第三章复变函数的积分(答案)
复变函数第三章答案
解 如第 4 题图， C = 1, 2 + C2+ + 2i,i + C1− ，其中
���
����
1, 2 ： z = 1+ t （ 0 ≤ t ≤ 1 ）， 2i,i ： z = 2i ⋅ (1− t) + i ⋅ t = (2 − t)i （ 0 ≤ t ≤ 1 ）；
C1− ： z = 1； C2+ z = 2 。
∫ 解（1）先计算 I2 =
1 dz ： C (z −1)2
由于 1 在 ℂ \{1}内存在单值的原函数 − 1 ，所以，由复积分的牛顿—莱布尼茨公式，
(z −1)2
z −1
∫ I2 =
C
(z
1 − 1)2
dz
=
−
z
1 −1
3 2
=
1 1− 3
−
1 1−2
=
1 2
。
∫ 再计算 I1 =
1 dz ： C z −1
z − a dz =
C
θ2 R ⋅ e−iθ ⋅i ⋅ R ⋅eiθ dθ =
θ1
θ2 θ1
R2 ⋅idθ
= i ⋅(θ2
−θ1 )R2 。
4. 计算积分：
∫ I = 1 dz ，
Cz
{ } 其中积分路径 C 是圆环形闭区域 z 1 ≤ z ≤ 2 位于第一象限部分的边界，方向为逆时针.
复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答
如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系
【答案 单连通 无关，复连通 有关】
计算积分
||z ⎰i
【答案 0】 计算积分
22d L z z a -⎰i :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=
【答案 (1)0；（2）πi
a ； (3)πi
a -】 计算积分 Im d C z z ⎰，其中积分曲线C 为
（１）从原点到2i +的直线段；
（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；
（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）
【答案 2
(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 计算积分 d ||C z z z ⎰i 的值，
(1)||2; (2)||4;z z ==
【答案(1)4πi;(2)8πi 】
计算积分的值 π2i 0
cos d 2z z +⎰
【答案 1/e e +】
计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =⎰i ；（2）2||2d z ze z =⎰i
21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰i i 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi
4i +】
计算
2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z
第三章 复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答
3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？
【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =
-⎰
的值
【答案 0】
3.3 计算积分
22d L z
z a -⎰:其中0a >．设 L 分别为
（1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=
【答案 (1)0；（2）
πi
a
； (3)πi
a -】
3.4 计算积分 Im d C z z
⎰，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段；
（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；
（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）
【答案 2
(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】
3.5 计算积分 d ||C z z
z ⎰的值，
(1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】
3.6 计算积分的值 π2i
cos d 2z z
+⎰
【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值
（1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2
d z z
e z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi
4i +】
3.8 计算
2||2||232|i|1||15
22||1|i|2(1)d ; (2)d ;
3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z
复-第三章 复变函数的积分 作业题
p = 1,即 p = ±1时v为调和函数.
2
v v px px 解: = pe sin y , = e cos y x y ( x, y ) u ( x, y ) v u v u = ∫ dx + dy + c = ∫ dx dy + c (0,0 ) x (0,0 ) y y x ( x ,0 ) v ( x, y )v v v = ∫ dx dy + ∫ dx dy + c (0,0 ) y ( x ,0 ) y x x = =
7.沿指定曲线的正向计算下列各积分: sin z 9) ∫C π 2 dz,C : z = 2; z 2 2 包含C内的复平面内解析,根据柯西积分的高阶 f ( z) 2πi ( n ) dz = f ( z0 ),n = 1,2, 导数公式∫ n +1 C (z z ) n! 0 2πi d sin z dz = 得∫ 2 C 1! dz π z 2 sin z
z = z0 =
解:被积函数的奇点: z = z0 =
π
在C内, 且 sin z在
π
2
= 2πicos z z = z
0=
π
2
=0
8.计算下列各题. 4) z sin zdz ∫
0 1
解:因被积函数z sin z在复平面为解析函数, 故z sin z有原函数,于是利用分部积分和牛 顿-莱布尼兹公式,得 z cos z 1 1 cos zdz ∫0 z sin zdz = ∫z =z0d cos z = ∫0 0
复变函数1到5章测试题及答案
复变函数1到5章测
试题及答案
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
- 2 -
第一章 复数与复变函数(答案)
一、 选择题
1．当i
i
z -+=
11时，5075100z z z ++的值等于（B ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-
2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π
-=，那么=z （A ）
（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2
321+-
（D ）i 2
1
23+-
3．复数)2
(tan πθπ
θ<<-=i z 的三角表示式是（D ）
（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπ
θπθ+++i
（C ）)]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i （D ）)]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（C ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛
物线
- 3 -
６．一个向量顺时针旋转3
π
，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（A ）
