第2章 典型例题与综合练习
新浙教版七年级上册数学第二章有理数的运算知识点典型例题练习(无答案)
-1 a
0
a
-1
b
0
1
1b
6、a、b 在数轴上的位置如图，化简 a ＝
，ab ＝
，a 1 ＝
。
a -1 0
b
考点四、带绝对值的分类讨论
1、若 a b ，则 a 和 b 的关系是
2、 若 x 1，则x ___ ； 若 1 2x 3，则x ______ 。
3、已知 a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，x 的绝对值是 1，则 x2 (a b cd )x cd
积为Fra Baidu bibliotek
5、将一张纸按同一方向连续对折 3 次，可得到 条折痕。折 n 次，可得到
条折痕，此时若按折痕将
纸撕开，可以得到
张纸。
6、你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，
反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：
(1)经过第 3 次捏合后，可以拉出
根细面条；
(2)到第
4
By wiviee
考点九、乘方在生活中的实际应用
1、一个池塘的水浮莲，每天都在生长，且每天的面积是前一天的 2 倍。如果 12 天就能把整个池塘遮满，那么水 浮莲长到遮住半个池塘需要（ ）
A. 6 天 B. 8 天 C. 10 天 D. 11 天 2、一种细胞，可以一分钟分裂成两个，再过一分钟分裂成四个，这样一小时可装满一个瓶子；那么如果一开始 就在瓶子里装进两个细胞，那么这样（ ）天就装满瓶子。
河南省七年级数学上册第二章整式的加减典型例题
河南省七年级数学上册第二章整式的加减典型例题单选题
1、下列说法：①2x
π的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2−x−2的常数项为2；④在1
x
，
2x+y，1
3a2b，5y
4x
，0中，整式有3个．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：A
分析：根据单项式、多项式和整式的有关概念解答即可．
解：①2x
π的系数是2
π
，原说法错误；
②多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误；
③x2-x-2的常数项为-2，原说法错误；
④在1
x ，2x+y，1
3
a2b，5y
4x
，0中，整式有3个，原说法正确．
综上，正确的只有1个．
故选：A．
小提示：本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式．
2、周末，奶奶买了一些小桔子，小亮、姐姐、弟弟做了一个有趣的游戏：首先姐姐，小亮，弟弟手中拿上相同数量的桔子（每人手中的桔子大于4个），然后依次完成以下步骤：
第一步：姐姐给小亮2个桔子；
第二步：弟弟给小亮1个桔子；
第三步：此时，姐姐手中有几个桔子，小亮就给姐姐几个桔子．
请你确定，最终小亮手中剩余的桔子有几个（）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：本题是整式加减法的综合运用，设每人有x个桔子，解答时依题意列出算式，求出答案．
第二章实数典型例题及练习题
第二章实数典型例题及练习题
经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数
的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、=±1
D、是5的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1
B、1.4
C、
D、
【变式3】
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.
2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________. 【变式2】求下列各式中的
（1）（2）（3）
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A．－1 B．1－C．2－D．－2
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-|
(4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10|
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
第二章 有理数的运算综合复习(含答案)
第二章 有理数的运算综合复习
【课前热身】
1.如果a 与－2的和为0，那么a 是 ( ) A.2 B.
21 C.－2
1
D.－2 2.计算－5十6－2的结果为 ( )
A.－13
B.－9
C.－1
D.3 3.下列运算结果为负数的是 ( )
A.－11×(－2)
B.0×(－1)×7
C.(－6)－(－4)
D.(－7)+18
4.算式(－
43
)÷( )=－2中的括号内应填 ( ) A.－23 B. 23 C.－8
3 D. 83
5.把数3160000用科学记数法表示成3.16×10n
，则正整数n 为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.由四舍五入法得到的近似数0.002030的有效数字的个数是 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【课堂讲练】 典型例题1 (431－87
－12
7)÷(－87)+(－38)
巩固练习1 3+50÷22×(－5
1
)－1
典型例题2 观察下列各式：
1=21－1，1+2=22－1，1+2+22=23－1. 猜想：
(1)1+2+22+23+…+263= ；
(2)如果n 为正整数，那么1+2+22
+23
+…+2n =
巩固练习2 如果n 为奇数，那么－
94×[1+(－1)n ]×(5－43
2)= . 典型例题3 [2009·佛山]黄金分割比是 2
1
5 =0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是 .
