第三节 三重积分的计算法(直角坐标、柱面坐标)
柱面坐标系求三重积分公式
柱面坐标系求三重积分公式在数学和物理学中，三重积分是一种用于计算立体空间内某个数量的数学方法。
在柱面坐标系中求三重积分是一种常见且有效的方法，它可以帮助我们解决与立体空间相关的问题。
在本文中，我们将探讨柱面坐标系下如何计算三重积分，并推导出相应的公式。
首先，我们回顾一下柱面坐标系的定义。
在柱面坐标系中，一个点的位置由三个坐标确定：径向距离r、极角$\\theta$以及高度z。
与直角坐标系不同，柱面坐标系提供了一种更方便描述圆柱面内点的方式。
要计算柱面坐标系下的三重积分，我们需要了解如何表示微元体积和如何变换积分元素。
微元体积在柱面坐标系下的表示可以通过微元体积元素dV来描述。
在柱面坐标系中，微元体积dV可以表示为：$dV = r dz dr d\\theta$。
这个表示方式是基于极坐标系的性质推导出来的，通过将微小的径向、高度和角度方向上的长度相乘得到微元体积。
接下来，我们来推导柱面坐标系下的三重积分公式。
假设我们要计算函数$f(r, \\theta, z)$在柱面坐标系下的三重积分，积分区域为D。
那么，三重积分的表达式可以写成：$$\\iiint\\limits_D f(r, \\theta, z) dV = \\int\\limits_{\\alpha}^{\\beta}\\int\\limits_{h_1(r, \\theta)}^{h_2(r, \\theta)} \\int\\limits_{g_1(r)}^{g_2(r)} f(r, \\theta, z) r dz dr d\\theta$$在上式中，$\\alpha$和$\\beta$表示极角$\\theta$的取值范围，$h_1(r,\\theta)$和$h_2(r, \\theta)$表示高度z的取值范围，g1(r)和g2(r)表示径向距离r的取值范围。
通过这个公式，我们可以将柱面坐标系下的三重积分问题转化为累次积分的计算问题，便于我们进行计算。
三重积分柱面坐标变换公式
三重积分柱面坐标变换公式在进行三重积分运算时，柱面坐标变换是一种常用的方法，可以简化积分的计算过程。
柱面坐标通常用于描述空间中的圆柱体或圆锥体问题，因此对于涉及到这些几何形状的三重积分问题，柱面坐标的应用是非常有用的。
柱面坐标的定义柱面坐标是一种三维坐标系，其中一个点的位置由径向距离、极角和高度三个参数决定。
在柱面坐标系中，通常用（ρ，φ，z）表示一个点的位置，其中ρ 表示点到 z 轴的距离，φ 表示点在 xy 平面上的极角，z 表示点在 z 轴上的高度。
三重积分的柱面坐标变换公式假设在三维空间中有一个函数f(ρ, φ, z)，我们要计算其在柱面坐标系下的三重积分。
此时，需要进行坐标变换以便在柱面坐标系下进行积分计算。
三重积分的柱面坐标变换公式如下：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\iiint f(ρ, φ, z) ρ dz dρ dφ $$其中，dV 表示体积元素，ρ 从 0 到ρ，φ 从 0 到2π， z 的范围由具体问题决定。
柱面坐标变换公式的应用举例举一个简单的例子来说明柱面坐标变换的应用。
假设有一个函数f(ρ, φ, z) =ρ^2，我们要计算其在半径为 1，高度为 2 的圆柱体内的体积。
根据柱面坐标变换公式，可以得到：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\int_{0}^{2π} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{2} (ρ^2) ρ dz dρ dφ $$经过计算可得最终结果为8π/3。
结语柱面坐标变换公式在处理涉及柱面形状的三重积分问题时具有重要作用，能够简化积分计算过程，提高计算效率。
熟练掌握柱面坐标变换公式对于解决相关数学问题是非常有帮助的。
希望本文所介绍的柱面坐标变换公式能够对你的数学学习有所帮助。
柱面坐标求三重积分
柱面坐标求三重积分引言积分在数学和科学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们求解曲线、曲面和体积等问题。
在三维空间中，我们经常遇到需要求解三重积分的情况。
本文将介绍柱面坐标系下求解三重积分的方法和步骤。
什么是柱面坐标系柱面坐标系是一种常用的三维坐标系，它使用极径r、极角θ和z轴坐标z来描述空间中的点。
在柱面坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,z)，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
柱面坐标系下的坐标变换在求解柱面坐标系下的三重积分之前，我们需要了解柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系。
根据几何关系可以得到以下变换公式：•x=rcos(θ)•y=rsin(θ)•z=z这些公式可以帮助我们将直角坐标系下的积分问题转换为柱面坐标系下的积分问题。
柱面坐标系下的积分元素在柱面坐标系下，积分元素可以表示为dV=r dr dθ dz，其中r表示点到z轴的距离，dr表示r的微小变化量，θ表示点在平面上的极角，dθ表示θ的微小变化量，dz表示z轴坐标的微小变化量。
柱面坐标系下的三重积分使用柱面坐标系求解三重积分的步骤如下：1.确定积分区域：首先需要确定积分区域，可以通过图形来确定。