（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解
1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o
1）自原点至3 + i的直线段；
解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0
2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八
解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0
3 1
=-33 «3
连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O
彳" 3 n 3
・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)3
3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0
J：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸
连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dt
r*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅
2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx
・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +
•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dx
f 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i
0=(3 + 厅0 d
^ed Z=[\2dt=护
而（W 宙討…T + 一 11.1.1
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ]
5. 由积分⎰C1/(z + 2) dz之值证明⎰[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1．
【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故⎰C1/(z + 2) dz = 0．
设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]．
则⎰C1/(z + 2) dz = ⎰C1/(z + 2) dz = ⎰[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ
= ⎰[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ
= ⎰[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ
= ⎰[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ⎰[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ．
所以⎰[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0．
因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故⎰[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故
⎰[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ⎰[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0．
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)
一、填空题 1、i
e
π2的值为 。
2、k 为任意整数，则3
4+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）
2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）
3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题
1．当i
i z -+=
11时，50
75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-
2．复数)(tan πθπ
θ<<-=2
i z 的三角表示式是（ ）
（A ）)]2
sin()2
[cos(sec
θπ
θπθ+++i （B ）)]2
3sin()23[cos(sec θπ
θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec
θπθπθ+++-i （D ）)]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 3．使得2
2
z z =成立的复数z 是（ ）
（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若
θi re i i
=+--2
)
1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,2
10
r （C ）3arctan ,2
10
-==
πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
复变函数答案 钟玉泉 第三章习题全解
f ′(z) g( z) + f (z) g′(z) 的一个原函数.
从而
β
β
∫α [
f
′(z) g( z)
+
f
(z) g′(z)]dz
=[
f
( z)g (z)] α
β
ββ
因此得
∫α
f
( z)g ′(z)dz
=
[f
(z) g(z)] α
−
∫α
f
′( z)g (z)dz
.
∫ 8.证明：Q| z |= 1,∴ dz = 0
∫ ∫ 故
( x 2 + iy 2 )dz = i (x 2 + iy 2 )dz ≤ 2 .
C
−i
(2) C : x2 + y 2 = 1, x ≥ 0
而 f (z) = x 2 + iy 2 = x4 + y 4 ≤ 1,右半圆周长为π ,
∫ 所以 i ( x2 + iy 2 )dz ≤ π . −i
D 内解析,于是其实部 ln f ′(z) 为 D 内的调和函数.
∫ 19.解: f (z) = z v( z)dz = − ki z 2
z0
2
∫ 10.解:(1)若 C 不含 z=± 1，则 c
4 z2 −1
=0
∫ sin π zdz
复变函数与积分变换第三章习题解答
I
忙 dz== 2 i(l) I, ()==0; z
=
C
次 ==0。 沪 zC
当原点在曲线 C外部时 ，
1/ z2 在C内
解析，故 p�dz = O 。
11. 下列两个积分 的值是否相等？积分2) 的值能否利用闭路变形原理 从 I) 的值得到？为什么？
l)
1:.1=2
f王 z
21T
心
；
2)
= 0;
3
，
立其中C为以已，土�i为顶点的正向菱形 f 2 5 c z -i
，
C :IzI= 1为正向
解
I)
2)
扣上十二）dz=2
2i 心＝ f— z +I
C
2 C
z+l z+2i
冗
i(4+3) = 14Jri 2i/(z-i) dz = 0 z+i
＿ _ J刊 上中
3)
C=C1 +C2
小
2冗i 2冗i cos z cosz cos z �dz = f�dz-f�dz = —(cos z)"长－—(cosz)" l::o = 0 2! 2! z c, z Ci z
7. 沿指定曲线 的正向计算下列各积分 e"
dz., (I) f Cz-2
古萨基本定理和柯西积分公式 。
第三章-复变函数的积分(答案)
2．设 ，其中 ，则 0， 0。
三．解答题：
1．设 是解析函数且 ，求 。
2．计算 ，C分别为：
(1) ；(2) ；(3) .
