2021届人教版新教材精品资料高一数学第一册幂函数测试(A卷基础篇)(解析版)
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练
3.3 幂函数新课标要求通过具体实例，结合231,,,,y x y y x y x y x x=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
知识梳理一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性 增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减三、一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．名师导学知识点1 幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.【变式训练1-1】给出下列函数:①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2.其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .【变式训练1-2】已知幂函数y=(m 2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域.解:∵y=(m 2-m-1)为幂函数,∴m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,则y=x -3(x ≠0);当m=-1时,m 2-2m-3=0,则y=x 0(x ≠0).故所求幂函数的解析式为y=x -3(x ≠0)或y=x 0(x ≠0).知识点2 幂函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例2-1】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2. 在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.知识点3 幂函数的性质比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= ( )A .2B .-1C .4D .2或-1A 【解析】因为f (x )为幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以m 2-2m-2<0,所以m=2.故选A .【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3432⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝34x 在(0，＋∞)上单调递增， 又32>1，∴3432⎛⎫⎪⎝⎭>341 ＝1. 又∵函数y 2＝32x 在(0，＋∞)上单调递增，且34<1，∴3234⎛⎫⎪⎝⎭<321 ＝1，∴3432⎛⎫ ⎪⎝⎭>3234⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式训练2-1】比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)－3.143与－π3.解 (1)∵y ＝x 0.3在[0，＋∞)上单调递增且23>13，∴⎝⎛⎭⎫230.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.【变式训练2-2】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+ <()332m a -- 的a 的取值范围．解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()131a -+<()1332a --.因为y ＝13x- 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32.名师导练A 组-[应知应会]1．已知点,在幂函数y=f (x )的图像上,则 ( ) A .f (x )= B .f (x )=x 3 C .f (x )=x -2D .f (x )=xB [解析] 设f (x )=x a ,由题意知a==3,所以a=3,所以f (x )=x 3.故选B .2．（2021秋•三明期末）已知幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)，则实数m 的值是() A ．1-B ．12C ．2D ．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m 的值． 【解答】解：幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)， 2128m -∴=，2m ∴=，故选：C ．3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间． 【解答】解：设幂函数()f x x α=，函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数a Q ∈，如图为幂函数a y x =的图象，则a 的值可以为( )A ．23B ．32 C ．23-D ．32-【分析】根据幂函数的图象关于y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C 选项正确． 【解答】解：根据幂函数a y x =的图象关于y 轴对称，函数是偶函数，排除B 、D 选项； 再根据幂函数a y x =的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数， 所以0a <，排除A ，即C 选项正确． 故选：C ．5．已知幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m 的值为 ( )A .-1B .3C .-1或3D .1或-3B [解析] 因为幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-2m-2=1且m 2+m-1>0,解得m=3,则实数m 的值为3.6．（2021秋•白山期末）若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(= ) A ．14B ．12C ．2D ．4【分析】根据幂函数的定义，令2221m m --=，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数在(0,)x ∈+∞上为增函数即可，确定m 的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．【解答】解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数， 所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -， 所以3m =，2()f x x =， 从而f （2）224==， 故选：D ．7．（2020秋•河南月考）幂函数223()mm y x m Z +-=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-【分析】依题意，2m =-或1-或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<， 再由m Z ∈可得，2m =-或1-或0． 又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意； 若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意； 若0m =，则2233m m +-=-，符合题意， 综上，2m =-或0． 故选：A ．8．（2022春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．9．(多选题)已知幂函数f (x )= (m ,n ∈N *,m ,n 互质),则下列关于f (x )的结论正确的是( )A .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数B .当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数C .当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递减D .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )的定义域为R ABD [解析] f (x )==.当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数,故B 中的结论正确;当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,故C 中的结论错误;当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )=的定义域为R,故D 中的结论正确.故选ABD .10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误； 对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．【分析】利用待定系数法求出幂函数()y f x =的解析式，再计算1()16f 的值．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈；其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f (x )=(m 2-5m+7)x m-1为偶函数,则实数m 的值为 .3 [解析] ∵f (x )为幂函数,∴m 2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f (x )=x 为奇函数,不满足题意;当m=3时,f (x )=x 2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.13．（2021秋•湖州期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为 ；函数()f x 为 函数．（填“奇”或“偶” )【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可． 【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)， 28α∴=，3α∴=，3()f x x ∴=，定义域为R ，又33()()()f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴是奇函数，故答案为：3，奇．14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数22(22)m y m m x -=--在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知2221m m --=，再根据函数在(0,)+∞上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．【解答】解：因为函数22(22)m y m m x -=--既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以222120m m m ⎧--=⎨-<⎩⇒312m m m ==-⎧⎨<⎩或，解得：1m =-． 故答案为：1-．15．（2021秋•道里区校级月考）当01x <<时， 1.1()f x x =，0.9()g x x =，2()h x x -=的大小关系是 ．【分析】画出这三个函数在区间(0,1)上的图象可得答案． 【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知()()()f x g x h x <<故答案为()()()f x g x h x <<16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)n n f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n = ，f （2）= ．【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出n 的值，写出()f x 的解析式，再计算f （2）的值．【解答】解：函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<，解得13n -<<；又2n k =，且k N ∈，所以0n =，2，当0n =时，3()f x x =；当0n =时，3()f x x =；所以f （2）328==．故答案为：0，2；8．17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点P 8,.(1)求函数f (x )的解析式;(2)画出函数f (x )的图像,并指出其单调区间.解:(1)设f (x )=x α. ∵f (x )的图像过点P 8,,∴8α=,即23α=2-1,解得α=-,故函数f (x )的解析式为f (x )=(x ≠0). (2)作出函数f (x )的图像如图所示.由图可知,函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点(2,).