在柱面坐标系下，积分区域可以使用极坐标和直角坐标的关系来表示。
2.写出被积函数：根据问题的具体要求，将被积函数用柱面坐标系下的变量表示。
3.确定积分限：根据积分区域的几何性质，确定积分区域的上下限。
4.变量代换：根据柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系，将被积函数和积分元素用柱面坐标表示。
5.进行积分计算：根据确定的积分限和变量代换，进行积分计算。
柱面坐标系下的应用举例例子1：求解柱面体的体积柱面体是由一个半径为R的圆在z轴上从z=a到z=b旋转一周形成的立体。
我们希望求解柱面体的体积。
1.积分区域：由于柱面体是由圆旋转形成的，因此积分区域可以用圆的极坐标来表示：0≤r≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b。
16重积分——直角坐标系下三重积分的计算
xdx
0 1 0
D xy 1
d
1 x y
xdxdydz
z C (0,0,1)
0
1 x
xdz
1 x y 0
0 1 x
dy
dz
o x A (1,0,0) y
1
B(0,1,0) y
xdx
0
(1 x y )dy
1 1 1 2 , x(1 x ) dx 24 2 0 ( x y z )dv 3 xdv
z
解 (1) 及在zox面上的投影如下图
o
x
H
y
o
Dzx
R x
10
z
R
z o
H
x
y
H
o
Dzx
R x
f ( x , y , z )dv (
D zx
0
f ( x , y, z ) dy)d
dz
R
R
R2 z2
2 2
R z
dx
H 0
H
0
f ( x , y , z )dy
2
2 2 y z x 2 1所围成的空间闭区域。 2 2 a b c 2
解
z c z Dz
Dz
20
f ( x, y, z )dv
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
z
Dz
上式的适用范围： ①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）
o ② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积 分简单， x 特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=(z),
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
柱面坐标系求三重积分
柱面坐标系求三重积分在数学中，柱面坐标系是一种常用的坐标系，特别适用于处理具有柱面对称性的问题。
在解决三重积分问题时，柱面坐标系可以简化计算，并提高求解效率。
本文将介绍如何在柱面坐标系下进行三重积分的计算。
柱面坐标系简介柱面坐标系是一种三维坐标系，通常用于描述具有柱面对称性的问题。
在柱面坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\theta$和垂直于柱面的高度z来确定。
柱面坐标系下，坐标$(r, \\theta, z)$与直角坐标系(x,y,z)之间的转换关系为：$$ \\begin{align*} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{align*} $$求三重积分的步骤假设要求解的三重积分为 $\\iiint_V f(x, y, z) \\, dV$，其中V表示某个空间区域。
利用柱面坐标系求三重积分的一般步骤如下：1.根据需要的区域V，确定积分的边界，并写出积分限。
2.将积分区域V转换为柱面坐标系下的表示。
这涉及到将dV用柱面坐标系下的微元 $dr \\, d\\theta \\, dz$ 来表示。
3.将被积函数f(x,y,z)转换为柱面坐标系下的函数表示 $f(r, \\theta,z)$。
4.使用柱面坐标系的积分公式进行计算，将积分化为三个单独的积分，则三重积分可表示为：$$ \\iiint_V f(x, y, z) \\, dV = \\int_{z_1}^{z_2} \\int_{\\theta_1}^{\\theta_2}\\int_{r_1}^{r_2} f(r, \\theta, z) \\, r \\, dr \\, d\\theta \\, dz $$5.根据具体问题计算各个积分，最终得到结果。
示例现在我们来看一个简单的示例，求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在柱面坐标系下的三重积分 $\\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \\, dV$，其中积分区域V为 $0 \\leq r \\leq 1, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, 0 \\leq z \\leq 2$。
柱面坐标计算三重积分
柱面坐标计算三重积分三重积分是在三维空间中对一个三变量函数进行积分的数学工具，用于计算复杂空间内的体积、质量等物理量。
柱面坐标是一种常用于处理旋转对称问题的坐标系，利用柱面坐标可以简化三维空间中的积分计算问题。
本文将介绍如何使用柱面坐标系来计算三重积分的具体方法。
