一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例知识讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
知识点一：一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：
在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：
(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；
(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式
中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.
(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个
不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：
知识点三：一元一次不等式组的解法
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。解一元一次不等式组的一般步骤为：
(1)分别解不等式组中的每一个不等式；
(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个
不等式组无解).
要点诠释：
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”
一元一次不等式(组)典型例题分类讲解
类型一：不等式性质
1.若，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ．不能确定
2.若x y >，则下列式子错误的是（ ） A ．33x y ->- B ．33x y ->-
C ．32x y +>+
D ．
33
x y
> 类型二：比较大小
1.若01x <<，则2
1x x x
，，的大小关系是（ ） A ．
21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21
x x x
<< 2.实数在数轴上对应的点如图所示，则，
，的大小关系正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
类型三：解一元一次不等式 1.不等式的解集为 ． 2.解不等式：2（x ＋
）－1≤－x ＋9
类型四：不等式中字母的取值范围
1.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是
2.已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________． （2）若0b >，且2
2
5a b +=，则a b +=____________．
3.关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图2所示，则a 的取值是（ ）。
A 、0
B 、－3
C 、－2
D 、－1
类型五：解一元一次不等式组
1.不等式组3(2)412 1.3
x x x x --⎧⎪
+⎨>-⎪⎩≥，的解集是 ．
2.解不等式组：3221317.22
x x x x ->+⎧⎪
⎨--⎪⎩，≤
类型六：解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示
用一元一次不等式(组)解决问题
x
答：最多能围成四种不同形状的等腰三角形， 分别为：①腰用6根火柴，底用8根火柴； ②腰用7根火柴，底用6根火柴； ③腰用8根火柴，底用4根火柴； ④腰用9根火柴，底用2根火柴。
实战演练:
幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分4个， 则剩下19个；每人分6个，则最后一个小朋友 分到了苹果但不足5个，问：一共有几个小朋 友？共有几个苹果？ (1)设有x个小朋友,写出x应满足的不等式(组) (2)可能有多少个小朋友,多少个苹果?
动手操作:
搭一搭、算一算: 把20根火柴首尾相接，围成一个等腰 三角形，最多能围成多少种不同形状的等 腰三角形？看谁围出的等腰三角形的种数 最多
解 设：用x根火柴作等腰三角形一条腰， 则三角形的底为（20-2x）根火柴 x x+x﹥20-2x x-x＜20-2x
解之得：5＜x＜10 整数x取6、7、8、9
在数学的天地里，重要的 不是我们知道什么，而是我们 怎么知道什么。
——毕达哥拉斯
复习引入：
根据题意列不等式（组）. （1）小明今年x岁，他的年龄 不小于12岁, . X≥12 （2）一个n边形的内角和 超过外角和, 180(n-2)＞360
.
复习引入：
根据题意列不等式（组）. （3）一个三角形三边分别为2、3、
能力提升 （2010 浙江湖州）
某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划 利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生 产一件A产品或B产品所需要原料如表格所示，
初中数学竞赛 知识点和真题 第22讲 一元一次不等式(组)的解法w
第22讲 一元一次不等式（组）
知识方法扫描
1．不等式基本性质 2．数量大小的比较
两数大小比较的基本方法有①比差法若A-B>0, 则A>B ；②比商法：当A ，
B 同为正数时，若A
B
>1, 则A>B.
3．不等式和不等式组的解法
解含有字母系数的不等式，含绝对值符号的不等式，要注意分类讨论。 注意运用“夹逼法”解题：就是把一个要求值的式子进行适当的放缩，将其夹在放缩后的两个式子中，从而依据题设要求，“逼出”符合条件的值。
例如若有a≤x≤a ，则x=a.