(1)求出函数f (x )的解析式,判断并证明f (x )在[0,+∞)上的单调性;(2)若函数g (x )是R 上的偶函数,当x ≥0时,g (x )=f (x ),求满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )=x α,将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=, 所以f (x )=.幂函数f (x )==在[0,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-==, 因为x 1-x 2<0,+>0,所以f (x 1)<f (x 2), 故幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增.(2)当x ≥0时,g (x )=f (x ),而幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增, 所以当x ≥0时,g (x )单调递增.因为函数g (x )是R 上的偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递减. 由g (5)=,g (1-m )≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m ≤6,所以满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围为[-4,6]. B 组-[素养提升]1．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A ．1B ．0,2C ．－1,1,3D ．0,1,2答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x -- (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数，由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m ＝－1,1,3.2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，()(1)m g x m x =-为幂函数．（Ⅰ）求函数()f x 与()g x 的解析式；（Ⅱ）当a R ∈时，解关于x 的不等式：()()af x g x <．【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）分0a <或4a >，0a =，4a =，04a <<四种情况讨论即可．【解答】解：()I 根据一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，设()f x kx b =+，则112b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则()1f x x =- ()(1)m g x m x =-为幂函数，则2m =，故2()g x x =()()()II af x g x <即2(1)a x x -<，则△24(4)a a a a =-=-当0a <或4a >时，不等式的解集为24{|}a a a x x --或24{|}a a a x x +->， 当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当4a =时，不等式的解集为{|2}x x ≠当04a <<时，不等式的解集为R ．。
高考数学专题《幂函数》习题含答案解析
专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3 幂函数含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。
3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。
∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】形如的函数，是幂函数。
所以幂函数有，共两个，故选C。
【考点】本题主要考查幂函数的概念。
点评：简单题，形如的函数，是幂函数。
3.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点，所以，解得，所以在第一象限单调递减.因为，所以，所以.【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增.6.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是幂函数，则即。
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答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =【答案】D 【解析】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．4．（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ） A ．-1 B ．2C ．-1或2D ．3【答案】A 【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．5．（2019·贵州省高二学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，则α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意，幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，可得24α=，解答2α=. 故选：C.6．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.7．（2020·上海高一课时练习）下列函数在定义域上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．34y x = B ．13y x =C ．4y x -=D ．43y x =【答案】B 【解析】34y x =在定义域[0,)+∞上是非奇非偶函数，在区间(),0-∞上无定义；所以A 错； 13y x =在定义域(,)-∞+∞上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数；所以B 对； 4y x -=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是偶函数，在区间(),0-∞上是增函数；所以C 错；43y x =在定义域(,)-∞+∞上是偶函数，且在区间(),0-∞上是减函数；所以D 错；故选：B8．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 故选：B.9．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D 【答案】A 【解析】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A10．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =.故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数. 故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.【答案】(),0-∞ 【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数，又因为函数()221f x x x -==是偶函数，所以函数在(),0-∞是增函数.故答案为：(),0-∞12．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【答案】1(,]8-∞- 【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值18-，又当0x →时，y →-∞，所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-.故答案为：1(,]8-∞-.13．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______. 【答案】3 【解析】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ， 42α∴=，12α∴=， ()12f x x ∴=，()12993f ∴==.故答案为：314．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________． 【答案】2x 1x - 【解析】因为()f x 是幂函数，所以设()f x x α=（α为常数），又因为()f x 又是二次函数，所以2α=，即2()f x x =因为()g x 是幂函数，所以设()g x x β=（β为常数），又因为()g x 又是反比例函数，所以1β=-，即1()g x x -=故答案为：2x ；1x -15．（2020·浙江省高一期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为_________；函数()f x 为_________函数.（填“奇”或“偶”）【答案】3. 奇. 【解析】∵幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)， ∴28α=，得3α=，3()f x x =，∴3()()f x x -=-3()x f x =-=-，函数()f x 的定义域为R ，∴函数函数()f x 为奇函数， 故答案为：3，奇．16．已知幂函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的表达式为______；单调递增区间为______．【答案】 2()f x x -=, (,0)-∞【解析】设幂函数的解析式为()nf x x =,由1(2)4f =,得124n=,解得2n =-, 所以2()f x x -=,递增区间为(,0)-∞.故答案为:2()f x x -=, (,0)-∞17．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数()f x 的图象过点(，则()4f =______，()22y f x =-的定义域为______．【答案】2 ⎡⎣【解析】设幂函数()af x x =，其图象过点(，3a ∴=；解得12a =，()f x ∴=，故()42f =，由220x -≥，解得：x ≤≤()22y f x =-的定义域为：⎡⎣.故答案为2，.⎡⎣三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1）3355 1. 5,1.7；（2）2233( 1.2),( 1.25)----.【答案】（1）3355 1. 5 1.7<；（2）2233( 1.2)( 1.25)--->-. 【解析】（1）∵幂函数35y x =在(0,)+∞上是增函数，且1.5 1.7<，33551.5 1.7∴<.（2）23y x -=在(,0)-∞上是增函数，且 1.2 1.25->-，2233( 1.2)( 1.25)--∴->-.19．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.12.3和 1.12.5 （2）1232()a -+和132-.【答案】（1） 1.11.12.32.5<；（2）11233(22)a --+≤.【解析】（1）考察幂函数 1.1y x =，因为其在区间[0,)+∞上是增函数，而且2.3 2.5<，所以 1.1 1.12.3 2.5<. （2）考察幂函数13y x =，因为其在区间(0,)+∞上是减函数，而且222a +≥，所以11233(22)a --+≤. 20．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4y x =；（2）14y x =；（3）3y x -=；（4）23y x =.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞；（2）定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞；（3）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞；（4）定义域为R ，值域为[0,)+∞.【解析】（1）函数的定义域为R ，值域为[0,)+∞. （2）因为14y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞.（3）因为331y xx-==，所以0x ≠，且0y ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.（4）因为23y x ==R ，值域为[0,)+∞.21．（2019·全国高一课时练习）若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 22．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠. 【解析】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】
幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。
高一数学人教A版必修1课后训练：2.3 幂函数 Word版含解析
