2018年复旦附中高二下期中考试试卷

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复旦附中高二期中(2018.11)

复旦附中高二期中数学试卷2018.11一. 填空题1. 直线2310x y +-=的倾斜角是2. 若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =3. 行列式43125142k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =4. 已知x m y t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的解，则m t += 5. 直线3:14l y x =-的一个单位方向向量是 6. 已知直线1:(1)30l kx k y +--=，2:(1)(23)20l k x k y -++-=，若12l l ⊥，则k =7. 已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P 的坐标是 8. 若112lim 22n nn n n t t+-→∞-=+，则实数t 的取值范围是 9. 已知a ∈R ，则“16a =”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行” 的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 过点(3,2)P -且与直线210x y ++=的夹角为1arctan 2的直线的一般式方程是 11. 已知实数1a 、1b 、2a 、2b 满足：1110a b -+=，2210a b -+=，且1212)a a b b +=其中12a a >，则以向量11(,)a b 为法向量的直线的倾斜角的取值范围是12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，(,)BP mBC nBA m n =+∈R u u u r u u u r u u u r，则m n +的取值范围是二. 选择题13. 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[,]a b 上可找到n （2n ≥）个不同的数1x , 2x , ⋅⋅⋅ , n x ，使得 1212()()()n n f x fx f x x x x ==⋅⋅⋅=，则n 的范围为（） A. {3,4} B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}14. 给出下列命题：① 非零向量a r 、b r 满足||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角为30°；② 将函数|1|y x =-的图像按向量(1,0)a =-r 平移，得到函数||y x =的图像；③ 在△ABC 中，若()0AB AC BC +⋅=u u u r u u u r u u u r ，则△ABC 为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 315. 在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，经过原点的直线l 将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则2122(1)1S S +-取得最小值时，直线l 的斜率（）A. 等于1B. 等于1-C. 等于12D. 不存在 16. 如图所示，已知0(0,0)A ，1(4,0)A ，对任何n ∈N ，点2n A +按照如下方式生成：123n n n A A A π++∠=，1211||||2n n n n A A A A +++=u u u u u u u u r u u u u u u r ，且n A ，1n A +，2n A +按逆时针排列，记点n A 的坐标为(,)n n a b （n ∈N ），则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为（）A. 2043(,)77B. 43(3,)7C. 53(3,) D. 2053(,)7三. 解答题17. 已知m ∈R ，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线2l 的方程为(31)(41)54m x m y m +--=+，当m 变化时，（1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标；（2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.18. 已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：（1）直线l 的方程；（2）直线l 关于直线:21m y x =-对称的直线方程.19. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴x 、y 的交点为O ，与x 、y 轴正方向同向的单位向量分别是i r 、j r ，且i r 与j r 的夹角为θ，其中(0,)(,)22ππθπ∈U ，由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP u u u r ，存在唯一有序实数对(,)x y ，使得OP xi y j =+u u u r r r ，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP u u u r 在斜坐标系xOy 中的坐标，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ=︒时，方程2145x y --=- 表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,5)-的直线. （1）若1arccos()3θ=-，(2,1)a =r ，(,6)b m =r ，a r 与b r 夹角为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若60θ=o ，已知点(2,1)A 和直线:320l x y -+=，① 求l 的一个法向量；② 求点A 到直线l 的距离.20. 在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列123,,,A A A L 和123,,,B B B L 满足：①1(5,0)A ，2(4,0)A ，12145n n n n A A A A +++=u u u u u u u u r u u u u u u r （*n ∈N ）；② 1(1,1)B ，1(1,1)n n B B +=u u u u u u r （*n ∈N ）. （1）求点3A 和3B 的坐标；（2）求向量n OA u u u u r ，n OB u u u u r 的坐标；（3）对于正整数k ，用k a 表示无穷数列{||}n OA u u u u r 中从第1k +项开始的各项之和，用k b 表示无穷数列11n n OB OB +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭u u u u r u u u u u r 中从第k 项开始的各项之和，即123||||||k k k k a OA OA OA +++=+++u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r L ，11223111k k k k k k k b OB OB OB OB OB OB +++++=+++⋅⋅⋅u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r L ，若存在正整数k 和p ，使得k k a b p =，求k 、p 的值.21. 已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l 、2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线1l 、2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =和21:2l y x =-是一组“1O -共轭线对”，其中O 是坐标原点.（1）已知1l 、2l 是一组“3O -共轭线对”，求1l 、2l 的夹角的最小值；（2）已知点(0,1)A 、点(1,0)B -和点(1,0)C 分别是三条直线PQ 、QR 、RP 上的点（A 、B 、C 与P 、Q 、R 均不重合），且直线PR 、PQ 是“1P 共轭线对”，直线QP 、QR 是 “4Q 共轭线对”，直线RP 、RQ 是“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点(1,Q -，直线1l 、2l 是“2Q -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线1l 、2l 的距离之积的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 2arctan 3π- 2. 121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭3. 34. 105. 43(,)55± 6. 1或3- 7. (1,2) 8. [2,2)- 9. 充分非必要 10. 30x -=，3410x y +-= 11. 3[0,)(,)24πππU12. [1+二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. A三. 解答题17. （1）将直线1l 的方程改写为0)()32(=++--y x y x m ，令⎩⎨⎧=+=--,0,032y x y x 得直线1l 过定点)1,1(-；同理，直线2l 过定点（3,1）；（2）联立方程，得⎩⎨⎧+=--+=--+,45)14()13(,3)12()1(m y m x m m y m x m 2(2)D m m =-，2(1)(2)x D m m =---，2(21)(2)y D m m =-+-当0≠m 和2时，0≠D ，两直线相交；当0=m 时，0,0≠=x D D ，两直线平行；当2=m 时，0===y x D D D ，两直线重合。

2018年下期高二期中考试

2018年下期高二期中考试本试卷分四大部分，共8页，时量120分钟，满分150分第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后.你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题l.5分，满分7.5分）请听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

What does the woman never do?A．She never makes online chatting．B．She never watches news programs on TV．C．She never reads news on the Internet．2.Where does the conversation probably take place?A．In a department store．B．In an office．C.At a restaurant.3. Why doesn’t the man eat his cake?A．Because he wants to sa ve it．B．Because he has a toothac he．C．Because he doesn’t likethe taste．4. What can we learn from the conversation?A．Ellen is not in the office．B．Becky is Ellen’sbest friend．C．Bobby dialed thewrong number．5. How much did the shoes cost originally（最初）?A．60 dollars．B．90 dollars．C．120 dollars ．第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）请听下面5段对话或独白。

