直角坐标系 学案1 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
苏教版高二数学选修4-4 极坐标系 学案
4.1.2 极坐标系1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从点O 引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以O x 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是=cos =sin x y ρθρθ⎧⎪⎨⎪⎩ ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是222=tan =(0)x y yx x ρθ⎧+⎪⎨≠⎪⎩预习交流1．建立极坐标系的意义是什么？ 提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．一、极坐标系中点的表示已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫⎪⎝⎭，其坐标也可表示为______________或______________． 答案：π5,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：一般地，如果点M 的极坐标是(ρ，θ)，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)，k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标．以下四个点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，－π6，C ⎝⎛⎭⎫3，13π6，D ⎝⎛⎭⎫3，17π6，表示同一个点的是__________．答案：点A ，C在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．二、对称性问题在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴所在直线的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ＞0，θ∈[0,2π))答案：(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是__________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3 解析：与A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，k ∈Z ，而ρ＞0，θ∈[0,2π)，∴所求坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3. (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是__________． 答案：⎝⎛⎭⎫8，π6 解析：点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，76π，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则其极坐标为__________．(ρ＞0,0≤θ＜2π)答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－1－3＝33，∵点在第三象限，∴θ＝76π.故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，76π. 3．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－π4，化为直角坐标为__________． 答案：(22，－22)解析：x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标__________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x ＝23－2＝－3，又∵点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点(3，3)在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4.。
苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)
极坐标系【学习目标】掌握极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题。
【学习过程】一、基础梳理1．极坐标系的概念2．直角坐标与极坐标的互化3．几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：（3）直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴： 4．几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，半径为r ：（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：（3）当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ： 二、基础练习1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________。
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________。
3．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________。
4．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________。
5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________。
三、典例训练例1．设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程。
例2．在极坐标系中，若过点(1，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ．B 两点，则|AB |＝________。
例3．在圆心的极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。
四、巩固练习1．点P 的直角坐标为(1，－3)。
则点P 的极坐标可以是________。
2．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________。
3．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程。
高中数学 4.1.2 极坐标系(1)学案 苏教版选修4-4
选修4－4坐标系与参数方程 4.1.2 极坐标系（1）学习目标能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
学习过程：一、预习：（一）情境： 军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？（二）极坐标系的知识：1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 。
引一条射线OX ，叫做 。
再选定 及 （通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的 ， θ叫做点M 的 ，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的 。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈练习如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：1、他向东偏北600方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？2.如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、课堂训练：例1．写出下图中各点的极坐标：例2． 在极坐标系中，1、 已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2、已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的所组成的图形。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》7
《极坐标系》教学设计江苏省海州高级中学高静一、教材分析本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。
教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。
二、学情分析笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。
学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。
三、教学目标（1）认识极坐标系；（2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：（3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；（4）能进行极坐标和直角坐标的互化。
四、重点、难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学过程（一）情境引入电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。
问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度）【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。
【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？”（二） 知识初建构问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结）【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。
教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。
选修4-4平面直角坐标系教案
选修4-4平面直角坐标系教案教案标题：选修4-4 平面直角坐标系教案目标：1. 理解平面直角坐标系的基本概念和组成要素。
2. 掌握在平面直角坐标系中表示点的方法和坐标计算。
3. 能够绘制简单的图形并进行坐标计算。
4. 运用平面直角坐标系解决实际问题。
教学内容：1. 平面直角坐标系的概念和组成要素。
2. 点的坐标表示和计算。
3. 图形的绘制和坐标计算。
4. 平面直角坐标系在实际问题中的应用。
教学步骤：第一步：引入（5分钟）1. 引导学生回顾关于平面直角坐标系的基本概念和用途。
2. 提出本节课的学习目标和重点。
第二步：讲解（15分钟）1. 通过示意图和实例，详细介绍平面直角坐标系的组成要素和表示方法。
2. 讲解点的坐标表示和计算方法。
3. 讲解如何绘制简单的图形和进行坐标计算。
第三步：练习（20分钟）1. 给学生一些简单的点坐标表示和计算的练习题，巩固学习内容。
2. 给学生一些简单的图形绘制和坐标计算的练习题，提高应用能力。
第四步：拓展（15分钟）1. 引导学生思考平面直角坐标系在实际问题中的应用。
2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
第五步：总结（5分钟）1. 总结平面直角坐标系的基本概念和应用方法。
2. 强调学生需要继续练习和应用所学知识。
教学资源：1. 平面直角坐标系示意图和实例。
2. 练习题集。
教学评估：1. 在练习环节中观察学生的解题情况，及时给予指导和反馈。
2. 在拓展环节中观察学生对实际问题的解决能力。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和探索更复杂的平面直角坐标系问题。
2. 引导学生进行实际问题的建模和解决。
备注：根据学生的学习情况和课堂时间的安排，可以适当调整教学步骤和时间分配。
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
选修4-4 第一讲 坐标系(平面直角坐标系)教案
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 3 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x？ 它是 1、2 的合成，先保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来 y 的 1/2，在此基础上，再将纵坐标变为原来的 3 倍，就得到正弦曲线 x y=3sin2x。 o 即在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,y’)， 坐标对应关系为
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选修 4-4 第一讲 坐标系
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y
边 AC,CF 上的中线， 建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF
C E
的位置关系。 以△ABC 的顶点Ａ为原点Ｏ，边 AB 所在的直线 x 轴，建
F O (A)
Bx
立直角坐标系，由已知，点 A、B、F 的坐标分别为 A ( 0, 0 ) , B
( c ,0 ) , F ( c/2 ,0 ).
