解析几何解题的三大易错点

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解几何题常见错误剖析

解几何题常见错误剖析教学中发现，许多同学在解几何题时存这样或那样的错误，其中，最常见的有如下几类，愿通过对这几类错误的剖析，能对正忙于中考复习的同学有所帮助．一、忽视分类对于一些没有给出图形的几何问题，同学们往往凭自已的想象或习惯匆忙画图求解，怱视了分类讨论得出不完整的答案．例1 ⊙O中，弦AB和AC的夹角为62，P、Q分别是的中点，求∠POQ 的度数．误解：如图1，∵P、Q分别是的中点，由垂径定理的推论知：OP⊥AB，OQ⊥AC．∴∠POQ＝180－∠A＝180－62＝118．剖析：上述过程乍看没什么问题，但本题并没有给出现成的图形，题目中也并没有说明圆心O一定在∠BAC的内部，故应分类考虑圆心O与∠BAC的位置关系．事实上，当圆心O在∠BAC的一边上时（如图2），∠POQ＝118或62；当圆心O在∠BAC的外部时（如图3），∠POQ＝62．因此，∠POQ＝118或62．二、忽视对应某些几何问题隐含对应关系，若不细致分析亦会产生答案不全的错误．例2 在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ABD＝90，BC＝a，AC＝b，如果△ABD 与△ABC相似，试求斜边AD上的高．误解：如图4，过B作BE⊥AD于E，则∠AEB＝∠ACB＝90．∵△ABD与△ABC 相似，∴∠BAD＝∠CAB，又AB＝AB，∴△BAE≌△BAC，∴BE＝BC＝a．即斜边AD上的高为a．剖析：题目给出了“△ABD与△ABC相似”并不等于指明了这两个三角形的对应边（它不等同于表达式“△ABD∽△ABC”那样指明了对应顶点）．而上述解答误认为“△ABD与△ABC相似”已锁定了两三角形的对应边．其实，根据题意还存在另一种情形（如图5），在此情形下，不难求得BE＝AC＝b，故斜边AD上的高为a或b．三、以偏概全所谓“以偏概全”，就是用极端或特殊情形下得出的结论代替一般的结论．有些同学为了图方便，解题时却犯了以偏概全的错误．例3 求证：圆中直径是最长的弦．误证：如图6，AB是圆O的直径，BC是弦，连结OC，∵AB＝OA＋OB＝OC＋OB＞BC，∴直径是圆中最长的弦．剖析：要证明直径是圆中最长的弦，即证：圆中任意一条弦都比直径小．非直径的弦不一定要画成有一个端点与已知直径的一个端点重合，上述证明只能说明弦BC比直径AB小，不能代表该圆中所有的弦都比直径AB小，因而犯了以偏概全的错误．其正确证法是：如图7，AB是⊙O的直径，设CD是⊙O中任意一条非直径的弦，连结OC、OD，则OC＝OD＝OA，在△OCD中，∵OC＋OD＞CD，∴AB＝2OA ＝OC＋OD＞CD．故圆中直径是最长的弦．这里要强调：CD是任意一条弦．四、循环论证所谓“循环论证”，就是把所要证的结论不知不觉的当成条件使用，最后又得出所证的结论．例4 如图8，⊙O中，AB为直径，AC是弦，∠A＝30，延长AB至D，使BD ＝AB，连DC．求证：DC是⊙O的切线．误证：连OC、BC，∵OA＝OC，∠A＝30，∴∠BOC＝60，又OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，从而∠BCO＝∠OBC＝60．（☆）∵BD＝AB＝OB，∴CB是Rt△OCD斜边上的中线，∴CB＝BD，∴∠BCD＝×60＝30，故∠OCD＝60＋30＝90，即DC是⊙O的切线．剖析：表面上看，似乎看不出错在哪里，但只要细心观察，不难发现“CB是Rt△OCD斜边上的中线”这一步令人费解．为什么△OCD是直角三角形？如果△OCD 是直角形（∠OCD是直角），那么DC岂不是圆的切了吗？本题证明的最终目标是：“DC是⊙O的切线”，而这里不知不觉的把要证明的结论“DC是⊙O的切线”当成已知条件使用了．因此，上述解答正是犯了循环论证的错误．如果在（☆）号后这样叙述：∵BD＝AB，又△BOC是等边三角形，∴BD＝OB＝BC，∴∠BCD＝×60＝30，故∠OCD＝60＋30＝90，即DC是⊙O的切线．那就完美无缺了！五、自以为是所谓“自以为是”，就是对于一些较复杂的问题，在理不清头序时想当然的或糊编乱造的写出缺少依据的解答．例5 如图9，矩形ABCD中，E、G、F分别是边AD、AB和对角线AC上的点，EF∥DC，FG∥BC．求证：四边形AEFG∽四边形ABCD．误证：∵EF∥DC，∴△AEF∽△ADC．同理，△AFG∽△ACB．∴△AEF＋△AFG∽△ADC＋△ACB，即四边形AEFG ∽四边形ABCD．剖析：问题出在“△AEF＋△AFG＝△ADC＋△ACB”上，其原因可能是把“∽”号误认为了“＝”号，从而套用了等式的性质（或者是想当然），自以为是．这是没有依据的．其正确的证法是运用相似多边形的定义，从两个方面来论证：一是证明这两个四边形的对应角相等，二是证明它们的对应边的比相等．事实上，这两个四边形是位似图形，运用位似性质亦可证明．。

