2.3.4 平面与平面垂直的性质课件2

a
b
， a

b
直线与平面垂直的性质
（1）基本性质 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个 平面内的任意直线
D1 A1 B1 D C1
P
D
A
B
C
C B
A
侧棱垂直于底面，侧棱 垂直于底面的任何一条 直线。
PD⊥底面，则PD⊥AB，PD ⊥BC，等。
（2）性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
α 内一定存在 α 内所有直 α 内一
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
m
l

m⊥ l ⊥
｝
m // l
有关结论： 1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2、两条平行线中一条垂直于一个平面，则另 一条也垂直于这个平面； 3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。
A 3
B
2
C 1
D
0
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移： a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义： a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）；
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
P
O
A
a

练习
1、如图PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD P 2、已知a、b是两条不重合的直线， α、β、γ是三个两两不重合的 平面，给出下列四个命题： A 若a⊥α，a⊥β，则α∥β； 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； 若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则 a∥b。其中正确命题的序号是 （D） A. B. C. D. （C ）
在考虑到了面面垂直的条件的同时还考虑
了结论：线面垂直。因此，两条线作在γ
内更有利。
规律小结： Leabharlann 、怎样证线线平行：1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线 与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……
2.利用公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行
3.利用线面平行的性质定理： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的 平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行 4.利用面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行， 5.利用线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行
例2、如图，在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，AB=BC =BB1, D为AC的中点， （1）求证：B1C∥平面A1BD; ( 2 )若AC1⊥平面A1BD,求证B1C1⊥平面ABB1A1. B1 A1 E C1
(1)证明:连接AB1，交A1B于 E,连接DE. ∵在直三棱柱ABC —A 1B1C1中， AB=BB1，∴侧面ABB1A1是正方形， ∴E是AB1的中点，D为AC的中点 ，∴DE∥B1C，∴B1C∥平面A1BD. 侧面ABB1A1是正方形∴AB1⊥A1B ， ∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B ⊥B1C1.
β m
l
a
n
α
b // a a b
b // b
γ
b // l l b
b
线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
m, 证法2：设 n ， 在γ内任取一点A（不在m,n上），
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。

a

a a
探究
A1 A
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平面 的垂线a，直线a与平 面 具有什么位置关系?
D O C
例1、如图，在四面体ABCD中，若AB⊥CD,AD⊥BC, 求证：AC⊥BD.
A
B
O C
D
证明：过A作AO⊥平BCD， 垂足为O，连接BO、CO、DO, 则AO⊥CD， ∵AB⊥CD，AB∩AO=A，∴CD⊥平 面ABO，BO平面ABO，∴CD⊥BO。
同理，BC⊥DO，则O为△BCD的垂 心，∴CO⊥BD，∵AO⊥BD，CO∩ AO=O， ∴BD⊥平面ACO。又AC平面ACO ∴AC⊥BD
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
l β α
b⊥m， 在γ内过A点作直线 n an
a γ
n A
a
m b
l
al 同理 b l a b A
l
解法分析：
1.两种证法的共同点是：都从一个面
内做交线的垂线，目的是使用面面垂直的
性质定理。
2.证法2比证法1巧妙、简捷。原因是
m⊥α，n⊥α，则l //n. A.1 B.2 C.3
D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD. P 提示：连接AF. A B F C D
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交，
如果它们所成的二面
角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。
B
D A
C (2) AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,又∵
又∵是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.
练一练
1、设l、m、n为三条不同的直线，α为一个平面，下列 命题中正确的个数是 （ C） ①若l⊥α，则l与α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n 则l⊥α；③若l //m，m//n，l⊥α，则n⊥α；④若l//m，
α P b
β
α a b
a
β
P
直线a在平面 内
面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
β a l α A
l a a
al
面面垂直线面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直．
2、直线与平面垂直的判定
如果一条直线和 一个平面内的两 条相交直线都垂 直，那么这条直 线垂直于这个平 面．
m n m n B l lm ln
β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
, a , a , 判断a与 位置关系
解：设 l
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b b l α a
bl

b a // a
面面垂直性质 m, 证法1：设 n ， 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m n a a an 同理b l
b