解：
（1）
（2）
（3）
3． ，其中 为 的任何复数， 为正向
解：
4．计算下列积分的值，C为由 所围的矩形边界正向。
(1)
(2)
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
（A） （B）
（C） （D）
2．设 为正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 在单连通域 处处解析且不为零， 为 任何一条简单闭曲线，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二、填空题
1．设 为正向圆周 ，则
2．闭曲线 取正方向，则积分 0。
三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
4．设 在复平面处处解析且 ，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二．填空题
1．设 为沿原点 到点 的直线段，则 2。
2．设 为正向圆周 ，则
三．解答题
1．计算下列积分。
（1）
（2）
（3）
（4）
2．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
（1）
（2）
3．分别沿 与 算出积分 的值。
解：(1)沿y=x的积分曲线方程为
复变函数习题三
第三章 复变函数的积分
一、 判断题
（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分
⎰
=--r
a z dz a
z 1
的值与半径)0(>r r 的大小无关。（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ）
（5） 若)(z f 在10<
)(z f 在0=z 处解析。（ ）
（6） 设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。（ ） （7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ） 二、选择题：
1．设C 为从原点沿0至i 21+的有向线段，则=⎰
C
z z d Re ( )
（A ）
i -21 （B ）i +-21 （C ）i +2
1
（D ）i --21
2．设C 为不经过点1,0与i -的正向简单闭曲线，则
z i z z z C
d )
()1(1
2⎰
+-为( )
（A ）
2i π （B ）2
i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设C 为从1沿1=+y x 至i 的直线段，则
=-+⎰
y xy x y x C
d 2d )(22( )
（A ）i - （B ）i （C ）1 （D ）1-
4．设C 为正向圆周2=z ，则=+⎰-z z e c z
d )
1(2
( ) （A ）i π2- （B ）i e π2- （C ）i e π2 （D ）12i π
5．设C 为正向圆周2
923859-复变函数-3-习题课
f (z) ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
C
ez z(1
z)3
dz
C
ez (1
z z)3
dz
C
(z
ez1)z3dz
2i f (1)
2!
i ( z 2
2z z3
2)e z
z 1
ei.
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17
4)若封闭曲线C既包含1又包含0,
则分别以0,1为圆心,以 0为半径作圆C1,C2 ,
得
v
(2 y
x)dx
2 xy
x2 2
g(
y),
v 2x g( y). y
又 v u 2x y. y x
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26
比较两式可得 : 2x g( y) 2x y, 故 g( y) y.
即 因此
g( y)
ydy
y2 2
C.
v 2xy x2 y2 C
(n
1)! 1
1 n
n
e(n
1)!
(n 1,2,)
证
因为
f (n)(0)
n! 2i
z r
f z
(z)
n1
dz
0 r 1,
所以
f (n)(0) n! 2 z r
第三章复变函数的积分(答案).doc
复变函数练习题 第三章
复变函数的积分
系
专业
班
姓名
学号
§1 复变函数积分的概念
§4 原函数与不定积分
一．选择题
1．设 C 为从原点沿 y 2
x 至 1 i 的弧段，则
( x iy 2 ) dz
[
]
C
（ A ）
1 5
i
（ B ） 1
5 i
（ C ） 1 5 i
（ D ）
1 5
i
6 6 6 6
6 6 6 6
2. 设 C 是 z (1 i)t ， t 从 1 到 2 的线段，则
arg zdz
[
]
C
（ A ）
（ B ） i
（ C ） 4 (1 i)
（ D ） 1 i
4
4
3．设 C 是从 0 到 1 i 的直线段，则 ze z dz
[
]
2
C
（A ）1
2 e （B ） 1
e （C ） 1
ei （D ）1
ei
2
2
2
4．设 f ( z) 在复平面处处解析且
i
2 i ，则积分
i z)dz
[ ]
f ( z)dz f (
i
i
（A ） 2 i
（ B ） 2
i
（C ） 0
（ D ）不能确定
二．填空题
1． 设 C 为沿原点 z
0到点 z 1 i 的直线段，则
2 z dz 2
。
C
2． 设 C 为正向圆周 | z
4 | 1 ，则
z 2
3z 2
dz
10 i.
C
(z 4)2
三．解答题
1．计算下列积分。 （ 1）
3 i
e 2 z dz
i
1 2 z 3 i
e
i
2
1 (e 6 i e
2 i ) 0
2
（ 2）
i
2
zdz
sin
i
i
1 cos2z z sin2z i
i 2 dz
2 4
i
i
sin2 i
e 2
e 2 e 2
e 2
2 i
i
.
4i
4
（ 3）
1 zsin zdz
0 (sin z zcos z)
（ 4）
1
0 sin1 cos1.
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第三章习题答案Word版
习题三
1. 计算积分2
()d C
x y ix z
-+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.
