论，退到我们能够看清楚问题的解决途径，进而发现解题思路的方法。
本文结合中职数学典型习题中的多种题型来谈谈利用“退中求进”数学思想来解决数学问题。
【关键词】退中求进 ;数学思想
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0138-02
数学作为一门强调学生综合思维能力的课程，问题的发现与解决是数学的心脏。
数学学习离不开问题解决，即解题的教学与学习。
学生对于数学课程的掌握程度直接通过数学解题来反应。
目前，中职生由于本身特点等原因，数学解题常常失败，从而影响了数学成绩。
著名数学家华罗庚指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
在中职数学解题的过程中，退是为了进，在一般的情形下思维受阻时，可以从“一般”向“特殊”后退;从“抽象”向“具体”后退;从“综合”向“单一”后退;从“任意个”向“有限个”后退等。
特别是在中职数学选择题当中，运用的比较多，若能够充分的利用，不仅能够提高速度，而且能够在解解答题时能从中发现其方法。
一、“一般”向“特殊”后退
这种类型的题目中所涉及一般的点、一般的直线，在解决过程很难发现题目中的规律，通过取其特殊的某一点或某一线（如中点、中线等），从中获得思路。
例1：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则■=____
【解法提示】本道题与△ABC的形状无关，只要取符合要求的特殊值就可以。
第一种是取特殊值a=3，b=4，c=5，则cosA=■，cosC=0，■=■。
第二种是取特殊角A=B=C=■，
cosA=cosC=■，■=■。
二、从“任意个”向“有限个”后退
任何人就数学问题而言，没有见过的、没有练过的问题要比看见过、练习过的数学问题多得多，是有限与无限的比。
所以陌生的题目或涉及到“n”的情形，只有将陌生问题转化为熟悉问题，或者是把涉及到“n”的转化为具体的问题（如n=1，n=2等等）才能到题目的切入点。
例2：在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且■=2■，过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若■=m■，■=n■，则m+n=
【解法提示】题目中过点K的直线是任意的，因此 m和n的值也是变化的，但从题意可知m+n的值是一个固定值，故可取一条特殊的直线进行求解。
解法是：当过点K的直线与BC 平行时，MN就是△ABC的一条中位线（■=2■，K就是AO的中点）。
这时由于有■=2■，
■=2■，因此m=n=2，故m+n=4。
三、从“抽象”向“具体”后退
数学问题本身具有抽象的特征，但在解决问题时要将抽象的问题具体化，找到抽象问题的原形。
对于具有一般性的数学问题，如果在解答过程中感到“进”有困难或无路可“进”时，不妨从一般性的问题退到特殊性的问题上来，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊情况，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的。
特别是在解决函数时，经常会碰到抽象函数，我们不妨把它转化为具体的函数上来考虑，从中找出题目的突破口。
例3：定义在区间（-∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数。
偶函数g（x）在区间[0，
+∞）上的图象与的图象重合，给出下列不等式：
①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）;②f（b）-f（-a）
③f（a）-f（-b）>g（b）-g（-a）;④f（a）-f（-b）
其中成立的是（）
A.①与④;
B.②与③;
C.①与③;
D.②与④
【解法提示】若不善于取特殊函数否定干扰支，较难得到结果。
取：f（x）=x，g（x）=x，且a=2，b=1，代入得f（b）-f（-a）=3，g（a）-g（-b）=1，f（a）-f（-b）=3，g（b）-g （-a）=-1。
可知②和④不成立。
∴选C答案。
四、结束语
利用“退中求进”数学思想解数学问题的思想方法具有特殊性，它能把一般的问题转化为特殊的问题，它在解题过程中起着简化的作用。
特别是在选择题中采用这种方法可以大大提高解题的速度。
我们在解题时往往受到思维定势的影响，而当我们退一步来看，就会发现原来的问题是如此的简单。
参考文献：
[1]唐高旭.小议“故意糊涂”教法[J];湖南教育;2013年12期
[2]马莲芳.浅议数学教学中的记忆力培养[J];河南教育;2012年10期。