柱面坐标系简介在三维空间中，柱面坐标系由极径（ρ）、极角（θ）、高度（z）这三个坐标轴来描述一个点的位置。
其中，极径ρ表示从原点到点的距离，极角θ表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴的夹角，高度z则表示点在z轴上的位置。
柱面坐标系下，点的坐标表达为(ρ, θ, z)。
三重积分概述对于一个三变量函数f(x, y, z)，其在柱面坐标系下的三重积分计算公式如下所示：∭f(x, y, z)dV = ∬∫f(ρsinθ, ρcosθ, z)ρdρdθdz其中，dV = ρdρdθdz表示三维空间中的微元体积，f(ρsinθ, ρcosθ, z)表示函数在柱面坐标系下的具体形式。
柱面坐标计算三重积分步骤1.确定积分区域：首先需要确定积分区域在柱面坐标系下的表示方式，即确定极径、极角和高度的取值范围。
2.建立积分限：在确定积分区域后，建立对应的积分限，极径、极角和高度的取值范围即为积分限。
3.变量替换：将函数f(x, y, z)中的x、y、z用极径ρ、极角θ、高度z表示，并将dx dy dz替换为ρdρdθdz。
4.进行积分：根据以上步骤，将被积函数替换为柱面坐标系下的形式，然后进行对应的积分计算。
通过以上步骤，即可利用柱面坐标系来计算三重积分，求解复杂空间内的体积、质量等物理量。
总结本文介绍了柱面坐标系下计算三重积分的基本方法和步骤，通过建立合适的积分区域、确定积分限、进行变量替换和积分计算，可以简化复杂空间内的计算问题。
利用柱面坐标系进行三重积分的计算，有助于解决旋转对称问题和提高计算效率，是一种常用且有效的数学工具。
希望本文能够对读者理解柱面坐标计算三重积分提供帮助，进一步掌握在三维空间中的积分计算方法。
三重积分的柱面坐标法
三重积分的柱面坐标法柱面坐标法是三重积分中的一种方法，它适用于具有圆柱形状的立体图形，通常由一个平面区域 R、一条从 R 上方出发的直线 L 和边缘曲线 C 等三个部分组成。
在柱面坐标法中，通常用参数方程表示曲面，从而将三维空间中的积分问题转化为两个变量的平面问题。
具体来说，假设曲面的参数方程为：x = f(u, v)其中，u 和 v 分别代表曲面上的两个参数，它们的值可以从 R 区域内取得。
此时，三重积分可以通过以下方式计算：∭ f(x,y,z) dxdydz = ∬∫ f(f(u,v), g(u,v), h(u,v)) * JdudvdL其中，J 是雅可比行列式，其计算公式为：J = ∂(x,y,z)/∂(u,v) = [∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u; ∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v]以上公式的计算方法类似于二维极坐标法，通过确定积分区域和相应的参数范围，再利用定积分技巧计算积分即可。
以下是柱面坐标法的具体步骤：步骤一：确定曲面参数方程在柱面坐标法中，首先需要确定曲面的参数方程，该方程应能够描述出整个曲面的形状以及参数范围。
通常情况下，我们需要用到圆柱坐标系（或极坐标系），并根据曲面的特点确定相应的坐标轴。
例如，对于一个圆柱体，其参数方程可以表示为：x = r cosθz = h其中，r 和θ 分别代表圆柱体上的径向距离和极角，h 则代表圆柱体的高度。
当然，对于不同形状的立体图形，其参数方程也会有所不同，需要根据实际情况逐步确定。
步骤二：确定积分区域在确定曲面的参数方程之后，我们需要确定积分区域，该区域应为曲面所包含的平面区域 R（定义域）和从 R 上面延伸的直线 L 所围成的立体体积。
该体积通常由直线 L 和边缘曲线 C 两部分组成。
R：r ∈ [0, R]，θ ∈ [0, 2π]L：z ∈ [0, h]C：x²+y² = R²，z = 0其中，R 代表圆柱体的半径，而θ 的范围为[0, 2π] 则表示了圆柱体的旋转对称性。
第三节 三重积分
规定： 0 r ,
0 2,
z .
2020/3/11
第十章 第三节
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
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第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2
4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3
x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
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第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
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第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
高等数学《三重积分的计算》
若在D上有
则有
(2) 单调性
(1) 正性
性质5
（三重积分中值定理）
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、利用直角坐标计算三重积分 1、坐标面投影法
如图，
得
注意
这种方法称为坐标面投影法.
