2012高一数学 3.2.2 函数模型的应用举例 1课件 新人教A版必修1

课堂互动讲练
考点突破 已知函数模型的应用题 若题目中给出了模型函数的解析式或者是图 象，则利用函数性质解决实际问题．
例1 某 公 司生 产一 种电 子仪 器的 固定 成 本为
20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元， 已知总收益满足函数： 400x－1x2 0≤x≤400 2 R(x)＝ .其中 x 是仪
【名师点拨】
在函数应用题中，已知的等
量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总 收益－总成本，又如“销售额＝销售价格× 销售数量”等，本题是
自建函数模型解应用题 通过对题意的理解，将实际问题的文字语言转 化为数学语言，用数学式子表示出文字关系， 从而解决问题．
据调查，某贫困地区约有100万从事传统 农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加 农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种 加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸 收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如 果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统 农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入 企业工作的农民的人均年收入为3000a元(a＞0)．
当0＜25(a＋1)≤50且a＞0，即0＜a≤1时，x＝
25(a＋1)时，y取最大值．
当25(a＋1)＞50即a＞1时，y在(0,50]单调递增，
∴当x＝50时，y取最大值．
∴在0＜a≤1时，安排25(a＋1)万人进入企业工作，
在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这
100万人的人均年收入最大．
方案三：(幂函数模拟) 设 y＝a x＋b，将 A，B 两点的坐标代入有 a≈0.48 a＋b＝1 ，解得 ， b≈0.52 2a＋b＝1.2 所以 y＝0.48 x＋0.52. 当 x＝3 时，y＝1.35； 当 x＝4 时，y＝1.48. 与实际产量差距较大．
方案四：(指数函数模拟) 设 y＝abx＋c，将 A，B，C 三点的坐标代入，得
【 解 】 (1) 由 题 意 得 ： (100 － x)3000×(1 ＋ 2x 2 )≥100×3000，即 x －50x≤0，解得 0≤x≤50. 100 又∵x＞0，∴0＜x≤50. (2)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元，则 2x 100－x3000×1＋ ＋3000ax 100 y＝ 100 －60x2＋3000a＋1x＋300000 ＝ . 100 3 2 2, 即 y＝－ [x－25(a＋1)] ＋3000＋375(a＋1) 0＜x≤50. 5
3．2.2 函数模型的应用举例
学习目标 1.了解函数模型的广泛应用．
2．掌握求解函数应用题的基本步骤．
课前自主学案
3．2.2
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 我们目前已学习了以下几种函数 一次函数______________；二次函数__________________； y＝kx＋b(k≠0) 指数函数_______________；对数函数(a＞0且a≠1) y＝ax 2＋bx＋c(a≠0) y＝ax y＝xα ___________________；幂函数______ (α为常数)．它们都 y＝log x(a＞0且a≠1)
－1x2＋300x－200000≤x≤400 2 . 60000－100xx＞400
1 (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－ (x－300)2＋25000， 2 ∴当 x＝300 时，有最大值 25000； 当 x＞400 时，f(x)＝60000－100x 是减函数， f(x)＜60000－100×400＜25000. ∴当 x＝300 时，f(x)的最大值为 25000. ∴每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25000 元．分段函数型的函数最值问题的应用．
上八点)的电价为0.35元/kw· h.对于一个平均每
月用电量为200kw· h的家庭，要使节省的电费不
少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时
段的平均用电量至多为多少kw· h?
解：①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)． ②设峰时段用电量为x kw· h，电费为y. 则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤(1－10%)y1， 即0.55x＋70－0.35x≤93.6， 解得x≤118. 即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kw· h.
【思路点拨】
首先根据月份和产量作出图
象，然后根据图象的形状，选择合适的函数
模型进行模拟．
【解】 作出图象如图．
方案一：(一次函数模拟) 设模拟函数为 y＝ax＋b，将 B、C 两点的坐标代 3a＋b＝1.3 a＝0.1 入函数式，有 ，解得 . 2a＋b＝1.2 b＝1 所以得 y＝0.1x＋1. 此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下， 产量会月月上升 1000 双，这是不太可能的．
【名师点拨】
本题是一个关注民生的实际问题，
应认真阅读，理解题意，转化为数学语言，寻找
变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得
出相关数学结论，并依此解决实际问题．
自我挑战
某市原来民用电价为0.52元/kw· h.换
装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的
电价为0.55元/kw· h，谷时段(晚上九点到次日早
方案二：(二次函数模拟) 2 设 y＝ax ＋bx＋c，将 A、B、C 三点坐标代入，
a＋b＋c＝1 有4a＋2b＋c＝1.2 9a＋3b＋c＝1.3
a＝－0.05 ，解得b＝0.35 c＝0.7
，
所以 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 由此法计算 4 月产量为 1.3 万双， 比实际产量少 700 双， 而且，由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将月月 下降(图象开口向下，对称轴 x＝3.5)，不合实际.
80000 x＞400
器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最 大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【思路点拨】 根据实际生活中利润＝总收益 －总成本列出等量关系．
【解】 (1)设每月产量为 x 台，则总成本为 20000＋100x，从而 f(x)＝
a
与现实世界特点，通过建立函数模 型，解决实际问题的基本过程
问题探究
一次函数y＝kx＋b(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)， 对数函数y＝logax(a＞1)增长有什么特点？ 提示：一次函数直线上升，其增长量固定不变； 指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上 升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上 升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时， 这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数 爆炸”来形容． 对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时， 其增长速度小于直线上升的速度．
失误防范 在选择函数模型时，要让函数的性质与所要解决的 问题的变化基本吻合，通常用待定系数法求模拟函 数的解析式，由于函数模型的局限性，所求数据往 往只是在一定的范围内与实际问题基本相符．
函数模型的拟合 此类问题是通过具体的计算，探究用哪类函数来 模拟实际问题最好． 例3 某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前 4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双， 1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个 月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时接 受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月 的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产 熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加 设备和工人．假如你是厂长，将会采取什么办法 估算以后几个月的产量？
例1
(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民 的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总 收入，试求x的取值范围； (2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民 (即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达 到最大？ 【思路点拨】 ①中是两类人收入的不等式关系， 求x.②是100万人的均收入，求其最大值．
【名师点拨】
比较上述四个模拟函数的优劣，
既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比
如增产的趋势和可能性．
方法感悟 方法技巧 1．已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该 题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结 合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际 意义作出解答．(如例1，例2) 2．判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有 数据基本接近该数学模型．对于一般的应用问题， 不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此， 无最优解，只有满意解．(如例3)
ab＋c＝1 a＝－0.8 2 . ab ＋c＝1.2 ，解得b＝0.5 ab3＋c＝1.3 c＝1.4
所以 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较以上四个模拟函数，以指数函数模拟误差最小， 因此选用 y＝－0.8×0.5x＋1.4 作模拟函数．