2017-2018年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷和参考答案

2017-2018学年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分）1．（4分）已知a，b∈{0，1，2，3}，则不同的复数z＝a+bi的个数是．2．（4分）一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是．3．（4分）已知则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|＝．4．（4分）已知（﹣）9的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为．5．（4分）已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为．6．（4分）点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为．7．（4分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．8．（4分）正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为．9．（4分）从集合{1，2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是．10．（4分）在正三棱锥P﹣ABC中，P A＝2，AB＝1，记二面角P﹣AB﹣C，A﹣PC﹣B 的平面角依次为α，β，则3sin2α﹣2cosβ＝．11．（4分）如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线P A＝4，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且AB⊥OB，C为P A的中点，OD⊥PB，垂足为D，当三棱锥O﹣PCD的体积最大时，OB＝．12．（4分）已数列{a n}，令b k为a1，a2，…，a k中的最大值（k＝1，2，…，n），则称数列{b n}为“控制数列”，数列{b n}中不同数的个数称为“控制数列”{b n}的“阶数”．例如：{a n}为1，3，5，4，2，则“控制数列”{b n}为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列{a n}由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”{b n}的“阶数”为2的所有数列{a n}的首项和是．二、选择题（本大题共有4题，满分16）13．（4分）在的展开式中，系数为有理数的项数为（）A．336项B．337项C．338项D．1009项14．（4分）如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（）A．4+B．C．D．3+15．（4分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个16．（4分）已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1，满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V2＝V1B．V2＝V1C．V2＝V1D．V2，V1无明确大小关系三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17．（10分）已知空间向量与的夹角为arccos，且||＝，，令，．（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；（2）求的夹角θ．18．（10分）有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生之间至少有两名男生；（5）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．19．（12分）在正四棱锥P﹣BCD中，正方形ABCD的边长为3，高OP＝6，E是侧棱PD上的点且PE＝PD，F是侧棱P A上的点且PF＝P A，G是△PBC的重心．如图建立空间直角坐标系．（1）求平面EFG的一个法向量；（2）求直线AG与平面EFG所成角θ的大小；（3）求点A到平面EFG的距离d．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形且∠ADE＝，EF⊥平面ADE且EF＝1．（1）求异面直线AE和DF所成角的大小；（2）求二面角B﹣DF﹣C的平面角的大小．21．（12分）设点F1，F2分别是椭园C：（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到F2的距离的最小值为，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当＝0时，求△F1NF2的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．2017-2018学年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分）1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：当a＝b时，复数z＝a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z＝a+bi的个数是个．∴不同的复数z＝a+bi的个数是16个．故答案为：16．【点评】本题考查排列及排列数公式，是基础题．2．【考点】LD：斜二测法画直观图．【解答】解：该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为S正方形＝＝2，∴原多边形的面积是2×2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比应用问题，是基础题．3．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，（1﹣2x）2018中，其展开式的通项为T r+1＝（﹣2x）r，又由，则a1、a3、……a2017为负值，则在（1﹣2x）2018中，令x＝﹣1可得：32018＝a0﹣a1+a2﹣a3+……+a2017﹣a2018，又由a1、a3、……a2017为负值，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|＝a0﹣a1+a2﹣a3+……+a2017﹣a2018＝32018，故答案为：32018．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．4．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（﹣）9的展开式中，通项公式为T r+1＝••（﹣1）r•a9﹣r •，令﹣9＝3，求得r＝8，故x3的系数为•a＝，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．【考点】LR：球内接多面体．【解答】解：设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是V＝πR3，∴R＝；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即3a2＝4R2，∴a＝R；∴正方体的体积为V正方体＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了球与其内接正方体的关系应用问题，是基础题．6．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【解答】解：＝（2，1，1），＝（λ，2，2），∵的夹角为锐角，∴•＝2λ+2+2＞0，且不能同向共线．解得λ＞﹣2，λ≠4．则λ的取值范围为（﹣2，4）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣2，4）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积＝A2全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故答案：【点评】本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积＝侧面积+底面积×2，中易解为全面积＝侧面积+底面积．8．【考点】L3：棱锥的结构特征．【解答】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则△EFG是三棱锥A﹣BCD的中截面，可得平面EFG∥平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF＝FG＝GE＝1，∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S△EFG＝EF•FG•sin60°＝；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EI AC，GH AC，得EI GH，∴四边形EGHI为平行四边形；又∵AC＝BD且AC⊥BD，EI AC，HI BD，∴EI＝HI且EI⊥HI，∴四边形EGHI为正方形，其边长为AB＝1，由此可得正方形EGHI的面积S EGHI＝1；∵BC的中点I在平面EGHI内，∴B、C两点到平面EGHI的距离相等；同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；∴A、B、C、D到平面EGHI的距离相等，∴平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S△EFG+3S EGHI＝4×+3×1＝+3．故答案为：+3．【点评】本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．9．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；F4：进行简单的合情推理．【解答】解：根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，必有d∈N*．则a5＝a1+4d，则d＝≤＝，则d的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d，a1＝a5﹣4d≤30﹣4d，当a1分别取1，2，3，…，30﹣4d时，可得递增等差数列30﹣4d个（如：d＝1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，...，6；...；26，27， (30)其它同理）．当d取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：×（2+26）×7＝98个；故答案为：98．【点评】本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于偏难题．10．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图所示，作PO⊥平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，CD⊥AB，∴AB⊥PD．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角为∠PDO＝α．∵PD＝＝，CD＝，OD＝CD＝，∴OP＝＝．∴sinα＝＝．作AE⊥PC，垂足为E点，连接BE，∵△P AC≌△PBC，∴BE⊥PC．∴∠AEB为A﹣PC﹣B的平面角β，∵cos∠PCA＝＝．∴AE＝AC•sin∠PCA＝1×＝．在△AEB中，cosβ＝＝．∴3sin2α﹣2cosβ＝﹣＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理勾股定理、二面角、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面P AB⊥面POB．OD⊥PB，则OD⊥面P AB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD．即PC是三棱锥P﹣OCD的高．PC＝OC＝2．而△OCD的面积在OD＝DC＝时取得最大值（斜边＝2的直角三角形）．当OD＝时，由PO＝2，知∠OPB＝30°，OB＝PO tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．12．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有A44＝24种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有A44+A33＝30种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有A44+2A33+2A22＝40种，首项为4的数列有24+18+12+6＝60种，即4，6，a，b，c，d，有A44＝24种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有3A33＝18种，4，a，b，6，c，d，（其中a，b∈{1，2，3}），则有A32A22＝12种，4，a，b，c，6，d，（其中a，b，c∈{1，2，3}），则有6种，首项为5的数列有24×5＝120种，即5，6，a，b，c，d，有A44＝24种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有4A33＝24种，5，a，b，6，c，d，（其中a，b∈{1，2，3，4}），则有A42A22＝24种，5，a，b，c，6，d，（其中a，b，c∈{1，2，3，4}），则有24种，5，a，b，c，d，6，（其中a，b，c，d∈{1，2，3，4}），则有24种，综上，所有首项的和为24×1+30×2+40×3+60×4+120×5＝1044．故答案为：1044【点评】本题考查了排列组合问题，考查了新定义问题，考查了运算能力和转化能力，属于难题二、选择题（本大题共有4题，满分16）13．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，的展开式的通项为T r+1＝（x）2018﹣r（）r＝××x2018﹣r；其系数为×，若系数为有理数，必有r＝6n，（n＝1、2 (336)共有336项，故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：3+3×+＝．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．15．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．16．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V1＝；满足的平面区城阴影部分绕y轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积V2＝＝．∴．故选：C．【点评】本题主要考查旋转体的体积的大小比较，考察学生的计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（1）根据条件，；∴；∴＝；（2）＝﹣2×3＝﹣3；＝，；∴＝；∴的夹角．【点评】考查向量夹角的概念，sin2α＝1﹣cos2α，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式．18．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：（1）根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33＝6种情况，②，将这个整体与5名男生全排列，有A66＝720种情况，则3名女生排在一起的排法有6×720＝4320种；（2）根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，由于3名女生次序一定，则有＝6720种排法；（3）根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A55＝120种情况，②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43＝24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24＝2880种；（4）根据题意，将3名女生排成一排，有A33＝6种情况，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×××A33×A22＝1440种排法；②，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有6×××××＝1440种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有1440+1440＝2880种；（5）根据题意，分2种情况分析：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22＝2种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66＝720种情况，则此时有2×720＝1440种排法；②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55＝120种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有120××＝7200种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+7200＝8640种排法．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法，属于中档题．19．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵在正四棱锥P﹣BCD中，正方形ABCD的边长为3，高OP＝6，E是侧棱PD上的点且PE＝PD，F是侧棱P A上的点且PF＝P A，G是△PBC的重心．如图建立空间直角坐标系．∴D（0，﹣6，0），P（0，0，6），E（0，﹣2，4），A（6，0，0），F（3，0，3），B（0，6，0），C（﹣6，0，0），G（﹣2，2，2），＝（3，2，﹣1），＝（﹣2，4，﹣2），设平面EFG的一个法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得：平面EFG的一个法向量＝（0，1，2）．（2）＝（﹣8，2，2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴直线AG与平面EFG所成角θ＝arcsin．（3）＝（6，2，﹣4），∴点A到平面EFG的距离d＝＝＝．【点评】本题考查平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：∵平面ADE⊥平面ABCD，且∠ADE＝，∴DE⊥平面ABCD，由四边形ABCD是边长为2的正方形，∴DA，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又EF⊥平面ADE且EF＝1，∴D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），F（0，1，2），（1），，则cos＜＞＝，∴异面直线AE和DF所成角的大小为arccos；（2），，设平面BDF的一个法向量为，由，取z＝1，得，又平面DFC的一个法向量为，∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣DF﹣C为锐角，∴二面角B﹣DF﹣C的平面角的大小为arccos．【点评】本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆C：（t＞0）的左、右焦点，∴a＝t，c＝t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为2﹣2，∴a﹣c＝t﹣t＝2﹣2，解得t＝2，∴椭圆的方程为；（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点N是椭圆C上位于x轴上方的点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴＝（2cosθ+2，2sinθ），＝（2cosθ﹣2，2sinθ），∵＝0，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ＝0，解得cosθ＝0，sinθ＝1，∴N（0，2），∴△F1NF2的面积S＝|F1F2|•y N＝×4×2＝4；（3）∵向量与向量平行，∴λ＝，∵，∴（|λ|﹣1）||＝，即|λ|＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）＝x2﹣2，y2＝λy1，∴x2＝λx1+2（λ+1）∵，∴x22+2y22＝8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12＝12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1＝8，∴4λ（λ+1）x1＝（1﹣3λ）（λ+1），∴x1＝＝，∴y12＝4﹣，则||2＝（x1+2）2+y12＝（﹣3+2）2+4﹣＝，∴||＝，∴（λ﹣1）•＝，∴3λ2﹣8λ﹣3＝0，解得λ＝3，或λ＝（舍去）．∴x1＝﹣3＝，y12＝4﹣＝，∴y1＝，则M（，），∴＝，∵向量与向量平行，∴F2N所在直线当斜率为﹣1，∴直线F2N的方程为y﹣0＝﹣（x﹣2），即为x+y﹣2＝0．【点评】题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且2ka b a b +-与互相垂直，则k ＝（） A.75B.1C.35D.15【答案】A 【解析】【详解】因为2ka b a b +-与互相垂直，所以()()71,,23,2,2033240,5k k k k k -⋅-=∴-+-==，选A. 2．过点P （0,1）与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A ．0x = B.1y = C.10x y -+= D ．10x y +-= 【答案】D【解析】试题分析：配方得22(1+4x y -=），依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心1,0（），由因为过点,1P （0）,故所求的直线方程为10x y +-=.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程. 3．下列四个结论中正确的是（）①若两个平面有无数多个公共点，则它们重合； ②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直； ④若a ，b 是异面直线，直线c ，d 与a ，b 都相交，则c ，d 也是异面直线； A.①② B.②③C.③D.③④【答案】C【解析】根据直线和平面的性质对四个结论依次分析即可。

【详解】①当这无数个公共点共线时，两个平面相交，结论错误。

②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1，AB 都与AA 1垂直，但AD 1与AB 不平行，结论错误。

③由异面直线所成角的定义知结论成立 ④反例如图，结论错误故选：C 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，对于不正确的命题，应该去找出反例。

属于基础题。

4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR , 由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外，所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为122⨯= C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.二、填空题5．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.【答案】12π【解析】由熔前熔后总体积不变，可得新的大铅球体积等于原来两个小铅球的体积之和。

上海市复旦大学附属中学高二下学期期中考试英语试卷(原卷版)

A.all in allB.after allC.above allD.in all
6.Be as careful of the books you read, as of the ________ you keep, for your habits and character will be as much influenced by the ________ as by the latter.
1. A. At 2:30 p.m. B. At 2:00 p.m. C. At 1:30 p.m. D. Not given.
2. A. In Beijing. B. In Shanghai. C. In Shenzhen. D. In Chengdu.
3. A. She would like to talk another time.
12. A. Businessmen prefer the term "in the red" to "in the black".
B. "Black Friday" means store owners begin to earn money.
C. The largest amount of sales is made on "Black Friday".
C. There being too many people in the stores discourages their shopping desire.
D. They are waiting for more competitive prices.
Questions 14 through 17 are based on the following passage.