解
故 ：
解
如图，
解
如图,
2、坐标轴投影法(截面法)
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
解
原式
3、利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
解
积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的奇函数,
例7
解
三、利用柱面坐标计算三重积分
规定：
柱面坐标与直角坐标的关系为
如图，三坐标面分别为
任取球体内一点
得锥面
对: 从0 积分，
对 : 从0 积分，扫遍球体
1. 为全球体
2. 为上半球体
3. 为下半球体
5. 为球体的第一、二卦限部分
6. 为空心球体
4. 为右半球体
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
（计算时将三重积分化为三次积分）
圆柱面；
半平面；
平 面．Βιβλιοθήκη 如图，柱面坐标系中的体积元素为
解
知交线为
例2
解
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
解
注：
四、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标与直角坐标的关系为
如图，
S
r
M
y
三重积分柱面坐标公式
三重积分柱面坐标公式在数学中，三重积分是在三维空间内计算函数体积时使用的一种方法。
当我们需要计算具有某种变量分布的三维空间中的体积时，三重积分是一个非常有用的工具。
柱面坐标系是一种常用的曲线坐标系，它特别适用于具有柱面对称性的问题。
在本文中，我们将讨论三重积分在柱面坐标系下的具体公式。
柱面坐标系柱面坐标系是一种由极坐标平面延伸而来的三维坐标系。
在柱面坐标系下，点的位置由径向（表示点到原点的距离）、方位角和高度三个参数确定。
柱面坐标系下的坐标变换公式如下：•$x = r \\cos(\\theta)$•$y = r \\sin(\\theta)$•z=z其中，r代表点到z轴的距离，$\\theta$为点到x轴的夹角，x、y、z分别代表三维空间中的坐标。
三重积分柱面坐标变换公式在使用柱面坐标系进行三重积分计算时，我们需要将被积函数和微元体用柱面坐标系表示，并对结果进行坐标变换。
对于柱面坐标系下的三重积分，其公式如下：$$ \\iiint_G f(x, y, z) \\, dxdydz = \\iiint_G f(r \\cos(\\theta), r \\sin(\\theta), z) \\cdot r \\, drd\\theta dz $$其中，f(x,y,z)为被积函数，G为函数定义的空间区域，r为涉及到的径向分量，$\\theta$为涉及到的方位角分量，z为涉及到的高度分量。
计算示例让我们来看一个具体的计算示例，计算函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在半径为1、高度为2的圆锥体内的体积。
首先，根据柱面坐标系下积分的公式，我们有：$$ \\iiint_G (r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta) + z^2) \\cdot r \\,drd\\theta dz $$然后，我们根据给定的圆锥体范围确定积分区域G，进行相应范围的积分计算，最终得到该圆锥体的体积。
三重积分的计算
第三节 三重积分的计算一、 利用直角坐标系计算三重积分 三重积分的定义：∑⎰⎰⎰=→=ni i i i i V f dV z y x f 1),,(lim),,(∆ςηξλΩ． 三重积分中体积元素可表示为dxdydz dV =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩΩdxdydz z y x f dV z y x f ),,(),,(．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、 坐标面投影法（先一后二计算法） 由上次课的引例知，三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(可看成为体密度为),,(z y x f 且占有空间区域Ω的立体的质量．设区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ，以D 的边界为准线作平行于z 轴的柱面，将V 分为上下两个曲面，其方程分别为),(:22y x z z =∑ ),(:11y x z z =∑设它们为D 上的单值连续函数，且),(),(21y x z z y x z ≤≤，用垂直于x轴和y 轴的平面将区域D 分为若干个细长条，对应于小区域σd 高度为dz 的小薄片的质量近似等于dz d z y x f σ),,(，所以细长条的质量用微元法求得为σσd dz z y x f dz d z y x f y x z y x z y x z y x z ]),,([),,(),(),(),(),(2121⎰⎰=再将其在区域D 上求二重积分，得到立体的质量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z d dz z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果． 当积分区域Ω可以表示为:Ω⎩⎨⎧∈≤≤xyD y x y x z z y x z ),(),(),(21 其中xy D 为Ω在xOy 面上的投影，此时称Ω为xy －型区域． 则有计算公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=xyD y x z y x z dxdy dz z y x f dV z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω．进一步，如果D 是x －型区域，即Ω可表示为如下不等式组Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),( )()( 2121y x z z y x z x y y x y b x a 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z dxdy dz z y x f dxdydz z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y ba dz z y x f dy dx由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有yz －型区域，zx －型区域，都有类似公式．