第8章 系统实现09

第8章 离散系统实现8.1 引言一个线性移不变系统具有有理系统函数()H z ，形如11(0)(1)()1(1)b b z H z a z--+=+ 则输入()X z 与输出()Y z 之间的关系为：11()(1)()(0)()(1)()Y z a z Y z b X z b z X z --+=+所以输入()x n 与输出()y n 之间的关系为：()(1)(1)(0)()(1)(1)y n a y n b x n b x n +-=+-即()(1)(1)(0)()(1)(1)y n a y n b x n b x n =--++- （8.1.1）令11()()1(1)W z X z a z -=+ 则有 1()(0)()(1)()Y z b W z b z W z -=+于是输入()x n 与输出()y n 之间的关系又可以描述为：()(1)(1)()w n a w n x n =--+ （8.1.2a ）()(0)()(1)(1)y n b w n b w n =+- (8.1.2b)可见，同一个系统可以不同的差分方程来描述。

如果实现该系统，式（8.1.1）表明，在()1n -时刻需要两个存储位置：一个存储(1)y n -，一个存储(1)x n -；而式（8.1.2）表明，在()1n -只需要一个存储位置来存储(1)w n -。

这个简单的例子说明有多种方法可以用来实现系统，而所需要的计算量或存储量取决于实现方法。

另外，实现方法还可以决定系统生成的程序规模、对参数和采样字长限制的忍耐力、量化噪声、稳定性等。

当然，设计者如果时间紧张，可以只选用FIR 系统的直接实现形式或者IIR 系统的级联实现形式。

8.2 数字网络一个线行移不变系统具有有理系统函数，表示输入()x n 与输出()y n 之间的关系是一个线性常系数差分方程：01()()()()()q qk k y n b k x n k a k y n k ===---∑∑求解n 时刻输出所需的基本运算单元是加法器、乘法器和延时器。

用框图来显示实现给定的系统时，这些加法器、乘法器和延时器的组合与连接非常方便，这些基本单元的符号如图8.2.1所示。

（a ）加法器（b ）乘法器（c ）单元延时器 图8.2.1 数字网络中加法器、乘法器和延时器的表示法一个网络常用信号流图来表示，有向支路在节点处连接。

每一个支路有一个输入和输出，方向用箭头表示。

流图中的节点相当于加法器或分支点。

加法器相当于有多个输入分支的节点，分支点相当于有多个输出分支的节点，如图8.2.2所示。

图8.2.2 包括节点、分支和节点变量的信号流图（节点j 表示一个加法器，节点k 是一个分支点）例8.2.1 一个一阶离散系统用差分方程描述：()(0)()(1)(1)(1)(1)y n b x n b x n a y n =+-+-绘制该系统的框图和信号流图。

)na解8.3 FIR 系统结构这里将简要介绍实现FIR 滤波器的四种主要结构。

直接型由于简单、有效而超过其他的形式，在大多数应用中成为设计者的首选。

其他的方法在某些专用领域，如语音信号处理，实现超长滤波器或者采用整系数时有利用价值。

8.3.1 直接型设FIR 的单位冲激响应)(n h 为一个N 点序列，系统函数为：∑-=-=10)()(N n nz n h z H根据系统函数可得到图8.3.1所示的直接形式的FIR 滤波器。

它是通过将输入信号的样值同滤波器系数(抽头)相乘，再将其结果相加，生成滤波后的输出信号样值的。

在这种情况下，尽管是以DSP 的最大字节长度标定，滤波器参数就是滤波器脉冲响应的样值。

图8.3.1 直接形式FIR 滤波器结构()x n (0)b ()y n(1)b (1)a对于线性相位FIR 滤波器，滤波器参数)0(h 和)(n h 、)1(h 和)1(-n h 、)2(h 和)2(-n h 等是相等的。

所以，可以通过将相应的延时元素对乘以同一抽头后的输出相加，从而简化滤波器的结构。

例写出图示系统的系统函数，分析其特点。

解12()0.250.50.25H z z z --=-+-该系统为线性相位FIR 型。

8.3.2 频率采样型在第5章曾经提到用N 个频率采样X (k )来恢复X (z )的插值公式为：∑-=-----=1011)(1)(N k k N Nz W k X Nz z X 同理，用)(k H 表示)(z H 的插值公式为： ∑-=-----=1011)(1)(N k k N Nz W k H N z z H (9.4.1) 图8.3.2 频率采样型FIR 滤波器结构可见，这是一种用DFT 系数将滤波器参数化的一种实现结构，它由两部分级联而成：第一部分是一个梳状滤波器，第二部分由N 个一阶网络并联而成，而且每一个一阶网络都是一个谐振器。