课后训练基础巩固1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定2．下列函数是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．13y x =B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．已知幂函数f (x )满足f =⎝⎭f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x －3B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝3x4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝15．幂函数的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)6．函数43y x =的图象是( )7．23112T ⎛⎫=⎪⎝⎭，23215T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13312T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 38．若249y x αα--=是偶函数，并且在(0，＋∞)上是减函数，则整数α＝__________． 9．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是__________．10．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．11．求下列函数的定义域： (1)1132(32)(23) y x x -=-+-；(2)1212x y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭． 12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，(1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数； (4)f (x )是幂函数． 能力提升13．如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，12±四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，12-，12，2 B ．2，12，12-，－2C ．12-，－2,2，12D ．2，12，－2，12-14．三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log 30.7的大小顺序为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a15．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x＞12x ＞lg x B ．2x＞lg x ＞12x C ．12x ＞2x ＞lg x D ．lg x ＞12x ＞2x 16．(压轴题)已知f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+．(1)求证：f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．错题记录参考答案1．A 点拨：当α＞0时，幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数． 2．B 点拨：∵y ＝x 2是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．也可以画图观察，可知选B ．3．A 点拨：设f (x )＝x α，∵由题意知α=⎝⎭132233α-=，∴α＝－3．∴f (x )＝x －3．4．B 点拨：由已知2233120m m m m ⎧-+=⎪⎨--≤⎪⎩，，得m ＝1或m ＝2．5．C 点拨：设幂函数f (x )＝x α，将12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入得α＝－2，所以f (x )＝21x ，易知其单调增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：f (－x )＝4433()x x -===＝f (x )，又函数的定义域为R ，故f (x )为偶函数．又43＞1，所以当x ∈(1，＋∞)时，x ＜43x ． 7．D 点拨：构造函数23y x =，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则223311>25⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 2＜T 1；构造函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭，此函数在R 上是减函数，则213311<22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 1＜T 3． 故T 2＜T 1＜T 3．8．－1,5,3,1点拨：由函数249y x αα－－＝的图象关于y 轴对称，即f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，可得α2－4α－9＝2k (k 为负整数)．当k ＝－2时，解得α＝5或α＝－1；当k ＝－6时，解得α＝3或α＝1．故α的值为－1,5,3,1．9．[0，＋∞)点拨：∵幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，∴8α＝4，则23α=． ∴23y x ==∴函数y ＝x α的值域是[0，＋∞)． 10．18-点拨：∵函数y ＝x －3＝31x 在(－∞，0)上单调递减，∴当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝311(2)8=--． 11．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足320230.x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x >，即所求函数的定义域为2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭． (2)要使函数有意义，x 的取值需满足12x +-＞0，解得x ＜－1，即所求函数的定义域为(－∞，－1)．12．解：(1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得45m =-，此时m 2－m －1≠0，故45m =-． (2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得25m =-，此时m 2－m －1≠0，故25m =-．(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，解得m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1．(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．13．B 点拨：随着α的增大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为曲线C 1，C 2，C 3，C 4，所以对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，12-，－2． 14．C 点拨：由于a ，b ＞0，c ＜0，故c 最小．又30.7＞0.70.7＞0.73，所以a ＞b ．故a ＞b ＞c ．15．A 点拨：易知当x ∈(0,1)时，2x和12x 的值都大于0，lg x 的值小于0，得lg x 最小． 在同一坐标系中作出函数y ＝2x与y ＝12x 的图象， 如下图所示，由图可知2x＞12x ，故选A ．16．解：(1)证明：函数f (x )的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵f (－x )＝11113333()()55x x x x ------=-＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝11113333112211()()55x x x x -----＝11331211331211()15x x x x ⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝1111111111 3333333333 4422224444555555-------+---⋅⋅=-＝0．同理f(9)－5f(3)g(3)＝0．猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0．证明：∵f(x2)－5f(x)g(x)＝2211112222 3333333333555555x x x x x x x x x x -------+---⋅⋅=-＝0(x≠0)，∴f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．。
3.3 幂函数-2020-2021高中数学新教材配套提升训练(人教A版必修第一册)(解析版).pdf
1
幂函数 y x11 在
0,
上为增函数,所以,
0.66
1
11
0.77
1
6
7
11
,因此, 0.611
0.711
；
5
5
5
（2） 幂函数
y
x3
0,
0.883
在
上为增函数,
0.893
.
指数幂的大小比较,常用的有如下几种方法：
（1）底数不同,指数相同,可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；
（）
A．函数 y x 的图象过原点
B．函数 y x 是偶函数
8
C．函数 y x 是单调减函数 D．函数 y x 的值域为 R
【参考答案】AD
【解析】
由于幂函数 y x 过点 2,8 ,所以 2 8 ,解得 3 ,所以 y x3 . 0, 0 ,满足 y x3 ,A 选项正确.
y x3 是奇函数,所以 B 选项错误.
x
为奇函数,故选
A．
p
8．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数 y x q （ p, q N*, q 1 且 p, q 互质）的图象如图所示,则
（）
p 1
A． p , q 均为奇数,且 q
p 1
B． q 为偶数, p 为奇数,且 q
p 1
C． q 为奇数, p 为偶数,且 q
0 p 1
D． q 为奇数, p 为偶数,且 q
所以 27 3a ,
解得 a 3 ,
所以幂函数 y x3 .
f x x3 x3 f x
因为定义域为 R,且
,
所以 f x 是奇函数,
又因为 a 3 0 ,
人教版数学高一单元测试卷第25课时幂函数的基本内容含解析
第25课时幂函数的基本内容课时目标的图象是Ⅱ；y＝x的图象是Ⅰ；y＝x课时作业小题，每小题5分，共30分)，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥α为常数)的函数，①是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．为幂函数，则实数a的值为为幂函数，所以a2－a－1＝a ＝－1.3．幂函数y ＝x 12的图象是如图所示的( ) 答案：C解析：y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，故排除A ；当x ＞1时，0＜x 12＜x ，故选C.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案：A解析：∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12. 5．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：A解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.6．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x 223m m －－是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A解析：m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3<0，经检验得m ＝2.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为________． 答案：24解析：设f (x )＝x n，则2＝4n，∴n ＝12.∴f (x )＝x 12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812＝18＝24. 8．已知幂函数y ＝x223m m －－ (m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴均无交点，且关于原点对称，则m ＝________.m－3为奇数，即－1<m<3且m．若函数则解析：由已知可知f(0)＝－2，f(－2)三、解答题(本大题共4小题，共45分k k＋的取值范围(5－1，＋∞)．已知函数f(x)＝正比例函数；能力提升2，y＝xn3，y＝xn4在第一象限内的图象分别是图中的)解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过(1,1)点作垂直于。
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--3.3 幂函数