例如对于yz －型区域，Ω可表示为⎩⎨⎧∈≤≤),(),(),(21yz D z y z y x x z y x 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=yzD z y x z y x d dx z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21例１ 计算三重积分⎰⎰⎰Vxdxdydz ，其中V 为三个坐标面和平面12=++z y x 所围成的闭区域．解 从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤yx z x y x 210 21010 由上面公式有481)2(41)21(10322101021021010=+-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----dx x x x dyy x x dx xdz dy dx xdxdydz xy x x V例２ 求由抛物面z y x -=+622，平面0=x ，0=y ，1=x ，2=y 及z y 4=所围成的立体的体积．解 从立体图形看出，区域V 可以用不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤≤≤2264/ 2010y x z y y x 6492264201===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--y x y Vdz dy dx dV V ． ２、 坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域Ω向z 轴作投影得一投影区间],[q p ，且Ω能够表示为Ω：⎩⎨⎧≤≤∈qz p D y x z),(．其中z D 是过点),0,0(z 且平行于xOy 面的平面截Ω所得的平面区域，就称Ω为z 型空间区域。
第十章第三节三重积分教学内容
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
优学课堂
方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
优学课堂
方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
优学课堂
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
优学课堂
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
优学课堂
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
优学课堂
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
chap6.3三重积分计算法
z
( 0 ,0 , R )
其中 Ω为 球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 Rz .
在球面坐标系下， 解: 在球面坐标系下， 球面 x + y + z = 2 Rz 化为 r = 2Rcosθ ，
2 2 2
π Ω ={( r ,θ,ϕ ) 0≤ ϕ ≤ 2π , 0≤ θ ≤ , 0≤ r ≤ 2 Rcosθ}, 2
第3节 三重积分的计算
一.直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下三重积分的计算
∫∫∫ f ( x，y，z )dv =∫∫∫ f ( x，y，z )dxdydz
Ω Ω
1.细棒法 1.细棒法
设平行于 Z 轴且穿过区域 Ω 的直线与 Ω 的
边界曲面 S的交点不多于两个 (Ω 为 xy型区域 ). 把 Ω 投影到 xy 面上，得投影域 D xy。
2
其中 Ω : x + y + z ≤ 4 , z ≥
2
x + y
2
2
解
Dxy : x + y ≤ 2
2 2
x2 + y2
z
ρ2
∫∫∫ ze
Ω
dxdydz =
2
∫∫∫ ze
Ω
ρ d ρ d ϕ dz
=
∫
2π
0
dϕ
2
∫
0
ρe ρ dρ ∫
2
4− ρ 2
ρ
zdz
x
2
o
y
=π
∫
0
ρe
ρ2
ρ2
( 4 − 2 ρ 2 )d ρ
z1(x, y)
f (x， ， )dz]dxdy y z
三重积分的计算
三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面回顾：讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1) 一根细棒：ab 密度为i ξ=M ()b a x dx ρ=⎰()i ρξi x ∆∑=ni 10lim →λ(2)平面薄片：),(i i ηξ=M (,)i i ρξη∑=n i 10lim →λiσ∆(,)Dx y dxdy ρ=⎰⎰密度为y x D（3）设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,(,,),x y z C ρ∈求分布在Ω内的物质的质量M .密度函数为Ω(,,)k k k ξηζk v ∆(,,)x y z ρ➢分割：12,,,,,i n v v v v ∆∆∆∆把Ω分为➢取近似：(,,)k k k k kM v ρξηζ∆≈∆➢求和：1(,,)n k k k kk M v ρξηζ=≈∆∑➢取极限：01lim (,,)n k k k k k M v λρξηζ→==∆∑设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数,1、将闭区域Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅⋅⋅, ∆v n , 其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积,2、在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξi , ηi , ζi )∆v i ，3、求和∑=ni i i i i v f 1),,(∆ζηξ4、如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 并记为d (,,)Ωf x y z v⎰⎰⎰三重积分的定义⚫注：（2）三重积分的物理意义:不均匀物体的质量（1）其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.