巩固练习3 把78536000“四舍五入”，保留3个有效数字可写成 ( ) A.785×10 5
B.78500000
C.78600000
D.7.85×107
第二章空气、物质的构成 知识点及典型例题总结
第二章空气、物质的构成知识点及相关习题梳理
2.1 空气的成分
一、第一个对空气组成进行探究的化学家：拉瓦锡（第一个用天平进行定量分析）。
【例1】（2016年北京，★☆☆）通过实验测定了空气的组成的科学家是( )
空气成分氮气氧气二氧化碳稀有气体其他杂质
体积分数78%21% 0.03% 0.94% 0.03%
特点相对固定成分可变成分
A．氧气B．氮气
C．二氧化碳D．稀有气体
【例3】（2016年重庆，★☆☆）空气中氮气的体积分数大约是( )
A. 5
4
B.
5
1
C. 4
3
D.4
1
成分主要性质主要用途
氧气化学性质：比较活泼，用于动植物呼吸，支持
燃烧；物理性质：无色、无味的气体，不易溶
于水
潜水、医疗急救、气焊、炼钢
以及化工生产和宇宙航行
氮气化学性质：不活泼
物理性质：无色、无味的气体，难溶于水
制硝酸和氮肥的重要原料；根
据化学性质不活泼，常用作保
护气；医疗上用于冷冻麻醉
稀有气体化学性质：很不活泼
物理性质：无色、无味，通电时发出不同颜色
的光
利用其作保护气，用于航标
灯、闪光灯、霓虹灯的电光源，
用于激光技术，制造低温环
境、用于麻醉。
【例4】下列气体中，能供给动植物呼吸的是（）
【例5】空气中的下列气体，属于稀有气体的是( ) A ．He B.N 2 C ．O 2 D.CO 2 【例6】下列关于空气的说法正确的是( ) A ．空气由空气分子构成 B.N 2、O 2等均匀混合
C.N 2、O 2不再保持各自的化学性质
D.N 2、O 2的体积比约为5∶1 四、空气的污染及防治
1、空气的污染源：工业污染、生活污染、交通污染、农业污染
最新人教版高中数学必修2第二章《平面的基本性质与推论》典型例题
典题精讲
例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.
图1-2-1-4
图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________.
图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________.
思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.
答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:
α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB.
图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN.
绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解.
变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同;
(2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.
图1-2-1-5
思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解.
答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.
必学4第2章平面向量典型例题与练习题
必学4第2章平面向量典型例题与练习题
第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
【知识点归纳】
1.平面向量的概念：
2.向量的表示：
（常见的2个向量）
3.相等向量与共线向量：
【典型例题】
题型一向量的基本概念
例1.给出下列命题：
①向量AB与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；③若a=b, b=c,则a=c；
④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
⑤若|a|=|b|,则a=b。⑥若a与b共线, b与c共线,则a与c共线
其中正确命题的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2下列命题正确的有
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
③向量a与ｂ不共线，则a与ｂ都是非零向量
④有相同起点的两个非零向量不平行
题型二向量的表示
例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点, 然后又改变方向,向西偏北45°走了200km到达C点, 最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量AB,BC,CD;(2)求AD
P D
C B A 题型三相等向量与共线向量
例4如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别
写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量，共线的向量。
题型四利用向量解决多点共线的问题
例5.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，P,Q 是AD ，BC 上的
点，且BP QD =,求证：AP QC =
综合练习：
1. 下列命题中，正确的是（）
A. 若|a |=|b |，则a =b
(完整版)第2章一元二次方程(各节知识点及典型例题)
第2章一元二次方程
五大知识点：
1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用
2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）
3、根的判别式
4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）