3.3幂函数基础过关练题组一幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是()A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x122.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,14),则f(2)=()A.12B.2C.√22D.√23.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是()A.(-∞,1]B.(-∞,12)∪(12,1)C.(-∞,-1)D.(12,1)4.已知y=(2a+b)x a+b+(a-2b)是幂函数,则a=,b=.5.已知函数f(x)=(m2+2m)·x m2+m-1,m为何值时,函数f(x)是: (1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数?题组二幂函数的图象及其应用6.函数y=x 43的图象是()7.如图所示,曲线C1和C2分别是函数y=x m和y=x n在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>08.在同一平面直角坐标系中,函数y=x a和y=ax+1a(a≠0)的图象可能是()题组三幂函数的性质及其应用9.下列命题正确的是()A.幂函数y=x n的图象都经过(0,0),(1,1)两点B.当n=0时,函数y=x n的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数,那么图象一定经过点(-1,1)10.如果幂函数f(x)=xα的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是()A.(-∞,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,0)∪(0,+∞)11.(2020安徽安庆高一上期末)已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)·x a在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为()A.3B.-1C.-3D.112.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)·x m-1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.能力提升练题组一幂函数的概念与图象=4, 1.(2019山东济南一中高一上期末,)若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2) )=()则f(12A.-4B.4C.-12D.142.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)函数y=x 12-1的图象关于x轴对称的图象大致是()3.(2020北京丰台高一上期中,)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)4.(2020吉林白山一中高一上期中,)对于幂函数f(x)=x 45,若0<x1<x2,则f(x1+x22),f(x1)+f(x2)2的大小关系是()A.f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2B.f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2C.f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2D.无法确定5.()已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)x m2-4m+1的图象不经过原点,则实数m的值为.题组二幂函数的性质及其应用6.(2019北京海淀高一上期末,)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则f(x)在定义域内( ) A.为增函数 B.为减函数 C.有最小值 D.有最大值 7.(2020天津六校高一上期中联考,)已知幂函数f(x)=(m 2-3m-3)x 2m-3在区间(0,+∞)上是增函数,则m 的值为( ) A.4 B .3 C.-1 D.-1或4 8.()已知函数f(x)=(2n-1)x -m2+2m+3,其中m ∈N,若函数f(x)为幂函数且其在(0,+∞)上是单调递增的,并且在其定义域上是偶函数,则m+n=( ) A.2 B .3 C.4 D .59.(多选)(2020山东日照高一上期末校际联考,)已知函数f(x)=x a 的图象经过点(4,2),则(深度解析)A.函数f(x)在定义域内为增函数B.函数f(x)为偶函数C.当x>1时,f(x)>1D.当0<x 1<x 2时,f(x 1)+f(x 2)2<f (x 1+x22) 10.(多选)()已知幂函数f(x)=x mn (m,n ∈N *,m,n互质),下列关于f(x)的结论正确的是( )A.m,n 是奇数时, f(x)是奇函数B.m 是偶数,n 是奇数时, f(x)是偶函数C.m 是奇数,n 是偶数时, f(x)是偶函数D.0<m n<1时, f(x)在(0,+∞)上是减函数 11.(2020河北邯郸一中高一上期中,)若点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上,点(2,12)在幂函数g(x)的图象上.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;(2)定义h(x)={f(x), f(x)≤g(x),g(x), f(x)>g(x),求函数h(x)的最大值及单调区间.12.()已知幂函数f(x)=x 1m 2+m (m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若函数f(x)的图象经过点(2,√2),试确定m 的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.D y=2x 2,y=x 3+x,y=3x均不是幂函数,y=x 12是幂函数,故选D. 2.A 设幂函数为f(x)=x α,∵幂函数的图象经过点(4,14),∴14=4α,∴α=-1,∴f(x)=x -1,∴f(2)=2-1=12.3.B 依题意得{1-x >0,2x -1≠0,解得x<1,且x ≠12,因此f(x)的定义域是(-∞,12)∪(12,1),故选B. 4.答案 25;15解析 由题意得{2a +b =1,a -2b =0,解得{a =25,b =15.5.解析 (1)若函数f(x)为正比例函数,则{m 2+m -1=1,m 2+2m ≠0,∴m=1.(2)若函数f(x)为反比例函数,则{m 2+m -1=-1,m 2+2m ≠0,∴m=-1.(3)若函数f(x)为幂函数,则m 2+2m=1, ∴m=-1±√2.6.A ∵y=x 43=√x 43,∴该函数的定义域为R,且为偶函数,排除D; 又∵43>1,∴y=x 43在第一象限内的图象与y=x 2的图象类似,排除B,C,故选A.7.A 由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m<0,n<0.由幂函数图象的特点知n<m,故n<m<0.8.B ∵在y=ax+1a中,a 与1a同号,当a>0时,若x=0,则y=1a>0;当a<0时,若x=0,则y=1a<0,∴结合图象可排除A,C 选项,在选项B,D 中,由一次函数的图象知a<0,由幂函数的图象性质可知,选B.9.D 对于A,幂函数y=x n 的图象都经过点(1,1),当n ≤0时,不过点(0,0),故A 不正确;对于B,当n=0时,幂函数y=x n 的图象是一条除去点(0,1)的直线y=1,故B 不正确;对于C,当两个幂函数的图象有三个交点时,这两个函数可以不相同.如y=x 与y=x 3有三个交点,但这两个函数不相同,故C 不正确;对于D,幂函数的图象都经过点(1,1),若幂函数为偶函数,则其图象一定经过点(-1,1),故D 正确.故选D.10.B 依题意得(-2)α=4=(-2)2,即α=2,∴f(x)=x 2,∴f(x)的单调递增区间是[0,+∞),故选B.11.A 由题意知a 2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,由f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数可知a>0,所以a=3,故选A. 12.解析 (1)由题意得m 2-5m+7=1, 即m 2-5m+6=0,解得m=2或m=3. 又f(x)为偶函数,所以m=3, 即f(x)=x 2.(2)由(1)知f(x)=x 2,则g(x)=x 2-ax-3.因为g(x)=x 2-ax-3在[1,3]上不是单调函数,所以1<a2<3,解得2<a<6,即a 的取值范围为(2,6).能力提升练1.D 设f(x)=x α,则f(4)=4α=22α, f(2)=2α. ∵f(4)f(2)=22α2α=2α=4=22,∴α=2,∴f(x)=x 2, ∴f (12)=(12)2=14,故选D.2.B y=x 12-1的定义域为[0,+∞),且为增函数,所以函数图象从左到右是上升的,所以y=x 12-1的图象关于x 轴对称的图象从左到右是下降的,故选B.3.B 当0<m ≤1时,1m ≥1,y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减,值域为[(m-1)2,1];y=√x +m 在[0,1]上单调递增,值域为[m,1+m],此时两个函数图象有且仅有一个交点.当m>1时,0<1m <1,y=(mx-1)2在[1m,1]上单调递增,所以要与y=√x+m的图象有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m,即m≥3.综上所述,0<m≤1或m≥3.故选B.4.A幂函数f(x)=x45在(0,+∞)上是增函数,大致图象如图所示.设A(x1,0),C(x2,0),其中0<x1<x2,则AC的中点E的坐标为(x1+x22,0),且|AB|=f(x1),|CD|=f(x2),|EF|=f(x1+x22).∵|EF|>12(|AB|+|CD|),∴f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,故选A.5.答案3解析依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时,f(x)=x,其图象经过原点,不符合题意;当m=3时,f(x)=x-2,其图象不经过原点,符合题意,因此实数m的值为3.6.C设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4,所以α=2,即f(x)=x2,所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.7.A∵f(x)=(m2-3m-3)x2m-3是幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=-1时,f(x)=x-5,其在区间(0,+∞)上是减函数,不合题意;当m=4时,f(x)=x5,其在区间(0,+∞)上是增函数,满足题意.所以m=4,故选A.8.A因为函数f(x)为幂函数,所以2n-1=1,所以n=1.因为函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3.又因为m∈N,所以m=0,1,2.当m=0或m=2时,函数f(x)为奇函数,不合题意,舍去;当m=1时,f(x)=x4,为偶函数,符合题意.故m=1.所以m+n=1+1=2.故选A.9.ACD 由题意得4a=2,解得a=12,所以f(x)=x 12=√x .易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为非奇非偶函数,故A 正确,B 错误;当x>1时,f(x)=√x >1,故C 正确;由函数图象(图略)易知f(x)=√x 为“上凸函数”,故D 正确.故选ACD.解题模板 函数的“凹凸性”:设A(x 1,f(x 1)),B(x 2, f(x 2)),当自变量取x 1,x 2的平均数x 1+x 22时,图象上点的纵坐标为f (x 1+x 22),线段AB 的中点坐标为(x 1+x 22,f(x 1)+f(x 2)2).若A,B 间的函数图象在线段AB 上方,函数为“上凸函数”,有f(x 1)+f(x 2)2< f (x 1+x 22);若A,B 间的函数图象在线段AB 下方,函数为 “下凹函数”,有f(x 1)+f(x 2)2> f (x 1+x 22).10.AB f(x)=x mn =√x m n,当m,n 是奇数时, f(x)是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时, f(x)是偶函数,故B 中的结论正确;当m 是奇数,n 是偶数时, f(x)在x<0时无意义,故C 中的结论错误;当0<mn <1时, f(x)在(0,+∞)上是增函数,故D 中的结论错误.故选AB. 11.解析 (1)设f(x)=x α,因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上,所以(√2)α=2,解得α=2,即f(x)=x 2.设g(x)=x β,因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上,所以2β=12,解得β=-1,即g(x)=x -1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x 2和g(x)=x -1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).由题意及图象可知h(x)={x -1,x <0或x >1,x 2,0<x ≤1.根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞).12.解析 (1)∵m ∈N *,∴m 2+m=m(m+1)为偶数.令m 2+m=2k,k ∈N *,则f(x)=√x 2k ,∴f(x)的定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上为增函数.(2)由题意可得 √2=212=21m 2+m ,∴m 2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),∴f(x)=x 12.由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,解得1≤a<32,故实数a 的取值范围为[1,32).。
