数学建模专题汇总-离散模型
数学建模简明教程课件：离散模型
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
数学建模实验答案 离散模型讲解
实验09 离散模型（2学时）（第8章离散模型）1. 层次分析模型1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵261????1/21A?4????1/461/1??注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根≥n。
★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果（见[264]）：1 3.0092k =1>> w=V(:,k)/sum(V(:,k))w =0.58760.32340.0890[263]）(2) 幂法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×(0)w 1）；a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为)k?1)((k2,0,1,?Aww,k?；计算b.1)?(k w1)k?(?w1)k?(w归一化，即令c. ；n?1)?(k w i1i?)(1)k(k?1)k?(?)n|?|w,(i?w?1,2,w即，当d. 对于预先给定的精度ε时，iib；为所求的特征向量；否则返回到步骤1)?(kn w1??i?。
e. 计算最大特征根)(k wn1i?i 注：)k(k?1)(((k)k)???wAw??ww?1)(k? w?i n,i?1,2,??)k(w i文件如下：函数式m [lambda w]=p263MI(A,d)function——求正互反阵最大特征根和特征向量%幂法% A 正互反方阵% d 精度 2 % lambda 最大特征根归一化特征列向量% w0.000001，则d取if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A）d=1e-6;end的阶数取方阵A n=length(A); %任取归一化初始列向量w0=w0/sum(w0);%w0=rand(n,1);1while ww=A*w0;%归一化w=ww/sum(ww);all(abs(w-w0)<d) if; breakendw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;的最大特征根和特征向量。
数学建模离散优化模型与算法设计
数学建模离散优化模型与算法设计数学建模在离散优化问题的解决中起着重要的作用。
离散优化问题是指在给定的离散集合上寻找最优解的问题，一般包括整数规划、组合优化、排班优化等。
数学建模则是将实际问题转化为数学模型的过程，在离散优化问题中，需要设计相应的数学模型，并通过算法求解最优解。
离散优化问题的数学模型通常包括目标函数和约束条件两个方面。
目标函数用于衡量解的优劣程度，约束条件则是对解的限制条件。
通过定义合适的目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为一个数学优化问题。
在构建数学模型时，需要考虑实际问题的特点。
例如，在排班优化问题中，需要考虑员工的需求以及工作时间的限制，将员工的排班安排转化为一个数学模型。
在整数规划问题中，需要考虑变量的取值范围，将问题转化为整数规划模型。
在数学建模的基础上，需要设计相应的算法来求解离散优化问题。
常见的算法包括贪心算法、动态规划算法、遗传算法等。
选择合适的算法取决于问题的规模和特点。
贪心算法是一种简单而直观的算法，每一步都选择当前最优的解来构建解空间，在一些问题上具有较好的效果。
动态规划算法则通过将问题划分为一系列子问题，并保存子问题的解，从而避免重复计算，提高计算效率。
遗传算法则是一种模拟生物进化的算法，通过遗传、交叉和变异等操作来最优解。
除了算法设计，还需要考虑算法的优化。
例如，在排班优化问题中，可以通过合理的约束条件和目标函数设计，来减少空间，提高算法效率。
此外，还可以使用启发式算法等方法来加速过程。
总之，数学建模在离散优化问题的解决中起着重要的作用。
通过合适的数学模型和算法设计，可以有效地求解离散优化问题，并得到最优解。
在实际应用中，还需要考虑问题的特点来选择合适的算法，并通过优化算法提高求解效率。
数学建模简明教程第六章离散模型
收集数据与信息
数据来源
确定数据来源，包括实验数据、调查数据、公开数据等，确保数据的准确性和 可靠性。
数据预处理
