第三节三重积分的计算法(直角坐标、柱面坐标)

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第三节三重积分计算法

设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
影区域 Dxy上用极坐标作二重积分呢？
答：可以
三用球面坐标计算三重积分
设M（x,y,z）为空间一点， z
M
如果将x，y，z改用另外三个数r，，来表示,
r
z
则称（r，，）为点M的 O
球面坐标。
x
y
xy
P
球面坐标与直角坐标的关系是
x r sin cos
z
M
y
r
sin
sin
OP r sin
r 2dr
0
0
0
8a3
2
d
sin cos3 d
30
0
4 a3 (1 cos4 )
3
思考题：
1.填写下表中的空格：
球面方程
柱面方程
坐直角 x2 y2 z2 a2 x2 y2 b2
标柱面 r 2 z2 a2 r b

7.3三重积分的计算

x2 a2

y2 b2

1
z c
2 2
}
z
Dz
o
y
原式 c z2dz dxdy, c
x
Dz
Dz

{( x,
y)
|
x2 a2

y2 b2

1
z c
2 2
}
dxdy
Dz
a
2
(1

z c
2 2
)

ab(1

z c
2 2
),
b
2
(1

z c
2 2
)
原式
c c

z3 3
)
|

1 x 1
2
x
2
dx
1 1 (1 x2 2 x4 )dx 28 .
1 3
45
2、坐标轴投影法(截面法)
将空间区域向 z 轴作投影得投影区间 [ p,q] ,
当 p z q 时 , 用 Dz 表示过点(0,0, z) 且平行
于 xoy 面的平面截所得的平面区域, 若可表示为 :
零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dV ,

利用柱坐标计算三重积分

也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f (x, y, z) f1(x, y, z) f1( y, z, x) f1(z, x, y)
f (x, y, z)dxdydz 3 f1(x, y, z)dxdydz.
V
V1
4. 设由锥面 z x2 y 2 和球面 x2 y 2 z 2 4
f (x, y, z)dxdydz 2 f (x, y, z)dxdydz
V
V1
其中 V是1 位V 于 x平o面y上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：
yoz, zox对称，且被积
函数分别是 x,的y,奇、偶函数，也有上述类似的结论
（2）若空间区域具有轮换对称性，即
(x, y, z) V , ( y, z, x), (z, x, y) V ,
第三节
三重积分
换元法计算三重积分
一、柱面坐标求三重积分二、球面坐标求三重积分
回顾三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 (x, y, z) C,求分布在内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
4
0 2
4
( x2 y2 z2 )dxd ydz

柱面坐标系下的三重积分计算

dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
M(x, y,z)
z .
o
Fra Baidu bibliotek
y
P(, )

8.3.1 三重积分-直角坐标系切片法,柱面坐标系

三、切片法又叫“先重后单法”设区域Ω夹在平面z =c 1，z =c 2(c 1

c 2

c z

用竖坐标为z c ≤z ≤c z

D 1

}

,),(),,{(21c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ωy

o (12)的平面截Ω所得截面为D z 或D (z )，即

(,,)(,,) (3)

c c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω

=⎰⎰⎰⎰

⎰⎰柱解法二：面坐标：

⎰⎰⎰zdv ∙

a 2

a 22222x y z a x y +≤≤

--22

a r

=-r =22r r

a z d rd rdz θ-=

⎰⎰⎰

a y

⎰

⎰-⋅=20

2220

)2(2

a dr r a r d π

θΩ

a π

D 2

xy D x y +≤

D 22220

a r r

a z d rdr dz

θ-=⎰⎰

⎰

Ωz

D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=z

D c c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(2

特别当f (x , y , z ) 只是z 的函数：

②f (x ,y ,z ) 在D z 上对x 、y 的二重积分简单①D z 简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：

类似地

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωx

D a a

dydz

z y x f dx dv z y x f ),,(),,(2

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω

D b b

dzdx

z y x f dy dv z y x f ),,(),,(2

(,,)()z

c c D dx

d dv d f y z y x z z ϕΩ

三重积分的柱面坐标计算法

0 引言

三重积分的计算是高等数学学习中的难点，计算三重积分即要将它化为三次积分，其基本方法有直角坐标法、柱面坐标法与球面坐标法，三种坐标法在处理特定区域中有各自的优势，确定积分限是其中的关键，选择正确的基本方法可以使积分计算可行和运算简捷，与球面坐标法不同，柱面坐标法解题的思维方式与直角坐标法的思维方式相似。本文拟探讨文献[1,2] 中柱面坐标法下的三重积分计算，分析适宜用柱面坐标法解决的问题及处理方法。