新人教A版高中数学必修第一册3.3 幂函数 练习(2)(解析版)
新人教A版必修第一册3.3 幂函数【本节明细表】基础巩固1．已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设幂函数的解析式为.∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴该函数的解析式为.2．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是( )A.y＝x－2B.C.D.【答案】D【解析】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A 不满足；对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B 不满足；对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足. 故选:D.3．已知幂函数过点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数，∵过点，∴，∴，故选B.4．幂函数的图象如图所示，则的值为( )A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故，即且；又从图象看，函数是偶函数，故为负偶数，将分别代入，可知当时，，满足要求．故选C.5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3【答案】D【解析】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．6．幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.【答案】2【解析】函数是幂函数，解得：或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，当时，函数的图象关于轴对称，∴实数．7．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________。
【答案】【解析】设，因为的图象过，，解得，在上是单调递增的在上的最大值为，故答案为。
8．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)2.3，2.4；(2) ，；(3)(－0.31) ，0.35.【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，∴()>().(3)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.能力提升9．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图像可知，，得，故选：A..10．对幂函数有以下结论（1）的定义域是；（2）的值域是；（3）的图象只在第一象限；（4）在上递减；（5）是奇函数．则所有正确结论的序号是______.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对幂函数，以下结论（1）的定义域是，因此不正确；（2）的值域是，正确；（3）的图象只在第一象限，正确；（4）在上递减，正确；（5）是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．11．已知幂函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）∵的图象经过点，∴，即，解得.（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，∴，即.∴在区间（0，+∞）上是减函数.素养达成12．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R；偶函数；图象略；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增.。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册精品练习：3.3 幂函数 Word版含解析
3.3 幂函数必备知识基础练知识点一幂函数的概念1.下列函数为幂函数的是( )①y ＝－x 2；②y ＝2x ；③y ＝x n (n 为常数)；④y ＝(x －1)3；⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x .A ．①③⑤B ．①②⑤C ．③⑤D ．只有⑤2．已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．03．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 22m m －－的图象不过原点，则m 的取值范围为( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝－1或m ＝2C ．m ＝1D ．m ＝1或m ＝2知识点二 幂函数的图象4.如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >16．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a 的图象可能是( )知识点三 幂函数的性质7.下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≥0，x ，x ＜08．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.174B.14 C ．4 D ．－49．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________． 10．比较下列各题中两个值的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1778与⎝ ⎛⎭⎪⎫1978； (2)352-与3.352-； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2323-与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-； (4)0.20.6与0.30.4；(5)978-与⎝ ⎛⎭⎪⎫8967.关键能力综合练一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域是R ，且为奇函数的所有α的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>h (x )>f (x )C ．h (x )>f (x )>g (x )D ．h (x )>g (x )>f (x )4．(易错题)已知y ＝(m 2－3m －3)xm 12－1是幂函数，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．35．已知幂函数f (x )＝x n 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，且f (a ＋1)<f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)6．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x 223m m －＋＋ (m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的解析式为________．3．3 幂函数 必备知识基础练1．解析：①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是 x －1 而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．答案：C2．解析：因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数， 所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 答案：A3．解析：依幂函数为y ＝x α的形式知m 2－3m ＋3＝1. 又其图象不过原点，则指数m 2－m －2≤0.由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0可得⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)(m －2)＝0，(m ＋1)(m －2)≤0得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝2，－1≤m ≤2.故m ＝1或m ＝2. 答案：D4．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.答案：B5．解析：在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案：B6．解析：选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．答案：C7．解析：显然A ，C 中的函数是奇函数，B 中的函数在(－∞，0]上是减函数，故选D.答案：D8．解析：易知y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以当x ＝12时，函数y ＝x －2的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.答案：C9．解析：设f (x )＝x α，由2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．解析：(1)∵函数y ＝x 78在(0，＋∞)上单调递增，又17>19，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1778>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(2)∵y ＝x 52-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3， ∴352->3.352-.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623-.函数y ＝x 23-在(0，＋∞)上为减函数，23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫π623-，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-. (4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4， ∴0.20.6<0.30.4.(5)∵978-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1978<⎝ ⎛⎭⎪⎫1967<⎝ ⎛⎭⎪⎫8967，∴978-<⎝ ⎛⎭⎪⎫8967.关键能力综合练1．解析：当α＝－1时，幂函数不过原点，A 错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B 错误；y ＝x －1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D 错误，所以选C.答案：C2．解析：当α＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y ＝x 的定义域是R 且为奇函数；当α＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.答案：A3．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的大致图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．故选D.答案：D4．易错分析：本题往往忽视条件m 12－1对m 的要求而错选C. 解析：由m 2－3m －3＝1得m ＝4或m ＝－1.又∵m 12－1为幂指数，要使式子m 12－1有意义需m ≥0，∴m ＝4. 答案：A5．解析：因为幂函数f (x )＝x n 的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，所以2n ＝14，即2n ＝2－2，解得n ＝－2.因此f (x )＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f (a ＋1)<f (2)，得a ＋1<－2或a ＋1>2，解得a <－3或a >1.故选B.答案：B6．解析：函数y ＝x 12－1的图象由幂函数y ＝x 12的图象沿y 轴向下平移一个单位长度得到，则函数y ＝x 12－1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x 轴对称的函数的图象一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图象如B 所示．