对收集到的数据进行清洗、整理和转换，以适应离散模型的建立和应用。
选择合适的离散模型
模型类型
根据问题特点和目标，选择合适的离 散模型类型，如概率模型、统计模型 、逻辑模型等。
离散模型的优化
参数调整
根据验证结果，调整离散 模型的参数，以提高模型 的预测精度和稳定性。
算法改进
探索更高效的算法，以降 低计算复杂度和提高模型 训练速度。
特征选择
根据模型需求，选择与问 题相关的特征，去除冗余 和无关特征，提高模型性 能。
离散模型的改进建议
深入研究数据
持续学习
深入了解数据分布和特性，为模型改 进提供更有针对性的指导。
等方面。
在交通运输领域，离散模型用于 描述交通流量的变化和预测交通
状况。Βιβλιοθήκη 在经济学和社会学领域，离散模 型用于研究人口增长、市场行为、
社会网络等方面的问题。
02
离散模型的建立
确定问题与目标
明确问题背景
在建立离散模型前，需要明确问 题的背景、研究目的和相关领域 ，以便确定模型的应用范围和针 对性。
确定研究目标
数学建模简明教程第六章 离散模型
• 离散模型概述 • 离散模型的建立 • 离散模型的求解 • 离散模型的验证与优化 • 离散模型案例分析
01
离散模型概述
离散模型的定义
离散模型是指对研究对象进行离散化 处理，将其划分为若干个离散的单元 或状态，然后对每个单元或状态进行 数学描述和分析的模型。
数学模型复习-第4章离散优化模型
第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。
规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。
部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。
只取0,1 的变量称为0-1变量。
实际问题建模（生产计划•线性规划）。
建模.软件计算，结果分析:对偶价格。
敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。
例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。
其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。
第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。
一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。
2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。
(数学建模)第八章 离散模型
对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 n 定义一致性指标: CI CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
例1 国家 实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡 献 收 入
Aw w
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 便于定性到定量的转化：
尺度 a ij
C i : C j的重要性
1 相同
2
3 稍强
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
w
(2)
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
( w1 , , w n )
(2) (2)
T
第3层对第2层各元素的权向量
wk
(3) (3) (3) T
( w k 1 , , w km ) , k 1, 2 , , n
(3)
数学建模案例分析第八章离散模型
数学建模案例分析第八章离散模型第八章"离散模型"主要介绍了离散数学在数学建模中的应用。
离散数学是指研究离散对象和离散结构的数学学科，与连续数学相对应。
在数学建模中，离散模型常用于描述离散化的问题，如网络优化、排队论、图论等。
本章讨论了三个离散模型的案例分析。
第一个案例是关于动态规划的问题。
动态规划是一种解决优化问题的动态模型，通过将问题划分为多个阶段，每个阶段可存在多个状态，根据转移方程进行状态转移和决策，最终得到最优解。
本案例中，讨论了一个旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），即如何找到一条路径，使得旅行商能够访问给定的一组城市且总路径最短。