解析几何容易出错的问题

1．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF e PF =，则e 的值为：A ．3 B ．2 C ．2 D ．3（） 2．若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。

3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解答：D 易错原因：短轴长误认为是b4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L，则双曲线的离心率为A 2 B 2解答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

5．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的定义而疏忽了射线。

6．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、b 变化时，e 21+e 22最小值是（）A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。

7．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

解析几何八大典型易错点的纠正与剖析

ʏ广东省惠州仲恺中学陈伟流解析几何是高中数学几何与代数主线中的重要内容,其内容涵盖点㊁直线㊁曲线等多种基本概念,涉及对斜率㊁长度㊁面积等多种几何量的求解,在直线与直线㊁直线与曲线㊁曲线与曲线的位置关系情境中考查同学们对基本方法㊁基本思想的有效掌握及灵活应用㊂但在实际学习中,不少同学却在基本概念㊁方法技能㊁解题思维等方面出现理解偏差㊁考虑不周㊁思维定式等不良现象,远未达到深度理解并有效掌握的本质性要求㊂为此,笔者以解析几何中八大典型易错点为例,在错解纠正剖析的基础上,进一步点拨相关题型的求解方法,旨在促进同学们对基本概念㊁方法技能及解题思维能有更本质㊁更全面的认知理解,从而促进高考备考中的提质增效㊂一㊁斜率与倾斜角关系辨识不清例1 设某直线的斜率为k ,且k ɪ-3,33,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )㊂A .π3,5π6B .π6,2π3C .0,π3 ɣ5π6,πD .0,π6 ɣ2π3,π 错解:由k ɪ-3,33,结合t a n 2π3=-3,t a nπ6=33,得π6<α<2π3㊂剖析:没有正确认识直线的斜率与倾斜角的关系,认为y =t a n α在(0,π)上是递增函数,出现思维定式的误判㊂正解:如图1,函数y =t a n α在0,π2上图1递增,在π2,π上递增㊂结合t a n 2π3=-3<t a n α<33=t a nπ6,得αɪ0,π6ɣ2π3,π㊂故选D ㊂点拨:对于直线斜率与倾斜角的关系判断或范围求解问题,要用函数思想㊁数形结合思想等进行指导解题,确保思维的严密性㊂二㊁平行关系判断中忽略充分性验证例2 已知直线x +2a y -1=0与直线(a -2)x -a y +2=0平行,则a =( )㊂A .-23 B .-23或0C .0或32 D .32错解:由两直线平行得-a =2a (a -2),解得a =0或a =32㊂故选C ㊂剖析:应用两直线的平行关系进行必要性判断,最后忽略了充分性验证,产生增根㊂正解:由两直线平行得-a =2a (a -2),2ʂ-(a -2),解得a =0或a =32,a ʂ0,所以a =32㊂故选D ㊂点拨:对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1ʊl 2⇔A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2ʂA 2C 1;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0,由此可知平行关系判断中需进行A 1C 2ʂA 2C 1的充分性验证,避免两直线重复产生增根,垂直关系中则无需验证㊂三㊁忽略直线方程的适用范围,产生漏解例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截23 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月距之和为0的直线方程㊂错解:设直线方程为x a +y -a=1,因为直线过点(2,4),所以2a +4-a =1,解得a =-2,代入直线方程得x -y +2=0㊂剖析:截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形,错解中没有考虑截距为0的情形,导致漏解㊂正解:当直线的截距均为0时,直线过原点,易得其方程为y =2x ;当直线的截距均不为0时,同错解得直线方程为x -y +2=0㊂综上可得,所求的直线方程为2x -y =0或x -y +2=0㊂点拨:在截距相等(反)㊁截距绝对值相等或截距成倍数的情境中应用截距式方程,应考虑截距为0及不为0的特殊与一般的情形㊂同样的,两点式方程也不适用于斜率为0和斜率不存在的情形,所以应用直线方程时应充分考虑方程的适用范畴,避免因思维不严密而出现漏解㊂四㊁忽略圆方程成立的必要条件例4 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C :(x -3m )2+(y -4m )2=25(m +4)2相切,则点A 在圆C 的(填外部内部上面 ),实数m 的取值范围是㊂错解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程可得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,解得m <-1912㊂剖析:忽略圆的半径需大于0的必要条件,产生思维漏洞㊂正解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,且25(m +4)2>0,解得m <-1912且m ʂ-4,故实数m 