2015-2016年上海市复旦附中高二(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是（锐角、直角或钝角）5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为cm．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是（设地球的半径为R）11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是1：8．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：8．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是c≤b≤a．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的距离，即两个平面内直线的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故答案为：c≤b≤a．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是锐角（锐角、直角或钝角）【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：在OA，OB上取点A，B，使得AB∥α，则射影长A′B′等于AB=c，设OA′=a，OB′=b，则a2+b2=c2，∴cos∠AOB=＞=0，∴∠AOB是锐角；故答案为：锐角．5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），则直线l：3z+3+2=0化为：3x+1=0．∵点﹣+3i在直线3x+1=0上，∴在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．故答案为：y=3．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是8．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：设m=a+bi，∵（4+3i）x2+（a+bi）x+4﹣3i=0，∴（4x2+ax+4）+（3x2+bx﹣3）i=0，∴，∴a=﹣，b=﹣，∴|m|==≥==8，当且仅当x2=1时“=”成立，故答案为：8．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=．在直角三角形POA中，．所以=．故答案为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为6cm．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O′，则∵∠ACB=60°，∴∠AO′B=120°；则在等腰三角形ABO′中，AO′==8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：6．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是πR（设地球的半径为R）【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：由题意A，B在大圆上．∵地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，∴纬度差为30°+180°﹣45°=165°=π，∵地球半径为R，∴A、B两地的球面距离是πR．故答案为：πR．11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），∴平面ABC为：=1，∴1=（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2≥．又M是底面ABC内一点，∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．故答案为：．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则co sθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=cosγ．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2﹣2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ==．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴．∴f（γ）=cosγ．故答案为：cosγ．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD和A1D1，此时两直线所成的角为90°．．②若两异面直线为CD和AB1，此时两直线所成的角为45°．③若两异面直线为AC和DC1，此时两直线所成的角为60°．所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°．故选：A．14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；在②中，∵z=a+bi，=a﹣bi，∴‖z‖=‖‖=|a|+|b|，故②成立；在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，‖z1‖=‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；④对任何复数z1，z2，z3，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，则‖z1﹣z3‖=|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．故选：C．15．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【解答】解：设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1﹣x，|AD|2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+故S ABCD=|AD|2∈[，1]V=S ABCD•h•2=S ABCD∈[，]．∴该八面体的体积可能值有无数个，故选：D．三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．【考点】A1：虚数单位i、复数；A8：复数的模．【解答】解：设z=x+yi （x、y∈R），则原方程变成（2分）⇔⇔或（4分）⇔或∴原方程的解为，±1，±3．（6分）18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE=B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB=BC=5，∴AC=5，∴sin∠CAD==．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD=AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD==4，∴AD==．∴BM==．即B到平面ACD的距离为．（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V=﹣=15π．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．【考点】L2：棱柱的结构特征；LW：直线与平面垂直．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．【考点】L2：棱柱的结构特征；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在等边三角形BCD中，∵BC=CD=BD=1，∴DE=，在等腰三角形ABC中，∵AB=AC=，BC=1，∴AE=．在△AED中，由余弦定理得cos∠AED=；（2）当两条长为a的棱相交时，不妨设AB=AC=a，AD=BD=CD=BC=1，∵面ABC与平面BCD重合且A，D在BC异侧时，AE=，此时AB=AC=，面ABC与平面BCD重合且A，D在BC同侧时，AE=1+，此时AB=AC=．∴；当两条长为a的棱互为对棱时，不妨设BC=AD=a，AB=AC=BD=CD=1，BC，AD可以无限趋近于0，当ABCD为平面四边形时a=，∴0．综上，若四面体存在，则0＜a．。

2018-2019学年上海大学附属中学高二下学期期中考试化学试题(答案+解析)

上海大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试一、选择题(本题共40分，每小题2分，每题只有一个正确选项)1.下列微粒的表示方法能确定氟离子的是（）A. X-B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：氟元素的原子序数为9，故氟离子核内有9个质子，核外有10个电子，选C。

考点：考查化学用语2.硒是人体必需的微量元素，图是硒在周期表中的信息，关于硒元素的说法错误的是（）A. 位于第四周期B. 质量数为34C. 原子最外层有6个电子D. 相对原子质量为78.96【答案】B【详解】A、根据元素周期表中的信息可知，Se的价电子排布式为4s24p4，Se位于第四周期ⅥA族，选项A正确；B、根据元素周期表中的信息可知，Se的原子序数为34，根据原子序数=核电荷数=质子数=核外电子数，则该元素原子的原子核内质子数和核外电子数为34，而不是质量数为34，选项B错误；C、根据元素周期表中的信息可知，Se的价电子排布式为4s24p4，则Se原子最外层有6个电子，选项C正确；D、根据元素周期表中的信息可知，汉字下面的数字表示相对原子质量，该元素的相对原子质量为78.96，选项D正确；答案选B。

3.磷原子核外3p亚层中的电子，不相同的是（）A. 电子云伸展方向B. 电子云形状C. 能量D. 自旋方向【答案】A【详解】A.磷原子核外3p亚层中的电子电子云伸展方向在三维坐标中沿着x、y、z伸展，所以电子云伸展方向不同，故A正确；B.p轨道电子云形状都为哑铃型，即磷原子核外3p亚层的电子云形状相同，故B错误；C.磷原子核外3p亚层中的3个电子分别位于伸展方向不同的3个3p轨道上，自选方向相同，能量相同，故C错误；D.P的最外层电子排布图为3s23p3，3p亚层有三个轨道，则3p亚层中的电子自旋方向相同，故D错误；答案：A【点睛】本题结题关键掌握P原子核外电子排布为：1s22s22p63s23p3，3p x1、3p y1、3p z1上的电子能量相同，电子云形状相同，电子自旋方向相同，能量相同，电子云伸展方向不同。