经典例题解析
例1．(1998年全国初中数学竞赛试题）
如果不等式组⎩
⎨⎧<-≥-080
9b x a x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数
a 、
b 的有序数对(a ，b)共有（ ）对。
A 、17
B 、64
C 、72
D 、81 解.C
∵9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩, ∴109
8x b
x ⎧
≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
又∵x 的整数值仅为1、2、3，∴0＜
9a ≤1,3＜8
b
≤4; 即0＜a≤9, 24＜b≤32. 故a 的整数值为9个，b 的值为8个。适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a ，b)共有72对。
例2．(1997年安徽省初中数学竞赛试题）
已知关于x 的不等式(2a-b)x+a-5b ＞0的解是x ＜710
，则ax+b ＞0的解是（ ）。
A 、x ＞53-
B 、x ＜5
3
- C 、x ＞53 D 、x ＜53
解 ∵(2a-b)x+a-5b ＞0，∴(2a-b)x ＞5b-a
一元一次不等式(组)典型例题分类讲解
类型一：不等式性质
1.若，则的大小关系为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．不能确定
2.若x y >，则下列式子错误的是（ ）
A ．33x y ->-
B ．33x y ->-
C ．32x y +>+
D ．33x y > 类型二：比较大小
1.若01x <<，则21
x x x
，，的大小关系是（ ） A ．
21x x x << B ．21x x x
<< C ．21x x x << D ．21x x x << 2.实数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
类型三：解一元一次不等式
1.不等式的解集为 ．
2. 1.若P （x —2，x ）在第二象限，则x
3.x x 2332-=-，则x 的取值范围是：
类型四：不等式中字母的取值范围
1.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是
2. 关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图2所示，则a 的取值是
类型五：解一元一次不等式组 1.不等式组3(2)412 1.3
x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥，的解集是 ． 2.解不等式组：3221317.22x x x x ->+⎧⎪⎨--⎪⎩，≤ 类型六：解一元一次不等式组与二元一次方程组
1. 若方程组24563
x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数，求m 的取值范围。
2.⎩⎨⎧=++=+3
313y x k y x 的解满足10<+
类型七：不等式组的整数解 1.不等式组2752312x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是 ．2.不等式组26623212x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是
专题10 一元一次不等式(组)(归纳与讲解)(解析版)
专题10 一元一次不等式(组) 【专题目录】
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【题型】一、不等式的性质
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
【题型】六、一元一次不等式的应用
【考纲要求】
1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；
2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次不等式(组)
【注意】
1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。 2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。 2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，
如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．
这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
3．列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1)审题； (2)设未知数；
(3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列出不等式(组)； (5)求出不等式(组)的解；
专题 一元一次不等式组(知识点精讲)(学生版)
专题05一元一次不等式组
重难突破
知识点一一元一次不等式组的解法
1、一元一次不等式组及解集
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：
一元一次不等式组的概念应满足三个条件：
①几个不等式必须含有同一个未知数；
②必须都是一元一次不等式；
③几个不等式用大括号合在一起，表示的含义是这几个不等式同时成立．
2、一元一次不等式组的解法
第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分；
第三步：写出不等式组的解集的结论．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）
典例1
（2021•南山区校级二模）不等式组13x x --⎧⎨<⎩ 的解集在数轴上可以表示为(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
典例2
（2021•福田区二模）不等式组122
253(6)x x x x ->+⎧⎨+-⎩
的解集为()
A ．3x <-
B ．2x
C ．32x -<
D ．无解
特殊解：
求不等式组中字母参数的取值问题，可以先将字母参数当做已知处理，求出解集，与已知不等式组的解或解集的情况进行对比，进而确定字母参数的值或取值范围．
解的讨论：
已知不等式（组），可以求出这个不等式（组）的解集；反过来，已知不等式（组）的解集，也能确定这个不等式（组）中未知的字母，把后者称为不等式（组）解集确定方法的逆用，处理这类问题时，可先求出原不等式（组）的解集，然后对照已知条件，得到关于未知字母的方程或不等式，解之即可．
一元一次不等式(组)知识总结与经典例题分析
一元一次不等式和不等式组【知识要点】
一、一元一次不等式
1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，
将不等式逐步化为x a <(x a >
或 )x a x
a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个
负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
例如：13
1321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘）
去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）
移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）
系数化为1， 得 3
7-
≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 三、一元一次不等式组
含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：
一元一次不等式组的知识点及其习题讲解
一元一次不等式组的知识
点及其习题讲解
Last revision date: 13 December 2020.
初中一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
知识点一：一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：
在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：
(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；
(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.
(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：
知识点三：一元一次不等式组的解法
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。解一元一次不等式组的一般步骤为：
(1)分别解不等式组中的每一个不等式；
(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个
不等式组无解).