答案：B7．解析：因为幂函数f (x )＝x 223m m －＋＋ (m ∈Z )为偶函数，所以－m 2＋2m ＋3为偶数．又f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m 2＋2m ＋3＞0，所以－1＜m ＜3.又m ∈Z ，－m 2＋2m ＋3为偶数，所以m ＝1，故所求解析式为f (x )＝x 4.答案：f (x )＝x 48．解析：令f (x )＝x α，∵f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，故f (x )＝x 12＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22.令1x －1≥0解得0<x ≤1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的定义域为(0,1]．答案：22 (0,1]9．解析：若⎩⎨⎧ a ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －3>1，则a <－2.若⎩⎨⎧a >0，a 12>1，则a >1，所以a <－2或a >1.答案：a <－2或a >110．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2－2m －3是偶数，m ∈Z ，解得m ＝－1,1,3.当m ＝－1和3时，f (x )＝x 0＝1(x ≠0)；当m ＝1时，f (x )＝x －4. 学科素养升级练1．解析：对于A ，α＝－1时幂函数y ＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，α＝0时幂函数y ＝x 0＝1(x ≠0)，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误；对于C ，α＝2时幂函数y ＝x 2在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，α＝3时幂函数y ＝x 3在R 上为奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确．故选：CD.答案：CD 2.解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝x －2的图象，如图所示，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤－1，x －2，－1<x <0，x －2，0<x ≤1，x 2，x >1.∴f (x )在x ＝－1与x ＝1处均取得最小值1，即f (x )min ＝1. 答案：13．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21m m + (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)， 并且函数y ＝f (x )在其定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝221m m +，即212＝221m m +， ∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12在[0，＋∞)上是增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.。
2021年高中数学 2.3.2幂函数练习 新人教A版必修1
2021年高中数学 2.3.2幂函数练习 新人教A 版必修1基础梳理1．常见幂函数的性质如下表：(2)如果α>0，则幂函数的图象还经过原点(0，0)，并且在________上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数的图象不经过原点(0，0)，在_________上是减函数． 基础梳理2．(1)(1，1) (2)[0，＋∞) (3)(0，＋∞),思考应用1．由幂函数的图象，我们可以知道该幂函数所具有的性质．反之，由幂函数所具有的性质，我们也能判断该幂函数图象的变化趋势．若幂函数不过原点，那么这个幂函数在第一象限的图象是如何变化的？解析：若幂函数y ＝x α不过原点，则幂指数α<0，那么这个幂函数在第一象限的图象与坐标轴没有交点，且图象是下滑的，即在区间()0，＋∞上是减函数．2．我们知道，幂函数f (x )＝1x是奇函数，图象关于原点对称，也关于直线y ＝x 和y ＝－x 对称，那么函数g (x )＝1x －1的图象也有相应的对称性．如何研究函数g (x )的对称性？ 2．解析：将函数f (x )＝1x 的图象向右平移一个单位，即得函数g (x )＝1x －1的图象．由此可知，函数g (x )的图象关于点(1，0)对称，也关于直线y ＝x －1和y ＝1－x 对称．3．由幂函数f (x )＝x 3的图象可知， 幂函数f (x )＝x 3在区间()－∞，＋∞上是增函数，你能确定函数g (x )＝(1－x )3在区间()－∞，＋∞上的单调性吗？3．解析：幂函数f (x )＝x 3在区间()－∞，＋∞上是增函数，则h (x )＝(－x )3＝－x3在区间()－∞，＋∞上是减函数，故函数h (x －1)＝－(x －1)3＝(1－x )3，即函数g (x )＝(1－x )3在区间()－∞，＋∞上是减函数． ,自测自评1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x2．函数y ＝| |x 是()A ．偶函数，且在()0，＋∞上是增函数B ．奇函数，且在()0，＋∞上是增函数C ．偶函数，且在()0，＋∞上是减函数D ．奇函数，且在()0，＋∞上是减函数3．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14， 则它的单调递增区间是________． 自测自评1．解析：由y ＝1x可得定义域是x ＞0.f (x )＝ln x 的定义域是x ＞0；f (x )＝1x的定义域是x ≠0；f (x )＝|x |的定义域是R ；f (x )＝e x定义域是R.故选A.答案：A2．A 3.(－∞，0)►基础达标1．设函数y ＝x |x |，x ∈R ，则此函数( ) A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 C2．函数y ＝x 53的图象大致是下列图中的( )2.B3．函数y ＝x ＋1的递增区间是________ . 3.[－1，＋∞)4．函数y ＝1x2的定义域是________________，在区间________上是减函数．4.{x |x ∈R，x ≠0} (0，＋∞)5．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则这个函数的解析式为________．5.f (x )＝x 126．若函数f (x )＝(t ＋2)x t －1是幂函数，则这个函数的解析式为________．6．解析：t ＋2＝1，∴t ＝－1，∴f (x )＝x －2.答案：f (x )＝x －27．用描点法作出幂函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象，并说明函数的定义域和单调性．7．分析：首先作出函数的图象，根据图象研究其性质． 解析：五个幂函数的图象如图所示．(1)y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减． (2)y ＝x 定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．(3)y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在区间[0，＋∞)上单调递增．(4)y ＝x 2的定义域为R ，在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(5)y ＝x 3的定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．点评：对于y ＝x 12，y ＝x 3的图象和性质，要通过和y ＝x 2的图象和性质进行比较，找出它们的共性和特性、区别和联系，并加深理解．►巩固提高8．关于函数y ＝x －12的性质，有以下判断：①定义域是(0，＋∞)；②值域是(0，＋∞)；③不是奇函数；④不是偶函数；⑤在区间(0，＋∞)上是减函数．其中判断正确的是____________(填序号)．8．①②③④⑤9．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －1的递减区间是________．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，0＜x ≤1，1－1x ，x ＞1或x ＜0，故递减区间是(0，1]．答案：(0，1]10．探究函数y ＝x 23的性质： (1)指出函数的定义域和值域； (2)判断函数的奇偶性；(3)指出函数的递增区间和递减区间． 10．(1)定义域是R ，值域是[0，＋∞)(2)偶函数 (3)[0，＋∞)是递增区间，(－∞，0]是递减区间1．研究与幂函数相关的函数的性质时，应抓住图象的变化规律，应用图象研究性质． 2．由幂函数与其他函数复合而成的函数，要清楚复合的过程．3．注意函数性质的综合应用．37513 9289 銉&30007 7537 男-29114 71BA 熺37066 90CA 郊34834 8812 蠒30092 758C 疌20715 50EB 僫M34110853E 蔾S33217 81C1 臁27944 6D28 洨38937 9819 頙。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.如图所示，函数的图像大致为（）．A B C D【答案】C【解析】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.【考点】函数的图像与性质.2.幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，则有，解得，所以．【考点】幂函数的解析式与图象．3.已知幂函数的图像过点，则【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以得，因此故.【考点】幂函数的解析式.4. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质5.对于幂函数，若，则，大小关系是（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有成立，故答案选A.【考点】幂函数的单调性点评：本题主要考查幂函数的单调性，幂函数的图象特征，属于中档题．6.三个数，，之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为对于比较大小，先分析各自的大致范围，然后确定大小关系。
由于根据指数函数和幂函数和对数函数的性质可知，，，，那么可知选择C.【考点】本试题主要是考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性，以及值域的应用。
属于基础题。
点评：解决该试题的核心是对于幂值、对数值和指数值范围的判定，先分类，再在各个类里面比较大小，注意常用中间变量0，1来比较大小。
7.设f(x)=,用二分法求方程=0在内近似值的过程中得f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【答案】B【解析】因为f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,所以由函数零点存在定理知，方程的根落在区间（1.25，1.5），选B.【考点】本题主要考查函数零点存在定理。
2021-2022学年人教A版必修一第三章函数的概念与性质(基础测评卷)