复旦附中数学高二下期中经典测试(培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13603]已知a ，b ，c 为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=（3，-1），=（cosA ，sinA ），若⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B=（） A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 3．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-5．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（）A ．3B ．32C ．33D 36．(0分)[ID ：13621]已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．797．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-8．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．219．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（）A B ．C ．D ．12±10．(0分)[ID ：13572]将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点02P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则ϕ的值可以是（）A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 11．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（） A ．2B ．1C ．25D ．512．(0分)[ID ：13566]设a b c 、、是单位向量，且·0a b ＝，则()()a cbc -⋅-的最小值为A ．2-B 2C ．1-D ．113．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．514．(0分)[ID ：13544]()y f x =的解析式可能是（）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-15．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.17．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________20．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.21．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________22．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .23．(0分)[ID ：13678]菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________． 24．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．25．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13816]已知α，β为锐角，1tan 7α=，10sin β=，求2αβ+ 27．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．28．(0分)[ID ：13799]在平面直角坐标系内，已知点()()()2,4,4,1,1,5A B C --. （1）求线段AB 的中垂线方程：（最后的结果写成0ax by c的形式）（2）若点D 在直线AB 上，且34ACD ABC S S =△△，求直线CD 的方程.（最后的结果写成0ax by c 的形式）29．(0分)[ID ：13734]已知向量(2cos ,1),(sin cos ,2)m x n x x ωωω=-=-，函数()3f x m n =⋅+的周期为π.（1）求正数ω；（2）若函数()f x 的图象向左平移8π倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.30．(0分)[ID ：13800]已知2,1a b ==，且向量a 、b 不平行，且()27,c ta b d a tb t R =+=+∈.（1）若2e =，且0a b e ++=，求向量a 在b 方向上的投影；（2）若3a b -=，且向量c 与d 夹角为钝角，求t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．A 7．A8．A9．A10．B11．D12．D13．B14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算17．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量21．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确23．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N点在点C处在上的投影最大所以的最大值为：24．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】试题分析：∵=（3,-1），=（cosA,sinA ），m n ⊥，∴3cos sin 0A A -=，∴tan 3A =，∴3A π=，∵cos cos sin a B b A c C +=，∴sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴6B AC ππ=--=．考点：向量垂直的充要条件、正弦定理、特殊角的三角函数值．3．C解析：C 【解析】【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案．【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-，所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-，即sin cos sin cos 1A B B A +=，则()sin 1A B +=，故sin 1C =，所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形．故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．4．A解析：A 【解析】试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．6．A解析：A 【解析】【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.7．A解析：A 【解析】【分析】【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ． 8．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．9．A解析：A 【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<，∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>， ∴237sin cos (sin cos )12sin cos 128αααααα+=+=+=+⨯=故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．10．B解析：B 【解析】试题分析：依题意，因为()f x 、()g x 的图象都经过点3P ⎛ ⎝⎭，所以()3sin {3sin 22θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56πϕ=，选B ．考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过30,2P ⎛ ⎝⎭，将0x =代入两个函数可得()3sin 2{3sin 2θθϕ=-=22ππθ-<<，得3πθ=和223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，解出k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．11．D解析：D 【解析】【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值. 【详解】,,a b c 是单位向量()()a cbc ∴-⋅- 2·()b a a c c b =-+⋅+()01a b c =-+⋅+ 12cos ,a b c =+12≥故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.13．B解析：B 【解析】【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值．【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ）即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤，即T 26ππω=≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤， ∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.14．A解析：A 【解析】【分析】代入特殊值法，分别代入304x x π==或，排除各个选项，即可．【详解】由()01f =可排除B 、D ，由334f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可排除C ，故选A. 【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等．15．A解析：A 【解析】【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 244πππ⎛⎫=-==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=，又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.17．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应解析：2:3【解析】【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比．【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3．【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】【分析】【详解】函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭，∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=，即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APCS AP AC sin θ=⋅， 12ABCSBC AC sin θ=⋅，所以1.3APCABCSS =20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量解析：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】可求出()12a b λλλ+=++，，根据a 与a b λ+的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可．【详解】：()12a b λλλ+=++，； ∵a 与a b λ+的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．21．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四解析：6π【解析】【分析】根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出,a b 的位置关系，由此求得a 与a b +的夹角大小.【详解】由于||||||a b a b ==-，根据向量模和减法的几何意义可知，以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，如图所示，且ABC ∆为等边三角形，故π3ABC ∠=，根据a b +加法的平行四边形法则可知a 与a b +的夹角大小为π6.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】【分析】【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.23．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N 点在点C 处在上的投影最大所以的最大值为：解析：9 【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知，当AN 在AM 上的投影最大时，AM AN 最大. 从图可以看出，当N 点在点C 处，AN 在AM 上的投影最大，所以AM AN 的最大值为：1·()?()92AM AC AD AB AB AD =++=. 24．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题解析：2136AB AC - 【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算，将DP 用AB ，AC 表示出来. 【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定解析：4【解析】【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果．【详解】设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+22311cos 60101cos15002x x x ︒︒=⨯⨯++++⨯⨯++232x x =+ 221211616x ⎛=+≥ ⎝⎭，此时DE x ==【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题 26．4π 【解析】【分析】由题意首先求得tan 2β的值，然后结合两角和差正切公式求得()tan 2αβ+的值，最后结合角的范围和特殊角的三角函数值可得2αβ+的值. 【详解】因为β为锐角,sin 10β=,所以cos 10β=,则1tan 3β=，22122tan 33tan 21tan 4113βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于β为锐角，且tan 20β>，故2β为锐角， ()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ+++===--⨯. 由,2αβ为锐角,得到()20,αβπ+∈,所以24παβ+=.【点睛】本题主要考查二倍角公式，两角和差正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．28．（1）4210x y +-= （2）136430x y -+=或6310x y -+= 【解析】【分析】（1）求出AB 的中点和斜率后可求AB 的中垂线方程. （2）利用34AD AB =求出D 的坐标后可求直线CD 的方程. 【详解】（1）AB 的中点为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，斜率为411242-=+，故AB 中垂线的斜率为2- 所以中垂线的方程为()5212y x -=-+即4210x y +-=. （2）因为34ACD ABC S S =△△，所以34AD AB =. 若34AD AB =，则()()32,46,34D D x y --=，故132254D D x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2551413612CDk -==+，故直线()1:516CD y x -=+即6310x y -+=.若34AD AB =-，则()()32,46,34D D x y --=-，故5274D D x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故751345612CD k -==-+，故直线()13:516CD y x -=+即136430x y -+=. 故直线CD 的方程为：136430x y -+=或6310x y -+=.【点睛】本题考查直线方程的求法，一般地，直线有斜率（或倾斜角）、所过之点、截距等，我们只要两个几何要素就可以求直线方程，本题属于基础题.29．(1) 1ω= (2) [,]44k k k Z ππππ-+∈ 【解析】【分析】（1）根据向量的数量积的运算，可得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解；(2)由（1），根据三角函数的图象变换，求得()g x 的解析式，再根据三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】(1)由题意，函数()3(2cos ,1)(sin cos ,2)3f x m n x x x ωωω=⋅+=--+ =22cos (sin cos )12sin cos 2cos 1x x x x x x ωωωωωω-+=-+sin 2cos2x x ωω=-)4x πω-，因为T π=，且0>ω，所以1ω=.(2)由（1）知：函数())4f x x πω=-，sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律可得())]2sin 284g x x x ππ=+-=，由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()g x 的单调增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.30．（1）12-；（2）17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据2e =可求a b ⋅的值 ,从而可求向量a 在b 方向上的投影. （2）先求出a b ⋅的值，再根据0c d ⋅<且它们不共线可求t 的取值范围. 【详解】（1）因为0a b e ++=，故e a b =--，因为2e =，故22242e a a b b ==+⋅+，所以12a b ⋅=-，故向量a 在b 方向上的投影为11212a b b-=-⋅=.（2）因为3a b -=，故2232a a b b =-⋅+即1a b ⋅=，因为向量c 与d 夹角为钝角，故0c d ⋅<即()()270ta b a tb +⋅+<，整理得到221570t t ++<，解得172t -<<-. 若,c d 共线反向，则存在0s <，使得csd =，故27ta b sa stb +=+，因,ab 不共线，故270t s st s =⎧⎪=⎨⎪<⎩，解得s =.综上，t 的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积及其几何意义，注意两个向量的夹角为钝角时，则它们的数量积为负且不共线反向，本题为易错题且为中档题.。