平面直角坐标系中的伸缩变换 在三角函数图象的学习中，我们研究过这样的问题： 1 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到 y=sin2x? 在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)， 保持纵坐标不变， 将横坐标 x 缩为原来的 1/2， 就得到正弦曲线 y=sin2x。 “保持纵坐标不变， 将横坐标 x 缩为原来的 1/2”， 上述变换实 质上就是一个坐标的压缩变换（如何解释？） ，即：设 P(x,y)是平面 直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来 1/2，得到点 P’(x’,y’)，坐标对应关系为：
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选修 4-4 第一讲 坐标系
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极坐标系 学案1 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
4.1.2 极坐标系1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从点O 引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以O x 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是=cos =sin x y ρθρθ⎧⎪⎨⎪⎩ ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是222=tan =(0)x y yx x ρθ⎧+⎪⎨≠⎪⎩预习交流1．建立极坐标系的意义是什么？ 提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．一、极坐标系中点的表示已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫⎪⎝⎭，其坐标也可表示为______________或______________． 答案：π5,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：一般地，如果点M 的极坐标是(ρ，θ)，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)，k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标．以下四个点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，－π6，C ⎝⎛⎭⎫3，13π6，D ⎝⎛⎭⎫3，17π6，表示同一个点的是__________．答案：点A ，C在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．二、对称性问题在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴所在直线的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ＞0，θ∈[0,2π))答案：(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是__________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3 解析：与A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，k ∈Z ，而ρ＞0，θ∈[0,2π)，∴所求坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是__________． 答案：⎝⎛⎭⎫8，π6 解析：点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，76π，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则其极坐标为__________．(ρ＞0,0≤θ＜2π)答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－1－3＝33，∵点在第三象限，∴θ＝76π.故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，76π. 3．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－π4，化为直角坐标为__________． 答案：(22，－22)解析：x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标__________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x ＝23－2＝－3，又∵点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点(3，3)在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎫2，5π4.。
最新-高中数学 41《坐标系》学案 苏教版选修4-4 精品
4．1 坐标系基础知识1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
说出下图中各点的极坐标A （ ）B （ ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 P7约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x = 2ρ=y = tan θ=题型练习 1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 3．已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形4.已知△ABC 的三边a,b,c 满足2225b c a +=,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，探究BE 与CF 的位置关系。
高中数学4.1坐标系4.1.1直角坐标系知识导航学案苏教版选修4_4
4.1.1 直角坐标系自主整理1.坐标系是一个______________，它是实现_____________与___________互相转化的基础. 答案:1.参照系几何图形代数形式2.建立坐标系是为了______________，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有______________与它对应；反之，依据一个点的坐标就能______________.答案:2.确定点的位置确定的坐标确定这个点的位置3.在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立______________；在平面直角坐标系中，平面上所有点的集合与______________的集合建立一一对应；在空间直角坐标系中，空间所有点的集合与___________________________的集合建立一一对应.确定点的位置就是_______________________.答案:3.一一对应全体有序实数对（x,y）全体由三个实数组成的有序实数组（x,y,z）求出这个点在设定的坐标系中的坐标高手笔记1.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中，可以用有序实数对（组）确定点的位置，进而用方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系.2.平面和空间中点的位置都可以用有序数对（组），也就是坐标来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形在不同坐标系中具有不同的形式.3.坐标系包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.4.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.5.坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.6.坐标法在生活中的应用很广泛，如研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，可以帮助人们预防自然灾害的发生等等.名师解惑1.建立坐标系可以解决哪些问题，它是如何体现数学思想的？剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角的知识加以解决.平面直角坐标系是进一步学习函数、三角及其他坐标系的必备基础知识.我们画函数的图象、定义任意角的三角函数等许多知识都是与坐标系的建立紧密联系的，这就需要我们对各方面的知识扎实掌握，从而能得心应手地解决问题.2.建立直角坐标系的一般规律有哪些？剖析：一般情况下我们有这样一个建立直角坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形时，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段时,以线段所在直线为坐标轴，以线段端点或中点为原点.3.利用坐标法解决问题应注意什么？