的取值范围是(-ɕ,-4)ɣ-4,-1912㊂点拨:对于圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2中的r >0及一般方程x 2+y 2+D x +E y +F =0中的D x +E y +F >0的必要条件是解题过程中容易忽略的点㊂五㊁轨迹方程求解中忽略几何图形存在的必要条件例5 在әA B C中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,c ,b 依次成等差数列,且a >c >b ,|A B |=2,求顶点C 的轨迹方程㊂图2错解:由a ,c ,b 依次成等差数列得a +b =2c =4,即|C A |+|C B |=4>|A B |,故顶点C 的轨迹为椭圆,如图2,以A B 的中点为原点建立平面直角坐标系,则易求得椭圆方程为x 24+y23=1㊂剖析:求解中忽略了边长的大小关系及A ,B ,C 三点不共线的前提条件㊂正解:因为a >b ,所以|C B |>|C A |,故轨迹只能取椭圆在y 轴左侧的部分,且A ,B ,C 三点不共线,需挖去椭圆的左顶点(-2,0),故顶点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0)㊂点拨:在求解动点轨迹方程时,除了要注意圆锥曲线成立的前提条件,还需注意动点在某些特殊位置是否与题意的几何条件产生矛盾,从而明晰变量的取值范围,培养思维的严密性㊂六㊁对直线与圆锥曲线的位置关系理解有偏差例6 已知过点(0,3)的直线与双曲线x 22-y 2=1有唯一公共点,则这样的直线有条㊂错解:设所求直线方程为y =k x +3,联立x 22-y 2=1,y =k x +3,消去y 整理得(1-2k 2)x 2-12k x -20=0,由Δ=(-12k )2+80(1-2k 2)=0得k =ʃ5,故满足题意的直线有2条㊂剖析:错解中混淆了直线与双曲线相切和有一个公共点的逻辑关系㊂正解:当直线与双曲线的渐近线平行时,33解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月其方程为y =ʃ22x +3,分别与双曲线的一支有一个公共点,符合题意;当直线与渐近线不平行时,设其方程为y =k x +3k ʂʃ22,同错解得k =ʃ5,故满足题意的直线有4条㊂点拨:在判断直线与圆锥曲线的关系位置中,若直线与封闭曲线(圆及椭圆)相切,则二者只有一个公共点;若直线与双曲线只有一个交点,则直线与曲线相切或平行于双曲线的一条渐近线㊂七㊁忽略根的判别式的适用范围例7 已知圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2+(6-2a )x +a 2-4=0,可知方程无实数解,故Δ=(6-2a )2-4(a 2-4)<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ㊂剖析:根的判别式只适用于直线与曲线的位置关系的判断,并不适用于曲线与曲线的位置关系的判断,错解忽略了根的判别式的适用范围㊂正解:易知圆的圆心为(a ,0),半径为2,抛物线的顶点为(0,0)㊂当圆与抛物线内切时,a =2;当圆与抛物线外切时,a =-2㊂要使两者无交点,则需a >2或a <-2,故a 的取值范围为(-ɕ,-2)ɣ(2,+ɕ)㊂点拨:在判断两个曲线的位置关系时,可通过几何图形的临界状态(曲线相切),以形助数找到参数的临界值,再对图形进行动态分析,从而进一步明确参数的取值范围㊂八㊁运算路径㊁方法不恰当,导致运算受阻或产生困难例8 已知椭圆C :x 23+y 2=1,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,直线A E 与直线x =3交于点M ㊂试判断直线B M 与直线D E 的位置关系,并说明理由㊂错解:设直线A B 的方程为y =k (x -1)(k ʂ1),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线A E 的方程为y -1=y 1-1x 1-2(x -2)㊂令x =3,得M 3,x 1+y 1-3x 1-2,则k B M =x 1+y 1-3x 1-x 2-y 23-x 2㊂联立y =k (x -1),x 2+3y 2=3,消去y 整理得(1+3k )x 2-6k 2x +3k 2-3=0,则x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k2㊂所以k B M=y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2=k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=2k (x 1+x 2)-k x 1x 2+x 1-3(k +1)-x 1x 2+2(x 1+x 2)+x 1-6=12k 31+3k 2-3k 3-3k1+3k2+x 1-3(k +1)-3k 2-31+3k 2+12k21+3k2+x 1-6=x 1-3x 1-3=1=k D E ,所以B M ʊD E ㊂剖析:在错解中忽略了直线斜率存在的前提条件,同时没有遵循先特殊后一般的求解逻辑,一旦后续求解出现卡壳就会使解题停滞不前,继续引发解题失败㊂正解:当直线A B 的斜率不存在时,可知A 1,63 ,B 1,-63,故直线A E 的方程为y -1=1-63(x -2),得M 3,2-63,所以k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂当直线A B 的斜率存在时,同错解得k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂综上可得,直线B M 与直线D E 平行㊂点拨:在解析几何的定值㊁定点㊁位置关系判断等问题的求解中,可优先通过直线斜率不存在(或斜率为0)等特殊条件对问题进行必要性的结论探索,再通过一般性证明结论的完整性,以减少运算方向的不明确性和阻碍性,提升运算效益㊂(责任编辑王福华)43 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月。