2017-2018学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 在(√2x +√33)2018的展开式中，系数为有理数的系数为( )A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项【答案】A【解析】解：根据题意，(√2x +√33)2018的展开式的通项为T r+1=C 2018r (√2x)2018−r (√33)r =C 2018r ×22018−r 2⋅3r3×x 2018−r ；其系数为C 2018r C 2018r ×22018−r 2⋅3r3，若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2……、336) 共有336项，故选：A ．根据题意，求出(√2x +√33)2018的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可得若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2、……、336)，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．2. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是( ) A. 4+√2B. 9+√32C. 3+√32D. 3+√2【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：3+3×12×1×1+√34×(√2)2=9+√32．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．3. 定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有( ) A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个【答案】C【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m =4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1.共14个．故选：C ．由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m =4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．4. 已知椭圆方程为x 24+y225=1，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1，满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则( )A. V 2=V 1B. V 2=32V 1C. V 2=54V 1D. V 2，V 1无明确大小关系【答案】C【解析】解：在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V 1=43π×2×2×5=80π3；满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城阴影部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积V 2=π×22×10−13×π×22×5=100π3．∴V 2=54V 1．故选：C ．由题意画出图形，分别求出椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1与满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x 的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则答案可求．本题主要考查旋转体的体积的大小比较，考察学生的计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）5. 已知a ，b ∈{0,1，2，3}，则不同的复数z =a +bi 的个数是______．【答案】16【解析】解：当a=b时，复数z=a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z=a+bi的个数是A42=12个.∴不同的复数z=a+bi的个数是16个．故答案为：16．分a=b和a≠b结合排列数公式求解．本题考查排列及排列数公式，是基础题．6.一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为√2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．【答案】4√2【解析】解：该多边形的直观图是一个边长为√2的正方形，正方形的面积为S正方形=(√2)2=2，∴原多边形的面积是2×2√2=4√2．故答案为：4√2．根据斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比是2√2：1，计算即可．本题考查了斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比应用问题，是基础题．7.已知(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=______．【答案】32018【解析】解：根据题意，(1−2x)2018中，其展开式的通项为T r+1=C2018r(−2x)r，又由(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018，则a1、a3、……a2017为负值，则在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，又由a1、a3、……a2017为负值，则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018=32018，故答案为：32018．根据题意，由二项式定理分析可得(1−2x)2018的展开式的通项，分析可得a1、a3、……a2017为负值，在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．8.已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．【答案】2√3V3π【解析】解：设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是V=43πR3，∴R=33V4π；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即3a2=4R2，∴a=√43R；∴正方体的体积为V正方体=(√43R)3=3√3×3V4π=2√3V3π．故答案为：2√3V3π．设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，根据题意知球内接正方体的体对角线是球的直径，得出a与R的关系，再计算正方体的体积．本题考查了球与其内接正方体的关系应用问题，是基础题．9.点A(1,2，1)，B(3,3，2)，C(λ+1,4，3)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．【答案】(−2,4)∪(4,+∞)【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,2，2)，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ+2+2>0，且不能同向共线．解得λ>−2，λ≠4．则λ的取值范围为(−2,4)∪(4,+∞)．故答案为：(−2,4)∪(4,+∞)．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且不能同向共线.解出即可得出．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______．【答案】1+2π2π【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π(A2π)2则圆柱的全面积与侧面积的比S全面积S侧面积=(1+2π2π)A2A2=1+2π2π故答案：1+2π2π由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．11.正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．【答案】√3+3【解析】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则△EFG是三棱锥A−BCD的中截面，可得平面EFG//平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF=FG=GE=1，∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S△EFG=12EF⋅FG⋅sin60∘=√34；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EI−//12AC，GH−//12AC，得EI−//GH，∴四边形EGHI为平行四边形；又∵AC =BD 且AC ⊥BD ，EI−//12AC ，HI−//12BD ，∴EI =HI 且EI ⊥HI ，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为12AB =1，由此可得正方形EGHI 的面积S EGHI =1；∵BC 的中点I 在平面EGHI 内，∴B 、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等； ∴A 、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S △EFG +3S EGHI =4×√34+3×1=√3+3．故答案为：√3+3．根据题意知到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；作出示意图，求出所有满足条件的截面面积之和即可．本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．12. 从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．【答案】98【解析】解：根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，必有d ∈N ∗．则a 5=a 1+4d ，则d =a 5−a 14≤30−14=294，则d 的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d ，a 1=a 5−4d ≤30−4d ，当a 1分别取1，2，3，…，30−4d 时，可得递增等差数列30−4d 个(如：d =1时，a 1≤26，当a 1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理)．当d 取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：12×(2+26)×7=98个；故答案为：98．根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，d ∈N ∗.确定d 的可能取值为1，2，3，…，7，进而分析可得答案．本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的性质，关键是确定d 的取值范围，属于偏难题．13. 在正三棱锥P −ABC 中，PA =2，AB =1，记二面角P −AB −C ，A −PC −B 的平面角依次为α，β，则3sin 2α−2cosβ=______．【答案】2【解析】解：如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD ．则D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，∴AB ⊥PD ． ∴二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α． ∵PD =√22−(12)2=√152，CD =√32，OD =13CD =√36， ∴OP =√PD 2−OD 2=√333． ∴sinα=OP PD =23√115．作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ， ∵△PAC≌△PBC ， ∴BE ⊥PC ．∴∠AEB 为A −PC −B 的平面角β， ∵cos∠PCA =12+22−222×1×2=14．∴AE =AC ⋅sin∠PCA =1×√1−(14)2=√154．在△AEB 中，cosβ=AE 2+BE 2−AB 22×AE×BE =715．∴3sin 2α−2cosβ=3×(23√115)2−2×715=2．故答案为：2．如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD.可得D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ⊥PD.于是二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α.作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ，根据△PAC≌△PBC ，可得BE ⊥PC.可得∠AEB 为A −PC −B 的平面角β，利用余弦定理等即可得出．本题考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理勾股定理、二面角、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线PA =4，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为PA 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O −PCD 的体积最大时，OB =______．【答案】2√63【解析】解：AB ⊥OB ，可得PB ⊥AB ，即AB ⊥面POB ，所以面PAB ⊥面POB ． OD ⊥PB ，则OD ⊥面PAB ，OD ⊥DC ，OD ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，所以PC ⊥面OCD.即PC 是三棱锥P −OCD 的高.PC =OC =2．而△OCD 的面积在OD =DC =√2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OD =√2时，由PO =2√2，知∠OPB =30∘，OB =POtan30∘=2√63．故答案为：2√63．画出图形，说明PC 是三棱锥P −OCH 的高，△OCH 的面积在OD =DC =√2时取得最大值，求出OB 即可．本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．15. 已数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值(k =1,2，…，n)，则称数列{b n }为“控制数列”，数列{b n }中不同数的个数称为“控制数列”{b n }的“阶数”.例如：{a n }为1，3，5，4，2，则“控制数列”{b n }为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列{a n }由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”{b n }的“阶数”为2的所有数列{a n }的首项和是______．【答案】1044【解析】解：依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有A44=24种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有A44+A33=30种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有A44+2A33+2A22=40种，首项为4的数列有24+18+12+6=60种，即4，6，a，b，c，d，有A44=24种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有3A33=18种，4，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3})，则有A32A22=12种，4，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3})，则有6种，首项为5的数列有24×5=120种，即5，6，a，b，c，d，有A44=24种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有4A33=24种，5，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3，4})，则有A42A22=24种，5，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3，4})，则有24种，5，a，b，c，d，6，(其中a，b，c，d∈{1,2，3，4})，则有24种，综上，所有首项的和为24×1+30×2+40×3+60×4+120×5=1044．故答案为：1044由新定义，分别利用排列组合，求出首项为1，2，3，4，5的所有数列，再求出和即可．本题考查了排列组合问题，考查了新定义问题，考查了运算能力和转化能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）16.已知(ax −√x2)9的展开式中，x3的系数为94，则常数a的值为______．【答案】4【解析】解：(ax −√x2)9的展开式中，通项公式为Tr+1=C9r⋅(√2)−r⋅(−1)r⋅a9−r⋅x3r2−9，令3r2−9=3，求得r=8，故x3的系数为C98⋅116a=94，∴a=4，故答案为：4．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0=3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数，再由x3的系数为94，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.已知空间向量a⃗与b⃗ 的夹角为arccos√66，且|a⃗|=√2，|b⃗ |=√3，令m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+2b⃗ ．(1)求a⃗，b⃗ 为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ．【答案】解：(1)根据条件，cos<a⃗,b⃗ >=√66；∴sin<a⃗,b⃗ >=√306；∴S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >=√2×√3×√306=√5；(2)m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=2+√2×√3×√66−2×3=−3；|m⃗⃗⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√2−2+3=√3，|n⃗|=√(a⃗+2b⃗ )2=√2+4+12=3√2；∴cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√3×3√2=−√66；∴m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ=arccos(−√66)．【解析】(1)根据向量a⃗,b⃗ 的夹角为arccos√66即可求出sin<a⃗,b⃗ >=√306，从而根据S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >即可求出面积S；(2)根据条件即可求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，|m⃗⃗⃗ |和|n⃗|的值，根据向量夹角的余弦公式，即可求出cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>，进而得出θ．考查向量夹角的概念，sin2α=1−cos2α，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式．18.有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？(1)3名女生排在一起；(2)3名女生次序一定，但不一定相邻；(3)3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；(4)每两名女生之间至少有两名男生；(5)3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．【答案】解：(1)根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33=6种情况，②，将这个整体与5名男生全排列，有A66=720种情况，则3名女生排在一起的排法有6×720=4320种；(2)根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，由于3名女生次序一定，则有A88A33=6720种排法；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A55=120种情况，②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43=24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24=2880种；(4)根据题意，将3名女生排成一排，有A33=6种情况，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×C52×A22×A33×A22=1440种排法；②，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有6×C52C32C11A22×A22×A22×A22×A21=1440种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有1440+1440=2880种；(5)根据题意，分2种情况分析：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22=2种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66=720种情况，则此时有2×720=1440种排法；②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55=720种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有720×A62×A22=4320种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+4320=5760种排法．【解析】(1)根据题意，用捆绑法分2步分析：①，3名女生看成一个整体，②，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，②，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；(4)根据题意，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，②，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；(5)根据题意，分2种情况讨论：①，A 、B 、C 三人相邻，则B 在中间，A 、C 在两边，②，A 、B 、C 三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法，属于中档题．19. 在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系． (1)求平面EFG 的一个法向量n ⃗ ；(2)求直线AG 与平面EFG 所成角θ的大小； (3)求点A 到平面EFG 的距离d ．【答案】解：(1)∵在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F 是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,−6,0)，P(0,0，6)，E(0,−2,4)，A(6,0，0)，F(3,0，3)，B(0,6，0)，C(−6,0，0)，G(−2,2，2)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，取y =1，得：平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(0,1，2)． (2)AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)，则sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√72=√1010， ∴直线AG 与平面EFG 所成角θ=arcsin √1010．(3)EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)， ∴点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5=6√55．【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，能求出平面EFG 的一个法向量n⃗ ． (2)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)，由sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|，能求出直线AG 与平面EFG 所成角θ． (3)求出EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)，由点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，能求出结果．本题考查平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形且∠ADE =π2，EF ⊥平面ADE 且EF =1． (1)求异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)求二面角B −DF −C 的平面角的大小．【答案】解：∵平面ADE ⊥平面ABCD ，且∠ADE =π2，∴DE ⊥平面ABCD ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又EF ⊥平面ADE 且EF =1，∴D(0,0，0)，A(2,0，0)，E(0,0，2)，C(0,2，0)，B(2,2，0)，F(0,1，2)， (1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)，则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×3=2√23， ∴异面直线AE 和DF 所成角的大小为arccos2√23； (2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，设平面BDF 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n⃗ =(2,−2,1)，又平面DFC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=23×1=23．由图可知，二面角B −DF −C 为锐角， ∴二面角B −DF −C 的平面角的大小为arccos 23．【解析】由已知可得DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．(1)求出AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)分别求出平面BDF 与平面DFC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −DF −C 的平面角的大小．本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21. 设点F 1，F 2分别是椭园C ：x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到F 2的距离的最小值为2√2−2，点M ，N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行．(1)求椭圆C 的方程； (2)当F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，求△F 1NF 2的面积；(3)当|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23时，求直线F 2N 的方程．【答案】解：(1)点F 1、F 2分别是椭圆C ：x 22t +y 2t =1(t >0)的左、右焦点， ∴a =√2t ，c =t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴a −c =√2t −t =2√2−2，解得t =2， ∴椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)由(1)可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的点，可设N(2√2cosθ,2sinθ)， ∴F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ+2,2sinθ)，F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ−2,2sinθ)， ∵F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N(0,2)，∴△F 1NF 2的面积S =12|F 1F 2|⋅y N =12×4×2=4； (3)∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23， ∴(|λ|−1)|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23，即|λ|>1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，∴λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1，∴x 2=λx 1+2(λ+1)∵x 228+y 224=1，∴x 22+2y 22=8， ∴[λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8， ∴4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴x 1=1−3λλ=1λ−3，∴y 12=4−(1−3λ)22λ2，则|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ2=(λ+1)22λ2， ∴|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ， ∴(λ−1)√2λ=4√23， ∴3λ2−8λ−3=0，解得λ=3，或λ=−13(舍去)．∴x 1=1λ−3=−83，y 12=4−(−8)22×9=49，∴y 1=23，则M(−83,23)，∴k F 1M =23−0−83−(−2)=−1，∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴F 2N 所在直线当斜率为−1， ∴直线F 2N 的方程为y −0=−(x −2)，即为x +y −2=0．【解析】(1)根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，求解t ，即可得到椭圆C 的方程；(2)可设N(2√2cosθ,2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，由三角形面积公式可得△F 1NF 2的面积；(3)向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，不妨设λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线F 1M 的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线F 2N 的方程．题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．。