第一章 函数的概念与性质 基础卷一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝－3x ＋2，则f (2x ＋1)等于( B )A ．－3x ＋2B ．－6x －1C ．2x ＋1D ．－6x ＋5 【答案】B【解析】在f (x )＝－3x ＋2中，用2x ＋1替换x ，可得f (2x ＋1)＝－3(2x ＋1)＋2＝－6x －3＋2＝－6x －1.2．（2020·浙江高一期中）函数1()f x x =的定义域是( ) A ．RB ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．[1,0)(0,)-+∞ 【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D3．（2020·浙江高一课时练习）已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ． D ．【答案】A【解析】当0x =时，依函数表达式知2(0)(0)011f f -==+=，可排除B ；当1x =时，(1)(1)10f -=-+=，可排除C 、D ．故选A4．已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是（ ） A ．2-或2 B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52- 【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.5．（2020·浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 （）A ．y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，也可以用特殊取值法，若56,5x y ==，排除C ，D ，若57,6x y ==，排除A ，故选B ．6．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝21，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )A ．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴21＝－21＋f (2)，∴f (2)＝1.令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝21＋1＝23.令x ＝3，得f (5)＝f (2)＋f (3)＝257．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6- 【答案】C【解析】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( C )A ．－6B ．6C ．－8D ．8【答案】C【解析】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x )关于x ＝－2对称，f (x )＝m 的根关于x ＝－2对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×(－2)＝－8.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列各组函数表示的是同一个函数的是( BD )A ．f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-B ．f (x )＝|x |与g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0D ．f (x )＝x x与g (x )＝x 0【答案】BD【解析】对于A ，f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-的对应关系不同，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于B ，f (x )＝|x |与g (x )＝x 2的定义域和对应关系均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数； 对于C ，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于D ，f (x )＝x x与g (x )＝x 0的对应关系和定义域均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数．10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( BD )A ．f (x )＝x 1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝－3x【答案】BD 【解析】A ．f (x )＝x 1在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B ，f (x )＝－x 3在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C ，f (x )＝x |x |＝⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x ，在定义域R 上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D ，f (x )＝－3x 在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD ．11．已知函数f (x )＝31++-x x ，则( ABD )A ．f (x )的定义域为[－3,1]B ．f (x )为非奇非偶函数C ．f (x )的最大值为8D ．f (x )的最小值为2 【答案】ABD【解析】由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f 2(x )＝4＋2×322+--x x ＝4＋2×2)1(4+-x ，而0≤2)1(4+-x ≤2，即4≤f 2(x )≤8，∵f (x )＞0，∴2≤f (x )≤22，∴f (x )的最大值为22，最小值为2，故选ABD ．12．下列说法正确的是( )A ．若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正实根，一个负实根，则a ＜0B ．函数f (x )＝2211x x -+-是偶函数，但不是奇函数C ．若函数f (x )的值域是[－2,2]，则函数f (x ＋1)的值域为[－3,1]D ．曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R)的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1【答案】AD【解析】设方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝a <0，故A 正确；函数f (x )＝2211x x -+-的定义域为⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010122x x ，则x ＝±1，∴f (x )＝0，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数，故B 不正确；函数f (x ＋1)的值域与函数f (x )的值域相同，故C 不正确；曲线y ＝|3－x 2|的图像如图，由图知曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a 的公共点个数可能是2,3或4，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围 【答案】11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<. 14．函数f (x )＝x x+-11的定义域为___，单调递减区间为___.【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)【解析】函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝)1)(1()22121x x x x ++-（＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f (x )在(－∞，－1)上也为减函数．15．函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为____. 【答案】1(,1)2- 【解析】因为y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x －1<1，即⎩⎨⎧<-->-112212x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<->121x x ，所以－21<x <1. 16．对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．现给定一个实数a ∈(4,5)，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的不动点共有___个．【答案】2【解析】由定义，令x 2＋ax ＋1＝x ，则x 2＋(a －1)x ＋1＝0，当a ∈(4,5)时，Δ＝(a －1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈(4,5))有2个不动点．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知幂函数39*()m y x m N -=∈的图象关于y 轴对称且在()0,∞+上单调递减，求满足()()33132mm a a +<-－－的a 的取值范围.【解析】因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.则原不等式可化为()()1133132a a +<-－－，因为13y x －＝在(),0-∞，()0,∞+上单调递减，所以1320a a +>->或3210a a -<+<或1032a a +<<-， 解得2332a <<或1a <-. 故a 的取值范围是1a <-或2332a <<. 18．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值【解析】（1）∵()213211x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212311x x x x -=++， ∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+∞上是增函数. （2）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，上单调递增， 它的最大值是()25135512f ⨯-==+， 最小值是()23153314f ⨯-==+． 19．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．20．(12分)已知函数())11f x a a =≠-. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a >且1a ≠时，由30ax -≥得3x a ≤，即函数()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -⨯≥，解得13a ；当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a ->并且310a -⨯≥，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞. 21．(12分)已知函数f （x ）＝x m x +，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．【解析】（1）∵函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）， ∴2＝1+m ，∴m ＝1； （2）f （x ）＝x 1x+，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，， 又f （﹣x ）＝﹣x 1x +=--f （x ）， ∴函数f （x ）是奇函数；（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减，设0＜x 1＜x 2＜1，则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-⋅⋅⋅， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0，∴()()()1212121210x x f x f x x x x x --=-⋅＞， 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，1）上的单调递减．22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？(2)当销售商一次订购x 个零件时，该厂获得的利润为P 元，写出P ＝f (x )的表达式．【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x 0个，则60－0.02(x 0－100)＝51，解得x 0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)设一次订量为x 个时，零件的实际出厂单价为W ，工厂获得利润为P ，由题意P ＝(W －40)·x ， 当0<x ≤100时，W ＝60； 当100<x <550时，W ＝60－0.02(x －100)＝62－50x；当x ≥550时，W ＝51.当0<x ≤100时， f (x )＝(60－40)x ＝20x ；∴当100<x <550时， f (x )＝(22－50x )x ＝22x －501x 2；当x ≥550时， f (x )＝(51－40)x ＝11x .故f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈<<-∈≤<+++),550(,11),550100(5022),1000(202N x x x N x x x x N x x x。
Unit 3 测试卷(A卷基础篇)(解析版)
Unit 3 How do you get to school? 测试卷（A卷基础篇）【人教版】学校：__________班级：__________姓名：_________ 考号：___________温馨提示：本试卷共分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题；满分为100分，考试时间为100分钟。
请同学们将【答案】写在答题卡上，务必注意你的书写。
第Ⅰ卷选择题Ⅰ.单项选择（15分）1.—________ is it from your house to the bookstore?—It's about fifteen minutes' walk.A. How longB. How farC. How oftenD. How soon【答案】B【解析】考查疑问词辨析。
How long多长时间，用来询问时间。
How far 多远，用来提问距离。
How often 多久一次，提问频率。
