线性代数习题1参考答案
线性代数试题1及答案
线性代数试题1及答案
一. 填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33
3
222
111
c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=33
3
222
111
d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型2
3322
22
13214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是
44 t -
3. A 为3阶方阵，且2
1
=
A ，则=--*12)3(A A 27
16-
4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ
5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n
二. 选择题（每题3分，共15分）
6. 设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+--=-032231
322
1ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立
(A) B A B A +=+ (B) BA AB =
(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A
8. 设⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332
线性代数第一章习题答案
9、 解：An ( T )n (1 T44)(4T2 )4L4(4T 3 )
n个
T (14 T4)(42T )4L4(43T )
n 1个
1
Q T
1,
1 2
,
1 3
2 3
3
An T 3n1 3n1( T ) 1
2
x1
5 x2
9 x3
16
3
x1
4 x2
5 x3
32
1 2 3 8
1 2 3 8
解
__
A
2 3
5 4
9 5
1362
2r1r2 3r1 r3
0 0
1 10
3 14
0 8
1
2r2 r1 10r2 r3
1
0
2
2
0
1
0
0
1
1 1 1 1 1 0 0 0
1 2 r2
0 0 1 1
1
1
0
0
112 r3 2 r4
0
线性代数试题与答案1
（试卷一）
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若
122
21
12
11=a a a a ，则=1
6
030
322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA
B =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
_________
5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为
__2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-1230120011
A
，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式1
23453
2011
11111
2
1403
54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T
-的模（范数）______________
。 10.若()T
k
11=α与()T
121-=β正交，则=k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤
Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <
2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)
Ａ．8
Ｂ．8-
Ｃ．
3
4 Ｄ．3
4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数习题及答案
习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 9； (2) 1；
(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】
(1) τ(9)=11; (2) τ(1)=36;
(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.
4. 本行列式4512312
123122x x x D x x
x
=
的展开式中包含3x 和4
x 的项.
解： 设 123412341234
()
41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ
=
-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素
的行下标，则4D 展开式中含3
x 项有
(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-
4D 展开式中含4x 项有
(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)
0200
001030000004
； (2)1230
0020
30450001
.
【解】(1) D =(1)τ
(2314)4!=24; (2) D =12.
6. 计算下列各行列式.
(1)
2
141
31211232
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）
一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 1
23
230,2A A A A A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
是3阶方阵,122,1A A ==，
则 A = .
2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .
3.向量组112α⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关
4.如果矩阵 1
400
0400
x x x x A x x
x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1
111a a a a a a A a
a a a a
a
⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)
1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1
.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .T
C AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.
(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.
3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )
(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >
线性代数第一张练习题
线性代数第一张练习题
1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!
解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a
11
a2j2?anjn，
其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理
a11
a12a22?an2
a1na2n?ann
?a11A11?a12A12a1nA1n，
a21?an1
而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11
的
项数是!.
注意：含有任何元素a的项数都是!.
ij
2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.
a11
a12a22?an2
a1na2n?ann
3、?、n列都加到第一列，则行中的2、
解答：将
a21?an1
列式中有一列元素全为零，所以aij等于零. a1
0a2b30
0b2a30
b100a4
?a1b4
b1a2a4b3
b2a3
3.
00b4
.
解答：方法1按第一列展开
a100b4
0a2b30
0b2a30
?
a1b4
b1a4
?a1b4
b1a2a4b3
b2a3
?a1a4
a2b3
b2a3
?b1b4
a2b3
b2a3
.
方法交换2，4列，再交换2，4行 a1
0a2b30
0b2a30
b100a4
??
a100b4
b100a4
0a2b30?a1b400
b1a400
00a3b2
00b3a2
D
00b4
=
a1b4
b1a2a4b3
b2a3
.
方法Laplace展开定理：设在n行列式
k个行，由这k
中任意取定了
行元素所组成的一切k阶子式与它们的
代数余子式的乘积之和等于行列式D。所以按2，3行展开
a1
0a2b30
王天泽线性代数习题答案1(1)
习题1参考答案
（A ）
1.计算下列行列式
（1）0；（2）0；（3）66223+-x x ；（4）0；（5）!)