复旦附中18高二第二学期单元检测 (复数与圆锥曲线)

高二第二学期单元检测（复数与圆锥曲线） 2017.2.16班级________ 姓名________卷一（复数）一、填空题（每小题3分，满分24分）1．复数11i+的共轭复数为________． 2．设()()()26443312i i z i --=-，则z =________． 3．计算：()()()()221243124322i i i i i i -++-+=+-________．4．己知复数112z i =-，234z i =+，若复数z 满足条件()211z z z +=，则z =________． 5．虚数z 满足3z =，且z a a z +是实数，则实数a =________ 6．若1z =，则24z zi -的最大值与最小值的乘积为________．7．已知复数z 满足()()2116i z ++=-，若)z ai aR +，则实数a 的取值范围是________。

8．若()1022n n i i n N ÷ç÷++=?ç÷ç÷ç桫，则n 的值为________．二、选择题（（每小题3分，满分18分）9．设复数()()()2225322z t t t t i t R =+-+++?，则下列结论正确的是（）A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实下方D ．复数z 一定不是实数 10．设a R Î，复数1z a i =+，21z ai =-，且复数212w z z =?的虚部为2-,则w 等于（）A ．4B ．8 C． D11．己知复数z 满足()()114zz i z i z +-++=，则复数z 在复平面上所对应的点的轨迹是（）A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆三、解答题（满分18分）12．（本题满分8分）本题共有2小题，第1小题4分，第2小题4分。