通过动态规划的方法，可以列出状态转移方程，并利用递推关系计算最优解。
第二个案例是关于网络优化的问题。
网络优化是指在给定的网络结构上，通过合理的设计和调整网络的参数、算法等，以提高网络的性能和效率。
本案例中，以网络中的流最大问题（Maximum Flow Problem）为例，介绍了如何通过建立网络模型、定义网络容量等参数，以及应用最小割定理和残余网络的概念来解决流最大问题。
第三个案例是关于排队论的问题。
排队论是研究排队系统中等待时间、服务时间等性能指标的数学理论。
本案例中，以排队模型中的M/M/1排队系统为例，介绍了如何通过排队模型来估计顾客等待时间、系统繁忙程度等指标，并通过参数调整和优化来改善排队系统的性能。
以上三个案例分析都是基于离散模型的，通过合理的数学建模和求解方法，解决了实际问题中的离散化问题。
通过学习这些案例，我们可以更好地理解离散模型的应用和原理，并将其运用到实际问题中，提高问题求解的效率和准确性。
总结起来，离散模型在数学建模中扮演着重要的角色。
通过离散化的方式，将实际问题抽象成离散对象和结构，可以更好地进行问题求解和优化。
离散模型的应用领域广泛，涉及到网络优化、排队论、图论等多个领域，因此在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的离散模型，并运用适当的数学建模和求解方法来解决问题。
7-4离散系统的数学模型全篇
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
离散模型的原理与应用
离散模型的原理与应用离散模型，顾名思义，是指将连续变量转化为有限或可数的取值集合，并对这些离散取值进行建模和分析的一种数学方法。
离散模型广泛应用于各个领域，包括计算机科学、统计学、经济学、市场营销以及生物学等，并在这些领域中起到了重要的作用。
离散化是指通过将连续变量转化为离散变量来简化问题。
在实际应用中，很多变量是连续的，如时间、空间、数量等，但是连续变量的取值范围往往非常大，导致计算和分析变得困难。
因此，将连续变量离散化可以将问题空间缩小为有限的可数集合，便于分析和建模。
离散化的方法包括等宽分箱、等频分箱、基于聚类的分箱等。
等宽分箱是将连续变量的取值范围等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；等频分箱是将连续变量的取值按照频率分布等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；基于聚类的分箱是根据样本数据的分布特点，采用聚类方法将连续变量的取值划分为若干离散值。
离散化的好处是可以降低分析复杂度，使数据更易理解和解释，并且可以保护数据的隐私性。
离散模型在实际应用中有很多优点。
首先，离散模型可以将问题简化为有限的离散集合，使问题更易于理解和分析。
其次，离散模型可以运用多种统计学和机器学习方法进行建模，因此具有很高的灵活性和适应性。
此外，离散模型还可以提供精确度、可解释性和可预测性，对于决策支持和优化问题具有较高的实用性。
离散模型的应用非常广泛。
在计算机科学领域，离散模型被广泛应用于图论、组合优化、自动控制等领域。
例如，网络路由算法可以采用离散模型来建立网络路由表，优化网络传输效率。
在统计学领域，离散模型可以用于建立概率图模型，分析变量之间的依赖关系和随机过程。
在经济学和市场营销领域，离散模型可以用于预测市场需求、优化定价策略和建立市场竞争模型。
在生物学和医学领域，离散模型可以用于研究生物分子的结构、功能和相互作用，以及预测药物分子的活性和毒性。
总之，离散模型是一种将连续变量离散化，并利用统计学和机器学习方法进行建模的数学方法。
离散模型_经典总结
证明：设G的一棵最小生成树（V，T）不含（ ,u）。将（ ,u）加入T，
由于（V，T）是生成树，T U（ ,u）中含有过（ ,u）的唯一的圈。不
妨设 V，i 则
圈中的另一边
'
,
u
'
,
V，i 此圈中的点不全由Vi中的点组成,因此必存在
' iu'i 。删去边 'u' 得到一新的生成树（V，
例6.3 (入树问题) 给出一个有向图G=（V，A），对A中的每一条孤e，给
出一个权C（e），求A的一个具有最大权（或最小权）的子集B，要求B 中任意两条孤都没有公共的终点。 考察下面的入树问题实例：
例6.4 给出有向图G=（V，A）（图9.3），孤上标出的数字为该边的
权，求此图具有最大权的入树。