剖析：坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”. 讲练互动【例题1】如图，在长方体OABC —D 1A 1B 1C 1中，｜OA ｜=4，｜OC ｜=3，｜OD 1｜=2，AC 与OB 相交于P 点，OB 1与BD 1相交于点M ，建立适当的坐标系，分别写出点P 、M 的坐标.思路分析：以长方体的一个顶点为坐标原点，过此点的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标.解：如右图，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OD 1为z 轴建立空间直角坐标系.∴O（0，0，0），B （4，3，0）.∵P 为OB 中点,∴P 为（240+,230+,200+），即P （2，23，0）. 又∵D 1（0，0，2），M 为BD 1中点， ∴M 为（240+，230+，220+），即M （2，23，1）. 绿色通道建立坐标系应注意图形的特点，恰当建立往往给解决问题带来很大方便.变式训练1.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，建立适当的坐标系，并求点E 、F 的坐标.思路分析：建立空间直角坐标系，先作出E 、F 分别在xOy 平面内的射影，由射影确定E 、F 的横、纵坐标，由垂线段的长确定竖坐标.解：建立如下图所示的空间直角坐标系，则E 点在xOy 面上的射影为B （1，1，0），且E 点的竖坐标为21，所以E （1，1，21）.F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，F 点的竖坐标为1，所以F （21，21，1）. 【例题2】如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，｜O 1O 2｜=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=2PN ，即PN 2=2PN 2，结合图形由勾股定理转化为P 21-1=2(P 22-1），设P （x,y ），由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0）.设P （x,y ），则PM 2=PO 21-MO 21=（x+2）2+y 2-1.同理，PN 2=（x-2）2+y 2-1.∵PM=2PN ，即PM 2=2PN 2，∴（x+2）2+y 2-1=2［（x-2）2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即（x-6）2+y 2=33.这就是动点P 的轨迹方程.绿色通道本题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.变式训练2.如图，某城市中的高空观览车的高度是100m,在离观览车约150m 处有一建筑物，某人在离建筑物100m 的地方刚好可以看到观览车，你能根据上述数据求出该建筑物的高度吗？（人的高度不计，眼睛和高空观览车的最低点在同一水平线上，精确到0.01m ）思路分析：由已知条件可知，视线与观览车所在圆是相切关系，可以求得视线所在的直线方程，进而求得建筑物的高度.解：首先，以高空观览车的最低点为坐标原点，原点与高空观览车的中心的连线所在直线为y 轴，建立直角坐标系（如图）.由此可得圆C 的方程为x 2+（y-50）2=502.设看到观览车的视线方程为y=k （x-250）.因为直线BT 与圆C 相切，所以501|25050|2=++k k .解得k=0（舍去）或k=125-.所以直线BT 的方程是y=125-（x-250）.当x=150时，y≈41.67 m.即建筑物的高度约为41.67 m.。
2017-2018学年高中数学选修4-4教学案：4-1 4.1-1 直角
4．1.1 直角坐标系1．直角坐标系2．解析法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．[例1] 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中(如图)，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点．试建立适当坐标系写出各顶点及M 点的坐标．[思路点拨] 空间直角坐标系的建立关键是结合图形的结构特征确定两两互相垂直的三条直线，从而确定坐标系，再写出各点的坐标．[对应学生用书P1][对应学生用书P1][精解详析] 如图以C 1为原点，C 1B 1，C 1A 1，C 1C 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C 1(0,0,0)，C (0,0，6)，A 1(0，3，0)，A (0，3，6)，B 1(1,0,0)，B (1,0，6)，M ⎝⎛⎭⎫0，0，62.根据图形的结构特征，合理地建立坐标系不仅使图形中点的坐标易确定，同时，对于研究图形的几何性质也会简化．一般情况下，建立平面直角坐标系的原则有垂直关系的先利用垂直关系确定x 、y 轴，无垂直关系有定长线段的，则以定长线段的垂直平分线为一轴，这样建立坐标系，使图形中的点尽可能多的在轴(或面)上，从而使坐标简化．1．在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，且BD ＝2DC ，BC ＝AD ＝2，若M 为BC 的中点，建立适当的平面直角坐标系表示各顶点及M ，D .解：建立如图所示的平面直角坐标系，则各顶点及M ，D 的坐标分别为A (13，2)，B (－1,0)，C (1,0)，M (0，0)，D (13，0)．2．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．试建立恰当坐标系写出B 点，E 点，D 点坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系．依题意，得B (1,0,0)，D (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12.[例2] 已知M 2＝AM 2＋BM ·MC . [思路点拨] 取BC 中点为原点，中垂线为y 轴，建立坐标系后，确定点的坐标，利用距离公式可证明．[精解详析] 证明：取BC 的中点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A ，B 的坐标分别为(0，b )，(－a,0)，则C 点的坐标为(a,0)，从而AB 2＝a 2＋b 2.令M 的坐标为(x,0)， 则AM 2＋BM ·MC ＝x 2＋b 2＋(a ＋x )(a －x ) ＝x 2＋b 2＋a 2－x 2＝a 2＋b 2， ∴AB 2＝AM 2＋BM ·MC .利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求法问题等，其关键是建立恰当坐标系，运用距离公式或建立方程得以解决问题．3．如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则由已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2. 因为O 1M ⊥PM ，O 2N ⊥PN ，O 1M ＝O 2N ＝1，所以PO 21－1＝2(PO 22－1)，即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]． 整理得，所求轨迹方程为x 2＋y 2－12x ＋3＝0.4．已知等腰三角形ABC 腰AC 上的中线长为3，求△ABC 面积的最大值． 解：以BC 所在边为x 轴，线段BC 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，b )，则AC 的中点为D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，于是由BD ＝3，得9a 24＋b 24＝3，即9a 2＋b 2＝12，从而S △ABC ＝12×2a ×b ＝ab ≤9a 2＋b 26＝2，当且仅当3a ＝b ＝6时等号成立，所以(S △ABC )max＝2.[例3] 求点M (－1,0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标．[思路点拨] 设出对称点M ′(x 0，y 0)，利用M 与M ′的中点在x ＋2y －1＝0及MM ′与已知直线垂直建立方程组可求．[精解详析] 设M ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋1·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，x 0－12＋2·y2－1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－15，y 0＝85.∴M ′⎝⎛⎭⎫－15，85.1．点关于点的对称：求点P 关于点M (a ，b )的对称点Q 的问题，主要依据M 是线段PQ 的中点，即x P ＋x Q ＝2a ，y P ＋y Q ＝2b .2．直线关于点的对称：求直线l 关于点M (m ，n )的对称直线l ′的问题，主要依据l ′上的任一点T (x ，y )关于M (m ，n )的对称点T ′(2m －x,2n －y )必在l 上．3．点关于直线的对称：求已知点A (m ，n )关于已知直线：l ：y ＝kx ＋b 的对称点A ′(x 0，y 0)的坐标的一般方法是依据l 是线段AA ′的垂直平分线，列出关于x 0、y 0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 0－nx 0－m ＝－1，y 0＋n 2＝k ·x 0＋m2＋b .4．