自控8

频率响应法
引言

频率响应法是以传递函数为基础的又一 图解法。这种方法不仅能根据系统的开 环频率特性图形直观地分析闭环系统的 响应，而且还能判断某些环节或参数对 系统性能的影响，提示改善系统性能的 信息。因而，它同根轨迹法一样，能卓 有成效地用于线性定常系统的分析与设 计。
频率响应法的优点

频率特性具有明确的物理意义，且可以 用实验的方法来确定。据此，求得待测 线性环节或系统的传递函数。这对难于 用解析法来推演微分方程式的环节或系 统来说，具有特别重要的实用意义。 频率响应法是由开环频率特性图形对闭 环系统的性能进行分析，因而具有直观 和计算量少的分环节： Nyquist图是一条平行于正虚轴 的射线,当由0到变化时，幅相频率特性起于 10点指向 90o。
振荡环节：Nyquist图为一不规则的圆弧。当 由0到变化时，频率特性起于正实轴上（1，0j） 点，终止于坐标原点。圆弧线随由1到0时幅值 变大，当=1/T= n时，交虚轴于1/2处。
设特征式在右半平面上的零点数为 极点数为
Po
将Nyquist围线C从s平面映射到 1 Go ( s) 平面得到围线 根据映射定理 系统稳定的充要条件为
N Po N为曲线 顺时针包围原点的次数
0
即 N Po
Go(s)与1＋Go(s)的关系
Go (s) [1 Go (s)] 1
r（t）＝ Rsin（t） 拉氏变换为：
利用拉氏变换法可求出系统响应的稳态值为：
可见，系统输入为正弦信号时，输出的稳态响应（正弦稳态响应）也 是一个正弦信号。其频率与输入信号相同，幅值等于输入信号的幅值R与 |(j)|的乘积；而初相角则等于输入信号的初相角与系统相角的叠加， 相角的变化与输入正弦信号角频率有关。

频率响应法的优点

频率响应法不仅可以适用于线性定常系 统的分析，还可以推广应用于传递函数 不是有理数的纯滞后系统和某些非线性 系统的分析。
当知道系统在某频段范围内存在着严重 的噪声时，应用频率响应法就可以设计 出能有效地抑制这些噪声的系统。

频率特性的基本概念
设r(t)为正弦信号，作用于线性定常 系统（s） ，输出响应为c(t)。
映射定理
C的内域中包含的 零点数为Z 极点数为P
变点S沿C顺时针绕一周， 顺时针包围原点的次数为N 则
N Z P
系统稳定的条件
G( s) Gc ( s) 1 Go ( s)
( s) 1 Go ( s) K(s - z1 ) ( s zm ) 1 ( s p1 ) ( s pn ) b 0 (s - 1 ) ( s n ) ( s p1 ) ( s pn )
【例 绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。
解 写出频率特性的表达式
可以证明，G(j )H(j )的实部和虚部满足下式：
上式表明，系统幅相频率特性曲线是G(j )H(j )平面上以(1/2,0j) 为圆心， 1/2为半径的下半圆（因相角总小于零）。
绘制出的Nyquist图如下
S平面上的点,按上式映射到F(S)平面上的相应点;零点将映 射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而 其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。
复平面上的围线映射
当动点sl 在s平面上顺时针方向绕封闭曲线C一周时,则在 F(s)平面上也将映射出一条闭合曲线 。
由Re[G(j)H(j)]=0，可得= ，表 明幅相特性曲线仅在坐标原点处与虚轴相 交。 将以上特征点概略地绘制如图
引言

在前面的课程中已经讨论了控制系统的 稳定性和劳斯稳定判据。 本节介绍判别系统稳定性的另一种方法 －－Nyquist稳定判据。应用这个判据， 同样不用求解系统闭环特征方程式的根， 就能判断系统的稳定性。它是根据系统 的开环频率特性曲线来判别闭环系统的 稳定性。
同理令Re[G(j)H(j)]=0 ，可确定曲线与虚轴的交点坐标。
（3）列表计算一些中、高频段的频率点坐标 （4）逐点描绘幅相特性曲线
例 设系统开环频率特性为 试绘制系统的极坐标图
解 本系统m=0,n-m=3, =1 低频段0 +时，G(j)H(j)= <-90o，具有-2.5的低频渐近线。 高频段 时，G(j)H(j)= 0 <-90o 3 中频段：令Im[G(j)H(j)]=0，求出 =10,取 =10 代入Re[G(j)H(j)]=-0.4 可知与实轴交点坐标为(-0.4,j0)。