解析几何常见错误分析

解析⼏何常见错误分析2019-08-28解圆锥曲线题，⼀是要寻找“突破⼝”，⼀般⽤向量、圆、⾓、⽐例等进⾏转化，转化的⽅向是交点的横、纵坐标，进⽽联系韦达定理和判别式加以解决.⼆是要注意计算，做到细致准确，避免出错. 三是要了解以下七个⽅⾯的错误类型及成因，避免发⽣错误.⼀、对直线的倾斜⾓与斜率关系认识不清例1 平⾯上有相异两点[A（0，1）]及[B（cosθ，][sin2θ）]，求经过[A，B]两点的直线的倾斜⾓的范围.错解设直线的斜率为[k]，倾斜⾓为[θ].分析对倾斜⾓的范围[[0，π）]以及[θ]与[k]的关系认识不清.事实上，[k>0]，[θ∈（0，π2）]；[k⼆、忽视直线的斜率不存在的情况例2 试求过点[P（2，3）]的圆[（x-1）2+y2=1]的切线⽅程.错解设切线⽅程为[y-3=k（x-2）]，即[kx-y+3-2k=0]，⼜[l]与圆相切，[ |k+3-2k|1+k2=1?k=43].则切线⽅程为[4x-3y+1=0].分析没有考虑斜率不存在的情况.正解事实上，当斜率不存在时，[x=2]也为圆的⼀条切线，故切线⽅程为[4x-3y+1=0]和[x=2].三、误解截距的概念例3 已知直线过点[P（1，5）]，且在两坐标轴上的截距相等，求此直线⽅程.错解因为直线在两坐标轴上截得的截距相等，所以[l]的斜率为±1，则[l]为[y-5=±（x-1）].即[x-y+4=0]或[x+y-6=0].分析误以为截距是[l]在坐标轴上截得的距离，并且忽视了截距为0的情况.正解事实上，[l]在两坐标轴的截距相等，[k]应为-1；另外，[l]过原点时，截距也相等.[l]的⽅程为[x+y-6=0]或[5x-y=0].四、忽视圆锥曲线定义中的条件例4 已知[C1：][（x+3）2+y2=1]和[C2：][（x-3）2][+y2=9]，动圆[M]同时与圆[C1]及圆[C2]相外切，试求动圆圆⼼[M]的轨迹⽅程.错解设动圆[M]与[C1]及[C2]分别相切于[A]和[B].则[|MC1|-|AC1|=|MA|]，[|MC2|-|BC2|=|MB|].⼜[|MA|=|MB|]，[|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|]，即[|MC2|-|MC1|]=[|BC2|-|AC1|=2].由双曲线定义知，[a=1]，[c=3]，[b2=8].则[M]的轨迹⽅程为[x2-y28=1].分析对双曲线的定义理解不清.[|MC2|-|MC1|]中少了外层绝对值.正解由[|MC2|-|MC1|=2]知，[M]的轨迹为双曲线[x2-y28=1]的左⽀，⽅程为[x2-y28=1（x五、不善于利⽤圆锥曲线性质建⽴不等关系例5 已知椭圆[x2a2+y2b2=1 （a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1（-c，0），F2（c，0）]，若椭圆上存在点[P]（异于长轴端点），使得[ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，求该椭圆离⼼率的取值范围.错解已知[e=ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，由正弦定理得，[PF1PF2=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，所以[e=PF1PF2=2a-PF2PF2]=[2aPF2-1]，由椭圆的⼏何性质知，[PF2a+c]，[ 2aPF2-1a-ca+c]，即[ea-ca+c=1-e1+e].则[e2-1].分析⼀是忽略“点[P]异于长轴端点”，从⽽得出[PF2a+c]；⼆是忽略椭圆的离⼼率[e∈（0，1）].另外，在解题中，不会利⽤正弦定理进⾏边⾓转化，不会⽤[PF2正解事实上将[PF2][a-ca+c]，从⽽[e>a-ca+c=1-e1+e?e>2-1].⼜[e∈（0，1）]，[ 2-1六、忽视限制条件求错轨迹和轨迹⽅程例6 过点[P（0，-2）]的直线[l]交抛物线[y2=4x]于[A，B]两点，求以[OA，OB]为邻边的平⾏四边形[OAMB]的顶点[M]的轨迹⽅程.错解设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[M（x0，y0）]，直线的⽅程为[y=kx-2]，联⽴[y=kx-2，y2=4x，?k2x2-4（k+1）x+4=0]（[?]）.则[x1+x2=4（k+1）k2]，[x1x2=4k2]，[y1+y2=k（x1+x2）-4=4k].[x1+x2=x0=4（k+1）k2]，[y1+y2=y0=4k].消去[k]，得[（y0+2）2=4（x0+1）].故[M]的轨迹⽅程为[（y+2）2=4（x+1）].分析忽视了[k≠0]，以及[Δ>0]，从⽽导致解题过程不严谨，并且扩⼤了轨迹的范围.正解设[l]：[y=kx-2 （k≠0）].对[（*）]式，由[Δ>0]，得[16（k+1）2-16k2>0]，[k>-12].代⼊[y0=4k]，得[y00].故[M]的轨迹⽅程为[（y+2）2=4（x+1）][（y0）].七、不能破解“突破⼝”例7 [F1，F2]分别为椭圆[x24+y2=1]的左、右焦点.（1）若点[P]为椭圆上的⼀个动点，求[PF1?PF2]的最⼤值和最⼩值；（2）设过定点[M（0，2）]的直线[l]与椭圆交于不同的两点[A，B]，且[∠AOB]为锐⾓（[O]为坐标原点），求直线[l]的斜率的取值范围.分析⼀是不知如何突破[PF1?PF2]，转化的⽅向为何；⼆是不知如何突破“[∠AOB]为锐⾓”；三是忽视[l]与椭圆交于两点[A，B]，须[Δ>0].解（1）易知[a=2，b=1，c=3， ][F1（-3，0），F2（3，0）].设[P（x，y），]则[PF1?PF2=（-3-x，-y）?][（3-x，][-y）][=14（3x2-8）].因为[x∈[-2，2]]，故[x=0]时，[PF1?PF2]有最⼩值-2.当[x=±2]时，即点[P]为长轴端点时，[PF1?PF2]的最⼤值为1.（2）显然直线[x=0]不满⾜题意，可设直线[l： y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）].联⽴[y=kx+2，x24+y2=1，]消去[y]，得[（k2+14）x2+4kx+3=0].[x1+x2=-4kk2+14]，[x1?x2=3k2+14]，[由Δ=4k2-3>0?k32].⼜[∠AOB]为锐⾓，[ OA?OB>0].则[x1x2+y1y2>0?][k2综上可得[-2注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