1(1
n n +-；（6）12
22+++z y x ；
（7）)(23
3
y x +-；（8）))((32324141b b a a b b a a --；（9）!2)!1(! -n n 3.5=t ；
4．（1）4；（2）-17；； 6.2≠k ；
5.（1）1,3,2321-=-==x x x ；（2）1,2,2,14321-====x x x x 7.01462
=++-b a a ；
8.2,5,0,73210=-===a a a a ；
习题2参考答案
（A ）
1.（1）O ；（2）4；（3）56
2
-；（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-1233
321
23121131n ；（5）A A n 2
-；（6）)(E A +-； （7）O ；（8）⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
20
00121
0211；（9）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**
B A ；（10）0；（11）⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---
21010100021； （12）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----11
11
B CA B O A ；（13）)2(31E A +；)6(211E A +-；（14）n -11； 2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--71422112207410
，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-348306324； 3.（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a b a 0，其中b a ,为任意数。
（2）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛a b a c b a ，其中c b a ,,为任意数。 4.4=T
αβ
，⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=6432βαT ，()
线性代数第一章习题答案
习 题 1-1
1．计算下列二阶行列式： （1）
x
x 1
1； （2）
α
αα
αsin cos cos sin -．
解 （1）
()
111
12
-=-=
x x x
x ．
（2）
1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-ααα
α
α
α．
2．计算下列三阶行列式：
（1）121223
1
12
--； （2）0
000
0d c b a ； （3）22
2
111
c b a c b
a
； （4）c
b a b a a
c b a b a a c
b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d
c b a c a
d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=
3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．
3．证明下列等式：
=33
3231
232221
13
1211a a a a a a a a a 33
32
2322
11a a a a
a 33
31
232112
a a a a a -32
31
222113
a a a a a +．
证明 33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=
线性代数第6版习题1答案
线性代数第6版习题1答案
线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间和线性变换等概念。在
学习线性代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过做习题可以加深对概
念和理论的理解，并培养解决问题的能力。本文将针对《线性代数第6版》的
习题1进行详细解答。
习题1是关于向量空间的基本概念的练习题。首先，我们需要明确向量空间的
定义和性质。向量空间是指由一组向量构成的集合，具有加法和数乘两种运算，并满足一定的性质。接下来，我们将逐个解答习题。
1. 证明零向量是唯一的。
解答：假设存在两个零向量0和0'，则有0 + 0' = 0' + 0 = 0。根据向量加法的
交换律，可得0 + 0' = 0' + 0，进一步推导可得0 = 0'，即零向量是唯一的。
2. 证明对于任意向量v，有0v = 0。
解答：根据向量的数乘定义，0v = (0 + 0)v = 0v + 0v。再根据向量加法的结合律，可得0v + 0v = 0v。进一步推导可得0v = 0。
3. 证明对于任意标量k，有k0 = 0。
解答：根据标量与向量的数乘定义，k0 = k(0 + 0) = k0 + k0。再根据向量加法
的结合律，可得k0 + k0 = k0。进一步推导可得k0 = 0。
4. 证明对于任意向量v，有(-1)v = -v。
解答：根据标量与向量的数乘定义，(-1)v + v = (-1)v + 1v = (-1 + 1)v = 0v = 0。根据向量加法的逆元素定义，可得(-1)v = -v。
5. 证明对于任意标量k，有k(-v) = -kv。
线性代数第一章习题及解答
n(n−1) 2
D. a11 . . . a1n ··· ··· ··· D an1 . . . ann
因为 D = D , 而 D =
T
对 DT 作上述行交换得, 于是
D2 = (−1)
n(n−1) 2
D = (−1)
T
n(n−1) 2
5
对 D2 依次进行相邻列交换， 然后转置得
D2 = (−1)
b2 0 0 d2 b2 d2 0 0 0 0 a1 c1 0 0 b1 d1 = (a2 d2 − b2 c2 )(a1 d1 − b1 c1 )
分别依次进行相邻行交换， 然后作相邻列交换得
假定 D2(n−1) =
n −1 ∏ j =1
(aj dj − bj cj )
对 D2n 进行相邻行依次交换， 然后进行相邻列依次交换 an bn D2n = (−1)(2n−2)+(2n−2) cn dn D2(n−1)
3
1 c c
3
解： 虽然这是一个三阶行列式， 利用定义可以计算， 但是注意到这个行列式与 Vandermonde 行列式 的区别， 我们利用“加框镶边”法得 1 1 1 1 a b c x D= ,D 恰是 D 按照最后一列展开后 x2 的系数的相反数，而 D 是一个 Vandera2 b2 c2 x2 a3 b3 c3 x3 monde 行列式， 注意到 D = (x − a)(x − b)(x − c)(c − a)(c − b)(b − a), 其中二次项的系数为 −(a + b + c)(c − a)(c − b)(b − a) 于是 D = (a + b + c)(c − a)(c − b)(b − a)
《线性代数》第一章习题及解答
6． 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上
去，行列式的值不变．
3、行列式按行（列）展开
设 D 为 n 阶行列式，则有
∑ A n a ik K =1
jk
=
ai1 Aj1
+ ai2 Aj2