2017-2018学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中考数学试卷含详解

复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．11.已知()()111...1n z i n Z +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.414.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a = B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D 的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足7αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________【答案】16-【分析】先对根据复数的运算法则，得到11616=-z i ，即可得出其虚部.【详解】()()()()42521(2)131616121+=====--+---i i z i因此其虚部为16-.故答案为16-【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的概念，熟记复数运算法则，以及复数的概念即可，属于基础题型.3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________【答案】【分析】先设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，根据题意得到226-+++=bi bi ，根据复数的计算公式，即可求出结果.【详解】设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，由226z z -++=得226-+++=bi bi ，6=，即3=，解得b =.所以=z ；故答案为【点睛】本题主要考查由复数的模求复数，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________【答案】2【分析】连结11B D 交11A C 于点O ，根据线面垂直的判定定理，证明11B D ⊥平面11AA C C ；再根据题中数据，即可求出结果.【详解】连结11B D 交11A C 于点O ，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，1111B D A C ⊥；又侧棱1AA ⊥底面1111D C B A ，所以111⊥B D AA ；因为1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ；因为正方体的棱长为1，所以11=B D ，因此点1B 到平面11AA C C 的距离是111122==B O B D .故答案为22【点睛】本题主要考查求点到平面距离，熟记线面垂直的判定定理，以及正方体的结构特征即可，属于常考题型.5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.【答案】3【分析】根据线面垂直，面面垂直的判定定理，直接判断，即可得出结果.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，SA ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAB ，所以平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面ABC ；又三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，即⊥CB CA ，又SA ⊥平面ABC ，所以⊥SA CB ；因为SA AC A ⋂=，所以CB ⊥平面SAC ；又CB ⊂平面SBC ，所以平面SAC ⊥平面SCB ；综上，共3对互相垂直的平面.故答案为3【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，熟记线面垂直，面面垂直的判定定理即可，属于常考题型.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）【答案】10arccos5【分析】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，根据题意得到11//C F B E ，所以1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，结合余弦定理求解，即可得出结果.【详解】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，因为正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱AB 的中点，所以EF 与11B C 平行且相等，即四边形11EFB C 为平行四边形，所以11//C F B E ，因此1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，则2211415C F CC CF =+=+=，22114422C B CC CB =+=+=，22415BF CB CF =+=+=，所以158510cos 52522FC B +-Ð==×，所以110arccos5FC B Ð=.即异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为10arccos5.故答案为10arccos5【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，结合余弦定理求解即可，属于常考题型.7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________【答案】3π±【分析】先设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，根据复数相等的充要条件，得到1322αi =，根据arg α表示复数αa bi =+的辐角，结合辐角的概念，即可求出结果【详解】设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，则()210+--+=a bi a bi ，整理得：()()22120-++--=a b a ab b i ，所以221020a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1322αi =因为arg α表示复数αa bi =+的辐角，记为θ，因此tan θ==ba又复数的辐角是复数所对应的向量与x 轴正方向的夹角，因此3πθ=±.故答案为3π±【点睛】本题主要考查求复数的辐角，以及解复数系下的方程，熟记复数相等的充分条件，以及复数辐角的概念即可，属于常考题型.8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.【答案】无数【分析】明确异面直线的定义，夹角及距离，即可作图分析出结果.【详解】作出平面α，β，其中//αβ，不妨令a α⊂，b β⊂，且直线a 与直线b 满足题中条件；则平面β内任一条与b 平行的直线，都能满足题意.因此这样的直线b 有无数条.故答案为无数【点睛】本题主要考查异面直线，熟记异面直线的定义即可，属于常考题型.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）【答案】1arccos3【分析】先取AC 中点为O ，连结,OB OD ，根据题意得到OB AC ⊥，OD AC ⊥，推出BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，再由题中数据，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】取AC 中点为O ，连结,OB OD ，因为AB BC AD CD ===，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥，因此BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，又1AB AC AD BC BD CD ======，所以213122⎛⎫==-= ⎪⎝⎭BO OD ，因此222331144cos 32324--+-∠===⋅⨯OB OD BD BOD OB OD .所以1arccos 3∠=BOD ，即二面角B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为1arccos3【点睛】本题主要考查求二面角的大小，根据题意作出二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，属于常考题型.10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．【答案】2-【详解】试卷分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以11.已知()()111...123n z i n Z n +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____【答案】1【分析】先由题意得到()20172018112017201...11823⎛⎛⎛=++++- ⎪ ⎝⎝-⎝⎝z z i ，根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】由题意，()2017111...1⎛⎛⎛=++++ ⎝⎝⎝z i ，()2018111...1⎛⎛⎛=++++⎝⎝⎝z i ，所以()20172018111...1⎛⎛⎛=++++- ⎝⎝-⎝⎝z z i ，因此20172018111...1z z i -=+⋅++⋅+-...1==故答案为1【点睛】本题主要考查复数模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________【答案】【分析】先由题意，得到1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，根据题意，得到直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；进而可求出结果.【详解】由题意可得：1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，则121=Z Z k ，121=-Z Z k ，所以1234⊥Z Z Z Z ；又12Z Z ，34Z Z 都在复平面内，过直线12Z Z 所作的平面α与复平面所成的锐角为30︒，所以直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；因此线段34Z Z 在平面α内的射影长为343cos302== Z Z .故答案为【点睛】本题主要考查线段在平面内的投影，以及复数的几何意义，熟记复数的几何意义，以及线面角的概念即可，属于常考题型.二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据异面直线的概念与性质，以直线与平面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】①任意两条异面直线的公垂线有且仅有一条；故①错；②当直线与平面垂直时，直线在平面内的射影是点，故②错；③当两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线可能平行，或异面；故③错；④过两条异面直线的一条如果有两个平面与已知直线平行，则第一条直线即是这两个平面的交线，且第二条直线与两平面都平行，则第二条直线平行与两平面的交线，即两直线平行，与两直线异面矛盾，所以过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；故④正确；故选A【点睛】本题主要考查直线与直线，以及直线与平面位置关系的判定，熟记直线与直线，以及直线与平面的位置关系即可，属于常考题型.14.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a =B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠【答案】D【分析】先由题意，根据复数的运算得到()222211211-+-+=+++z a b bi z a b ，再由11z z -+为纯虚数，得到221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，进而可得出结果.【详解】因为(),z a bia b R =+∈，所以()()()()11111111a bi a bi z a bi z a bi a bi a bi -++---+==++++++-()2222121+-+=++a b bia b，又11z z -+为纯虚数，所以221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，即1z =且0b ≠.故选D【点睛】本题主要考查复数是纯虚数的充要条件，熟记复数的运算法则，以及复数的类型即可，属于常考题型.15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③【答案】B【分析】先作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域，根据图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域如下：由图知，区域D 为直线1x y +=与24x y -=相交的上部角型区域；显然区域D 所有的部分都在直线22+=-x y 的上方，有一部分在22x y +=的上方；显然①②正确；区域D 有一部分在23x y +=的下方，故③错误；区域D 所有的部分都在直线21x y +=-的上方，所以21+≥-x y ；故④错误；综上①②正确.故选B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及不等式所表示的平面区域，熟记二元一次不等式所表示的平面区域即可求解，属于常考题型.16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确【答案】B【详解】命题（1）是正确的.222a b c +>表明22a b +与2c 都是实数，因此，根据移项法则有2220a b c +->.命题（2）是错误的.2220a b c +->仅表明222a b c +-是实数，并不能保证22a b +与2c 都是实数，故222a b c +>不一定成立.例如，取2a i =+，b i =，c =，则有()()222341420a b c i i +-=++--=>，但并没有222244a b i i c +=+>=.三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．【答案】（1）证明见详解；（2）3arctan4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，证明1A O ⊥平面11AB C D ，得到11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：11//BB DD 且11BB DD =，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11ABC D 也是平行四边形；因此11//BD B D ，11//AD BC ；又BD ⊂平面1C BD ，11B D ⊄平面1C BD ；1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ；所以11//B D 平面1C BD ；1//AD 平面1C BD ；又11B D ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，1111AD B D D ⋂=，所以平面11//AB D 平面1BDC ；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：AD ⊥平面11B BAA ，所以1⊥AD A O ，又1AB ⊂平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，所以1A O ⊥平面11AB C D ，因此，11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角；又在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =，因此111113tan 4∠==A A A B A A B ，所以113arctan4∠=A B A ；即11A B 与平面11AB C D 所成的角为3arctan4.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．【答案】（1或；（2）()0,4.【分析】先设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）根据题意，得到222()42+-+=+a b i a bi i ，根据复数相等的充要条件，列出方程组222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意得到222()4+-+=+a b i a bi ti ，根据复数相等的充要条件，得到22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，再由复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，得到00b a >⎧⎨<⎩，推出2200b b a ⎧+>⎨<⎩，从而可得出结果.【详解】设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）当2t =时，224z iz ti -=+可化为：222()42+-+=+a b i a bi i ；整理得：()222242++-=+a b b ai i ，所以222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=-⎩，因此==z；（2）由224z iz ti -=+，可得：222()4+-+=+a b i a bi ti ，整理得：()22224++-=+a b b ai ti ，所以22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，解得：222442t b b ta ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，所以00b a >⎧⎨<⎩，因此2200b b a ⎧+>⎨<⎩，即240402t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得：04t <<；即实数t 的取值范围为()0,4.【点睛】本题主要考查求复数的模，以及已知复数对应点的位置求参数，熟记复数模的计算公式，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）13；（2）arccos 5；（3）2.【分析】（1）对三棱锥11A D EF -换底，换成以F 为顶点，11A D E 为底的三棱锥，求出底面11A D E 的面积和对应的高，得到所求的体积.（2）找到异面直线1A E 与AB 所成的角，在11EA B 内由余弦定理求出.（3）取11A D 中点M ，连接MF ，通过证明MF ⊥平面1111D C B A ，找到FEM ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，求解即可.【详解】（1）11111113A D EF F A D E A D E V V S h --==⋅⋅=111211323⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（2）11A B AB ，11EA B ∴∠或其补角即为异面直线1A E 与AB 所成角，在11EA B，11A E EB ==，112A B =，222111111111cos 25A E AB EB EA B A E A B +-∴∠==⋅，∴异面直线1A E 与AB 所成角为5arccos 5（3）取11A D 中点M ，连接MF ，1MF A A 且1A A ⊥平面1111D C B A ，MF ∴⊥平面1111D C B A ，FEM ∴∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，1112MF AA ==,ME=tan 2MF FEM ME ∠===，EF ∴与底面1111D C B A所成的角的大小为arctan2.【点睛】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，熟记棱锥的体积公式，异面直线所成的角，以及线面角的求法即可，属于中档题.20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．【答案】（1）3m =-；（2）7，最小值为7【分析】（1）先由题意，根据根与系数关系得到1αβz +=-，2αβz m =+，求出12284()2+-=z z m ，再由题意，得出42816+=m ，即可得出结果；（2）先由题意设m a bi =+，（,a b R ∈），得到[]212444(4)(5)--=-+-z z m a b i ，再结合题中条件，得到222(4)(5)7-+-=a b ，将复数模的问题，转化为圆上的点到与定点的距离问题，进而可求出结果.【详解】（1）因为1z ，2z ，m 均是实数，关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，所以1αβz +=-，2αβz m =+，又αβ-=，所以()2428αβαβ=-+，即12284()2+-=z z m ，即1228442=+-z z m ，又212416z z -=，所以42816+=m ，解得：3m =-；（2）因为1z ，2z ，m 均是复数，设m a bi =+，（,a b R ∈），则[]212441620444(4)(5)--=+--=-+-z z m i a bi a b i ，由αβ-=得228αβ-=，即()2428αβαβ+-=，所以1228442-=-z z m ，即(4)(5)7-+-=a b i ，所以222(4)(5)7-+-=a b ，即复数m 对应的点(,)a b 在圆222(4)(5)7-+-=a b 上，该点与原点距离的最大值为77+=+，最小值为：77=因此=m 的最大值为7+，最小值为7【点睛】本题主要考查根与系数关系的应用，以及复数模的计算，熟记复数的运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.【答案】（1（2）ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）这样的直线l 存在，且有两条y =或3y x =.【分析】（1）先由题意，得到02==z ，求解，即可得出结果；（2）先由0z z ω=⋅得到()()1''+=+-x y i x yi ，推出3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩代入2240x y x +-=，得到()(22216''-+-=x y ，进而可得出结果；（3）先设直线l 存在，且为y kx b =+，根据()()1''+=+-x y i x yi得到'=+x x，'=-y y ；再由ω对应点也在直线l 上，y kx b ''=+，推出()-=++y k x b，得到k b ⎧=⎪=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2z ω=，0z z ω=⋅得002=⋅=z z z z z ，又()010z mi m =->，所以02==z ，所以m =；（2）由(),x y i x y R ω''''=+∈，0z z ω=⋅，得()()1''+=+-x y i x yi ，即44''''''+--==+x y x yi ，所以3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩，因为2240x y x +-=，所以2233340444⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x ，即2240''''+--=x y x ，即()(22216''-+-=x y ；所以ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）设直线l 存在，且为y kx b =+，由()()1''+=+-x y i x yi得'=+x x，'=-y y ；因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，()-=++y k x b，所以=-y因此k b ⎧=⎪=⎪⎩，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩或03b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以这样的直线l存在，且有两条y =或3y x =.【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型.。

上海市复旦大学附属中学2019届高二第二学期期中考试数学试题.docx

复旦大学附属中学2018学年第二学期高二年级数学期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分 2019.4一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.2. 在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,1,3P ，则向量AP uu u r 与BP uu r 的夹角为______.3. 如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，G 是棱'DD 的中点，则异面直线GB 与'B E 所成的角为______.4. 如图，在底面半径为1，高为3的圆锥中，O 是底面圆心，P 为圆锥顶点，A ，B 是底面圆周上的两点，23AOB π∠=，C 为母线PB 的中点，则在该圆锥的侧面上，从A 到C 的最短路径的长是______.5. 设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=uuu r uuu r ______.6. 已知平面α，β和直线m ，n ，给出下列命题：①m αP ，n βP ，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβP ，m αP ，n βP ，则m n P ；③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥，其中是真命题的是______（填写所有真命题的序号）.7. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面11AB D 与平面ABCD 的交线，则点1D 到l 的距离是______.8. 如图，已知正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角A PB C --的大小为______.9. 已知球O 的表面上三点A 、B 、C 满足：12AB =，16BC =，20AC =，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则A 、C 两点的球面距离是______.10. 如图是复且附中旦华楼的大致形状，它可看作是一个半球与两个长方体拼接而成，若半球的半径3米，50AB =米，10BC =米，15CD =米，4GF =米，30EF =米，由于年久失修，需要用涂料刷满其外表面（不计地面），则需要______平方米的涂料.11. 已知a ，b ，h 是正常数，由直线0y =、直线y h =、双曲线22221x y a b -=及其一条渐近线围成如图阴影部分所示的图形，该图形绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为______.12. 如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长等于1，60ABC ∠=o ，O 和1O 分别是上下底面对角线的交点，H 在线段1OB 上，13OH HB =，点M 在线段BD 上移动，则三棱锥11M C O H -的体积最小值为______.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，且ka b +r r 与2a b -r r 垂直，则k 的值为（）A . 15 B . 1 C . 35 D . 7514. 过点()0,1P 与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A . 0x =B . 1y =C . 10x y +-=D . 10x y -+=15. 下列四个结论中正确的是（）①若两个平面有无数多个公共点，则它们重合；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直；④若a ，b 是异面直线，直线c ，d 与a ，b 都相交，则c ，d 也是异面直线；A . ①②B . ②③C . ③D . ③④16. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1PBB ∆的面积最小值为（）A . 22B . 1C . 2D . 2三、解答题（本大题共5题，共76分）17. 如图，在四棱锥中P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC P ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE PD ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求线段PF 的长.18. 已知椭圆C ：()222122x y a a +=>过点()2,1T ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ BM P ，求证：PFQ ∠为定值.19. 如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求圆柱的表面积；（2）求点A 到平面1A PO 的距离；（3）求直线1A P 与AB 所成的角.20. 如图，在多面体111ABCA B C 中，1AA 、1BB 、1CC 均垂直于平面ABC ，14AA =，13CC =，12BB AB AC ===，120BAC ∠=o ，D ，E 分别是线段BC 和11B C 上的点.（1）求1AB 与111A B C 所成角的大小；（2）求二面角111A A B C --的大小；（3）求AD DE +的最小值.21. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，设P 是双曲线C 上任意一点，O 为坐标原点，F 为双曲线右焦点，1A ，2A 为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点P 在右支的何处，总有PO PF >，求ba 的取值范围；（2）设过右焦点F 的直线l 交双曲线于M ，N 两点，若存在直线l ，使得OMN ∆为等边三角形，求22b a 的值；（3）若2a =，3b =，动点Q 与双曲线的顶点不重合，直线1QA 和直线2QA 与直线l ：1x =分别相交于点S 和T ，试问：是否存在定点E ，使得ES ET ⊥恒成立？若存在，请求出定点E 的坐标；若不存在，试说明理由.参考答案一、填空题l . 12π 2. 2arccos 4 3. 90o 4. 3 5. 8 6. ③④ 7. 628. 7arccos 15 9. 4039π 10. 26209π+ 11. 2a h π 12. 348 二、选择题13-16：DCCC三、解答题17.（1）略；（2）3218.（1）22142x y +=；（2）90o19.（1）20π；（2）32；（3）21arccos 720.（1）15arcsin 5；（2）10arccos 5；（3）7391321.（1）()0,3；（2）1136+；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,02⎛⎫⎪⎝⎭。