解析几何试题致错的原因剖析

解析几何试题致错的原因剖析一、概念理解不透彻致错例1 已知()111,P x y 是圆():,0=C f x y 上的一个定点，()222,P x y 是圆():,0=C f x y 外的一个定点，则方程()()()1122,,,0++=f x y f x y f x y 所表示的曲线是A. 直线B.圆C. 椭圆D. 双曲线错解 A 。

剖析曲线的方程的概念的理解不透彻，概念不清，不知所云.因为()111,P x y 是圆():,0=C f x y 上的一个定点，所以()11,0=f x y ，同理()22,f x y 是一个不为零的常数。

正解为B 。

变式1下列四个命题中，假命题是A. 经过定点()00,P x y 的直线不一定都可以用方程()00-=-y y k x x 表示；B. 经过两个不同的定点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121--=--y y x x k x x y y 表示；C. 与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程1+=x ya b表示； D. 经过定点()0,Q b 的直线都可以表示为=+y kx b 。

答案 D 。

二、忽视直线倾斜角的范围致错例2直线sin 10α-+=x y 的倾斜角的取值范围是A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,πC.,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭错解由题意知[]sin 1,1α=∈-k ，所以倾斜角的取值范围是,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

剖析忽视直线的倾斜角定义的范围，或者由斜率的范围结合正切函数图象求倾斜角的范围出现错误。

由题意知[]sin 1,1α=∈-k ，结合正切函数图象，当[]0,1∈k 时，直线的倾斜角0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当[)1,0∈-k 时，直线的倾斜角3,4παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。

故倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，正确答案为D.变式2直线cos 20θ+=x 的倾斜角的取值范围是。

解析几何中的易错点

解析几何中的易错点1. 设直线的方程时，没有考虑斜率不存在的情况致错。

2. 化简曲线方程时，扩大或缩小了变量的范围致错。

例：定义2a b ka *=--，则方程0x x *=有唯一解时，实数k 的取值范围是 [1,2] ⋃[-2,-1] 。

解析：由题意可知：22221(0)kx y y kx y x y y x =+⇒==+=⇔-=≥有唯一解有唯一的交点。

是双曲线的在轴上方的部分。

所以要用数形结合。

易错原因：扩大或缩小了变量的范围3. 求各类取值范围的时候注意区间是开还是闭。

4. 有关圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）的方程，没有指明焦点位置的，要分类讨论。

5. 已知椭圆的含参数的方程的，要注意椭圆的方程，分母为正，且不相等。

例：方程221-53x y k k+=--，若表示椭圆，则实数k 取值范围是(3,4)(4,5)⋃；若表示双曲线，则实数k 的取值范围是 k>5或k<3 .易错原因：（1）未注意到方程是非标准型，（2）未注意分母不相等。

6. 解决直线与曲线的问题如果联立方程有两个易错点：（1）若曲线是双曲线和抛物线要注意讨论二次项的系数为0 的情况；（2）若用韦达定理，之前一定要考虑∆>0.7. 有关圆锥曲线的定义一定要注意细节的考虑。

椭圆：到两个定点的距离之和为定值，定值是不是大于两个定点间的距离？大于轨迹才是椭圆，等于则轨迹就是线段。

例：121290-30,3+=a+(>0),F PF PF a a设定点F （，）、（），动点P 满足则点P 的轨迹是线段或椭圆易错原因：对椭圆定义的细节不注意。