现以矩阵拟阵为例，对定义6.1作一说明。 对矩阵拟阵的每一实例，E={e1,…en}为矩阵列向量的集合，γ为E的线性无 关子集构成的系统，称为独立系统，其元素被称为独立子集。由于E的任一 线性无关子集的子集也是E的线性无关子集，故独立系统γ是封闭的。又由 于这一离散优化问题的任一实例都可用贪婪法求解，故构成一拟阵，被称 为矩阵拟阵。例9.1被称为图拟阵，例9.3被称为划分拟阵。
例6.5 (矩阵拟阵问题)给出一个矩阵Amxn，记其n个列向量为e1,…，en。
设对每一列向量en已指定一权C（en）求 ii 1, , n 的一个线性无
关的子集，它具有最大的权和。
易见，这一问题也可以用贪婪法求解。集合 ii 1, , n的线性无关的
子集被称为独立子集，利用贪婪法必可求得具有最大权的独立子集，可用 线性代数知识加以证明（见习题1）。
数学建模实验答案_离散模型
实验09 离散模型（2学时）（第8章 离散模型）1. 层次分析模型1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/16/1412/1621A 注：[263]定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根 ≥ n 。
★(1) 用MATLAB 函数求A 的最大特征根和特征向量。
(2) 幂法（见[263]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为1）(0)w ；b. 计算(1)(),0,1,2,k k w Aw k +==；c. (1)k w+归一化，即令(1)(1)(1)1k k nk ii w ww+++==∑；d. 对于预先给定的精度ε，当(1)()||(1,2,,)k k ii w w i n ε+-<=时，(1)k w +即为所求的特征向量；否则返回到步骤b ；e. 计算最大特征根(1)()11k n i k i iw n w λ+==∑。
注：()()(1)()(1)()1,2,,k k k k k i k iAw w w w w i nw λλλ++≈⇒≈⇒∴≈=☆(2)用幂法函数求A 的最大特征根和特征向量。
(3) 和法（见[264]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求和得∑==nj ij i w w 1~~； c. 将i w ~归一化T n ni ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==n i iiw Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。
☆(3) 用和法函数求A 的最大特征根和特征向量。
(4) 根法（见[264]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求积并开n 次方得∏==nj nij i w w 11)~(~； c. 将i w ~归一化T n n i ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==ni ii w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。
离散模型的原理和应用
离散模型的原理和应用原理离散模型是指在数学和计算机科学中，将连续对象或现象进行离散化处理的模型和方法。
它涉及到对连续数据进行离散化表示和处理的技术，广泛应用于各个领域。
离散模型的原理主要涉及以下几个方面：离散化表示离散化表示是将连续数据转化为离散数据的过程。
在离散化表示中，连续数据被划分为若干个不相交的区间，每个区间用一个离散值来表示。
离散化表示可以通过等宽法、等频法、聚类法等多种方法来完成。
状态空间离散模型中的状态空间是指系统在不同时刻可能处于的不同状态的集合。
状态空间可以用有限状态机、马尔科夫链等形式来表示。
状态空间的大小和粒度直接影响了离散模型的复杂度和效果。
离散模型的转移规则离散模型中的转移规则描述了系统在不同状态之间的转移概率或条件。
转移规则可以通过概率矩阵、转移图等方式来表示。
转移规则的设计和优化对于离散模型的准确性和效率都有很大影响。
离散模型的推理和学习算法离散模型的推理和学习算法用于对离散模型进行推理和学习。
推理算法可以用于根据给定的观测数据来推断系统的状态，学习算法则可以用于从数据中学习转移规则和状态空间。
常用的离散模型推理和学习算法包括贝叶斯网络、隐马尔可夫模型等。
应用离散模型在各个领域中都有广泛应用。
以下是几个典型的应用领域：自然语言处理在自然语言处理领域，离散模型被用于词义消歧、句法分析、机器翻译等任务。
通过将单词或句子的表示离散化，可以方便地进行语义匹配和推理。