1 柱面坐标系下积分限的确定掌握三重积分柱面坐标法的计算要用到许多其它的知识，如空间解析几何里的曲面辨识和草图描绘及空间区域在坐标面上的投影、积分里的凑微分法与分部积分法、二重积分里的极坐标法，还有就是三重积分直角坐标法，这些内容的掌握熟练程度极大地影响柱面坐标法的学习，学生在学习中感到困难，或许与这些内容的掌握程度有关。在文献[1,2] 中，当某个三重积分适宜用柱面坐标法计算时，其积分区域？％R主往是圆锥面、旋转抛物面、球面或者垂直于轴的平面所围成的立体，这些曲面的共同特征是含有+，而被积函数形如（+ ），积分区域?%F在面上

的投影是圆域或是圆域的一部分，求解此类问题时，我们仍要按

照直角坐标法计算三重积分的思想来考虑，即确定积分区域?%R 的上边界曲面= （, ）与下边界曲面= （, ），用极坐标变换公式= ，= 将其转化为= （, ）= （, ），= （, ）= （, ），一般情况下，转换后仅含有，即= （），= （），这样柱面坐标下的变动范围

就能确定，即（）WW（），而与的取值范围可以通过分析积分区域？％F在面上的投影区域，按照极坐标计算二重积分的方法确定，这样柱面坐标下三次积分的各个积分限就能确定，进而计算三重积分。

用直角坐标计算三重积分

,
y
),
o
a
( x , y )D
b
z z2( x, y)
z2 S2

z1 S1
z z1( x, y)
y
D
( x, y) y y2( x)
(
z2
(
x,
y)
f
(
x,
y,
z)dz)dxdy
x

y y1( x)
dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
z1( x, y)
c1
a(z)
y1 ( x,z )
3/32
例 1 化 I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分，其中

为z x2 2 y2及z 2 x2所围成的闭区域。
解
由
z

x2 z2

2 y2 x2
,
消去 z ，得 DxOy :
x 2 y 2 1.
D 又若D: y1 ( x ) y y2 ( x ),
a xb
b
(
( y2 ( x)
D z2 (
x,
y
)
f
(
z1 (
x,
x,y)
y, z
)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)

10.4 三重积分的计算

2) 投影区域为圆盘或圆盘的一部分 ;
3) 被积函数含有 x2 y2
利用柱面坐标计算三重积分的步骤：
⑴将向XOY平面作投影，得投影区域D，并将D 表示为极坐标形式： D : r1( ) r r2( ), ;
⑵确定z的取值范围：
z1(x, y)(下底) z z2 (x, y)（上顶）,
d
2 d
2 (, ) f (, , ) d ,
1
1 (, )
其中 f (, , ) f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin,
最后逐次积分计算.
例8. 计算三重积分
其中
为锥体
与球体
的公共部分.
解: 在球面坐标系下
:
0
R,
0
4
,
0
2
z R
2
I d
4 d R 2 2 sin d
10.4 三重积分的计算
内容
利用直角坐标计算利用柱面坐标计算利用球面坐标计算
一、利用直角坐标计算
设 f (x, y, z) 为连续函数，介绍各计算方法:
方法1 : 投影法 (“先一后二”) 方法2 : 三次积分法方法3 : 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
z z2 (x, y)
2 sind
2 e d

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分⎰2

1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰D

d y x F σ),(，就是“投

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D

z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

1]),,([),,(

如果先做二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2

)(c c dz z F ，就是“截面

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即

],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边

界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰2

)(c c dz z F ，完成“后一”

这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z

]),,([),,(2

1σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)

三重积分的几种计算方法

z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x
Dxy
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2+y2
y
x
0 Dxy
1
f (x, y, z)dxdydz
Fra Baidu bibliotek
1 dx
1
1 x 2 1 x
2
dy
1 x2 y2
f
(x, y, z)dz
而 0≤ ≤2 故
y
原积分 = zrdrddz
*
2
0 d zrdrdz D( )
z x 0
2
0
d
zrdrd
D( )
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
y
.
z
4
1
z 1 r2
0
r
1
3. 利用球面坐标计算三重积分
z z
M (r, ,)
•M
x=OPcos = r sin cos
r
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy

三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)

f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
y
d
x
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
3
例 1 计算I zdxdydz , 其中是球面 x2 y2 z2 4
与抛物面 x2 y2 3z 所围的立体,z 0.
r
f (r sin cos,r sin sin ,r cos)
o
r 2 sin drdd
d
13
x
r sind rd
d
y
例 4 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
x2 y2 z2，与平面z a (a 0)所围的立体.
解 1 用球面坐标 x2 y2 z2 ,
解 x r cos
由
y
r
sin
,
知交线为
z z
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上
: r 2 z 4 r 2，0 r 3, 0 2. 3
I
2
3
d dr
0
0
4r2
r2 r zdz
3
13 . 4
4
例 1 计算 ( x y z)dv ，其中是由 z 4 x2 y2

103三重积分2-柱面,球面坐标

直角坐标与球面坐标的关系
z z
x y z rr rss cii o n n c sso i ns
0 r
0 2 0

坐标面分别为
rM
o
y
x
r 常数
常数
球面
M(r,,)
半平面
rsin
zrco
常数
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球顶锥体
直角坐标
球面坐标
: x2y2zR 2x2y2 : 0 2
f (x, y,z)dxdydz