要点诠释：
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
一元一次不等式(组)的解法及其应用培优竞赛
一元一次不等式(组)的解法及其应用题
一、整数解
例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组30,32
x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥的所有整数解之和是（ ） A 、9 B 、12 C 、13 D 、15
考点：一元一次不等式组的整数解．
分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．
解答：由①得：x≥3，由②得：x ＜6，
∴不等式的解集为：3≤x ＜6，∴整数解是：3，4，5，
所有整数解之和：3+4+5=12．故选B ．
点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
练习 1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3-x ＞0
4x 3+32
＞- x 6 的最小整数解为( )． A.0 B.1 C.2 D.-1
【答案】A
2． （2011•南通）求不等式组364213(1)x x x x -≥-⎧⎨+>-⎩
的解集，并写出它的整数解. 专题：探究型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x 的整数解即可．
解答：【解】解不等式3x －6≥x －4，得x ≥1．解不等式2x ＋1＞3(x －1)，得x ＜4．
所以原不等式组的解集为1≤x ＜4． 它的整数解为1，2，3．
点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．
例2 ①（2011•恩施州14,3分）若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 4＜a≤5 ． 考点：一元一次不等式的整数解。
专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用
（知识点总结+例题讲解）
一、不等式及其性质：
1.不等式的定义：
用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，
叫做不等式；
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；
3.不等式的解集：
（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；
（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；
4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；
5.不等式基本性质：
（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；
若a＞b，则a±c＞b±c；
（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b
＞)；
c c
（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；
若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b
＜)；
c c
【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．
【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）
基础知识讲解：一元一次不等式组
一元一次不等式组（知识讲解）
【学习目标】
1.理解不等式组的概念；
2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；
3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．
【要点梳理】
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式
组．如，等都是一元一次不等式组．
点拨
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
特别说明：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
特别说明：
2562010x x ->⎧⎨-<⎩7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．
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一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
一、 巧用不等式的性质
例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）
A.0＜a ＜1
B. a ＞1
C.－1＜a ＜0
D. a ＜－1
分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D
点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。
例2 已知6＜a ＜10，2
a ≤
b ≤a 2，b a
c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得2
3a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2
a ≤
b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示
c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。
二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
例3 若关于x 的不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 0
1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。
分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。
由②得 m x ＜-。
因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。
点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是4
9x ＞
，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 分析：原不等式可化为a b x ＜b a 342--)(。 因为4
9x ＞，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=---②b a a b ①b ＜a 49
23402 由②得 b a 7
8=，代入①得 b ＜0， 所以04784b ＞b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-)(。 由a b x ＞b a 234--)( 得b a a b x ＞
423--。 把b a 78=代入b a a b x ＞423--得 4
1-x ＞。 点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断b a -2＜0，从数值上判断4
9234=--b a a b ，从而确定b a 与的关系及b 的符号。 不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。
三、 利用不等式求代数式的最大值
例5 设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又
159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值是 。
分析：7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，
所以在7321x x x x ,,,, 这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，
159=21762111111721+=+++++++
≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 7
5191≤x ，所以1x 的最大值为19。 当1x 取最大值时，15919732=++++x x x ，
140≥1565212222+=+++++++x x x x x )()()( ，
6
5202≤x ，所以2x 的最大值为20。 当1x 、2x 都取最大值时，
120=10542133333743+=+++++++
≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 所以223≤x ， 所以3x 的最大值为22。
所以321x x x ++的最大值是19+20+22=61。
点评：本题根据已知条件先分别确定1x 、2x 、3x 的最大值，再求出321x x x ++的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于1x 、2x 、3x 的不等式。
例6 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。
分析：将y x 2+转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。
∵32≤+y x ，∴y x 23-≤，y x 462-≤。
∴632+-≤+y y x 。
∵，0≥y ∴03≤-y ，∴663≤+-y 。
即6632≤+-≤+y y x
故y x +2 能达到的最大值是6。
点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。
例７ 若整数c b a 、、满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<<+
b a
c 4112
5352
32611
试确定c b a 、、的大小关系
分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++<++<<++
c b a c 41527382
53617，
所以c b c a 32
761738<>,， 即c c b c c a <<>>7
6,1617。
所以a c b <<。
点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有c b a ++，利用不等式的传递性，得到c b a 、、的大小关系。