（3）同样有: 有界闭区域上的连续函数一定可积.d 01.(,,)lim (,,)ni i i ii f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面➢线性性质[]d d d (,,)(,,)(,,)(,,)f x y z g x y z v f x y z v g x y z v αβαβΩΩΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢可加性d d d 12(,,)(,,)(,,)f x y z v f x y z v f x y z v ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢几何意义d v V Ω=⎰⎰⎰V 为Ω的体积➢不等式(,,)f g x y z ≤∈Ωd d (,,)(,,)f x y z v g x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d (,,)(,,)f x y z v f x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(),Df x y d σ=⎰⎰曲顶柱体的体积➢估值定理(,,)m f M x y z ≤≤∈Ωd (,,)mV f x y z v MVΩ≤≤⎰⎰⎰➢中值定理(,,)f x y z 在Ω上连续,则存在(,,),ξηζ∈Ω使得d (,,)(,,)f x y z v f V ξηζΩ=⎰⎰⎰三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标面的)平面x = 常数, y = 常数, z = 常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:dv =dxdydz三重积分可写成:三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似, 三重积分可化成三次积分进行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.d (,,)f x y z v Ω=⎰⎰⎰(),,f x y z dxdydzΩ⎰⎰⎰（一）先单后重（先一后二）法假设：1(,,)f x y z Ω在有界闭区域上连续；2º过Ω内任一点M 且平行于某坐标轴的直线与Ω的边界曲面S 至多有两个交点.以下以z 轴的情形为例.),(2y x zz =),(1y x z z =),(2y x z z =),(1y x z z =xyzoΩD xy 1z 2z 2S 1S ),(1y x z z =),(2y x z z =ab),(y x ),,(:),,(:2211y x z z S y x z z S ==(,),xy x y D ∈过点作直线穿出．穿入，从从21z z Ω在xOy 面上的投影区域为D xy ,以D xy 的边界为准线作母线平行z 轴的柱面.这柱面与Ω的边界曲面S相交，并将S 分成上、下两部分:则Ω可以表示为12{(,,)(,)(,),(,)}.xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈()()12,(,,),,,x y f x y z z z x y z x y z ⎡⎤⎣⎦先将看作定值，将只看作的函数，在区间上对积分21(,)(,)(,,)(,)[(,,)].xyxyD z x y z x y D f x y z dv F x y d f x y z dz d σσΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而原三重积分可表示为21(,)(,)(,,)xyz x y z x y D d f x y z dzσ=⎰⎰⎰这就化为一个定积分和一个二重积分的运算21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z dz⎰(,)xy F x y D 再计算在闭区间上的二重积分(,)F x y ==⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(12:()(),,xy D y x y y x a x b ≤≤≤≤若得2()y y x =abD1()y y x =Dba2()y y x =1()y y x =先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分dx ⎰dy ⎰(),,.f x y z dz ⎰()1,z x y ()2,z x y ()1y x ()2y x ab注：若将积分域Ω投影到yOz 或xOz 面上，则可把三重积分化为按其它顺序的三次积分.x y zyoz →→Ω积分次序为将投影到面21(,)(,)(,,)(,,)yzx y z x y z D f x y z dv d f x y z dxσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21(,)(,)(,,)(,,)xzy x z y x z D f x y z dv d f x y z dyσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x z xoz →→Ω积分次序为将投影到面Ω：平面x =0, y = 0, z = 0，x+2y+ z =1所围成的区域x = 0, y = 0, x+2y =1 围成例1.计算三重积分x + 2y + z =1yx121()112y x =−D xyzy x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限分析：1xyz121解:d d d x x y zΩ⎰⎰⎰121(1)00d (12)d x x x x y y−=−−⎰⎰120d x y z−−⎰12301(2)d 4x x x x =−+⎰148=练习：将积分次序改为：先y 再z 后x将积分次序改为：先x 再z 后y1xyz121x + 2y + z =1()012101201z x yy x x ≤≤−−⎧⎪⎪Ω≤≤−⎨⎪≤≤⎪⎩：例2 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中 积分区域 Ω为由曲面22y x z +=,2x y =,1=y , 0=z 所围成的空间闭区域.2y x=1y =oxy-11xyD 11、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z 再y 后x,3、确定z 的积分上下限4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD ⎰⎰⎰−+=1101222),,(yx x dz z y x f dy dx I .