引言


而且，根据开环频率特性曲线还可以直 观地了解系统的稳定程度；对于不稳定 的系统，能够提示人们改善系统稳定性 的方法。 Nyquist稳定判据是一种几何判据，它 的数学基础是复变函数理论中的映射定 理。
复平面上的围线映射
考虑一个复变函数
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) KA1e j1 A2 e j 2 Am e j m F ( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) B1e j1 B2 e j 2 Bn e j n KA1 A2 Am j[(1 2 m )( 1 2 n )] e B1 B2 Bn
系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因 素，而与实轴的交点可用于确定中频段的位置，中频段的形状主要由 频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。 （1）曲线与实轴交点坐标的求取 令虚部为零，即 或 求出，代入实部Re[G(j)H(j)］中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。 （2）曲线与虚轴交点坐标的求取。
幅相特性曲线的起点有以下结论：
起点处的幅值：
起点处的相角： 有时需要求取幅相特性的低频渐近线
（2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与分子和分母多项式的阶 次差（n-m）值有关。对于实际物理系统总有nm，可得
终点处的幅值：
终点处的相角：
3．确定幅相曲线与实轴、虚轴的交点及中频段的其他特征点
频率特性

系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的 复数比称为系统的频率特性，是随输入 正弦信号角频率 变化而变化的复变函 数，记为(j)，即
幅频特性 相频特性
频率特性表示法

解析表示



极坐标形式 指数形式 三角函数形式 代数形式 极坐标图（Nyquist图） 对数坐标图（Bode图）
设特征式在右半平面上的零点数为 极点数为 根据映射定理 即为曲线
Po （Nyquist围线内部）
N Po
N为曲线
顺时针包围原点的次数
0 顺时针包围（－1，j0）点的次数。
开环不稳定的系统，闭环稳定的充分必要条件为Nyquist曲 线逆时针包围（－1，j0）点Po次。
当系统开环传递函数在s平面虚轴上存在极点时，需要对Nyquist围线进 行修正。

一般工业控制系统都是由多个环节组成的，若逐点 计算绘图将十分繁琐，以下介绍工程常用的绘制概略幅 相曲线的方法，主要步骤为:
1.将系统开环传递函数按典型环节分解为 2.确定幅相曲线的起点和终点 幅相曲线的起点为G（j0+）H（j0+），终点为G（j）H（j）。 （1）起点——=0+(即低频段)， 除比例、积分和微分环节外，其他 典型环节的频率特性在起点处有 Gi(j0＋) H(j0+) =1· j0+。故与系统的 e 类型有关，如图。一般有

典型环节的极坐标图

二阶微分环节 ： Nyquist图为起于实轴上1 0o点， 由0到变化时，频率特性向左上方延伸指向 180o处。
延迟环节：Nyquist图为圆心在坐标原点 、半径 为1的单位圆。当由0到变化时，特性曲线由 10o点顺时针方向旋转，相角（为负值）不断 增加而幅值恒为1。
即1 Go ( s) 平面的曲线向左平移1个单位得到 Go (s) 平面的曲线
Nyquist稳定判据
开环稳定的系统，闭环稳定的充分必要条件为Nyqusit曲 线不包围（－1，j0）点。 K(s - z1 ) ( s zm ) b 0 (s - 1 ) ( s n ) ( s) 1 Go ( s) 1 ( s p1 ) ( s pn ) ( s p1 ) ( s pn )
例 某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1), 试求输入信号r(t)=sin t时系统的稳态输出
解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j 得
如=2,则
( j 2) 0.35 45

则系统稳态输出为：c(t)=0.35sin(2t-45o) 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应,记为c(t)
典型环节的极坐标图

比例环节：Nyquist图是一个与频率无关的常量, 幅值为K(实轴上一点)，相角为零。
积分环节：Nyquist图与负虚轴重合,由0到变 化时,幅值由到零,相角始终为-90o。 微分环节：Nyquist图与正虚轴重合,由0到变 化时,幅值由0到,相角始终为90o。 惯性环节：Nyquist图为一个下半圆,当由0到 变化时,幅相特性起于实轴上K点，终止于坐标 原点。
闭环系统稳定的充要条件：
Re(i ) 0 0
i 为特征式的零点，即闭环系统的极点。
为 1 Go (s) 在右半平面的零点数。
Nyquist围线：设有封闭曲线C,它不经过开环传递函数的极 点,且顺时针包围了整个S右半平面,称曲线C为Nyquist围线。
( s) 1 Go ( s) K(s - z1 ) ( s zm ) 1 ( s p1 ) ( s pn ) b 0 (s - 1 ) ( s n ) ( s p1 ) ( s pn )