图像处理在图像处理领域，离散模型被用于图像分割、目标检测、图像生成等任务。
通过将像素或图像的表示离散化，可以方便地进行图像的分析和处理。
机器学习在机器学习领域，离散模型被用于分类、聚类、回归等任务。
通过将输入特征和输出标签的表示离散化，可以方便地进行模型的训练和预测。
强化学习在强化学习领域，离散模型被用于描述智能体和环境之间的交互。
通过将状态、动作和奖励的表示离散化，可以方便地进行智能体的决策和优化。
社交网络分析在社交网络分析领域，离散模型被用于描述人与人之间的联系和行为。
数学建模第六讲 离散概率模型共26页文档
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
如果通过回归模型式得到的因变量拟合值完全偏离0或l两个数值，则描述两项选择的回归模型的实际用途就受到很大的限制。
为避免出现回归模型的因变量预测值偏离0或1的情形，需要限制因变量的取值范围并对回归模型式进行必要的修正。
由于要对其进行修正，那么其模型就会改变，模型改变会导致似然函数改变，这就是我们下面要讨论的。
现在我们讨论的模型与判别分析的目的是一样的，但有区别。
§ 2 二元离散选择模型一、效用函数为了使得二元选择问题的有进一步研究可能，首先建立一个效用函数。
在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0表示。
用 U i1表示第i个人选择买房的效用， U i0表示第i个人选择不买房的效用。
其效用均为随机变量，于是有1 1 1U i1 1 X iβ1u i1(1)U i00X iβ0u i0(2)将(1)-(2),得U i 1U i 012X i (β1β0) (u i 1u i 0)记：y i *U i 1U i 012β*β1 β010u i *u i 1u i 0则有 **Y i**X iβ*u i *，格林称该模型为潜回归这是二元选择模型的切入点。
称 Y i *为过渡变量（潜在的） 测的。
当效用差 Y i *大于零，则应该选 “1，”即购房；，这个变量是不可观当效用差Y i*小于零，则应该选“0，”即不购房。
故p(Y i 1) p(Y i*0) P(u i*－X iβ*) 1 F －X iβ*p(Y i 0) p(Y i*0) P(u i*－X iβ*) F－X iβ*此处已经通过Y i*，将自变量与事件发生的概率联系起来了。
为概率提供了一个潜在的结构模型。
现在的问题是F ( )服从何种分布？F ( )既然是分布函数，则必须满足分布函数的条件.二、两类常用的模型根据以上的分析，我们的问题已经转化为作为F ( )有什么形状，即密度函数f 具有什么样的函数形式。
采用累积标准正态概率分布函数的模型称作Probit 模型，或概率单位模型，用正态分布的累积概率作为Probit 模型的预测概率。
另外logistic函数也能满足这样的要求，采用 logistic 函数的模型称作 logit 模型，或对数单位模 型。
注：分布在此时是以 y 轴为对称。
（一） Logit 模型 因为p(Y i 1) p(Y i0) P(u i *X i β*) P(u i *X i β* ) FX i β*如果我们取 F .）为逻辑函数LOGIT ),即(x) F (x)x1e xx1 e 1 e满足分布函数的条件） ，有p(Y i 1) FX i β(*1 X i β*) 1 e1* X i β*e * X i β* 1 e X i β为了更简化模型Y i**X i β*u i *，我们令β*β*，x i 1x i1 x i2 L x ik ，u i u则Yi*xiβu i有FX iβ*＝(x iβ)exp(x iβ)1 exp( x iβ)p(y i1/ x i)＝exp(x iβ) (x iβ) i1 exp( x i β)p(y i1/x i)exp(x iβ)1 exp(x i β)1 exp(x iβ) p(y i 1/ x i) exp(x iβ) p(y i 1/ x i) p(y i 1/x i )exp( x iβ) exp(x iβ) p(y i 1/x i) exp(x iβ) p(y i 1/ x i)exp(x iβ)p(y i 1/x i ) exp(x i β) p(y i 1/ x i )exp(x i β)p(y i 1/ x i ) 1 p(y i 1/ x i ) ln 1p(p y (i yi1/1x /i x )i )x iβ (广义非线性) 称（ 2）式为逻辑斯蒂回归模型 。