例3 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中积分区域Ω为由曲面 222y x z +=及22x z −=所围成的闭区域.1、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z , 再y 后x ,3、确定z 的积分上下限222z x=−下曲面21((0,0)2(0,0)0)z z =>=2212z x y=+上曲面=22222(,,)xyxx yD I d f x y z dz σ−+∴⎰⎰⎰xyD Oxy–1122222112112(,,).x x xx ydx dy f x y z dz −−−−−+=⎰⎰⎰22222x y z x⎧⎪Ω⎨⎪+≤≤−⎩：2211x y x −−≤≤−11x −≤≤由⎩⎨⎧−=+=22222xz y x z ,221,x y +≤:xyz xoy D Ω消去得在面上的投影区域4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 解：xy xoy D xoy Ω思考：在面上的投影区域是一个圆域，那么在平面进行的二重积分，可不可以利用极坐标系计算？需要注意些什么？2222,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例4计算其中是由曲面与平面所围成xyzo2z y x =−2z y x =−−分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限yxo4y =2y x ==222222xyy x y x D x z dv d x z dzσ−−−Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=22224222y x xy xdx dy x z dz−−−+⎰⎰⎰分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先y 再z 后x,4、将Ω向xoz 平面做投影得区域xzD 3、确定y 的积分上下限=2242222xzx z D x z dv d x z dyσ+Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例计算其中是由曲面与平面所围成xyzΩ22y x z =+4y =xz2−2224x z +==2222422xzx zD x z dvd x z dyσΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=22222244x y xzx z d σ+≤−−+⎰⎰xz2−2224x z +=2r =()()=222224041282415d rr rdrr r dr πθππ−⋅=−=⎰⎰⎰解：1、确定了积分次序后，内层积分上下限至多包含两个变量，中层积分上下限至多包含一个变量，外层积分上下限必须是常数2、对于先单后重的次序，重积分部分可以根据积分区域的特点采用极坐标系计算（1）把积分区域Ω向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间],[21c c ；(3) 计算二重积分⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(其结果为z 的函数)(z F ；(4)最后计算单积分⎰21)(c c dz z F 即得三重积分值.z（二）先重后单（先二后一）法先重后单, 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分122,zz c c z xoy D ∈Ω⎡⎤⎣⎦（）对用过轴且平行平面的平面去截，得截面21()zc cD g z dzdxdy=⎰⎰⎰V d z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(即,若f (x, y, z )= g (z )21(,,).zc c D dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰易见, 若内层的二重积分容易计算时,这个方法更显出优越性。
利用柱面坐标计算三重积分x^2+y^2dv
利用柱面坐标计算三重积分 x^2 + y^2 dv在数学中，三重积分是一种计算多变量函数在三维空间内某个区域上的积分的方法。
本文将探讨如何利用柱面坐标系统来计算三重积分x2+y2。
首先，让我们回顾一下柱面坐标。
在三维空间中，柱面坐标由极径r、极角$\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
其中，$x = r\\cos(\\theta)$，$y =r\\sin(\\theta)$，z保持不变。
假设我们需要计算的三重积分为：$$ \\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV $$其中D为一个柱面和平面z=0所围成的区域。
我们可以通过柱面坐标来简化这个积分。
首先，将x和y换成柱面坐标表示：$x = r\\cos(\\theta)$，$y = r\\sin(\\theta)$。
然后，计算体积元素dV。
在柱面坐标下，体积元素dV可表示为：$dV = r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$。
将x和y用柱面坐标表示，将dV替换为 $r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$，我们可以将原积分转换为柱面坐标下的积分形式：$$ \\iiint_D (r^2\\cos^2(\\theta) + r^2\\sin^2(\\theta)) \\, r\\, dr\\,d\\theta\\, dz $$即$$ \\iiint_D r^3\\, dr\\, d\\theta\\, dz $$接下来，我们可以按照柱面坐标系下的积分计算方法进行计算：$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\int_0^H r^3\\, dr\\, dz\\, d\\theta $$，其中R代表柱面的半径，H代表柱面的高度。