根据式（8.3.1）绘出结构如图8.3.2所示，称为频率采样型。

它能在实现给定的任务时，适度地节省滤波器的参数数量。

例如，对于一个窄带滤波器而言，它的大部分DFT 系数为0，所以采用该结构是一种很有效的实现方法。

此外，频率采样型还能实现整系数或者系数以2为权值的FIR 滤波器。

这就使该结构在使用简单处理器或者门阵列实现的情况下有利用价值。

不过，许多设计包并不支持该结构。

例8.3.1 设某FIR 系统的系统函数为：)3531(51)(4321----++++=z z z z z H 试画出此系统的信号流图，要求所用乘法器最少。

解： 此FIR 系统的单位冲激响应为()(1),h n h N n =--即对(-1)/2n N =呈现偶对称，可用线性相位结构。

如下图所示。

8.3.3 格型格型滤波器的结构如图8.3.3所示。

该结构的主要优点为：①模块化结构便于实现高速并行处理；②一个n 阶格型滤波器可以产生从1 阶到n 阶的n 个横向滤波器的输出性能；③对有限字长的舍入误差不灵敏。

因此，在现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等方面成为首选。

例如，在实现语音压缩算法时，格型滤波器几乎是唯一的选择，因为它提供两个输出：一个对应于滤波后的信号，另一个是用于驱动压缩算法的自相关信号。

格型滤波器实现方法比直接形式要复杂，从而限制了它的使用范围。

虽然网格参数可以由直接形式的参数计算得出，但是CAD 设计包并不支持它。

图8.3.3 格型FIR 滤波器结构8.3.4 基于FFT 的形式还有一种FIR 滤波器的实现形式是利用时域一频域变换（如DFT 或FFT ），将时域采样值转变为频域采样值，在频域处理后再通过反频域一时域变换生成所需输出，其结构如图9.3.4所示。

图8.3.4 基于FFT的FIR滤波器的实现该方法同直接形式的FIR结构比较，是一种十分冗长的方法。

但是，FFT方法的吸引人之处就是在滤波器长度超长时(例如超过160个参数)，其处理时间远远低于直接形式方法。

此外，FIR数字滤波器还有一些其它的结构，如级联型、线性相位型。

8.4IIR系统结构就像FIR滤波器结构一样，IIR滤波器也有多种结构，其中的级联型适用于大多数场合的应用。

另外两种结构：并联和直接型，同级联型比较存在各自的缺点。

8.4.1 级联型级联的IIR滤波器结构如图8.4.1所示，构成一个二阶滤波器组序列，后面的滤波器作用于前面滤波器的输出。

因为组中的各个滤波器都会在特定的频率点处产生增益或损耗，所以必须在衡量输入或输出信号时，注意避免过载产生，或者在信号过小时，注意量化问题。

从设计者的角度出发，使用级联形式的主要考虑是：①可以通过观测滤波器级间输出，检查过载、噪声或者不稳定性来调试滤波器；②级联对参数量化和舍入噪声不很敏感；③大多数的滤波器设计包默认级联形式，并且默认在整个滤波器中，级间增益能保证最大化的信号噪声比性能。

使用级联形式的主要考虑是：①可以通过观测滤波器级间输出，检查过载、噪声或者不稳定性来调试滤波器；②级联对参数量化和舍入噪声不很敏感；③大多数的滤波器设计包默认级联形式，并且默认在整个滤波器中，级间增益能保证最大化的信号噪声比性能。

图8.4.1 级联型IIR滤波器结构8.4.2 并联型并行形式的IIR滤波器结构如图98.4.2所示，通过将二阶滤波器组求和实现，也是一种不错的设计选择，它能提供较低的量化影响灵敏度。

但是，由于它不能提供像级联形式那样一级一级的简便调试模式，所以没有得到广泛的使用。

图8.4.2 并联型IIR滤波器结构8.4.3 直接型直接形式的IIR滤波器如图8.4.3所示，因为该方法对参数量化有极高的灵敏度，而且不利于调试，所以很少得到使用。

图8.4.3 直接型IIR滤波器的结构例8.4.1 系统函数为21214.06.028.02.43)(-----+++=zz z z z H 绘制直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构。

解：21212.03.014.01.25.1)(-----+++=zz z z z H 所以，5.10=b ，1.21=b ，4.02=b ，3.01-=a ，2.02=a ，直接I 型和直接Ⅱ型结构为：例8.4.2 系统函数为21214.25.018.17.55.1)(------++=zz z z z H 绘制直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构。

解：21214.25.018.17.55.1)(------++=z z z z z H 所以，5.10=b ，7.51=b ，8.12=b ，5.01=a ，4.22=a ，直接I 型结构为：直接Ⅱ型结构为：n y。