第2章 典型例题与综合练习
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经济数学基础第2章导数与微分第一章典型例题与综合练习
第一节典型例题
一、极限计算
例1求极限lim
n
n n
n n
→∞
++
-+
2
2
1
254
解：原式=
++
-+
→∞
lim
n
n n
n n
2
2
1
254
=
++
-+
→∞
lim
n
n n
n n
1
11
2
54
2
2
=
1
2
例2求极限lim
x
x
x x
→
-
-+
1
2
2
1
32
解：lim
x→1
x
x x
x x
x x
x
x
x x
2
2
11
1
32
11
12
1
2
11
12
2 -
-+
=
-+
--
=
+
-
=
+
-
=-
→→
lim
()()
()()
lim
例3求极限lim
sin
x
x
x →
-+
11
2
解：lim
x→0
11
2
-+
x
x
sin=)1
1(
2
sin
)1
1
)(
1
1(
lim
0+
+
+
+
+
-
→x
x
x
x
x
=lim
x→0
x
x
sin2×
lim
x→0
-
++
1
11
x=
)
2
1
(
2
1
-
⨯
=4
1
-
例4求极限lim() x
x
x
→∞
+
-
1
1
2
1
解：lim()
x
x
x
→∞
+
-=
1
1
2
1lim()
x
x
x
→∞
-
1
1
2
lim()
x x
→∞
-
1
1
2
=+
-
→∞
-⋅
-
lim()()
x
x
x
1
1
2
2
1
2lim()
x x
→∞
-
1
1
2
经济数学基础 第2章 导数与微分
=+-⎡
⎣⎢⎤⎦
⎥→∞--lim()x x x 11221
2
lim()
x x →∞-1121
e 21⨯=-e 1= 二、函数的连续性
例1讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<=0
2100e )(x x x a
x x f x
在x =0处的连续性，并求函数的连续区间.
解：因为
a
f x x x x ==+=+-→→)0(,1)21(lim ,1e lim 0
，所以1
)(lim 0
=→x f x
当1≠a 时，
)
(lim )0(0
x f f x →≠，即极限值不等于函数值，所以x =0是函数的一个
间断点，且当1≠a 时，函数的连续区间是),0()0,(+∞⋃-∞.
当1=a 时，
)
(lim )0(0
x f f x →=，即极限值等于函数值，所以x =0是函数的一个连
续点，且当1=a 时，函数的连续区间是),(+∞-∞.
三、函数的可导性
例1设函数
f x ax b x x x ()=+>≤⎧⎨⎩002
若函数f x ()在点x =0处连续且可导，应如何选取系数a b ,? 解：因为0
)0(,)(lim ,0lim 0
20
==+=+-→→f b b ax x x x
所以当b =0时函数f x ()在点x =0处连续.
又因为0
)(lim )0()0(lim lim )0(2
000=∆∆=∆-∆+=∆∆='---→∆→∆→∆-x x x f x f x y f x x x '===+→→+
+f y x a x x a
x x ()lim lim 000∆∆∆∆∆∆
所以当a =0，b =0时函数f x ()在点x =0处可导.