直线关于直线的对称：求直线l 关于直线g 的对称直线l ′，主要依据l ′上任一点M 关于直线g 的对称点必在l 上．5．求直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程．解：设点(x ，y )为所求直线上任意一点． 因为点(x ，y )关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y ) 所以(2－x )－2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0为所求．6．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程．解：点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，∴反射光线所在直线的方程为：y －0－3－0＝x －12－1，即y ＝－3x ＋ 3.1.在如图所示的正方体中，设棱长为1，求： (1)A 1C 1与B 1D 1的交点E 的坐标； (2)BD 1与OB 1的交点F 的坐标．解：因为正方体的棱长为1，且E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1中心和正方体的中心，所以(1)点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，1. (2)点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，12.2．从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，求经y 轴反射的光线所在的直线方程．解：由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)， 又(2,3)关于y 轴对称点为(－2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)． 故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.3．在平面xOy 内求一点P ，使它到点A (4,5,6)，B (－7，3,11)的距离相等，且到点C (1,2,2)，D (4，6,3)的距离也相等．解：设所求P 点坐标为(x ，y,0)， 由题意得P A ＝PB ，且PC ＝PD ， 有(x －4)2＋(y －5)2＋(0－6)2 ＝(x ＋7)2＋(y －3)2＋(0－11)2，[对应学生用书P3]整理得11x ＋2y ＋51＝0，① (x －1)2＋(y －2)2＋(0－2)2 ＝(x －4)2＋(y －6)2＋(0－3)2， 整理得3x ＋4y －26＝0，②①②联立解得⎩⎨⎧x ＝－12819，y ＝43938，故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－12819，43938，0. 4．已知圆的半径为6，圆内一定点P 到圆心的距离为4，A ，B 是圆上的两个动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ (顺时针)的顶点Q 的轨迹方程．解：如图，以圆心O 为原点，OP 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则圆的方程为x 2＋y 2＝36，P (4,0)．设Q (x ，y )，PQ 与AB 相交于点P 1， 则P 1⎝⎛⎭⎫4＋x 2，y 2.由PQ ＝AB ＝2r 2－OP 21， 得 (x －4)2＋y 2 ＝236－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4＋x 22＋⎝⎛⎭⎫y 225.如图，以棱长为a 的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在棱CD 上．(1)当点P 在对角线AB 的中点时，点Q 在棱CD 上运动时，求PQ 的最小值；(2)当点P 为对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动，求PQ 的最小值．解：(1)B (0,0，a )，A (a ，a,0)，当P 为AB 的中点时，P ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.又Q 在CD 上运动，设Q (0，a ，t )，其中t ∈[0，a ]，则PQ ＝ ⎝⎛⎭⎫a 2－02＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2－t 2＝⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 22， 故当t ＝a 2时，PQ 取最小值22a .(2)由题图可知，当P 在AB 上运动时，P 到坐标平面xOz ，yOz 的距离相等，所以可设P (t ，t ，a －t )，t ∈[0，a ]．又Q 在CD 上运动，所以可设Q (0，a ，z 0)，z 0∈[0，a ]． 所以PQ ＝(t －0)2＋(t －a )2＋(a －t －z 0)2 ＝2t 2－2at ＋a 2＋(a －t －z 0)2 ＝(z 0＋t －a )2＋2⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 22. 当且仅当z 0＝t ＝a 2时，PQ 取最小值22a .6．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使P A 2＋PB 2＋PC 2最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝⎛⎭⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，0.设P (x ，y )， 则P A 2＋PB 2＋PC 2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立． ∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的中心． 7．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×(a ＋22)－3×(b ＋02)＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)， ∴由两点式得直线m ′的方程为 9x －46y ＋102＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 与BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由点B 与点A (－1,1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)． 设P (x ，y )，则k AP ＝y －1x ＋1，k BP ＝y ＋1x －1，于是由k AP ·k BP ＝－13，得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，即x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)因为∠APB ＝∠MPN ，所以sin ∠APB ＝sin ∠MPN . 又S △APB ＝12P A ·PB sin ∠APB ，S △MPN ＝12PM ·PN sin ∠MPN ，所以若S △APB ＝S △MPN ，则有P A ·PB ＝PM ·PN ， 即P A PM ＝PNPB. 设P (x 0，y 0)，则有x 0＋13－x 0＝3－x 0x 0－1.解得x 0＝53.又因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P 使得△P AB 与△MPN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，339或⎝⎛⎭⎫53，－339.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》3
极坐标系的概念教学目标：1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系。
2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标。
教学重点：极坐标系的概念与极坐标的规定。
教学难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式。
教学过程：一、问题情境情境：1．预警机在高空指挥战斗机躲避地对空导弹的袭击，因不恰当的定位方式，致使战斗机错过了躲避时机，不幸被导弹击中。
2．一位外地游客向我打听从肯德基文化宫店去亚细亚影城怎么走？我的回答是：以和平路为轴，以延陵路为轴建立直角坐标系，亚细亚影城位于横标为…看着游客疑惑的表情，我知道这样的回答显然没能帮上他的忙。
那我想问问在座的各位，如果是你，你会给出什么样的回答？问题1：我用的是直角坐标定位法，学生用的又是哪种定位法？试分析一下他的定位方式。
问题2：那大家是否可参照直角坐标系来定义极坐标系呢？二、学生活动分析定位方式；小范围内探讨，在学生回答的基础上纠正、整理出极坐标系的建立。
三、数学建构1．极坐标系的建立一般地,在平面上取一定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向，这样就建立了一个极坐标系，其中点O称为极点，射线OX称为极轴。
极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角的正方向。