129+=a+PF PF a6≥12FF = 双曲线：（1）差为定值还是差的绝对值为定值？差为定值就是双曲线的一支，差的绝对值为定值就是双曲线的两支。

（2）定值也要和定点间的距离进行比较。

(3)对于双曲线,焦点在x 轴和焦点在y 轴上时渐进线的方程不同。

例：已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当=3=5a a 和时，动点P 的轨迹为 a=3时是双曲线的靠近2F 的一支，a=5 时是x 轴上以 2F 为端点的向右的射线。

挑战解析几何五大易错点

一
墼坌堡堂
（１１（２１＝１）２ｋ（１） — ） — ）（＋一＋２
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标准的圆锥曲线方程虽然也用字母
Ｐ，，，等表示，是各个字母的含义ａｂｃ但
（ＩＩＵ（，／３）一，）１ｘ．
点０为圆心，曰ｉ为直径的半Ｄ１ＡＢ
中，Ｄ￣，半圆弧上一点，ＰＢＯＡＢ陧／Ｏ＝＿
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．
所）。１广。１ｌ示，￣ｏ・ｓ产 ∞ 。ｏ —ｌ１・．，ｌｌ：＋ｏｌｔＩＥＩｌ１ｏｌｚＦ＝当
关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点；坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来，相关交汇试题应运而生；涉及圆锥曲线参数的取值范围的问题也是命题的亮点．
０河北丰润车轴山中学张丽辉
知识死角
１思考问题不缜密．隐含条件．对
挖掘不充分．２对参数的具体范围限制不准．．
Ｄ
面积不小５２－
，ＡＥ＞２即ｓＯ１Ｆ
，
则有
≥２
甘．ｚｊ — ｝
．
ｆｆｌ。
图１
２， ≤Ｏ解得一
≤ ≤
求轨迹方程时忘了考虑实际意义而
未除去不合题意的解．
３分类讨论意识不强．题过程．解
（Ｉ）立适当的平面直角坐标建系，曲线Ｃ求的方程；（设过点Ｄ的直线Ｚ曲线Ｃ Ⅱ）与相交于不同的两点Ｅ．

挑战解析几何五大易错点

龙源期刊网
挑战解析几何五大易错点
作者：张丽辉
来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第04期
解析几何包含直线和圆的方程及圆锥曲线方程两部分内容，在高考中，其分值占总分的15％左右，考查的重点有以下几点：考查基础，包括直线的倾斜角、斜率、距离、平行与垂直，点对称、直线对称，线性规划问题等；直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点；坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来，相关交汇试题应运而生；涉及圆锥曲线参数的取值范围的问题也是命题的亮点。