5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【课本相关知识点】
1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）
3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项
【典型例题】
【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值
例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？
【题型二】一元二次方程解的应用
例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）
A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1
例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1
（1）试求a+b的值
（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【题型三】一元二次方程拓展开放型题
例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0
（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根
（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
信号与系统 第二章典型例题
F (ω ) 1 − ωm 0
（ 1） 求 f ( 4t ) 和 间隔） ； （ 2） 如果用序列 δ T (t ) = 号
ωm
ω
f (0.25t ) 的信号最高频率和 Nyquist 间隔（最大允许的抽样
n= −∞
∑ δ (t − n 2s ) （ Ts 为信号 f (t ) 的 Nyquist ）对信
时域相乘
∞
f 1 (t ) f 2 (t ) ， f S (t ) = f (t ) p (t ) 。
f1 (t )
f (t )
时域抽样
f S (t )
f 2 (t )
求： （ 1）画出 f (t ) 的频谱图；
p (t )
（ 2）为从 f S (t ) 无失真恢复 f (t ) ，求最大抽样间隔 Tmax ； （ 3）当 TS = Tmax 时，画出 f S (t ) 的幅度谱 FS (ω ) 。
其中： δ T (t ) =
n = −∞
∑δ (t − nT )
∞
T =2
故 F (ω ) = F0 (ω ) F2 (ω )
F0 (ω ) =
1 ω 1 ω +π 1 ω −π Sa ∗ π [δ (ω + π ) + δ (ω − π )] = Sa ( ) + Sa( ) 2π 2 2 2 2 2
正弦交流电路_典型例题(全)
2.4 正弦交流电路中的功率与功率因素的提高
R 16
Z 22
Z
X＝XL
R
i
+ L
u
−R
XL Z 2 R2 222 162 15Ω
L XL
15
0.048 H 48 mH
2f 2 3.14 50
第二章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路中的功率与功率因素的提高
例2.4.2 已知 us(t) 2 sin(2t 45o ) V ，要使R0获
I1
30
23.1 0
60
I
I2
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
例2.2.1 电感L = 0.5H，接在电源电压U =220 V、频率为50 Hz、初相为零的交流电源上，求电路中的电流i 、P及Q。
解： u 220 2 sint V
i
X L L 2π fL 157
U 220 I 1.4 A
I2 8 60 A
I I1 I2 630 8 60
(5.196 j3) (4 j6.928)
9.196 j3.928 10 23.1A
i 10 2 sin(t 23.1) A
i
i1
i2
第二章 正弦交流电路
方法二：相量图法 （1）将正弦量用相量形式表示。
数学必修一第2章小结课件
补集是指全集中不属于某一集 合的元素组成的集合，记作A'
或U-A。
集合的运算：交、并、差
交集是指两个Hale Waihona Puke Baidu合中共有的元素组成的集合，记 作A∩B。
差集是指属于某一集合而不属于另一集合的元素组成 的集合，记作A-B。
集合运算
并集是指两个集合中所有元素组成的集合，记作 A∪B。
Part
03
重点与难点解析
综合练习题及答案
总结词
综合运用与拓展
详细描述
综合练习题是为了帮助学生综合运用所学知识，将知识点进行串联，形成完整的知识体 系。同时，通过综合练习题的训练，可以拓展学生的视野，提高学生的综合素质和解决 问题的能力。答案部分则提供了详细的解题思路和步骤，帮助学生更好地理解和掌握题
目。
Part
06
总结与展望
数学必修一第2章小 结课件
• 引言 • 知识点回顾 • 重点与难点解析 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
目的和背景
目的
总结数学必修一第2章的主要内容， 帮助学生巩固所学知识，提高理解和 应用能力。
背景
数学必修一第2章涉及了函数的基本概 念、函数的表示方法、函数的单调性 和奇偶性等知识点，这些内容是进一 步学习数学的基础。
八上数学第二章典型例题
八年级上《数为什么又不够用了》典型例题
一、基本概念题目
1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的_________，记作______________；
2．正数a 的正的平方根，叫做a 的__________，正数a 的另一个（负的）平方根是正平方根的________，
记作_______．应用：例如，一个数的平方根是a 和a ＋2，则a 等于______．
3．如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的_________，记作_______；数a 的立方根，记作_______，读作“三次根号a ”，a 称为_______，3称为_______，求一个数的立方根的运算，叫做_______．