问题3：在建立了极坐标系的基础之上，用什么量来描述方向和距离以确定极坐标系内的点呢？2．极坐标系内一点极坐标的规定设M是平面上任一点，用ρ表示OM的长度，称为点M的极径，用θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角，称为点M的极角，那么，有序数对（ρ,θ）称为点M的极坐标。
规定：极点的极坐标：极径ρ=0,极角θ可取任意角。
例1：写出图中各点的极坐标：点定，极坐标是否唯一坐标不唯一是由谁引起的这些极角有何关系这些极坐标是否可以写出统一的表达式结论1：一般地,若ρ,θ是点M 的极坐标, 则ρ,θ2π∈Z 都可以作为它的极坐标。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.1.1直角坐标系
4.1.1 直角坐标系1．平面直角坐标系在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系，如图，有序实数对(x ，y )与点P 相对应，这时(x ，y)称作点P 的坐标，并记为P(x ，y )，其中，x 称为点P 的横坐标，y 称为点P 的纵坐标．2．坐标法(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(2)用坐标法解决几何问题的步骤：第一步，建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．一、平面直角坐标系下的轨迹问题已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．思路分析：利用平面直角坐标系，设出A ，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．解：如图，设A (x A ,0)，B (0，y B )，M (x ，y )， ∵|AB |＝66=，即2236A B x y += .①又∵AM ∶MB ＝1∶2，∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 216＋y 24＝1.得动点M 的轨迹方程为x 216＋y 24＝1.如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝=|AB |＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a =a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为22122x y -=. 利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型．二、利用坐标系解决实际问题我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 80海里的正东方向的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截．以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点．若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．思路分析：先画出坐标系，标出A ，B 的位置及坐标，根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标．解：A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我军舰直行到点C与敌舰相遇，设C(x,0)，∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.∵敌我两舰速度相同，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30.∴点C的坐标为(30,0)．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－2002，2002)．由直线m过B点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m的方程是x－3y＋1 000＝0.于是，点W到直线m的距离为|－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100.所以，埋设地下管线m的计划可以不修改．利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意，根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式，从而解决实际问题．1．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是__________．答案：3解析：若点C在x轴上，可设点C(x,0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得x1＝0，x2＝2.故点C的坐标为(0,0)或(2,0)．若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )， 由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y －3)2＋(0－3)2＋(y －1)2，解之，得y 1＝0，y 2＝4. 故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．2．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 的坐标是__________．答案：(1,3)解析：设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋5＝3＋x ，2＋1＝0＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D (1,3)．3．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________．答案：－3＜m ＜12解析：∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m <0，－3－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m >－3.∴－3＜m ＜12.4．在平面直角坐标系中，A 为平面内的一个动点，B 点坐标为(2,0)．若=OA BA OB ⋅|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹为__________． 答案：圆解析：设A (x ，y )，则OA ＝(x ，y )，BA ＝(x －2，y )，222OB ==.代入已知条件得x (x －2)＋y 2＝2. 即(x －1)2＋y 2＝3，表示一个圆．5．选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 解：方法一：建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则正六边形的顶点分别为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，D (－1,0)，E ⎝⎛⎭⎫－12，－32，F ⎝⎛⎭⎫12，－32.(1) 方法二：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，(2) 则正六边形的顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫32，3，C ⎝⎛⎭⎫12，3，D ⎝⎛⎭⎫0，32，E ⎝⎛⎭⎫12，0，F ⎝⎛⎭⎫32，0.。
高中数学 4.1.1 直角坐标系学案 苏教版选修4-4
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题4.1.1 直角坐标系1．掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2．对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果．[基础·初探]1．直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标．2．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．3．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P 的坐标．[思考·探究]1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)．法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心为O(0,0)．法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(22，0)、B(0,22)、C(－22，0)、D(0，－22)，中心为O(0,0)．(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)[再练一题]1．选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标．【导学号：98990000】【解】 法一 以直角三角形的两条直角边AC 、BC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (1,0)，B (0,1)．