总结初中几何中的常见解题错误

总结初中几何中的常见解题错误初中几何学是数学中的一个重要分支，其涉及的知识点和解题方法对于学生来说常常是具有挑战性的。

然而，初中生在解决几何问题时经常会犯一些常见的错误。

本文将总结初中几何中的常见解题错误，帮助学生们避免这些错误，提高解题的准确性和效率。

一、理解题意错误理解题意错误是初中生在解几何题中最为常见的错误之一。

学生们在读题时可能会不仔细，导致对问题的要求和限制条件理解有误。

例如，当题目要求求解一个三角形的周长时，有的学生往往会错误地计算出三角形的面积。

这种错误的原因通常是对题目的理解不够准确或者偷懒没有认真阅读。

解决这类错误需要学生们提高阅读理解能力，并在解题中特别注重理解问题的要求。

学生们可以通过多读题、多归纳题目中的关键词，逐渐提高解题时对题意的准确理解。

二、图形勾画错误图形勾画是解几何题的关键步骤之一，但初中生在这一环节上也容易出现错误。

学生们可能会在勾画图形时不准确地绘制出各个元素的位置和属性，导致后续计算和推理出现偏差。

例如，在题目要求勾画一个等边三角形时，有的学生会错误地画出一个等腰三角形，从而影响了后续的计算。

学生们可以通过多多联系，提高对不同图形的勾画准确性。

在勾画图形时，可以借助直尺、量角器等工具，确保各个元素的位置和属性都符合题目要求。

三、问题分析错误问题分析错误是初中生在解几何题中常见的错误之一。

学生们可能会在解题过程中忽略一些重要的条件或者加入一些没有必要的条件，导致问题的分析错误。

例如，在解决一个相似三角形题目时，学生们可能会错误地认为两个角相等就可以得出两个三角形相似的结论，而忽略了对应的边比例相等的条件。

为了避免这类错误，学生们需要仔细分析题目中给出的条件，并根据几何学的基本原理进行思考和推理。

学生们可以通过练习各种类型的题目，加深对问题分析的理解和掌握。

四、计算过程错误计算过程错误是初中生在解几何题中较为常见的错误。

在进行计算时，学生们可能会出现数值计算、代数计算或者计算顺序错误的情况。

总结初中几何中的常见错误总结

总结初中几何中的常见错误总结初中几何是数学学科中的一门重要课程，涉及到平面几何和立体几何的基本概念、性质以及图形的推理和证明等等内容。

然而，由于初中生对于几何知识的理解和运用能力较弱，常会出现一些常见错误。

下面将对初中几何中的常见错误进行总结和分析。

1. 实际问题与几何图形的对应错误在解决与几何相关的实际问题时，学生常常将问题中的物理实体和几何图形之间的对应关系弄混。

例如，当问题描述到角度时，学生会将角度定义为物体的形状，而不是两条线之间的夹角。

这种错误通常会导致后面解题过程中出现混乱，进而影响到最终答案的正确性。

2. 变量设定的错误在解决几何问题的过程中，变量的设定是十分重要的一步。

然而，学生常常在设定变量时犯下错误。

例如，在证明两个几何图形相等时，学生会不恰当地将两个图形的边长设为相等的变量，而不是两个图形的对应边。

这样的设定错误会导致后续的证明过程出现错误，使得结论无法得到正确的证明。

3. 概念和定义的混淆初中几何中有许多重要的概念和定义，如角、直线、平行线等。

然而，学生往往会将这些概念和定义的含义弄混，导致在应用时出现错误。

例如，学生可能会将直线和线段的概念混淆，导致在题目中将线段误认为直线，从而得出错误的结论。

4. 图形的属性和性质的混淆初中几何中，图形的属性和性质是重要的基础知识。

然而，学生常常将图形的属性和性质混淆。

例如，在求解平行四边形的性质时，学生会将平行四边形的定义与其性质混淆，从而导致得出错误的结论。

正确理解和运用图形的属性和性质，是解决几何问题的重要基础。

5. 推理和证明的错误初中几何中，推理和证明是解决问题的重要方法。

然而，学生在进行推理和证明时常常出现错误。

例如，在证明两个三角形相似时，学生可能只根据边的比例关系来判断，而忽略了必要的角度相等条件。

这样的错误推理和证明会导致结论的错误，影响到问题的解决。

在总结和分析初中几何中的常见错误时，我们可以发现，这些错误大多源自于对几何知识的理解不深、记忆不牢固以及对问题的细节没有仔细思考等原因。

七年级几何知识点中常见的错误有哪些

七年级几何知识点中常见的错误有哪些在七年级的几何学习中，同学们常常会在一些知识点上出现错误。

这些错误不仅会影响当前的学习成绩，还可能为后续更深入的几何学习埋下隐患。

下面我们就来梳理一下七年级几何知识点中常见的错误。

一、线段和角的相关错误1、对线段的中点理解不准确很多同学会错误地认为，只要是将线段分成两段相等的点就是中点。

其实，中点的定义是：把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。

比如，一条线段被分成了三段，其中两段相等，那么这两段相等线段的连接点并不是中点。

2、角的度量和计算错误在计算角的度数时，容易出现混淆度、分、秒之间的换算关系。

例如，将 1°当成60′，或者在计算加法时，没有注意满 60 进 1 的规则。

3、对角平分线的性质应用错误角平分线是将一个角平均分成两个相等角的射线。

但有些同学在应用角平分线的性质时，会误将角平分线当作线段来处理，导致计算或证明错误。

二、相交线与平行线中的错误1、对同位角、内错角、同旁内角的概念混淆这三种角的识别是平行线判定和性质的基础。

同学们经常会在复杂的图形中找错角的位置关系，或者将不同类型的角混淆。

2、平行线的判定和性质应用混乱比如，由同位角相等得出两直线平行，这是判定；而由两直线平行得出同位角相等，这是性质。

但很多同学在解题时，会错误地用性质去判定，或者用判定去推性质。

3、忽略平行线的前提条件在说两条直线平行时，一定要明确是在同一平面内。

有些同学会忽略这个前提条件，导致错误。

三、三角形相关的错误1、三角形三边关系理解不透彻三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

但同学们在判断三条线段能否组成三角形时，往往会计算错误或者忽略这一关系。

2、三角形内角和定理应用错误三角形内角和为180°，但在一些复杂的图形中，求三角形内角和时，会忽略一些角的关系，或者重复计算某些角。

3、三角形的外角性质掌握不扎实三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

解析中考数学易错题系列突破平面向量与解析几何中的误区

解析中考数学易错题系列突破平面向量与解析几何中的误区解析中考数学易错题系列：突破平面向量与解析几何中的误区数学作为一门重要的学科，对于学生来说常常是一道难以逾越的坎。

尤其是在中考中，数学科目中的平面向量与解析几何部分往往成为很多学生易错的地方。

为了帮助同学们突破这一难点，本文将解析在中考数学中与平面向量与解析几何相关的易错题，并提供一些解题的思路和方法。

一、易错题一：平面向量乘法中的误解在平面向量的乘法中，很多学生容易犯以下两个错误：1. 混淆数量积和叉积数量积和叉积是平面向量乘法的两种形式，数量积表示两个向量之间的乘积，叉积则表示两个向量的乘积的向量形式。