上海复旦大学附属中学2018年高二化学联考试题含解析

上海复旦大学附属中学2018年高二化学联考试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 下列各组混合物中，能用分液漏斗进行分离的是A．酒精和水 B．碘和四氯化碳 C．水和四氯化碳 D．汽油和植物油参考答案：C略2. 已知25℃时，电离常数Ka(HF)＝3.6×10-4mol／L，溶度积常数Ksp(CaF2)＝1.46×10-10mol3／L3。

现向1L 0.2mol／LHF溶液中加入1L 0.2mol／LCaCl2溶液，则下列说法中，正确的是A．25℃时，0.1 mol/LHF溶液中pH＝1B．Ksp(CaF2)随温度和浓度的变化而变化C．该体系中，Ksp(CaF2)＝D．该体系中有CaF2沉淀产生参考答案：D3. 著名化学家付鹰说：“化学是实验的科学，只有实验才是最高法庭”。

下列实验装置图操作正确的是参考答案：C4. 下列条件下铁钉最容易生锈的是A.浸泡在植物油中B．浸泡在海水中C．置于干燥的空气中D．浸泡在蒸馏水中参考答案：B5. 在四个相同的容器中，在不同的温度下（其它条件相同）进行合成氨的反应，根据下列在相同时间内测得的结果判断，该反应所处的温度最高的是（）A．v（NH3）=0.1mol/（L?min）B．v（H2）=0.6mol/（L?min）C．v（N2）=0.3mol/（L?min）D．v（H2）=0.3mol/（L?min）参考答案：C考点：反应速率的定量表示方法；化学反应速率的影响因素．专题：化学反应速率专题．分析：根据化学反应速率之比等化学计量数之比进行计算，以同一个物质的化学反应速率进行比较；升高温度，加快化学反应速率．解答：解：A．v（NH3）=0.1mol/（L?min）；B．v（H2）：v（NH3）=3：2，故v（NH3）=v（H2）=×0.6mol/（L?min）=0.4mol/（L?min）；C．v（NH3）：v（N2）=2：1，故v（NH3）=2v（N2）=2×0.3mol/（L?min）=0.6mol/（L?min）；D．v（H2）：v（NH3）=3：2，故v（NH3）=v（H2）=×0.3mol/（L?min）=0.2mol/（L?min），故C的反应速率最快，故C反应所处的温度最高，故选C．点评：本题考查化学反应速率的相关计算以及温度对化学反应速率的影响，难度不大．要注意比较化学反应速率快慢要以同一个物质进行比较．6. 下列离子方程式书写正确的是（）A．显蓝色的淀粉溶液中通入足量SO2后变成无色溶液：I2 +SO2+2H2O==2I-+SO42-+4H+B．已知电离平衡常数：H2CO3＞HClO＞HCO3－，向NaClO溶液中通入少量二氧化碳：2ClO－+CO2+ H2O =2HClO+CO32－C．NH4HCO3溶液与过量NaOH溶液反应：＋OH－= NH3↑＋H2OD．FeI2溶液中通入过量Cl2：2Fe2＋＋2I－＋2Cl2＝2Fe3＋＋I2＋4Cl－参考答案：A略7. 下列有机分子中可形成顺反异构的是（）A．CH3—CH2Cl B．CH3CH=CHBr C．CH3C≡CCH3D．CH3CH=C( CH3)2参考答案：B略8. 盛放浓硝酸的试剂瓶里出现黄色是因为硝酸具有（）A、酸性B、不稳定性C、强氧化性D、挥发性参考答案：B略9. 下列说法不正确的是（）A．苯和甲苯分子中所有原子均在同一平面上B．苯不可以使KMnO4酸性溶液褪色而甲苯可以C．苯和甲苯都能与卤素单质、硝酸等发生取代反应D．苯的同系物的分子通式是C n H2n﹣6（n≥7）参考答案：A【考点】有机物的结构和性质．【分析】A．甲苯含有甲基，具有甲烷的结构特点；B．苯性质稳定，但甲苯可被氧化；C．苯、甲苯在催化条件下可发生取代反应；D．苯的同系物含有一个苯环，且烃基为烷基．【解答】解：A．苯为平面形结构，但甲苯含有甲基，具有甲烷的结构特点，不可能在同一个平面上，故A错误；B．苯性质稳定，但甲苯中苯环对甲基的影响，导致甲苯可被氧化，可使高锰酸钾褪色，故B正确；C．苯、甲苯在催化条件下可发生取代反应，可生成硝基苯、三硝基甲苯等，故C正确；D．苯的同系物含有一个苯环，且烃基为烷基，通式为C n H2n﹣6（n≥7），故D正确．故选A．10. 下列各项比较中，正确的是A．原子核外电子数：H＞O＞Al B．元素非金属性：F＞Cl＞Br C．热稳定性：PH3＞H2S＞HCl D．碱性：LiOH＞NaOH＞KOH参考答案：B略11. 随着人们生活质量的不断提高，废电器必须进行集中处理的问题被提到议事日程，其首要原因是（）A．利用电器中的金属材料B．防止电器造成污染C．废电器经过处理后还可以重新使用 D．回收其中非金属材料参考答案：B12. 下列属于物理变化的是A．石油的分馏 B．苯酚使蛋白质变性C．煤的干馏 D．重油的裂化参考答案：A略13. 下列有关除杂质（括号中为杂质）的操作中，错误的是A．福尔马林（蚁酸）：加入足量饱和碳酸钠溶液充分振荡，蒸馏，收集馏出物B．乙醇（水）：加入足量生石灰，蒸馏，收集馏出物C．苯（苯酚）：加溴水，振荡，过滤除去沉淀D．乙酸乙酯（乙酸）：加饱和碳酸钠溶液，充分振荡，分液，弃水层参考答案：C14. 下列基态原子的电子构型中，正确的是A．3d94s2 B．3d44s2 C．3d104s0 D．3d83s2参考答案：A15. 已知Ksp(AgCl) = 1.56×10－10，Ksp(AgBr) = 7.7×10－13，Ksp(Ag2CrO4) = 9.0×10－12。

精品解析：上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题解析版

复旦大学附属中学第二学期高二年级数学教学评估试卷
时间：120分钟满分：150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若，则的值为__________
【答案】3或7
【解析】
【分析】
直接利用组合数的公式的性质可得或，从而得到的值.பைடு நூலகம்
【详解】由组合数的性质可得或，解得或7.
样本平均数为，
总体方差的估计值，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查总体方差估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.已知球的半径是球面上两点，若线段的长为，则A、B两点间的球面距离为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据，求出，则可得到A、B两点间的球面距离为 .
10.盒子里有2020个质地均匀的小球，2019个黑球，1个白球，每次从中随机取出一个球，然后放回一个黑球，则第次恰好取到黑球的概率为__________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出第次恰好取到白球的概率，然后用对立事件的概率的求法求解.
【详解】若第次恰好取到白球，则前次均取到黑球,则其概率为
所以直线在平面上或直线与平面平行.
故答案：直线在平面上或直线与平面平行.
【点睛】本题考查了法向量的应用、数量积运算性质、空间线面位置关系，考查了推理能力，属于基础题.
3.若，则 =__________.
【答案】64
【解析】
【分析】
在中，令，即可得出答案.
【详解】在中，令可得， .
8.微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步，于是，他做了个统计，作表如下，则这天大家平均步数为__________万步.