4．a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于______．它有如下三个基本性质：
（1）_____________________________________________________；
（2）_____________________________________________________；
（3）_____________________________________________________；
5．二次根式的乘法法则：a ·b =____ (＿＿＿)； 二次根式的除法法则为：b a
=____ (＿＿＿＿)
6．最简二次根式必须满足以下两个条件：
(1)被开方数中不含____________________________；
(2)被开方数中不含_____________________________；
2017年浏阳市中级会计师《会计实务》第二章典型例题(一)
2017年浏阳市中级会计师《会计实务》第二章典型例题（一）
单项选择题
【例题1】甲企业发出实际成本为140万元的原材料，委托乙企业加工成半成品，收回后用于连续生产应税消费品，甲企业和乙企业均为增值税一般纳税人，甲公司根据乙企业开具有增值税专用发票向其支付加工费4万元和增值税0.68万元，另支付消费税16万元，假定不考虑其他相关税费，甲企业收回该批半成品的入账价值为( )万元。(2007年)
A.144
B.144.68
C.160
D.160.68
【答疑编号21020101：针对该题提问】
【答案】A
【解析】本题考核的是存货入账价值的确定。由于委托加工物资收回后用于继续生产应税消费品，所以消费税不计入收回的委托加工物资成本。收回该批半成品的入账价值=140+4=144(万元)。所以选项A正确。
【拓展】委托加工业务中，如果委托方收回加工物资的应税消费品后直接销售，则委托方支付的消费税要计入委托加工物资的成本；如果收回后用于连续生产应税消费品，则相应的消费税可以计入“应交税费――应交消费税”的借方，可以抵减以后需交纳的消费税。
【例题2】乙工业企业为增值税一般纳税企业。本月购进原材料200公斤，货款为6 000元，增值税为1 020元；发生的保险费为350元，入库前的挑选整理费用为130元；验收入库时发现数量短缺10%，经查属于运输途中合理损耗。乙工业企业该批原材料实际单位成本为每公斤( )元。(2006年)
A.32.4
B.33.33
C.35.28
D.36
【答疑编号21020102：针对该题提问】
【答案】D
微积分第二章典型例题
补充知识
一、数列和其子列之间的关系
定义从数列｛U n｝中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列｛U n｝的一个子数列，简称子列.记作
｛UnJ : U n i,U n2，,U n k「•
其中n k表示U n k在原数列｛u n｝中的位置，k表示U n k在子列中的位置.
例如：奇数子列U1,U3,........................ ,U2k1,.... ,
其中n1 = 1, n2 = 3,, n k = 2k—1
显然n k - k .
下面的定理给出了数列｛U n｝和其子列｛U n k｝之间的关系.
定理：对于数列｛U n｝,
(1) limu n二A的充要条件是对｛U n｝的任何子数列｛U n k｝都有lim u n A .
n—sc k
⑵limU n二A的充要条件是｛U n｝的偶数子列｛U2k｝和奇数子列｛U2k1｝满n一
i:
足lim U2k=lim U2k A .
k^^ k—Jpc
⑶若｛U n｝单调，则limU n - A的充要条件是存在一个子数列｛U n k｝满足
i m U n k 二A.
k
二、数列极限和函数极限的关系
定理2.18 (Heine定理) !吧心"的充要条件为:
对于任意收敛于!o的数列{!n} (X n =Xo)，都有佃f(X.) =A . n—JpC
常用结论：若Jim _f (x) = A，贝卩lim f (n) = A。
1 . n
si n—sin —
注（1）对于X > X o , X > X0-, Xr •' , Xr •: ' , Xr :等情形，
jh0011线段和角综合练习
第二章 线段和角
【典型例题】
例1：线段8.3=AB cm ，延长线段AB 到C ，使BC = 10cm ，再反向延长AB 到D ，使AD =3 cm ，E 是AD 中点，F 是CD 的中点，求EF 的长度。
分析：本例所用的知识是线段的延长与反向延长两个概念同时出现，不要混淆延长的方向，还有线段的中点及线段与差的概念。本例图形中点较多，当线段上点较多时，要逐个进行分析，理出线索。做几何计算题不能像代数只有计算过程，要边说明边计算。 本题的入手点是抓住线段中点的性质，再通过计算完成本题
)(4.25.19.3)
(5.132
1
21)
(9.38.72
1
21)(8.718.3331,8.3:cm DE DF EF cm AD AE DE AD E cm DC DF DC F cm BC AB DA DC cm
AD cm BC cm AB =-=-==⨯===∴=⨯==∴=++=++=∴=== 的中点
是的中点
是解
答：EF 的长为2.4 cm
例2：反向延长一线段BA 到C ，使BC =
AB 32，延长BA 到D ，使AB DA 3
1
=，已知DC = 6cm ，求线段DC 的中点E 和A 点之间的距离。
分析：本例与上例相反给出线段的总长度，然后分别求每个相关线段的长度。再利用上题相关的思路去解本题。
)
(213)(362
1
2112362623
2
313
132:cm DA DE AE cm DC DE DC E cm DA cm BC cm AB cm AB cm DC AB
AB AB AB BC AB DA DC AB DA AB BC =-=-==⨯==
13版新人教版 第2章第1节 整式
七年级数学（人教版上）同步练习第二章
第一节整式
一. 教学内容：
整式
1. 单项式的有关概念，如何确定单项式的系数和次数；
2. 多项式的有关概念，如何确定多项式的系数和次数；
3. 什么是整式；
4. 分析实际问题中的数量关系，培养用字母表示数量关系以及解决实际问题的能力.