（二） PROBIT 模型更为一般的情形，如果选择 F （.）是标准正态分布，则产生 PROBIT 回归模exp （x i β） （非线性）ln1 p(p y (iy i 1)1)x i β u i2）3）xi β1 1 212exp( 12t2)dt1( p i) x iβ称（3）式为PROBIT 回归模型。
注Probit 曲线和logit 曲线很相似。
标准正态概率分布曲线p i p(y i 1/ x i) (x iβ)0.80.60.40.20 5 10 15 20 25 30logistic 分布曲线使用哪个分布是一个很自然的问题，logit 曲线除了在尾部比正态分布厚得多以外，两条曲线都是在p i = 处有拐点，logit 曲线更接近一个自由度为7 的t 分布（格林书认为自由度是4 的t 分布）。
所以，对于x β的中间值（比如到之间）来说，两种分布会给出类似的概率，但是当x β非常小时，逻辑斯蒂回归模型比PROBIT 回归模型倾向于给出y 0（ y*0 ）较大的概率值，而在x β非常大时，倾向于给出y 0（ y*0 ）较小的概率值。
利用函数式可以得到的概率值见表表一Probit 模型和logit 模型概率值正态分布函数y i逻辑概率分布t21 yi p i = 1 i e 2dt1p i = y1 ey i特点尾薄尾厚§ 3 二元离散选择模型最大似然估计下面我们来构造二元离散选择模型的似然函数。
这是二元离散选择模型最关键的问题。
因为 p(Y i 1) p(Y i*0) P(u i x i β)p(Y i 0) p(Y i*0) P(u i －x iβ)我们假设有以Y 轴为对称的概率密度函数f(.)，则 p(Y i 1)p(Y i*0) p(x iβ u i 0)P(u i －x i β)1 P(u i －x iβ)1 F (－x iβ) F (x iβ)p(Y i 0) p(Y i*0) P(u i －x iβ) F(－x iβ) 1 F (x iβ) 于是模型的似然函数为P(Y1,Y2,L ,Y n) 1 F(x iβ) F (x iβ)Y i 0 Y i 1n1 Y i Y iL 1 F(x iβ) 1Y i F(x iβ) Y ii1两边同时取自然对数，则nln L Y i ln F (x iβ) (1 Y i)ln 1 F (x iβ)i1对数似然函数最大化的条件是i X i 04)Y i f i β i 1 F i(1 Yi)(1 F i ) 、对数单位模型的似然函数lnL将 F X β (X β) 1X β e X β和ed (X β) d X βX βe 2X β 21e(X β)[1 (X β)] 代 入4)，则似然方程为 ln βLy i(X i β) X i0。
i1若X i 包含常数项，则一阶条件意味着预测概率的平均值一定等于样本中 1的”比率。
对数单位模型对数似然函数的二阶导数为 ln L ββn(X i β)(1 (X i β))X i X i i1二、概率单位模型的 似然函数 如果是正态分布，则对数似然函数为y i 1 y i 0例一〕 在一次住房展销会上， 与房地产商签订初步购房意向书的共有 325 名顾客，在随后的 3 个月的时间内，只有一部分顾客确实购买了房屋。
购买了房屋的 顾客记为 “1，”没有购买的人记为 “0。
”以顾客的年家庭收入为自变量 X ，根据表二 资料，分析收入万元的家庭买房的可能性。
程序如下 data a;input x n r; cards;ln L ln(x i β) ln 1(x i β) ln Lβy i 1(x i β) x xi (x i β) i(x i β) xxi y i1(x i β)y i对数似然函数的二阶导数为： ln L ββni( i X i β)X i X i。
i11i xiy iix 0概率单位模型的proc logistic data=a; output out=ll p=phat ; model r/n=x / link =normit; proc print data=ll;run ;表二例一的分组数据资料分别用LOGIT 和PROBIT 模型讨论这个问题表三LOGIT 模型ln p1.1992 0.243X1pln p1.1992 0.243 9.5 1.1093 1p pexp(0.6728)1pp(y i 1/x i )exp(x i β) exp(1.1093)1 exp(x i β) 1 exp(1.1093)0.75192表四 probit 模型0.7445 0.151x 1 12 t t 2exp( 2t 2)dt0.7445 0.151*9.5 1 112exp( 12t 2)d§ 4 多元离散选择模型多种选择的情形存在着几种决策，这是在三个或三个以上的备择中选择一个决 策。