继续计算得到$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\left. \\frac{1}{4}r^4 \\right|_0^H dz\\,d\\theta \\\\ = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\frac{1}{4}H^4 dz\\, d\\theta \\\\ =\\int_0^{2\\pi} \\frac{1}{4}H^4R d\\theta \\\\ = \\frac{1}{4}H^4R\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\\\ = 2\\pi \\cdot \\frac{1}{4}H^4R \\\\ =\\frac{1}{2}\\pi H^4R $$因此，利用柱面坐标计算三重积分 $\\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV$ 的结果为$\\frac{1}{2}\\pi H^4R$。
三重积分的坐标系和坐标变换
三重积分的坐标系和坐标变换三重积分是高等数学中重要的内容之一，它在实际应用中经常被用到。
三重积分的计算与坐标系和坐标变换不可分割，这篇文章将探讨三重积分的坐标系和坐标变换的重要性及其计算方法。
一、坐标系坐标系是数学中一种很重要的概念，是用来描述物体在空间中位置的一种方法。
三维空间中常用直角坐标系，极坐标系和柱面坐标系。
其中直角坐标系是最常用的。
1. 直角坐标系三维空间中的直角坐标系就是我们常见的“立体直角坐标系”。
分别以 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴为三个坐标轴，它们的正半轴的轴向成 $120^{\circ}$ 的夹角。
直角坐标系中的坐标点表示为$(x,\,y,\,z)$，它表示在 $x$ 轴正半轴上走 $x$ ，在 $y$ 轴正半轴上走 $y$ ，在 $z$ 轴正半轴上走 $z$ 后所到达的点。
2. 极坐标系极坐标系常用于描述二维空间中的点，但它同样适用于描述三维空间中的点。
极坐标系的坐标是 $(r,\,\theta,\,\varphi)$，其中$r$ 表示该点到原点的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$\varphi$ 表示该点到 $z$ 轴正半轴的方位角。
在极坐标系中，点的坐标用球面坐标来表示。
3. 柱面坐标系柱面坐标系常用于描述宽度不大的物体，这种坐标系中的点被表示为 $(r,\,\theta,\,z)$。
其中 $r$ 表示该点到 $z$ 轴的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$z$ 表示该点到 $xy$ 平面的距离。
二、坐标变换坐标变换是指从一个坐标系转变为另一个坐标系。
坐标变换的目的是为了简化问题、匹配实际应用，使得坐标系变得更加适用。
1. 直角坐标系转极坐标系若要将坐标 $(x,\,y,\,z)$ 转换成极坐标系坐标$(r,\,\theta,\,\varphi)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,\varphi=\arcc os\frac{z}{r}$$2. 直角坐标系转柱面坐标系若要将坐标$(x,\,y,\,z)$ 转换成柱面坐标系坐标$(r,\,\theta,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,z=z$$3. 极坐标系转直角坐标系若要将坐标 $(r,\,\theta,\,\varphi)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\sin\varphi\cos\theta,\,y=r\sin\varphi\sin\theta,\,z=r\cos\varphi $$4. 柱面坐标系转直角坐标系若要将坐标$(r,\,\theta,\,z)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z$$三、三重积分计算方法三重积分是在三维空间中计算物体的体积、重心、惯量等物理量的一种数学方法。
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第三节 三重积分的计算法(直角坐标、柱面坐标)
一、选择题
1. .设积分区域Ω 是由坐标面和平面x + 2y +3z = 6所围成的,则三重积分⎰⎰⎰Ω
dV =
( )
A . 6;
B . 12;
C . 18;
D .36.
2. 已知区域G 是由坐标面和平面x + 2y + z = 1所围成, 则三重积分⎰⎰⎰G
xdV =
( ) A .
⎰
⎰⎰--y x xdz dy
dx
210
1
1
; B .
⎰
⎰
⎰---y x x xdz dy
dx
210
210
1
; C .
⎰
⎰
⎰10
210
1
xdz dy
dx
; D .
⎰
⎰
⎰--y x xdz dy
dx
210
210
1
0.
3. 设Ω 是由曲面x 2 + y 2 = R 2及z = 0, z = 1所围成的积分区域, 则三重积分⎰⎰⎰
+G
dV y x f )(22在柱面坐
标下的累积分为
( )
A . ⎰
⎰
⎰
π
ρρρ
θ
10
2)(4R dz f d d ;
B . ⎰
⎰
⎰
π
ρρ
θ
10
)(4R dz f d d ;
C .
⎰
⎰
⎰
π
ρρρ
θ
20
1
)(R
dz f d d ;
D .
⎰
⎰⎰
π
ρρρ
θ
20
1
2)(R
dz f d d .
4. 设积分区域G : -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, 则三重积分=⎰⎰⎰G
dV x 2
( )
A .
6
1; B .
3
1; C .
2
1
; D .
3
2. 二、填空题 1. 设Ω 是由坐标面和平面x -y +z = 2所围成的区域, 则三重积分⎰⎰⎰Ω
dV = .
2. 设积分区域Ω: 0 ≤ z ≤1,2222≤++y x y x , 则=⎰⎰⎰Ω
dV ___________.
三、解答题
1. 设Ω 是由平面z = 0, z = y , y = 1以及抛物柱面2x y =所围成的闭区域, 计算⎰⎰⎰Ω
xzdV .
2. 设积分区域Ω由上半球面221y x z --=及平面z = 0所围成, 求三重积分
⎰⎰⎰Ω
zdxdydz .
3. 设Ω 是由圆柱面122=+y x , 平面z = 0及平面z = 1所围成的区域, 求三重积分
⎰⎰⎰Ω
-+.)1(22
dxdydz y x。