初中数学竞赛讲座6

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九年级数学竞赛讲座(共10讲)

第一讲分式方程(组)的解法

第二讲无理方程的解法

第三讲简易高次方程的解法第四讲有关方程组的问题

第五讲函数的基本概念与性质第六讲二次函数

第七讲函数的最大值与最小值第八讲根与系数的关系及应用第九讲判别式及其应用

第十讲一元二次不等式的解法

第一讲分式方程(组)的解法

分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．

例1 解方程

解令y=x2＋2x－8，那么原方程为

去分母得

y(y－15x)＋(y+9x)(y－15x)＋y(y＋9x)=0，

y2－4xy－45x2=0，

(y+5x)(y－9x)=0，

所以y=9x或y=－5x．

由y=9x得x2+2x－8=9x，即x2－7x－8=0，所以x1=－1，x2=8；由y=－5x，得x2+2x－8=－5x，即x2＋7x－8=0，所以x3=－8，x4=1．

经检验，它们都是原方程的根．

例2 解方程

y2－18y+72=0，

所以y1=6或y2=12．

x2－2x＋6=0．

此方程无实数根．

x2－8x+12=0，

所以x1=2或x2=6．

经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．

例3 解方程

分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为

整理得

去分母、整理得

x＋9=0，x=－9．

经检验知，x=－9是原方程的根．

例4 解方程

分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为

初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值

初中数学竞赛专题培训第六讲代数式的求值

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．

解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以

6x4+15x3+10x2

=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1

=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1

=0+1=1．

说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．

例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：

a2+b2+c2=1，①

求a+b+c的值．

解将②式因式分解变形如下

即

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0．

若bc+ac+ab=0，则

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)

=a2+b2+c2=1，

所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．

说明本题也可以用如下方法对②式变形：

初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑹ (4)

初一数学竞赛讲座

第6讲图形与面积

一、直线图形的面积

在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：

1．两个可以完全重合的图形的面积相等；

2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。

对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。如：

正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。

1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；

2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；

3．平行四边形的对角线平分它的面积；

4．等底等高的两个三角形面积相等。

解决图形面积的主要方法有：

1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形；

2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；

3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系；

4．把图形进行割补（叫做割补法）。

例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？

解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分,

如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三角形面积的41。另外, 先将三角形△ABC 的面积2等分（如右

上图）, 即取BC 的中点D, 连接AD,

则S △ABD =S △ADC , 然后再将这两个小三角

形分别2等分, 分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的4

初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积

说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出
例10 如左下图所示，平行四边形的长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。
分析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图）。我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察后得出结论：右上图中的阴影部分等于
1 角形面积的 4 。
另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABD=S△ADC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各
1 自的面积为原来大三角形面积的 4 。还有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？
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初一数学竞赛讲座
第6讲图形与面积
一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：
1．两个可以完全重合的图形的面积相等； 2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。解决图形面积的主要方法有： 1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形； 2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三

数学培优竞赛新方法(九年级)-第6讲-代数最值

1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
例 4.（1）已知 y
1 x
x
1 2
的最大值为
a，最小值为
b，则 a2
b2 的值。
（2011 年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）
(2) 求使 x2 4 (8 x)2 16 取得最小值的实数 x 的值。（全国初中数学竞赛题）
思路点拨解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。
数对（x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。
2
九年级数学培优竞赛辅导讲座
学力练习
1.（1）设 x 为正实数，则函数 y x2 x 1 的最小值是
。
x
（2）函数 y x 9 18(x 0) 的最大值是 x
2.若实数 x、y 满足方程 x2 y2 3xy 35 ，则 xy 的最大值为
A、B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值。
（天津市竞赛题）
19.设 x1 ， x2 ， xn 是整数，并且满足：
（1） 1 xi 2 ， i 1,2,, n ；
（2） x1 x2 xn 19
（3） x12 x22 xn2 99.
求 x13 x23 xn3 的最大值和最小值。
B、 5 8

八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案

第六讲实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p

的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数

的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解

【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．

注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )

-初中数学竞赛几何讲座(共5讲)

初中数学竞赛几何讲座（共5讲）

第一讲注意添加平行线证题第二讲巧添辅助妙解竞赛题第三讲点共线、线共点第四讲四点共圆问题第五讲三角形的五心

第一讲注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ , A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答：当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .

在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC .

有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .

则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .

这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.

初中数学竞赛辅导专题讲座-正方形问题

初中数学竞赛辅导专题讲座

正方形的问题

例1如图1，已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点.MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N.(1)求证：MD=MN;

(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图2所示，

则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请|说明理由.

例2如图2，正方形ABCD中．E是CD的中点，F是DA的中点，连接BE与CF相交于P.求证：AP=AB.例3如图，E是正方形ABCD内的一点，分别以AE、BE为边向△ABE形外作正方形AEMN和正方形BEFG.

猜想线段AG、CN有什么关系，并证明你的猜想.

图1 图2 图3 图4

1. (广西省初中数学竞赛题)图5和图6都是用8个直角边长分别为a,b(a>b)的直角三角形拼成的图形.关于这

两个图形的下列说法：①四边形ABCD和四边形EFGH的周长相等；②四边形A BCD和四边形EFCH 的面积相等；③四边形ABCD和四边形EFGH的面积之差为(a-b)2.其中正确的是( )

A.只有①

B.只有①和③

C.只有③

D.只有①和②

2. (台湾省中考题)将一块边长为a的正方形，与四块边长为b的正方形(其中b>a)，拼成如图7，其中AB、

BC、CD、AD组成一个四边形.则四边形ABCD的面积为( )

A.b2+(b-a)2

B. b2+a2

C. (b+a)2

D. a2+2ab

3. 如图8，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE与DF相交于

七年级数学竞赛讲座(共23讲)