法二 以斜边AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系．则A (－22，0)，B (22，0)，C (0，22)．用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高．【自主解答】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0， 直线AC 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB 、AC 的距离分别为PD ＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b 2，PE ＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－aba 2＋b 2.点C 到直线AB 的距离为CF ＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2aba 2＋b 2， 则PD －PE ＝2aba 2＋b 2＝CF .故所需证明命题成立． [再练一题]2．已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE .【证明】 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． 设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0. 由点到直线的距离公式得：BD ＝|2ah |a 2＋h 2，CE ＝|2ah |a 2＋h 2.∴BD ＝CE .如图411所示，过点P (2,4)有两条互相垂直的直线l 1，l 2.l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 满足的方程．图411【思路探究】 法一法二法三【自主解答】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，因为M 为线段AB 的中点，所以点A 的坐标为(2x,0)，点B 的坐标为(0,2y )．因为l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， 所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 满足的方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )， 连接PM .因为l 1⊥l 2，所以PM ＝12AB .而PM ＝x －2＋y －2，AB ＝x2＋y2，所以2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求方程．法三 因为l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，点M 为线段AB 的中点，所以O ，A ，P ，B 四点共圆， 且该圆的圆心为M (x ，y )，所以PM ＝MO ，所以点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线． 因为k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，所以点M 满足的方程为y －2＝－12(x －1)，化简得x ＋2y －5＝0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法．解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系； (2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)； (4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．[再练一题]3．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B 的轨迹方程．【解】 法一 (直接法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (几何法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1， 所以(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为：y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．[真题链接赏析](教材第16页习题4.1第4题)据气象台预报，在A 市正东方300 km 的B处有一台风中心形成，并以每小时40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．问：从现在起经过多少时间，台风将影响A 市，持续时间多长？已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？【命题意图】 本题主要考查合理建立直角坐标系，并能应用其解决实际问题的能力． 【解】 以A 村为原点，直线BA 为x 轴，建立如图所示的坐标系．则点B 坐标为(－1 000,0)，点W 坐标为(－2002，2002)，由题意，管线m 的斜率为k ＝tan 30°＝33，所以管线m 所在的方程为y ＝33(x ＋1 000)， 化简得3x －3y ＋1 0003＝0， 即x －3y ＋1 000＝0. 点W 到该直线m 的距离为d ＝|－2006－2002＋1 000|3＋1＝|500－1002－1006|＝100(5－2－6)． 因为5－2－6＞1，所以d ＞100.故管线m 不会穿过禁区，故该计划不需要修改．1．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是________．【解析】 ∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m ＜0，－3－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12，m ＞－3.∴－3＜m ＜12.【答案】 (－3，12)2．点P (2，－3，－1)关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是________． 【解析】 ∵P (x ，y ，z )关于平面yOz 坐标平面对称的为点P ′(－x ，y ，z )， ∴点(2，－3，－1)关于yOz 平面的对称点为(－2，－3，－1)． 【答案】 (－2，－3，－1)3．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是________． 【解析】 ∵BC ＝4，∴AB ＋AC ＝10－BC ＝6＞BC ，∴A 的轨迹为椭圆除去B 、C 两点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，故2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝32－22＝5.故轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．【答案】x 29＋y 25＝1(y ≠0) 4．点(－2，－3)关于直线3x ＋4y ＋5＝0对称的点的坐标为________．【导学号：98990001】【解析】 设所求对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＋2＝43，3×x －22＋4×y －32＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2825，y ＝2925.所求对称点坐标为(2825，2925)．【答案】 (2825，2925)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
2016-2017学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 1
第九页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
课练习
3．三角函数的伸缩变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象， 方法一(先平移后伸缩)：
第十页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
数学 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．将圆 x2＋y2＝1 经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝43xy 后的曲线方程为
________________．
解析：
由yx′′＝＝34yx 得yx＝＝1413xy′ ′
，代入 x2＋y2＝1
得x1′62＋y′9 2＝1，即1x62 ＋y92＝1 为所求．
而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2aB．
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
第十八页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第一讲 坐标系
证法二：如图所示，
预习学案
课堂讲义
课后练习
在▱ABCD 中， A→C＝A→B＋A→D，
两边平方得A→C2＝A→B2＋2A→B·A→D＋A→D2.
