世纪金榜数学文科 课时提升作业(三十) .

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(三十) 5.3

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课时提升作业(三十)

等比数列及其前n项和

(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2015·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )

A.-24

B.0

C.12

D.24

【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.

【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=x·3n-1-,则x的值为( )

A. B.- C. D.-

【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,

当n≥2时,a n=S n-S n-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,

因为{a n}是等比数列,所以

由①②得x-=,解得x=.

2.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( )

A.100

B.1000

C.10000

D.10

【解析】选C.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.

3.(2015·昆明模拟)在等比数列{a n}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( )

A.-2

B.-

C.±

D.

【解析】选 B.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以

a 5=-=-.

4.在等比数列{a n}中,有a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于

( ) A.2 B.4 C.8 D.16

【解析】选C.因为a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{b n}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.

【加固训练】已知各项不为0的等差数列{a n},满足2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )

A.2

B.4

C.8

D.16

【解析】选D.因为数列{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又a n≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.

5.已知数列{a n}的前n项和S n=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是( )

A.k为任意实数时,{a n}是等比数列

B.k=-1时,{a n}是等比数列

C.k=0时,{a n}是等比数列

D.{a n}不可能是等比数列

【解析】选 B.因为S n=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2

时,a n=S n-S n-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足a n=2×3n-1,{a n}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足a n=2×3n-1,{a n}不是等比数列.

【加固训练】(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )

A.-3

B.3

C.-1

D.1

【解题提示】由S n求a n,而后由a1=S1求a.

【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{a n}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= .

【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===. 方法二:由已知=3,得S6=3S3,又因为S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.

答案:

【加固训练】在正项等比数列{a n}中,若++=81,则+= . 【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,

即又a3>0,a5>0,故+=9.

答案:9

7.(2015·徐州模拟)若等比数列{a n}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和S n= .

【解析】由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,

得311

2411a q a q 20,a q a q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即()()2122

1a q 1q 20,a q 1q 40,

⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得q=2,a 1=2, 所以S n ==

=2n+1-2.

答案:2 2n+1-2

8.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{a n }是等平方和数列,且a 1=1,平方和为5,且a n >0,则a 2015= ,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为 .

【解析】由定义知+=5,a 1=1,所以=4,因为a n >0,所以a 2=2.又由+=5,所以=1,因为a 3>0,所以a 3=1,由此可知a 4=2,a 5=1,… 即数列{a n }的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a 2015=1. 当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)=n,

当n 为奇数时,S n =(a 1+a 2)+a n =+1=.故S n =

答案:1 S n =

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1,2S 2,3S 3成等差数列,且S 4=.