二. 知识要点：
1. 用字母表示数时，应注意以下几点：
（1）加、减、乘、除、乘方等运算符号将数和表示数的字母连接而成的式子是代数式. （2）代数式中出现的乘号一般用“·”或省略不写，例如4乘a写作4a.
（3）在代数式中出现除法运算时，一般按分数的写法来写，例如a除以t写作.
（4）代数式中大于1的分数系数一般写成假分数，例如
2. 单项式
（1）如3a，xy，－6m2，－k等，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫做单项式. 对于单项式的理解有以下几点需要注意：
①单项式反映的或者是数与字母，或者是字母与字母之间的运算关系，且这种运算只能是乘
法，而不能含有加减运算，如代数式（x＋1）3不是单项式.
②字母不能出现在分母里，如不是单项式，因为它是n与m的除法运算.
③单独的一个数或一个字母也是单项式，如0，－2，a都是单项式.
（2）单项式的系数：是指单项式中的数字因数，如果一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或－1，如m就是1·m，其系数是1；－a2b就是－1·a2b，其系数是－1.
（3）单项式的次数：是指一个单项式中所有字母的指数的和. 掌握好这个概念要注意以下几点：
①从本质上说，单项式的次数就是单项式中字母因数的个数，如5a3b就是5aaab，有4个字母因数，因此它的次数就是4.
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经济数学基础第2章导数与微分第一章典型例题与综合练习
第一节典型例题
一、极限计算
例1求极限lim
n
n n
n n
→∞
++
-+
2
2
1
254
解：原式=
++
-+
→∞
lim
n
n n
n n
2
2
1
254
=
++
-+
→∞
lim
n
n n
n n
1
11
2
54
2
2
=
1
2
例2求极限lim
x
x
x x
→
-
-+
1
2
2
1
32
解：lim
x→1
x
x x
x x
x x
x
x
x x
2
2
11
1
32
11
12
1
2
11
12
2 -
-+
=
-+
--
=
+
-
=
+
-
=-
→→
lim
()()
()()
lim
例3求极限lim
sin
x
x
x →
-+
11
2
解：lim
x→0
11
2
-+
x
x
sin=)1
1(
2
sin
)1
1
)(
1
1(
lim
0+
+
+
+
+
-
→x
x
x
x
x
=lim
x→0
x
x
sin2×
lim
x→0
-
++
1
11
x=
)
2
1
(
2
1
-
⨯
=4
1
-
例4求极限lim() x
x
x
→∞
+
-
1
1
2
1
解：lim()
x
x
x
→∞
+
-=
1
1
2
1lim()
x
x
x
→∞
-
1
1
2
lim()
x x
→∞
-
1
1
2
=+
-
→∞
-⋅
-
lim()()
x
x
x
1
1
2
2
1
2lim()
x x
→∞
-
1
1
2
经济数学基础 第2章 导数与微分
=+-⎡
⎣⎢⎤⎦
⎥→∞--lim()x x x 11221
2
lim()
x x →∞-1121
e 21⨯=-e 1= 二、函数的连续性
例1讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<=0
2100e )(x x x a
x x f x
在x =0处的连续性，并求函数的连续区间.
解：因为
a
f x x x x ==+=+-→→)0(,1)21(lim ,1e lim 0
，所以1
)(lim 0
=→x f x
当1≠a 时，
)
(lim )0(0
x f f x →≠，即极限值不等于函数值，所以x =0是函数的一个
间断点，且当1≠a 时，函数的连续区间是),0()0,(+∞⋃-∞.
当1=a 时，
)
(lim )0(0
x f f x →=，即极限值等于函数值，所以x =0是函数的一个连
续点，且当1=a 时，函数的连续区间是),(+∞-∞.
三、函数的可导性
例1设函数
f x ax b x x x ()=+>≤⎧⎨⎩002
若函数f x ()在点x =0处连续且可导，应如何选取系数a b ,? 解：因为0
)0(,)(lim ,0lim 0
20
==+=+-→→f b b ax x x x
所以当b =0时函数f x ()在点x =0处连续.
又因为0
)(lim )0()0(lim lim )0(2
000=∆∆=∆-∆+=∆∆='---→∆→∆→∆-x x x f x f x y f x x x '===+→→+
+f y x a x x a
x x ()lim lim 000∆∆∆∆∆∆
所以当a =0，b =0时函数f x ()在点x =0处可导.