How soon多久，询问时间。
根据答语It's about fifteen minutes' walk. 可知，大约步行15分钟，这是对距离的回答，而how far用来提问距离，故选B。
2.—How long does it ________ them to get to school every day?—About half an hour.A. takeB. getC. haveD. need【答案】A【解析】考查动词辨析。
take，花费，使用时需要用it做主语。
get，得到，动词。
have，有，动词。
D need，需要，动词。
根据答语About half an hour. 可知，半个小时，时间，所以表示花费时间，it take sb. time to do，固定搭配，所以此空用take，故选A。
3.—There's no bridge over the river. How can they ________ it?—By boat.A. goB. cleanC. drawD. cross【答案】D【解析】考查动词辨析。
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专题3.3 幂函数测试（A 卷基础篇）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x =B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1或2D ．23．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ） A ．-1B ．2C ．-1或2D ．35．（2019·贵州省高二学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，则α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．36．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数7．（2020·上海高一课时练习）下列函数在定义域上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．34y x =B ．13y x =C ．4y x -=D ．43y x =8．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称9．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D10．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.12．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．13．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______.14．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________．15．（2020·浙江省高一期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为_________；函数()f x 为_________函数.（填“奇”或“偶”）16．已知幂函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的表达式为______；单调递增区间为______．17．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数()f x 的图象过点(，则()4f =______，()22y f x =-的定义域为______．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小：（1）3355 1. 5,1.7；（2）2233( 1.2),( 1.25)----.19．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.12.3和 1.12.5 （2）1232()a -+和132-.20．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4y x =；（2）14y x =；（3）3y x -=；（4）23y x =. 21．（2019·全国高一课时练习）若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.22．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.专题3.3 幂函数（A 卷基础篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =【答案】D 【解析】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数()221()21m f x m m x-=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1或2 D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．4．（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ） A ．-1 B ．2C ．-1或2D ．3【答案】A【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．5．（2019·贵州省高二学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，则α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意，幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，可得24α=，解答2α=. 故选：C.6．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.7．（2020·上海高一课时练习）下列函数在定义域上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．34y x = B ．13y x =C ．4y x -=D ．43y x =【答案】B 【解析】34y x =在定义域[0,)+∞上是非奇非偶函数，在区间(),0-∞上无定义；所以A 错；13y x =在定义域(,)-∞+∞上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数；所以B 对；4y x -=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是偶函数，在区间(),0-∞上是增函数；所以C 错；43y x =在定义域(,)-∞+∞上是偶函数，且在区间(),0-∞上是减函数；所以D 错；故选：B8．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 故选：B.9．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D ．3【答案】A 【解析】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A10．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数. 故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.【答案】(),0-∞ 【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数，又因为函数()221f x x x -==是偶函数，所以函数在(),0-∞是增函数.故答案为：(),0-∞12．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【答案】1(,]8-∞- 【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值18-，又当0x →时，y →-∞，所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-.故答案为：1(,]8-∞-.13．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______. 【答案】3 【解析】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ，42α∴=，12α∴=， ()12f x x ∴=，()12993f ∴==.故答案为：314．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________． 【答案】2x 1x - 【解析】因为()f x 是幂函数，所以设()f x x α=（α为常数），又因为()f x 又是二次函数，所以2α=，即2()f x x =因为()g x 是幂函数，所以设()g x x β=（β为常数），又因为()g x 又是反比例函数，所以1β=-，即1()g x x -=故答案为：2x ；1x -15．（2020·浙江省高一期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为_________；函数()f x 为_________函数.（填“奇”或“偶”）【答案】3. 奇. 【解析】∵幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)， ∴28α=，得3α=，3()f x x =，∴3()()f x x -=-3()x f x =-=-，函数()f x 的定义域为R ，∴函数函数()f x 为奇函数， 故答案为：3，奇．16．已知幂函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的表达式为______；单调递增区间为______．【答案】 2()f x x -=, (,0)-∞【解析】设幂函数的解析式为()nf x x =,由1(2)4f =,得124n=,解得2n =-, 所以2()f x x -=,递增区间为(,0)-∞.故答案为:2()f x x -=, (,0)-∞17．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数()f x 的图象过点(，则()4f =______，()22y f x =-的定义域为______．【答案】2 ⎡⎣【解析】设幂函数()af x x =，其图象过点(，3a ∴=；解得12a =，()f x ∴=，故()42f =，由220x -≥，解得：x ≤≤()22y f x =-的定义域为：⎡⎣.故答案为2，.⎡⎣三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1）3355 1. 5,1.7；（2）2233( 1.2),( 1.25)----.【答案】（1）3355 1. 5 1.7<；（2）2233( 1.2)( 1.25)--->-. 【解析】（1）∵幂函数35y x =在(0,)+∞上是增函数，且1.5 1.7<，33551.5 1.7∴<.（2）23y x -=在(,0)-∞上是增函数，且 1.2 1.25->-，2233( 1.2)( 1.25)--∴->-.19．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小：（1） 1.12.3和 1.12.5 （2）1232()a -+和132-.【答案】（1） 1.1 1.12.3 2.5<；（2）11233(22)a --+≤. 【解析】（1）考察幂函数 1.1y x =，因为其在区间[0,)+∞上是增函数，而且2.3 2.5<，所以 1.1 1.12.3 2.5<. （2）考察幂函数13y x =，因为其在区间(0,)+∞上是减函数，而且222a +≥，所以11233(22)a --+≤. 20．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4y x =；（2）14y x =；（3）3y x -=；（4）23y x =.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞；（2）定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞；（3）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞；（4）定义域为R ，值域为[0,)+∞.【解析】（1）函数的定义域为R ，值域为[0,)+∞. （2）因为14y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞.（3）因为331y xx-==，所以0x ≠，且0y ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.（4）因为23y x ==R ，值域为[0,)+∞.21．（2019·全国高一课时练习）若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 22．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定第 11 页 共 11 页 义域.【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】 2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.。