人教版数学高二选修4-4课件_2.2_圆锥曲线的参数方程

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人教版高中数学选修4-4课件第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》

＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程

x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1

α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
第二讲参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程第 2 课时双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)，由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝

人教版a版选修4-4课件：2.2双曲线的参数方程抛物线的参数方程

α，
(α 为参数)的焦点坐
标是________． x＝tan t， (2)将方程 1－cos 2t y＝1＋cos 2t [思路点拨] 用代入法消去 t.
化为普通方程是________．
(1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利
返回
[解析]
x＝2 3tan (1)将 y＝6sec α
返回
返回
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝asec φ，数方程是 y＝btan φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
π 3π 且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝btan φ，数方程是 y＝asec φ.
返回
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
2 x＝2pt ，的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
返回
返回
[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
答案：10或6
返回
y＝2t， 2．过抛物线 2 x ＝ t
(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于
A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 两点，如果 x2 ＋ x2 ＝ 6. 则 |AB| ＝ ________.
y2 解析：化为普通方程是：x＝即 y2＝4x，∴p＝2. 4 ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
α，
y2 x2 c＝ 36＋12＝4 3，故焦点坐标是(0，± 4 3)． 1－cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y＝＝ 2 ＝tan t， 1＋cos 2t 2cos t 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程．

人教版A选修4-4-圆锥曲线的参数方程 (共19张PPT)

时, d 有最大值, 面积最大
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
【练3】 (2008· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是
x2 2 椭圆＋y ＝1 上的一个动点，求 S＝x＋y 的最大值． 3 x＝ 3cos φ ， x2 2 解因椭圆＋ y ＝ 1 的参数方程为 3 y＝ sin φ (φ 为参数 )，
为______. 3/2
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
例3：已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值；（2）x+y的最值；（3）P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1，用参数方程表示
2
x 3cos (1) y 5 sin
x 8cos (2) y 10 sin
x 2cos 练2. 已知椭圆的参数方程为 ( y sin 是参数), 则此椭圆的长轴长为 ____, 4 短轴
( 3 ,0) 离心率长为____, 2 焦点坐标为_________,
1、圆的参数方程
y
M(x,y)
r o

M0
x
x r cos { (为参数) y r sin 这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数方程其中参数的几何意义是OM 0 绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM 0 转过的角度。
思考：圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
r
P 1 ( x1 , y1 )
5
o

2019-2020人教A版高中数学选修4-4课件第二讲二圆锥曲线的参数方程优质课件

知能演练轻松闯关
本部分内容讲解结束
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OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
所以,中点 M 的轨迹方程是py22＝xp－2,
即 y2＝p(x－2p)(p>0).
题型四应用参数求曲线的轨迹方程
例4 设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l,焦点为F,顶点为
O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨
迹方程. 【解】设 P 点的坐标为(2pt2,2pt),当 t≠0 时,直线 OP 的方程为 y＝1t x,QF 的方程为 y＝－2t(x－p2),它们的交点 M(x,y)
x＝asec θ _y_＝__b_t_a_n_θ____(θ
为参数,0≤θ＜2π,_θ_≠__π2_,3_2π______,a>0,b>0).
4.抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程 x＝2pt2

__y_＝__2_p_t ____(p>0,t 为参数,t∈R),
其中参数 t 可以视为该抛物线 y2＝2px(p>0)上任一点 P 与抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数,即对抛物线上任一点 P(x,y),都有 t＝xy.
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan a2＋b2

2.2《圆锥曲线的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1，故将
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分）若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
x=-4t 2 +1 4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截 y=4t
距是( （A）1
) （B）2 （C）4 （D）不存在
2
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=〒 1 ,
一、选择题（每小题6分，共36分）