解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤
故
()()1
22
1
23
1
0()1
1
(1)(1)(1)333C
x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰
⎰
2. 计算积分(1)d C
z z
-⎰，其中积分路径C 为
(1) 从点0到点1+i 的直线段;
(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤
()()1
11()C
z dz x ix d x ix i
-=-++=⎰⎰
(2)设2
z x ix =+. 01x ≤≤
()()1
22
211()3
C
i
z dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰
3. 计算积分d C
z
z ⎰，其中积分路径C 为
(1) 从点-i 到点i 的直线段;
(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤
11
1
1
C
z dz ydiy i ydy i
--===⎰⎰⎰
(2)设i z e θ
=. θ从32π到2π
22
332
2
12i i C
z dz de i de i
π
π
θ
θππ===⎰⎰⎰
(3) 设i z e θ
=. θ从32π到2π
2
32
12i C
z dz de
i
π
θ
π==⎰⎰
6. 计算积分()sin z
C
z e z dz -⋅⎰,其中C
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第三章习题答案
解(1)设 .
(2)设 . 从 到
(3)设 . 从 到
6.计算积分 ,其中 为 .
解
∵ 在 所围的区域内解析
∴
从而
故
7.计算积分 ,其中积分路径 为
（1） （2） （3）
（4）
解：（1）在 所围的区域内， 只有一个奇点 .
（2）在 所围的区域内包含三个奇点 .故
(1) (2) (3)
解(1)
(2)
(3)
17.计算积分 ,其中积分路径 为
(1)中心位于点 ,半径为 的正向圆周
(2)中心位于点 ,半径为 的正向圆周
解：(1) 内包含了奇点
∴
(2) 内包含了奇点 ,
∴
19.验证下列函数为调和函数.
解(1)设 ,
∴
从而有
, 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
(2) 设 ,
∴
从而有
, 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
, 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
20.证明:函数 , 都是调和函数,但 不是解析函数
证明:
∴ ,从而 是调和函数.
∴ ,从而 是调和函数.
但∵
∴不满足C-R方程,从而 不是解析函数.
22.由下列各已知调和函数,求解析函数
(1) (2)
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复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
系 专业 班 姓名 学号
§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分
一．选择题
1．设C 为从原点沿2
y x =至1i +的弧段，则2()C
x iy dz +=⎰
[ ]
（A ）
1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15
66
i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C
zdz =⎰
[ ]
（A ）
4
π
（B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i +
3．设C 是从0到12
i π+的直线段，则z
C ze dz =⎰ [ ]
（A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12
ei π
-
4．设()f z 在复平面处处解析且
()2i
i
f z dz i ππ
π-=⎰，则积分()i
i
f z dz ππ--=⎰
[ ]
（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题
1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则
2C
zdz =⎰
2 。
2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22
32
(4)
C
z z dz z -+=-⎰
10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1）
323262121
()02i
z
i
i
z i i i e
dz
e
e e ππππππ---=
=-=⎰
（2）
2
2222sin
1cos2sin 222
4sin 2.244i
i
i
i
i i zdz
z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ
ππππ------⎛⎫
==- ⎪⎝⎭⎛⎫
--=-=-=+
⎪⎝
⎭
⎰⎰
（3）
1
1
0sin (sin cos )sin1cos1.
z zdz
z z z =-=-⎰
（4）
20
222
cos sin 1sin sin().2
22
i
i
z z dz
z i ππππ=
=⋅=-⎰
2．计算积分
||C z
dz z ⎰的值，其中C 为正向圆周：
（1）
220
0||2
2,022224.
2
i i i z C z e e ie d id i θθππθ
θπ
θθπ-==≤≤⋅==⎰
⎰积分曲线的方程为
则原积分I=
（2）
220
0||4
4,024448.
4
i i i z C z e e ie d id i θθ
π
πθθπ
θθπ-==≤≤⋅==⎰
⎰积分曲线的方程为
则原积分I=
3．分别沿y x =与2
y x =算出积分10
()i
i z dz +-⎰
的值。
解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为
(1),
01z i t t =+≤≤
则原积分
1
1
1
20
[(1)](1)(12)[(1)]2
I i i t i dt
i t dt i t t i =--+=--=--=-⎰⎰
（2）沿2
y x =的积分曲线方程为
2,
01z t it t =+≤≤
则原积分
1
20
1
1
3224300
[()](12)3112
[32(1)][()]2.2233I i t it it dt
t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+⎰⎰
4．计算下列积分
(1)
2()C
x y ix dz -+⎰
,C:从0到1i +的直线段；
C 的方程：
(1),01z i t t =+≤≤
(),01()x t t
t y t t
=⎧≤≤⎨
=⎩或
则原积分
1
20
12
0[](1)1
(1).
3
I t t it i dt
i i t dt =-++-=-=⎰⎰
(2)
2()C
z zz dz +⎰
，C ：||1z =上沿正向从1到1-。
C 的方程：
,
0i z e θθπ=≤≤
则原积分
20
330
(1)8().
33i i i i i i I e ie d e i e
e d e π
θθπ
θπ
θ
θ
θθ
θ=+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