+ ... + ain Ajn
=
⎧D ⎨ ⎩0
i= j i≠ j
∑ A n a ik K =1
因此
(−1)t a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
1 100L0
10 10
1 0
0 1
L L
0 0
r1 + r2
+ L + rn+1
1 1
0 0
1 0
0 1
L L
0 = n +1. 0
线性代数(同济版) 课后习题答案 第一章
= b2 − a 2
c2 − a2 1
d 2 − a2 1 c+a 1 d+a
b 2 ( b 2 − a 2 ) c 2 (c 2 − a 2 ) d 2 (d 2 − a 2 )
= (b − a )(c − a )(d − a ) b + a
b 2 ( b + a ) c 2 ( c + a ) d 2 (d + a ) = (b − a )(c − a )(d − a ) × 1 0 0 b+a c−b d −b b 2 ( b + a ) c 2 ( c + a ) − b 2 ( b + a ) d 2 ( d + a ) − b 2 (b + a ) = (b − a )(c − a )(d − a )(c − b)(d − b ) × 1 1
az + bx ax + by
a2 b2 ( 3 )2 c d2 1
a ( 4 )2 a
(a + 1) 2 (b + 1) 2 ( c + 1) 2
(a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2
( a + 3) 2 ( b + 3) 2 ( c + 3) 2 ( d + 3) 2 = 0;
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）
一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 1
23
230,2A A A A A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
是3阶方阵,122,1A A ==，
则 A = .
2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .
3.向量组112α⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关
4.如果矩阵 1
400
0400
x x x x A x x
x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1
111a a a a a a A a
a a a a
a
⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)
1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1
.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .T
C AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.
(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.
3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )
(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >
线性代数第一版课后习题1答案
习题1. P 23
1.利用对角线法则计算三阶行列式。
（1）381141
102
--- （2）b a c a c b c
b a （3）222
1
11
c b a c b
a
（4）y
x
y x x y x y y x y x
+++
解：（1）3
81141
1
2
---＝2×（﹣4）×3＋0×（﹣1）×（﹣1）×1×1×8 －1×（﹣4）×（﹣1）－0×1×3－2×（﹣1）×8
＝﹣24＋1﹢8－4－0＋16＝﹣4
（2）b
a c a c b
c
b
a ＝a c
b ＋b a
c ＋c b a －c ×c ×c －b ×b ×b －a ×a ×a ＝3a b c －a 3
＋b 3
＋c 3
（3）2
2
2
1
11
c b a c b a
＝b c 2 ＋c a 2 ＋a b 2 －b a 2 －b c 2 －a c 2 ＝b(c 2
－a 2
) ＋a c(a －c) ＋b 2
(a －c)
＝b(c －a)(c ＋a) ＋a c(a －c) ＋b 2
(a －c)
＝(a －c) [b 2
＋a c ﹣b(c －a)] ＝(a －c) [b(b －a) ＋c(a －b)] ＝(a －c)(a －b)(c －b) ＝(a －b)(b －a)(c －a)
（4）
y
x
y
x x y x y y x y x
+++＝x (x ＋y) y ＋y x (x ＋y) ＋(x ＋y) y x
－(x ＋y) (x ＋y) (x ＋y) －x 3 －y 3
＝(x ＋y) [3x y (x ＋y)2 －(x 2 －x y ＋y 2
)]
＝(x ＋y) [3x y －x 2 －2x y －y 2 －x 2 ＋x y －y 2
线性代数习题一答案
线性代数习题一答案
线性代数习题一答案
线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域中都有广泛的应用。通
过解决线性代数习题，我们可以更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法。下面是一些线性代数习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 证明线性空间的加法交换律和结合律。
解答：设V是一个线性空间，对于任意的向量a、b、c∈V，我们需要证明加法交换律和结合律。
（1）加法交换律：即a+b=b+a。
证明：根据线性空间的定义，我们有a+b∈V，b+a∈V。而且根据加法的定义，a+b=b+a，所以加法交换律成立。
（2）加法结合律：即(a+b)+c=a+(b+c)。
证明：根据线性空间的定义，我们有(a+b)+c∈V，a+(b+c)∈V。而且根据加法
的定义，(a+b)+c=a+(b+c)，所以加法结合律成立。
2. 设A是一个3×3矩阵，证明A的转置矩阵的转置等于A本身。
解答：设A=[a_ij]是一个3×3矩阵，A的转置矩阵记为A^T=[b_ij]。
我们需要证明(A^T)^T=A。
根据矩阵转置的定义，A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素，即
b_ij=a_ji。
同样，(A^T)^T的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素，即c_ij=b_ji。由于b_ij=a_ji，所以c_ij=a_ji。
而对于A的第i行第j列元素来说，既等于a_ij，又等于c_ij。
因此，A的转置矩阵的转置等于A本身，即(A^T)^T=A。
3. 设A是一个2×2矩阵，证明若A^2=0，则A=0。
解答：设A=[a_ij]是一个2×2矩阵，A的平方记为A^2=[b_ij]。
考研线性代数习题及答案（一）
考研线性代数基础习题及答案（一）
1．计算下列二阶行列式：．计算下列二阶行列式： （1）
3
125--； （2）
log 1
1log a b b a )1b ,a 0,¹>且（b a ；
（3）x x y x y
x
+-； （4）
211
1
1
t t t +-+.