高中数学人教A版选修4-4课件：2-2圆锥曲线的参数方程

二
圆锥曲线的参数方程
-1-
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
1.理解椭圆的参数方程,会用椭圆的参数方程解决简单问题. 2.理解双曲线的参数方程,会用双曲线的参数方程解决简单问题. 3.理解抛物线的参数方程,了解参数的意义,会用抛物线的参数方程解决简单问题. 4.通过具体问题,体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.
2 �� 2 �� 2
【做一做 2】双曲线 (��为参数).
答案: �� = 3sec��, �� = tan��Leabharlann �� 2 32
− ��2 = 1 的参数方程为
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�� 2 �� 2
��' = ��, ��' = ��,
�� 1
1
椭圆
�� 2 �� 2
+
= 1 可以变成圆x'2+y' 2=1,利用圆 x'2+y' 2=1 的参数方程 ��' = cos��, �� 2 �� 2 (��是参数),可以得到椭圆 2 + 2 = 1 的参数方程 �� ' = sin�� = ��cos��, �� = ��sin�� (��是参数).因此 ,参数 φ 的几何意义是椭圆上任意一点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角 (称为点 M 的离心角 ),而不是 OM 的旋转角 ,如图所示 .

高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲二圆锥曲线的参数方程 2～3.双曲线的参数方程抛物线的参数方程

[证明] 如图所示，
设 Pcoas α，btan α，Acoas θ，btan θ. ∵直线 AB 过原点 O，
∴A，B 两点的坐标关于原点对称，则 B－coas θ，－btan θ，
故
kPA·kPB＝batcaon1s
α－tan α－co1s
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α，化为3y62 －1x22＝1，可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3，故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t，将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
∴kAP＝44t21＋t1＋t22t－2 1，由 kMN＝kAP，知 t1·t2＝－18，又yx＝＝44tt121＋＋tt222，，则 y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16x4－14＝4(x－1)． ∴所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)．

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《2-2圆锥曲线的参数方程》课件2

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题型二
双曲线参数方程的应用
x2 y2 与双曲线交于 A，【例2】直线 AB 过双曲线a2－b2＝1 的中心 O， B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值．
[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，
(4)抛物线 x
x＝2pt，＝－2py(p>0)的参数方程为 2(t y＝－2pt
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试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型．
x＝acos (1) y＝bsin
θ， (θ 为参数，a、b 为常数，且 a>b>0)； θ
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【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．
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【变式2】
x＝sec 双曲线 y＝tan
炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，
y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得
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x＝v0t， x＝150t， 2 1 2(g＝9.8 m/s )，即 2 y＝588－4.9t ， y＝588－ gt 2 这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y＝0，即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643(m)．即飞机在离目标约 1 643m(水平距离)处投弹才能击中目标．

高中数学人教A版选修4-4课件第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程

其中OA,OB分别是以原点O为圆心,a,b为半径的圆的半径. 2.当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的
(��-��)2 (��-��)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ��
�� = �� + ��cos��, (φ 为参数). �� = �� + ��sin��
二
圆锥曲线的参数方程
学习目标思维脉络 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,了解参数方圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程及其应用程中参数的几何意义. 2.能够运用椭圆、双曲线、双曲线的参数方程及其应用抛物线的参数方程解决简抛物线的参数方程及其应用单问题.
1.椭圆的参数方程
�� = ��cos��, 数方程是 �� = ��sin�� (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
��2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ��
��2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ��
答案：C
)
3.抛物线的参数方程 �� = 2�� 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 �� = 2�� (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( �� = 7��, A. (t 为参数) �� = 7�� 2

2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4

AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

高中选修4-4《2.2圆锥曲线的参数方程》(人教版共3份)(3)精选教学PPT课件

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos ,b sin ;
若 [0,），则为倾斜角。

x y

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称为非标准形式。
题型二互斥事件与对立事件
1．互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． (2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式

x y

x0 y0

t t
cos sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

x y
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还是用参数方程去解;
2.分别如何解.
y
A
M(-1,2)
B
O
x
3.点M是否在直线上