2d 4dR F(r,,)r2sin dr
0
00
0 4
0 r R
24
目录上页下页返回结束
锥面
17
目录上页下页返回结束
球面坐标下的体积元素
z 元素区域由六个坐标面围成：
半平面及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
圆锥面及+d
rsind
圆锥面
r
球面r+d r 圆锥面+d

0
d
y
x
18
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球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
第三节三重积分

三重积分柱面球面坐标

常数常数
r sin z r cos
17
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球面坐标下的体积元素
元素区域由六个坐标面围成：
z
圆锥面球面r+d r
半平面及+d ；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d
rsind
r
圆锥面+d

0

x
d
y
18
目录上页下页返回结束
例 6 计算 I
2 2 2
zdxdydz，其中是球面

x y z 4与抛物面 x y 3 z 所围的立体.
解
2
2
x r cos 知交线为由 y r sin , zz
r 2 z 2 4 2 z 1 , r 3 , r 3z

用球坐标

2 0
d sin d
4 0
2 4 r dr 0
64 2 1 5 2
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28
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作业
P164 9；10 (1); 11 (1), (2)
29
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0
f ( x, y , z )dxdydz

-三重积分的计算

上式记成
f (x ,y z, )xdy dz d
x yd dz2 (x y,
)
f
x y z(
,z ．, ) d( 1 0 . 4 . 1 )
Dxy
z1 ( x y, )
？-3
例 10.4.1 计算三重积分 zdxdydz ，其中是由平面 z 1 y ， z 2 y
和圆柱面 x2 y2 1所围的空间有界闭区域．
解如图 10-4-3 所示，在 xOy 坐标面上的投影区域
Dxy 为 x 0, y 0 和 x y 1所围成的三角形区域： 0 y 1 x,0 x 1 ，
且的下底为 1 ： z 0 ，上顶为 2 ： z 1 x y ，
则
{(x, y, z) | 0 z 1 x y,0 y 1 x,0 x 1}．
z2 (x,y) f (x, y, z)dz ．
c
x1( y)
z1( x, y)
(10.4.3)
这就是三重积分的三次积分法．
需要指出的是，如果平行于 z 轴且穿过区域的直线与边界曲面的交点
多于两个，则将分成若干个子区域，使得平行于 z 轴且穿过每个子区域
的直线与其边界曲面的交点不超过两个，再计算每个子区域上的三重积分，
最后，上的三重积分即为各子区域上的三重积分之和.
根据对变量 x, y, z 的不同积分次序，共有3! 6种方式（参见教材）．其中式(10.4.2) 和 (10.4.3) 较为常用．

课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)

20
关于 zox, yoz 面对称,
( xy yz zx)dv 0
由对称性知 x2dv y2dv ,
I ( x y z)2 dxdydz (2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
21
0 2, 0 r 1, r 2 z 2 r 2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
zzu,v,w
（2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数；
（3） J ux,,vy,,wz0 ,u,v,w ，则
f ( x, y,z)dxdydz
f (xu,v,w, yu,v,w,z(u,v,w) J dudvdw
22
xcos
显然：
ysin
。
z z
cos J ( x, y,z) sin
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
8
原式I 45 25 336
36
例２计算 I ( x2 y2 )dxdydz ，其中是曲线
y2 2z ， x 0 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面
z 2, z 8所围的立体.
解由 y2 2z 绕 oz 轴旋转得，
x0
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin

三重积分的计算方法

三重积分是多元函数积分的一种，它在物理、工程、数学等领域都有着广泛的应用。在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的函数进行积分，而三重积分就是用来描述这种情况的数学工具。本文将介绍三重积分的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学工具。

首先，我们来看三重积分的定义。对于空间中的函数f(x, y, z)，我们可以通过三重积分来求解其体积、质量、质心等物理量。三重积分的计算方法主要有直角坐标系下的直角坐标法和柱面坐标法、球面坐标法，以及直角坐标系下的三重积分换元法等。

在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过将积分区域分割成小立体体积，并对每个小立体体积进行积分来实现。具体而言，我们可以将积分区域分割成若干个小立体体积，然后对每个小立体体积进行积分，最后将所有小立体体积的积分结果相加，即可得到整个积分区域的积分值。

而在柱面坐标法和球面坐标法中，我们可以通过变量替换的方法将三重积分转化为对应坐标系下的三个变量的积分，从而简化计算。这种方法在处理对称性较强的积分区域时特别有效，能够大大减少计算量。

此外，三重积分换元法也是计算三重积分的重要方法之一。当积分区域的形状较为复杂时，我们可以通过变量替换将其转化为一个简单的积分区域，从而简化计算。这种方法在处理非直角坐标系下的积分问题时特别有用。

总的来说，三重积分的计算方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行计算。在实际问题中，我们需要根据积分区域的形状、函数的性质等因素来选择合适的计算方法，以便更高效地求解三重积分。