北师大版数学高二-选修4-5学案 不等式的证明(2)

选修4-5学案 不等式的证明(2)
☆学习目标： 1. 理解并掌握综合法与分析法;
2. 会利用综合法和分析法证明不等式 ☻知识情景： 1. 基本不等式： ⑴如果,a b R ∈, 那么22
2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
⑵如果,a b R +∈, 那么2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. ⑶如果,,a b c R +∈, 那么33
a b c abc ++≥, 当且仅当a b c ==时, 等号成立. 2.均值不等式：如果,a b R +∈,那么 222,,,22ab a b a b ab a b +++的大小关系是： ≤≤≤
常用推论：⑴ 20a ≥; 0;a ≥ 12(0)a a a
+≥>; ⑵2(0)a b ab b a
+≥>; ⑶
a c
b b a
c ++≥(,,a b c R +∈). 3. 不等式证明的基本方法：⑴比差法与比商法(两正数时)．
⑵综合法和分析法．
⑶反证法、换元法、放缩法
☆案例学习：
综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.
又叫由 导 法.
用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:
例2 12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n
n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:
分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系：
例3
例4
例5 证明：.)())((2
2222bd ac d c b a +≥++
12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知 2736
<求证:222222,,0,a b b c c a a b c abc a b c ++>≥++已知求证:。