解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-13
2）=log log 10b a
a b ×-= 3）=2
2
()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 3
2．计算下列三阶行列式：．计算下列三阶行列式： （1）1111
01112---； （2）1
211
15163
12---； （3）0
230
b
a c
b
c a
-； （4）111
c b c
a b a
---.
解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ´´+-´´+---= 4) =
22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++
3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性： （1）264315； （2）542163.
解：1）6G = 偶排列偶排列 2）9G = 奇排列奇排列
4．确定i 和j 的值，使得9级排列级排列 （1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列；成偶排列；
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一．单项选择题
1. A
2. B 3．A
4． A
5. D
6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B
20．B
21．A
22．B
23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A
29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D
35．C 36． D 37．C
38．C 39．A
40．C
41．A 42． D 43．A 44．A 45． B
46．D 47．B 48．Ｂ
49．A 50．C
51．B
52．D
53．C 54．B
55．D 56．C 57．A 58．D
59．D 60．D
61．B 62．B 63．D 64．C
65．B 66．A 67．C
68．A
69．C
70．A
二．填空题
1．653010422-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
2．0 3．0 4．125
5．4 6．9 7．
()()()y x z x z y ---
8．17 9．0 10．1 11． 1002011032⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪
- ⎪⎝⎭
12．()0,1,2T
13．3 14．2 15．0
16．3λ=- 17．-2 18．120220003⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
19． 40
三、简答题
1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3
x 的项只
有两项：3
443322115x a a a a -=；和3
2
1
43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3
x 系数是：—2。 2．显然2121
2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。
任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c
即
02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以
⎩⎨
⎧=-=+.,0022
121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即2121
2αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。
3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3
x 的项只
有两项：3
443322115x a a a a -=；和3
2
1
43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3
x 系数是：—2。 4．显然2121
2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。
任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c
即
02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以
⎩⎨
⎧=-=+.
,
0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。
四．计算题
1． 解：⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-------=31211543214131
212101),,,,(54321βββββ
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−−−→−+--231104622023110121011
413122r r r r r r ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛---−−−−→−+-0000000000
2311012
1
01
124232r r r r 所以向量组54321,,,,βββββ的秩为2；21,ββ为其一个极大无关组；
213βββ+=，21432βββ-=，2152βββ--=
2．解 对称矩阵的不同特征值的特征向量必互相正交，所以，属于231λλ==的特征向量
()1
2
3T
x x x x = 必定与1p 正交，即它们一定满足2310,x x x +=可以取任
何值
对此可取线性无关解23100,1.01p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭令010101.101P ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
求出
1
*01111200.2011P P P -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
于是
1101001110011101200001.21101011010A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪
==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3．解：322
1
422222
2
3
2
2
3
3
2
=⨯⨯=⋅='⋅'=')(|||||||||)(|B A B A B A B A
4．解：014
6
1
351
3
41
||
≠-=-----=A 所以A 可逆 )(121100011010322001100461010351
001341)(1-→⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=A I I A 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1210113221
A ， 验证I =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----121011322461351341
5．解：可验21αα,是线性无关的，因为矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321101的二阶子式02101≠
用施密特方法正交化：令),,(10111==αβ，
则
),,(),,(),,(||||12110124
3211
2
11222-=-=⋅-
=βββααβ， 可验证，此时),,(,),,(12110121
-==ββ是正交的。
6．解：))((||272
5
4
3
+-=----=
-λλλλλA I
，特征值为,,2721-==λλ
向量方程组为：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00254321x x λλ 当71=λ时，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00115544)(A I λ
即21
x x =，取12=x ，可得特征向量),('=111v
当22-=λ时，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00454545)(A I
λ
即21
45x x -=，取12=x ，可得特征向量),/('-=1542v
所以原矩阵的特征值为,1,721
-==λλ，分别对应的特征向量是：