第八页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
课后练习
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝_λ_·x__ y′＝_μ_·y__
λ>0 μ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
苏教版数学高二-【备课学案】 选修4-4学案 4.1.1 直角坐标系
第01课时直角坐标系一、要点讲解1．直角坐标系：二、知识梳理1．直角坐标系：在直线上，当取定一个点为原点，并确定了___________________，就建立了_______．它使_________________________________________________．在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了_____________．它使_______________________________________________．在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了_____________．它使_______________________________________________________．2．建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：______________________________；反之，_______________________________________．3．确定点的位置，就是求出__________________________________．4．解析法解决实际问题的一般步骤是：_____________________________________________．三、例题讲解例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点．例2 已知B村位于A村的正西方1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60 的方向设一条地下管线m．但在A村的西北方向400米出，发现一古代文物遗址W．根据初步勘探的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗?例3 已知Q（a，b），分别按下列条件求出P 的坐标．(1) P是点Q 关于点M（m，n）的对称点；(2) P是点Q 关于直线l:x－y+4 = 0的对称点（Q不在直线l上）．四、巩固练习1．已知等腰梯形的上、下底边长分别为12和24，腰长为10，选择适当的坐标系并表示出它的顶点坐标以及计算其对角线的长．2．在空间直角坐标系中，求点A(1,1,1)-关于下列条件对称的点的坐标．（1）关于原点对称；（2）关于点(1,5,3)--对称；（3）关于坐标平面xOy对称；（4）关于z轴对称．3．据气象台预报：在A市正东方300km的B处有一台风中心形成，并以每小时40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受到其影响．问：从现在起经过多长时间，台风将影响A市，持续时间多长？4．如图1，一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索图1 图2相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结．现有一只江鸥从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江鸥距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系．小明采用先建立直角坐标系，再求关系式的方法．他的做法是：如图2，以A 为原点，桥面AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，C(200,0)，P( )，E( )，D(2200,0)，Q( )，B(2450,0)．请你先把前面没有写全的坐标补全，然后在小明已建立的直角坐标系下完整地解决本题．。
苏教版数学高二《直角坐标系》同步导学案
练习：
1、选择适当的坐标系，表示边长为1的正三角形的三个顶点的坐标.
2、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.
3、求直线 与曲线 的交点坐标.
三、课后巩固：
1、已知A（-2，0），B（2，0），则以AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹方程是 .
选修4－4坐标系与参数方程4.1.1直角坐标系
学习目标
回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
学习过的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？
问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？
练习
1、到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？
2、在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且 ，求顶点C的轨迹方程.
3、相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？
4、已知⊿ABC的三边 满足 ，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.
二、课堂训练：
例1．选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
例2．已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P的坐标
苏教版高中数学选修4-4 4.1.1直角坐标系_学案设计2(无答案)
直角坐标系
【学习目标】
1.知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.能力与方法：体会坐标系的作用。
3.情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【学习过程】
一、问题情境引入
1. 确定平面内一个点位置的方法；
2. 确定空间中一个点位置的方法.
二、概念及例题讲解
1. 极坐标系及其相关概念
例1．请写出图中各点的极坐标.
例2．在极坐标系中，
（1）已知两点5(5,),(1,)44
A B ππ，求线段AB 的长； （2）已知点M 的极坐标为(,)M ρθ，且,4R πθρ=
∈，说明满足上述条件的M 的位置.
例3．已知点(,)M ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标.
（1）P 是点M 关于极点O 的对称点； （2）P 是点M 关于直线2πθ=
的对称点.
例4（1）把点M的极坐标
2
(8,)
3
π
化成直角坐标.