很多学生常常将这两种概念混淆，在解题时出现错误。

解决方法：在学习平面向量乘法时要清楚理解数量积和叉积的概念，并能够正确地区分它们在题目中的应用。

2. 忽略向量的顺序在平面向量乘法中，向量的顺序很重要。

乘法满足交换律的是数量积，而不是叉积。

很多学生在计算中没有注意到向量的顺序，出现了乘法的顺序错误。

解决方法：在解题过程中，要特别注意向量的顺序，根据题目要求进行对应的乘法操作。

二、易错题二：平面向量的投影误区在解析几何中，向量的投影是一个常见的考点。

但很多学生在计算过程中常常出现误解。

1. 忽略投影向量的定义在计算向量的投影时，有的学生会直接计算向量的模长，而忽略了投影向量与原向量方向相同（或相反）的性质。

这样做会导致计算结果错误。

解决方法：在计算向量投影时，要清楚地理解投影向量的定义，并根据题目要求进行正确的计算。

2. 理解投影的方向和大小计算向量的投影时，不仅需要考虑投影向量的长度，还需要考虑其方向。

很多学生只注重计算投影向量的大小，而忽略了其方向问题。

解决方法：在解答题目时，要仔细分析向量投影的方向和大小要求，并进行相应的计算。

三、易错题三：错把点、线、面上的向量混为一谈在解析几何部分，有时会涉及到点、线、面上的向量，这很容易让学生混淆，并造成解题的误区。

高考数学一轮复习解析几何易错知识点

15-16学年高考数学一轮复习解析几何易错知识点解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支，下面是解析几何易错知识点，请考生学习掌握。

43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

46.定比分点的坐标公式是什么(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

49.解决线性规划问题的基本步骤是什么请你注意解题格式和完整的文字表达。

(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。

)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的常用参数方程的方法解决哪一些问题52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式如何应用焦半径公式53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。

(想一想在双曲线中的结论)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。

(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行)。

55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

学年高考数学一轮复习解析几何易错知识点

学年高考数学一轮复习解析几何易错知识点解析几何是一种借助于解析式停止图形研讨的几何学分支，下面是解析几何易错知识点，请考生学习掌握。

43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你能否留意到不存在的状况44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

46.定比分点的坐标公式是什么(终点，中点，分点以及值可要搞清)，在应用定比分点解题时，你留意到了吗47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后应用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以了解为，但不要遗忘事先，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

49.处置线性规划效果的基本步骤是什么请你留意解题格式和完整的文字表达。

(①设出变量，写出目的函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目的函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦运用题一定要有答。

)50.三种圆锥曲线的定义、图形、规范方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的常用参数方程的方法处置哪一些效果52.应用圆锥曲线第二定义解题时，你能否留意到定义中的定比前后项的顺序如何应用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式如何运用焦半径公式53.通径是抛物线的一切焦点弦中最短的弦。

(想一想在双曲线中的结论)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后失掉的方程中要留意：二次项的系数能否为零椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只要一个交点，判别式的限制。

(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性效果都在下停止)。

55.解析几何效果的求解中，平面几何知识应用了吗标题中能否曾经有坐标系了，能否需求树立直角坐标系解析几何易错知识点的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以取得更大的提高。

高考数学易错知识点：解析几何、平面向量与三角函数

高考数学易错知识点一：解析几何1、在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?2、用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

3、直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

4、定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?5、对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)6、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

7、解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达、(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。

)8、三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?9、圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?10、利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式11、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦、(想一想在双曲线中的结论?)12、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制、(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行)、13、解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?高考数学易错知识点二：平面向量1、数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。

可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。

2、数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出、已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有、在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量、3、是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。

解析几何中的常见误区

解析几何中的常见误区
赵祥燕
1. 条件理解不到位，导致出错
包括两种情况：相交或相切，错解中把有公共点理解成直线和圆相交，显然是错的.
正解前面相同，补充：相切且满足条件的直线有8条，所以正确答案是60条. 答案 B
2.概念把握不准确，导致出错
∴实数[k]的取值范围为[[0，4]].
1. 条件理解不到位，导致出错
包括两种情况：相交或相切，错解中把有公共点理解成直线和圆相交，显然是错的.
正解前面相同，补充：相切且满足条件的直线有8条，所以正确答案是60条. 答案 B
2.概念把握不准确，导致出错
∴实数[k]的取值范围为[[0，4]].
1. 条件理解不到位，导致出错
包括两种情况：相交或相切，错解中把有公共点理解成直线和圆相交，显然是错的.
正解前面相同，补充：相切且满足条件的直线有8条，所以正确答案是60条. 答案 B
2.概念把握不准确，导致出错
∴实数[k]的取值范围为[[0，4]].
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易错点08 立体几何(解析版)

易错点08 立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。

立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。

易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"a a b b αα⊄⊂三个条件中的某一个。

易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

易错点3：直线与平面所成的角 1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。