第一讲有理数的巧算

第二讲绝对值

第三讲求代数式的值

第四讲一元一次方程

第五讲方程组的解法

第六讲一次不等式(不等式组)的解法

第七讲含绝对值的方程及不等式

第八讲不等式的应用

第九讲“设而不求”的未知数

第十讲整式的乘法与除法

第十一讲线段与角

第十二讲平行线问题

第十三讲从三角形内角和谈起

第十四讲面积问题

第十五讲奇数与偶数

第十六讲质数与合数

第十七讲二元一次不定方程的解法

第十八讲加法原理与乘法原理

第十九讲几何图形的计数问题

第二十讲应用问题的算术解法与代数解法

第二十一讲应用问题解题技巧

第二十二讲生活中的数学(一)——储蓄、保险与纳税第二十三讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学

第一讲有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

例1计算：

分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

初中数学竞赛知识讲座

主讲:田畈街镇高级数学教师曹盛华
例：在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，
试在二次函数y=0.1x2-0.1x+ 的图像上找出满足 y≤｜ x｜的所有整点（x,y），并说明理由。解：∵ y≤｜x｜,即 x2-x+18 ，于是有：
x2-x+18≤10｜x｜,分两种情况: x≥0时① x≤0时② 当①时x2-x+18≤10x，故有2≤x≤9，（2，2）（4，3）（7，6）（9，9）当②时x2-x+18≤-10x，于是-6≤x≤-3, (-6,6) (-3,3) 因此满足条件的点共有上述6个整点。
主讲:田畈街镇高级数学教师曹盛华
例：对于每一个正整数n，抛物线 y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于A、B两点，以｜ AnBn｜表示该两点的距离，求｜A1B1｜+｜A2B2｜ +………+｜A2010B2010｜的值。
解：｜AnBn｜=x1-x2=√ (x1+x2)2-4x1x2 =1/(n2-n)
主讲:田畈街镇高级数学教师曹盛华
标算法：
一、利用已知的图、表、式作为辅助工具，构作一种新的数学形式，对它们分别标上特殊的数字，可使命题证法突破常规。二、它对于参加数学竞赛的同学来说，值得借鉴。
主讲:田畈街镇高级数学教师曹盛华

初中数学竞赛讲座——数论部分6(算术基本定理)

第6讲算术基本定理

一、基础知识

算术基本定理：任何一个正整数N ＞1，都能分解成质因数的连乘积，即

⋅⋅=2121ααp p N ……n n

p α⋅，（n ≥1） ① 其中1p ，2p ，…，n p 为互不相等的质数，1α，2α，…，n α为正整数；如果不考虑因数的顺序，则这个分解式是唯一的。证明：

存在性：（反证法）假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，设其中最小的那个为n 。自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1；其次，n 不是质数，因为质数p 可以写成质数乘积：p =p ，这与假设不相符合；因此n 只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。从而n 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性:

引理：若质数p | ab ，则不是 p | a ，就是p | b 。

证明：若p | a ，则证明完毕。若p |a ，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在(m ,n ) 使得ma + np = 1。于是b = b (ma + np ) = abm + bnp 。由于p | ab ，上式右边两项都可以被p 整除。所以p | b 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。首先n 不是质数。将n 用两种方法写出：

初中数学竞赛竞赛讲座(自然数的有关性质)

竞赛讲座(自然数的有关性质)

一、知识要点

1、最大公约数

定义1如果a1,a2,…,a n和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…, d∣a n，那么d叫做a1,a2,…,a n的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,a n的最大公约数，记作(a1,a2,…,a n).

如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.

2、最小公倍数

定义2 如果a1,a2,…,a n和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, a n∣m，那么m叫做a1,a2,…,a n的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,a n的最小公倍数，记作[a1,a2,…,a n].

如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.

3、最大公约数和最小公倍数的性质

性质1 若a∣b,则(a,b)=a.

性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.

性质3 若n∣a, n∣b,则

()

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛.

性质4 若a=bq+r (0≤r<b), 则(a,b)= (b,r) .

性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。性质5 若 b∣a,则[a,b]=a.

性质6 若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.

性质7若n∣a, n∣b,则

[]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡.

七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)

初中数学竞赛辅导资料

因式分解

甲内容提要和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式

例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc

①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)

②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2

解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2

＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)

例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1

①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这

里16是完全平方数）

②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)

=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)

③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式

解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1

=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)

2．运用因式定理和待定系数法

初中数学联赛专题讲座—几何(排班)

初中数学联赛专题讲座几何

1、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（）（A ）

185 （B ）4 （C ）215

（D ）245

2、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）

（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定

3、如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且

MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为。

4、如图，圆O 与圆D 相交于A ，B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在

圆O 上，且AB = BC 。

（1）证明：点O 在圆D 的圆周上；

（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值。

5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（）

（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°.

6、设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则

ABC DEF S S △△:的值为（）

（A ）91. （B ）92. （C ）94

. （D ）3

A E C B

7、已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为

6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交

初中数学竞赛专题讲座

初中数学竞赛专题讲座—恒等式的证明

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一、本讲主要介绍恒等式的证明、首先复习一下基本知识，然后进行例题分析、

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等、

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形、恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等、

证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷、一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明、对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化、下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧、

1、由繁到简和相向趋进

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”和“相向趋进”、例1 已知x+y+z=xyz，证明：x+y+z=4xyz、

分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边、

证因为x+y+z=xyz，所以

左边=x+y+

=-xz-xy+xyz-yz+yx+yxz-zy-zx+zxy

=xyz-xy-xz-yz+xyz

=xyz+xyz+xyz+xyz

=4xyz=右边、

说明本例的证明思路就是“由繁到简”、

例2 已知1989x=1991y=1993z，x＞0，y＞0，z＞0，且