（2）把点P的直角坐标6,2)化为极坐标.
2. 直角坐标与极坐标的互化
互化公式：
3. 球坐标系概念：
例5．建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.
练习：1．将M的球坐标
5
(8,,)
36
ππ
化为直角坐标.
2．球坐标满足方程3
r=的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.
3. 柱坐标系
概念：
ρ=的点所构成的图形是什么？
例6．柱坐标满足方程2
【学习小结】。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.1 直角坐标系》
第1课时直角坐标系【学习目标】1掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果【课前预学】请认真阅读教材P1--6页的有关内容，并答复以下问题问题1:直线坐标系〔数轴〕在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数确定，称为点P的坐标．问题2：平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对，确定，，称为点P的坐标．问题3：空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组，，确定，，，称为点P 的坐标．【课堂探究】探究一：建立直角坐标系解决证明问题小结：建立适当的坐标系一般有哪些规那么？1如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；2如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；3使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．探究二：建立直角坐标系求轨迹方程小结：求动点轨迹问题的一般步骤：1建立平面直角坐标系；2设点点与坐标的对应；3列式方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化；4化简注意变形的等价性；5证明假设保证等价变形，那么此步骤可以省略．探究三：建立直角坐标系解决实际问题【课堂小结】1.直角坐标系是解析几何的根底，为了便于用代数的方法研究几何问题，常常需要建立适当的直角坐标系，从而使曲线方程更为简单2.思想方法：数形结合。
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4.1.1 直角坐标系
1．平面直角坐标系
在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．
在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系，如图，有序实数对(x ，y )与点P 相对应，这时(x ，
y )
称作点P 的坐标，并记为
P (x ，y )，其中，x 称为点P 的横坐标，y 称为点P 的纵坐标．
2．坐标法
(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．
(2)用坐标法解决几何问题的步骤：第一步，建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
一、平面直角坐标系下的轨迹问题
已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．
思路分析：利用平面直角坐标系，设出A
，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．
解：如图，设A (x A ,0)，B (0，y B )，M (x ，y )， ∵|AB |＝66=，
即2236A B x y += .① 又∵AM ∶MB ＝1∶2，
∴x ＝x A 1＋12，y ＝12y B 1＋1
2
，即⎩⎪⎨⎪⎧
x A ＝32x ，y B ＝3y ，
代入①得94x 2＋9y 2
＝36，即x 216＋y 24
＝1.
得动点M 的轨迹方程为x 2
16＋y 2
4
＝
1.
如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．
解：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P
，依题意得
||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝
=|AB |＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则
c ＝2,2a =a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.
∴曲线C 的方程为
22
12
2
x y -=
. 利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相
关点的轨迹方程是常见题型．
二、利用坐标系解决实际问题
我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 80海里的正东方向的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截．以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点．若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．
思路分析：
先画出坐标系，标出A ，B 的位置及坐标，根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标．
解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)， ∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)．
我军舰直行到点C 与敌舰相遇，设C (x ,0)， ∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x .
∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .
在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．
已知B 村位于A 村的正西方向1千米处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m ，但A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.
于是，点W 到直线m 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|
2
＝100×(5－2－6)≈113.6＞100.
所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改．
利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意，根据题意建立适当的平面
直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式，从而解决实际问题．
1．已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是__________．
答案：3
解析：若点C 在x 轴上，可设点C (x,0)， 由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. 故点C 的坐标为(0,0)或(2,0)．
若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )， 由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y －3)2＋(0－3)2＋(y －1)2，解之，得y 1＝0，y 2＝4. 故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．
∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．
2．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 的坐标是__________．
答案：(1,3)
解析：设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋5＝3＋x ，2＋1＝0＋y ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，y ＝3.
故D (1,3)．
3．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________．
答案：－3＜m ＜1
2
解析：∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＋2m <0，
－3－m <0，即
⎩⎪⎨⎪⎧
m <12，
m >－3.
∴－3＜m ＜1
2
.
4．在平面直角坐标系中，A 为平面内的一个动点，B 点坐标为(2,0)．若=OA BA OB ⋅
|(O
为坐标原点)，则动点A 的轨迹为__________． 答案：圆
解析：设A (x ，y )，则OA ＝(x ，y )，BA ＝(x －2，y )，2OB == .
代入已知条件得x (x －2)＋y 2＝2. 即(x －1)2＋y 2＝3，表示一个圆．
5．选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 解：方法一：建立如图(1)所示的平面直角坐标系，
则正六边形的顶点分别为A (1,0)，B ⎝⎛⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，D (－1,0)，E ⎝⎛⎭⎫－12
，－3
2，
F ⎝⎛⎭⎫12
，－32.
(1) 方法二：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，
(2) 则正六边形的顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫32，3，C ⎝⎛⎭⎫12，3，D ⎝⎛⎭⎫0，3
2，E ⎝⎛⎭⎫12，0，F ⎝⎛⎭⎫
32，0.。